Ley de composición interna u operación en un conjunto

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1 ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Resuen teoría Prof. Alcón Ley de coposición interna u operación en un conjunto Sea A un conjunto no vacío. Una ley de coposición interna u operación en A es una función de A A en A. Sea una operación en A. Si a y a son eleentos de A, la iagen por de (a, a se denotará a a. Son ejeplos de operaciones: 1. La sua + en el conjunto de los núeros reales. 2. El producto. en el conjunto de los núeros reales. 3. La unión en el conjunto de partes del universal. 4. La operación definida en los enteros por n = + n La operación definida en los naturales en la fora n = 2 + n. 6. La coperación, coposición de funciones, en A B = { funciones de A en B}. Si A es un subconjunto de A se dice que la operación es cerrada en A cuando x y A para todo par de eleentos x e y de A. Por ejeplo, la sua de R es cerrada en N, esto quiere decir que la sua de dos naturales e da un natural. La coposición de funciones es cerrada en el subconjunto de las funciones inyectivas, esto quiere decir que la coposición de dos funciones inyectivas da una función inyectiva. Sea una operación en A. se dice asociativa si x (y z = (x y z cualesquieran sean x, y, z en A. se dice conutativa si x y = y x cualesquieran sean x, y en A. Se dice que adite eleento neutro si existe un eleento de A, que notareos e, tal que x e = e x = x cualquiera sea el eleento x de A. Si una operación adite eleento neutro este es único, es decir si e y e son neutros de entonces e = e. Si adite neutro e, se dice que un eleento x de A adite opuesto (según si existe un eleento x de A tal que x x = x x = e. En tal caso x se dice el opuesto de x. Cuando la operación se denota aditivaente, es decir con +, el opuesto de x se escribe x y el neutro se designa por 0. Cuando la operación se denota ultiplicativaente, es decir con., el opuesto de x se denota x 1 y en general se le dice inverso o inverso ultiplicativo de x y el neutro se designa por 1. Sea una operación asociativa con neutro en un conjunto A. Vale que 1. Si un eleento adite opuesto este es único, es decir: si a y a son opuestos de a entonces a = a. 1

2 2. Si a adite opuesto a y b adite opuesto b, entonces a b adite opuesto y éste es (a b = b a. 3. Si todos los eleentos de A aditen opuesto entonces vale la propiedad cancelativa, es decir a b = a c b = c cualesquieran sean a, b y c en A. Sea A un conjunto en el cual están definidas dos operaciones + y. Se dice que. es distributiva a izquierda con respecto a + si x.(y + z = x.y + x.z cualesquiera sean x, y, z en A y se dice que. es distributiva a derecha con respecto a + si (y + z.x = y.x + z.x cualesquiera sean x, y, z en A. Si es distributiva a izquierda y a derecha se dice distributiva. Ejeplos: 1 Sea E = P(U el conjunto de partes de un universal. En E están definidas dos operaciones: unión e intersección, con las siguientes propiedades: y son asociativas. y son conutativas. tiene eleento neutro: el conjunto vacío que denotaos. tiene eleento neutro: el conjunto universal U. es distributiva con respecto a. es distributiva con respecto a. 2 En el conjunto R de núeros reales, están definidas dos operaciones + y., y una relación de orden total, satisfaciendo las siguientes propiedades: + y. son asociativas + y. son conutativas + tiene eleento neutro que denotaos 0. tiene eleento neutro que denotaos todo eleento adite opuesto según + todo eleento no nulo adite inverso según.. es distributiva con respecto a + dados x, y, z R cualesquiera, vale que x y x + z y + z dados x, y, z R cualesquiera, vale que 0 z x y x.z y.z Notación: x y = x + ( y 1 x = x 1 x y = x.y 1 x < y x y x y A partir de las propiedades anteriores se puede deostrar facilente que dados x, y R, ( x.y = x.( y = (x.y ( x.( y = x.y 2

