ÁREA: BÁSICA CLAVE DE LA ASIGNATURA: LA 102

Transcripción

1 TEÁTIS ÁRE: ÁSI LVE DE L SIGNTUR: L OJETIVO(S) GENERL(ES) DE L SIGNTUR: l térino del curso el aluno analizará los principios de las ateáticas; aplicará los isos coo herraientas para operar en los coportaientos estadísticos econóicos y en particular los adinistrativos dentro de las organizaciones.. atrices El concepto de atriz alcanza últiples aplicaciones tanto en la representación y anipulación de datos coo en el cálculo nuérico y sibólico que se deriva de los odelos ateáticos utilizados para resolver probleas en diferentes disciplinas coo por ejeplo las ciencias sociales las ingenierías econoía física estadística y las diferentes raas de las ateáticas entre las que destacaos las ecuaciones diferenciales el cálculo nuérico y por supuesto el álgebra. (Steegann et al) Los objetivos del tea son: onocer algunos tipos de atrices. onocer las principales operaciones con atrices.. onceptos de atrices Definición de atriz Los arreglos rectangulares de núeros coo el siguiente reciben el nobre de atrices. ás foralente dado un conjunto X se denoina atriz de n filas y colunas a un conjunto de n eleentos de X dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y colunas. Las características de los eleentos del conjunto X dependerán en cada caso de la naturaleza del problea que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones de palabras de un alfabeto de núeros etc. De aquí en adelante salvo que se especifique lo contrario los eleentos del conjunto X serán núeros reales y denotareos el conjunto de todas las atrices de orden n (n filas y colunas) por n. En general para representar una atriz de orden n se escribe 7

2 Tabién se escribe ( a ij ) ( i... n y j... ) para indicar que es la atriz de orden n que tiene eleentos a ij. Las atrices se denotan con letras ayúsculas y sus eleentos con la isa letra inúscula acopañada de dos subíndices que indican su posición en la atriz; el prier subíndice indica la fila y el segundo la coluna. Es decir el eleento aij es aquel que se encuentra en la fila i y la coluna j de la atriz. Por ejeplo si denotaos por la atriz inicial entonces el orden de es ( filas y colunas) y sus eleentos son: y. Dos atrices ( a ij ) y ( b ij ) de orden n son iguales si a ij b ij para todo i... n y j... Es decir dos atrices son iguales si los eleentos que ocupan la isa posición en abas atrices coinciden. lgunos tipos de atrices atriz uadrada: Es aquella que tiene igual núero n de filas que de colunas (n). En ese caso se dice que la atriz es de orden n. Por ejeplo la atriz es cuadrada de orden. Denotareos el conjunto de todas las atrices cuadradas de orden n por n. sí en el ejeplo anterior. Los eleentos de la diagonal principal de una atriz cuadrada son aquellos que están situados en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. En otras palabras la diagonal principal de una atriz ( a ij ) está copuesta por los eleentos a a... a nn. En el ejeplo anterior la diagonal principal está copuesta por los eleentos: a a a. atriz Nula: Una atriz es nula si todos sus eleentos son iguales a cero. En el siguiente ejeplo se uestra la atriz nula de orden. ás adelante vereos que la atriz nula respecto a la adición y ultiplicación de atrices juega un papel siilar al núero cero respecto a la adición y ultiplicación de núeros reales. atriz Diagonal: Una atriz cuadrada ( a ij ) es diagonal si a ij para i j. Es decir si todos los eleentos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejeplo la siguiente atriz es diagonal: 8