3 (x + y.(x y = x.x y.y x.y = 0 x = 0 y = 0 x.x = 1 x = 1 x = 1 x y + w x.z + y.w = z y.z x y.w z = x.w y.z 0 < 1 Naturales Un subconjunto S de R se dice inductivo si 1 S, y x S x + 1 S cualquiera sea x en S. El conjunto N de los núeros Naturales se define coo el conjunto intersección de todos los subconjuntos inductivos de R. Esto iplica que si S es un subconjuto de N y S es inductivo entonces S = N. Una sucesión de núero reales es una función de N en R. Se llaa térino n-ésio de una sucesión s, a la iagen s(n de n. En general, por siplicidad, se escribe s n en lugar de s(n. El térino n-esio, expresado en función de n, se llaa térino general de la sucesión. Hay distintas aneras de referirse a una sucesión, por ejeplo: Sea la sucesión (a n n N dada por a n = 2n + 1; o Sea la sucesión (a n n 1 dada por a n = 2n + 1; o Sea la sucesión a n = 2n + 1, con n natural; Sea la sucesión (a n dada por 3,5,7,9,11,13,... En esta sucesión el prier térino es a 1 = = 3, el segundo es a 2 = = 5, el tercero a 3 = 7, el 50-ésio es a 50 = 101; el térino general es a n = 2n + 1. Definiciones por recurrencia: 1Una sucesión se dice definida por recurrencia o definida inductivaente cuando en la definición se da el valor del prier térino ( o los prieros térinos y el térino general se define en función del (los anterior(es. La sucesión del ejeplo visto se puede definir inductivaente en la fora: a 1 = 3 a n = a n 1 + 2, para todo n 2. 2 Sea (a n una sucesión de núeros reales y un núero natural dado cualquiera. La suatoria de los priero térinos de la sucesión, o suatoria desde n = 1 hasta, denotada por n=1 a n, se define inductivaente en la fora: 1 n=1 a n = a 1 ; n=1 a n = ( 1 n=1 a n + a para 2. Si k y son núeros naturales, 1 k, la suatoria desde n = k hasta, denotada por n=k a n, se define en la fora: n=k a n = ( n=1 a n ( k 1 n=1 a n. 3

4 3 Sea (a n una sucesión de núeros reales y un núero natural dado cualquiera. El producto de los priero térinos de la sucesión, o productoria desde n = 1 hasta, denotada por n=1 a n, se define inductivaente en la fora: 1 n=1 a n = a 1 ; n=1 a n = ( 1 n=1 a n a para 2. 4 Sea n un núero natural cualquiera. Se define inductivaente el factorial de n, que se denota n! en la fora: 1! = 1 n! = (n 1! n para n 2. El factorial de cero se define coo 0! = 1. 5 Potencia natural de un núero real. Sea a un núero real cualquiera, para un núero natural n cualquiera se define la potencia n-ésia de a en la fora: a 1 = a a n+1 = a n a para n 2 Deostraciones por inducción: Sea p(n una función proposicional predicable sobre N, es decir n es una variable que toa valores en el conjunto de los núero naturales. Si p(1 es verdadera y p(k p(k + 1 para cualquier k, entonces p(n es verdadera para todo natural n. Deostración: Llaeos S = {k N tal que p(k es verdadero}. Claraente S es un subconjunto de N. Adeás S es inductivo pues i 1 S y ii k S k + 1 S. Coo N es el enor conjunto inductivo, resulta que S = N; así teneos que p(n vale para todo natural n. El resultado anterior es la base del étodo de deostración inductivo: para deostrar por inducción una proposición de la fora n N, p(n debeos: i Probar que p(1 es verdadero; y ii suponiedo p(k para un k N fijo cualquiera, deostrar p(k + 1. Es usual escribir una deostración por inducción separada en 3 ites. (1 Probar que p(1 es verdadero; (2 Enunciar la Hipótesis inductiva: p(k es verdadero; (3 Probar que p(k + 1 es verdadero usando la hipótesis inductiva.. 4

5 Una fora equivalente de hacer deostraciones por inducción es la siguiente: (1 Probar que p(1 es verdadero; (2 Enunciar la Hipótesis inductiva: p(s es verdadero para todo s k; (3 Probar que p(k + 1 es verdadero usando la hipótesis inductiva.. Observar que en este caso teneos que deostrar la validez de p(k + 1 sabiendo no solo que p(k es verdadero, sino sabiendo tabién que p(s es verdadero para cualquier s enor o igual que k. Coo la hipótesis inductiva es ás fuerte que en el caso anterior, suele decirse que este tipo de deostración es por el principio fuerte de inducción. La siguiente fora del étodo inductivo se usa cuando se quiere probar que la función proposicional p(n es verdadera para todo natural ayor o igual que un n 0 dado. (1 Probar que p(n 0 es verdadero; (2 Enunciar la Hipótesis inductiva: p(k es verdadero para un k n 0 cualquiera (3 Probar que p(k + 1 es verdadero usando la hipótesis inductiva.. OBSERVACIÓN: Hay que tener en cuenta que no NECESARIAMENTE una proposición del estilo n N, p(n debe deostrarse por inducción. En algunos casos es posible hacer: Sea a un eleento cualquiera de N. Luego probar que p(a es Verdadero. Finalente, coo a es un eleento cualquiera de N, heos probado que n N, p(n. Núeros Cobinatorios Dados n y núeros ( naturales o cero, n, se define el núero cobinatorio n, que se n denota C n, o, en la fora: = n! (n!! Propiedades: para todo par de naturales n y, con n, vale que: ( ( n n 1. = 1; = n; 0 1 ( ( n n 2. = n ( n 3. si n > 1, = 4. N. Binoio de Newton n 1 1 = n; n = 1. Sean a y b núero reales y n N. Vale que: (a + b n = n i=0 5 i a i b n i