3 atriz Unidad: Es una atriz diagonal cuyos eleentos de la diagonal son todos. continuación ostraos la atriz unidad de orden. ás adelante vereos que la atriz unidad respecto a la ultiplicación de atrices juega un papel siilar al núero respecto a la ultiplicación de núeros reales. atriz triangular: Es una atriz cuadrada en la que todos los eleentos situados por debajo (o por encia) de la diagonal principal son cero. Por ejeplo la siguiente atriz es triangular: Este tipo de atrices tabién se conoce coo atriz escalonada. En algunos casos se hace la distinción entre las atrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los eleentos nulos de la atriz; los que están por debajo o por encia de la diagonal principal. ás adelante después de estudiar las operaciones con atrices vereos algunos tipos iportantes de atrices coo es el caso de las siétricas y las ortogonales.. Operaciones con atrices dición de atrices Sean n. La atriz (c ij ) n es la sua de las atrices (a ij ) y (b ij ) y se denota + si sus eleentos cuplen: ij a ij + b ij (i n j( ) Ejeplos: onsidereos las siguientes atrices: Las atrices y son de orden ientras la atriz es cuadrada de orden. Por tanto no podeos calcular la sua de y y tapoco la sua de y en cabio sí podeos suar y ya que tienen el iso orden. 9

4 Esto es Es fácil deducir las siguientes propiedades de la adición de atrices de orden n : En virtud de las propiedades anteriores de la adición de atrices + (ley interna) resulta que ( n +) tiene estructura de grupo conutativo. Se denoina producto de una atriz (a ij ) n por un núero λ a una atriz (b ij ) n cuyos eleentos son de la fora b ij λa ij (i...n; j...) Es decir la atriz producto es la que se obtiene ultiplicando el núero λ por cada uno de los eleentos de. De aquí en adelante considerareos que λ es un núero real. Ejeplo onsidereos la atriz y el núero λ-5. Entonces el producto de por λ es: El producto de una atriz por un núero es una ley de coposición externa que cuple las siguientes propiedades: Distributiva ixta del producto respecto a la sua de atrices λ(+) λ + λ λ R n Distributiva ixta del producto respecto a la sua de núeros reales (λ + δ ) λ + δ λ δ R n sociativa ixta (λδ)λ(δ) λ δ R n Eleento neutro para la ley externa n y R

5 En virtud de estas propiedades y de las anteriores de la sua de atrices resulta que el conjunto n de las atrices de orden n respecto a la ley de coposición interna + y a la ley de coposición externa producto de una atriz por un núero tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los núeros reales. ultiplicación de atrices Se denoina atriz producto de la atriz (a ij ) n por la atriz (b jk ) p a una atriz (c ik ) n p cuyos eleentos son de la fora c ik a i b k + a i b k + + a i b k aij b jk Es decir los eleentos que ocupan la posición ik en la atriz producto se obtienen suando los productos que resultan de ultiplicar los eleentos de la fila i en la priera atriz por los eleentos de la coluna k de la segunda atriz. Observeos en detalle coo se obtiene el eleento c en el siguiente ejeplo: Nota: Dos atrices se pueden ultiplicar sólo cuando el núero de coluna de la priera atriz sea igual al núero de filas de la segunda. En ese caso se dice que las atrices son enlazadas. En el siguiente ejeplo podeos ver adeás cuál es el orden de la atriz producto. Nótese adeás que no podeos calcular.

6 6 Hay casos coo vereos en el siguiente ejeplo en los que se pueden calcular abos productos aunque se obtienen resultados diferentes. onsidereos las siguientes atrices: atrices: y Entonces por un lado y por otro Según se pudo coprobar a través de los ejeplos anteriores para la ultiplicación de atrices no se cuple la propiedad conutativa. Veaos algunas propiedades de esta operación: sociativa p k k n : ) ( ) ( Eleento neutro (Es la atriz unidad) : I I I n n Distributiva (ixta) k n + + : ) ( En virtud de estas propiedades y de las anteriores de la sua de atrices resulta que el

7 conjunto (n+) de las atrices cuadradas de orden n respecto a las dos leyes de coposición interna + y tiene estructura de anillo unitario no conutativo. Otras observaciones iportantes: Existen divisores de cero: En general no iplica que o. Por ejeplo 8. No se cuple la propiedad cancelativa: En general no iplica. Por ejeplo 5 8 Referencias Steegann. & et al. Álgebra de atrices. Recuperado de