6 Observar que los coeficientes i triángulo de Pascal, corresponden a los que aparecen en la fila (n+1-ésia del Conteo Dado n N, denotareos I n al intervalo natural {x N/1 x n}. 1. Sea A un conjunto cualquiera no vacío, llaareos variación con repetición de eleentos de A de taaño, a toda lista de longitud de eleentos de A en la cual cualquier eleento de A puede aparecer repetidaente o no. Foralente una variación con repetición de eleentos de A de taaño es una función de I en A. Por ejeplo: Si A = {a, b, c, d}: aaa es una variación con repetición de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función f:i 3 A dada por f(1=a, f(2=a, f(3=a. cbd es otra variación con repetición de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función g:i 3 A dada por g(1=c, g(2=b, g(3=d. bcd es otra variación con repetición de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función h:i 3 A dada por h(1=b, h(2=c, h(3=d. Análogaente dddd es una variación con repetición de eleentos de A de taaño 4; aabbccdd es una variación con repetición de eleentos de A de taaño 8; abcd es una variación con repetición de eleentos de A de taaño 4. Nos interesa saber cuál es la cantidad de variaciones con repetición de eleentos de A de taaño, cuando A es un conjunto cualquiera de cardinal n. Esta cantidad se dirá el núero de variaciones con repetición de n eleentos toados de a y en general se denota V n,. Tabién suele usarse la notación V (n,. TEOREMA 1: Para todo par de núeros n, N vale que V n, = n. PROBLEMA TIPO: Dados n eleentos distintos entre sí, cuántas listas de longitud se pueden forar con ellos, si cualquier eleento puede ser elejido as de una vez para forar parte de la lista?. De una caja conteniendo 10 bolillas nueradas se extrae al azar una bolilla, se anota el núero obtenido y se devuelve la bolilla a la caja; luego se repite este procediiento otras cuatro veces. cuál es la probabilidad de haber sacado la secuencia de núeros ? Y la de haber sacado ? Cantidad de núeros de 6 cifras que se pueden forar con las cifras 2,4,6,8. Y con las cifras 0,1,2,...,9? Cantidad de Patentes que se han eitido al finalizar las que coienzan con F. 2. Sea A un conjunto cualquiera no vacío. Llaareos variación de eleentos de A de taaño, a toda lista de longitud de eleentos de A en la cual ningún eleento de A aparezca repetidaente. Para que exista al enos una tal variación es condición necesaria que sea enor o igual que el cardinal del conjunto A. 6

7 Foralente una variación de eleentos de A de taaño es función inyectiva de I en A. Por ejeplo, Si A = {a, b, c, d}: abd es una variación de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función inyectiva f:i 3 A dada por f(1=a, f(2=b, f(3=d. adb es otra variación de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función inyectiva g:i 3 A dada por g(1=a, g(2=d, g(3=b. Análogaente abcd es una variación de eleentos de A de taaño 4; cd es una variación de eleentos de A de taaño 2, dc es otra variación de eleentos de A de taaño 2, distinta de la anterior. No existen variaciones de eleentos de A de taaño 5. Nos interesa saber cuál es la cantidad de variaciones de eleentos de A de taaño, cuando A es un conjunto cualquiera de cardinal n, con n. Esta cantidad se dirá el núero de variaciones de n eleentos toados de a y en general se denota V n,. Tabién suele usarse la notación V (n,. TEOREMA 2: Para todo par de núeros, n N con n vale que V n, = n! n!. PROBLEMA TIPO: Dados n eleentos distintos entre sí, cuántas listas de longitud se pueden forar con ellos, si ningún eleento puede ser elejido as de una vez para forar parte de la lista?. De los 30 alunos de una clase se quieren elegir 3 para ser Presidente, Secretario y Tesorero de una coisión. De cuántas foras distintas se puede hacer? De cuántas si 3 personas deterinadas no pueden ser presidente? Cuántos núeros de 5 cifras distintas pueden forarse? Cuántos enores que ? De una caja conteniendo 10 bolillas nueradas se extrae al azar una bolilla, luego se repite este procediiento otras cuatro veces. cuál es la probabilidad de haber sacado la secuencia de núeros ? Y la de haber sacado la secuencia ? 3. Sea A un conjunto cualquiera no vacío con cardinal n, llaareos perutación de eleentos de A, a toda variación de eleentos de A de taño n, es decir a toda lista de longitud n de eleentos de A en la que ningún eleento aparece repetido. Tabién se puede pensar que es cualquier ordenaiento de los eleentos de A. Foralente una variación de eleentos de A de taaño n es función biyectiva de I n en A. Por ejeplo, Si A = {a, b, c}: abc es una variación de eleentos de A de taaño 3, o bien una perutación de los eleentos de A, correspondiente a la función biyectiva f:i 3 A dada por f(1=a, f(2=b, f(3=c. acb es otra perutación de eleentos de A de taaño 3, correspondiente a la función biyectiva g:i 3 A dada por g(1=a, g(2=c, g(3=b. Nos interesa saber, cuál es la cantidad de perutaciones de eleentos de A, cuando A es un conjunto cualquiera de cardinal n. Esta cantidad se dirá el núero de perutaciones de n eleentos y en general se denota P n. El siguiente teorea es claraente un corolario del Teorea 2 (considerar en éste = n. TEOREMA 3: Para todo núero n N vale que P n = n!. PROBLEMAS TIPO: Dados n eleentos distintos entre sí, de cuántas foras distintas se los puede ordenar en una lista? Anagraas de la palabra oneda De cuántas foras pueden ordenarse 7 personas en una fila.? De cuántas si dos de ellas no pueden estar juntas? 7

8 De cuántas foras distintas pueden sentarse 10 personas alrededor de una esa? De cuántas foras pueden ordenarse 5 libros H, G, M, L, y F en una bibiblioteca? De cuántas si G y H deben estar juntos? De cuántas si L y M no deben estar juntas? 4. Dados n eleentos de k clases distintas, en cantidades n i, 1 i k, es decir n 1 de la clase 1, n 2 de la clase 2,...,n k de la clase k, de cuántas foras distintas pueden listarse u ordenarse estos n = n 1 + n n k eleentos? Por ejeplo, si los eleentos dados son aaabbccccd, teneos n 1 = 3, n 2 = 2, n 3 = 4 y n 5 = 1, resulta n = 10. Distintos órdenes o listas o, por abuso de lenguaje, perutaciones de estos 10 eleentos son por ejeplo: aaabbccccd, daaabbcccc, adaabbcccc,ccbbaaccad. Aquí dios 4 órdenes posibles, la pregunta es cuál es la cantidad total de órdenes distintos de estos 10 eleentos? TEOREMA 4: Dados n eleentos de k clases distintas, en cantidades n i, 1 i k, con n = n 1 + n n k, la cantidad de listas de longitud n que se pueden forar con estos n eleentos es n! n 1! n 2!... n k!. PROBLEMAS TIPO: Anagraas de palabras con letras repetidas, cantidad de anagraas de la palabra ANANA. Ordenar bolillas, cuando hay x blancas, y rojas, z azules... Ordenar libros cuando hay x de Historia, y de Mateática, z de Geografía. 5. Sea A un conjunto cualquiera no vacío, llaareos cobinación de eleentos de A a todo subconjunto de A, finito de cardinal. Para que exista al enos una tal cobinación es condición necesaria que n. Por ejeplo, Si A = {a, b, c, d}, las siguientes son cobinaciones de 3 eleentos de A: {a, b, c}, {a, b, d}, {b, c, d}. Algunas veces para ahorrar escritura suelen escribirse los subconjuntos sin las llaves ni la coas, por ejeplo las cobinaciones anteriores se escriben abc, abd, y bcd respectivaente. En este caso se suele decir o pensar que son listas de eleentos en las que no iporta el orden, pues claraente la cobinacion abc es igual a la cobinación bac, dado que representan respectivaente a los subconjuntos {a, b, c} y {b, a, c} que, coo ya sabeos, son iguales. Nos interesa saber, cuál es la cantidad de cobinaciones de eleentos de A, cuando A es un conjunto cualquiera de cardinal n. Esta cantidad se dirá el núero de cobinaciones de n eleentos toados de a y en general se denota C n,. Tabién suele usarse la notación C(n,. TEOREMA 5: Para todo par de núeros, n N con n vale que C n, = n! (n!!. PROBLEMA TIPO: Dados n eleentos, forar con ellos conjuntos o grupos de taaño. De cuántas foras puedo forar una coisión con 3 integrantes, entre los 30 alunos de una clase? De cuántas si A y B no pueden estar juntos en la coisión? Se tira una oneda al aire 10 veces y se registra el resultado. Cuántos resultados distintos posibles hay? Cuántos en los cuales haya 6 caras y 4 cecas? Cuántos grupos de 4 personas se pueden forar con 4 hobres y 7 ujeres? Cuántos si al enos debe haber 1 hobre en el grupo? Cuántos si debe haber 2 hobres y 2 ujeres? En una caja conteniendo 10 bolillas nuerdas se introduce la ano y se sacan 5 bolillas. Cuál es la probabilidad de haber obtenido los núeros 1,2,3,4 y 5? Se tienen 11 bolillas nueradas, 6 blancas y 5 negras. Se toan 4 al azar, cuántos resultados posibles hay? Cuántos si se toan 2 blancas y dos negras? Cuántos si se deben toar las 4 de igual color? 8