Geometría: Vectores en el plano

Transcripción

1 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas Geoetría: Vectores en el plano. Conjunto R Vaos a crear el producto cartesiano de RR, que desinareos por R : R RR todos los pares ordenados forados por núeros reales..., t.q. R, R..., 0,0, 3,,,5,,, = priera coponente, = seunda coponente. Ha que tener en cuenta que son pares ordenados, es decir, que el par (3,4) es distinto del (4,3). Todo el undo debe saber asociar un par ordenado con un punto en el plano real. Para que dos pares de núeros sean iuales deben de ser iuales sus prieras seundas coponentes Ejeplo: Calcular a b para que se verifique la siuiente iualdad: (a,b)=(-,) - /8 -.G.Onandía

2 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas. Operaciones en R Vaos a definir dos operaciones en R. a) Sua en R (,)+(, )=(+,+ ) b) Producto de un núero real por un par de R a(,)=(a,a) Propiedades de la sua en R.- Es una operación interna: al suar dos pares reales obteneos otro par real..- sociativa: (,)+[(, )+(, )]=[(,)+(, )]+(, ) 3.- Conutativa (,)+(, )=(, )+(,) 4.- Eistencia de eleento neutro. Buscaos un par (a,b) tq (a,b)+(,)=(,) a a 0 b b 0 (a,b)=(0,0) 5.- Eistencia de eleento siétrico. El eleento siétrico para la sua se denoina eleento opuesto. Buscaos un par (a,b ) tq (,)+(a,b )=(0,0) a' 0 a' (a,b )=(-,-) b' 0 b' Todo conjunto con una operación interna que verifica estas propiedades se dice que es un rupo conutativo. Propiedades del producto de un núero real por un par de R.- Es una operación (o le) eterna, a que a cada núero real a a cada par (,) le asociaos un nuevo par de R (a,a).- Distributiva de la le eterna respecto de la interna. Sea ar, (,)R, (, )R a[(,)+(, )]=a(,)+a(, ) 3.- Distributiva de la le eterna respecto a la sua de núeros reales: Sea ar, br, (,)R (a+b)(,)=a(,)+b(,) - /8 -.G.Onandía

3 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas a a 4.- Eistencia de eleento neutro a R t. q. a,, a 5.- sociativa ita a, b R a[b(,)]=ab(,) a(b,b)=(ab,ab) ab(,) Todo conjunto que tiene dos operaciones, una interna otra eterna, que adeás para la operación interna es un rupo conutativo que para la operación eterna verifica las 5 propiedades anteriores, se dice que tiene una estructura de ESPCIO VECTORIL. Lueo (R,+,.) es un espacio vectorial, por ello a los eleentos de R les llaaos VECTORES NUMÉRICOS de dos coponentes los denotaos por,, p. ej.. Ejeplos: a) -5(,-)+3(,-6)= b) [(,-)+5(-3,0)]-(/)(3,4)+6(-,-8) - 3/8 -.G.Onandía

4 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3. Vectores libres en el plano. 3. Introducción Ha anitudes que no quedan bien definidas únicaente con un núero p.ej. velocidad, fuerza, De ellas se necesita conocer su dirección sentido. estas anitudes se les denoinan vectoriales se representan por lo que denoinaos vectores fijos. Definición: Un vector fijo es un seento orientado que tiene su orien en etreo en B se denota por B. B El punto del vector fijo B se denoina orien B etreo Para deterinar un vector fijo heos de conocer su ódulo, dirección, sentido orien: MÓDULO de un vector B es la lonitud del seento que une los puntos B. Se representa por B. DIRECCIÓN de un vector B es la recta que pasa por B. SENTIDO de un vector B es el recorrido de la recta cuando vaos de a B. Cada dirección tiene dos sentidos. Dos vectores no nulos tienen la isa dirección si se encuentran en rectas paralelas. Un caso particular de vector es el vector nulo, que tiene su orien etreo en el iso punto:, BB, Coponentes cartesianas de un vector fijo Tabién se les llaa sipleente coponentes. Sean (, ) B(, ) dos puntos del plano las coponentes del vector B son B ', ' representa por B ', ' se ráficaente son sus - B proecciones sobre el eje OX sobre el eje OY, - respectivaente. Ejeplo: Dados los puntos (,5) B(3,-), calcular analítica ráficaente: a) Las coponentes del vector fijo B b) Un vector fijo con las isas coponentes que B cuo orien esté en C(-3,-). - 4/8 -.G.Onandía

5 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.3 Equipolencia de vectores fijos Entre los vectores fijos vaos a establecer una relación que llaareos relación de equipolencia. Esta dice que dos vectores fijos B CD son equipolentes si tienen las isas coponentes i.e. B a,b CD(c,d) B CD a c b d Ha otras tres foras seejantes de definirlas:.- B CD si cuplen una de las siuientes condiciones: Si son dos vectores no nulos no contenidos en la isa recta B BDC tiene que forar un paralelorao (Rela del paralelorao) C D Si los dos vectores son no nulos están contenidos en la E F isa recta, debe de eistir un tercer vector EF de odo que BFE CDFE son paraleloraos. B CD son nulos B C D B.- B CD si los puntos edios de D BC coinciden D C 3.- B CD si tienen la isa dirección, ódulo sentido. Ésta es intuitivaente la ás fácil de anejar. Ejeplo: deterinar que vectores son equipolentes en el heáono ortoedro adjuntos: B F C E D Ejeplo: Dados los puntos (,-3) B(-,-), calcular analítica ráficaente: F E G H B D C a) Las coponentes del vector fijo B b) Un vector fijo equipolente a B cuo orien sea el punto C(4,-) c) Un vector fijo equipolente a B cuo etreo sea el punto F(,3) Ejeplo: Dados los puntos (5,) B(,-) calcular analítica ráficaente: a) Las coponentes del vector fijo B b) Un vector fijo equipolente a B cuo orien sea el punto C(-,0) c) Ide. con etreo en el punto F(,) Ejeplo: Las coponentes del vector fijo B son (3,), calcular el punto si B(,-) - 5/8 -.G.Onandía

6 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.4 Vectores libres Definición: Llaareos vector libre B al conjunto constituido por un vector fijo B todos sus equipolentes: B XY tq XY B Un vector libre contiene todos los vectores de iual ódulo, dirección sentido. Los vectores libres se denotan con letras inúsculas,, Se llaa dirección, ódulo sentido de un vector libre no nulo a la dirección, ódulo sentido de cualquiera de sus representantes. Se entiende por representante cualquier vector fijo contenido en el vector libre. Una propiedad de los vectores libres llaada propiedad fundaental es: Teorea: Cualquier vector libre arbitrario del plano tiene un único representante con orien en un punto O Deostración: Sea un vector libre cuo representante es B i.e..- si O no pertenece a la recta que pasa por B, construios el paralelorao BPO coo intersección de una recta paralela a la que pasa por B pasando por el punto O, de la recta que pasa por O por la B P recta por la recta paralela a la que pasa por O pasando por B, entonces: O B u B OP OP u u OP i.e. OP es un representante de. La unicidad viene dada de por la unicidad de la eistencia del punto P, coo intersección de dos rectas no paralelas..- Si el punto O pertenece a la recta que pasa por B. Eleios un punto arbitrario C que no está en la recta que pasa por B. Coo C no está en la encionada recta, por el apartado, eiste un único representante que pase por C. hora nos quedaos con este representante nos fijaos que el punto O no está en la recta que contiene a este representante por el apartado, eiste un único representante que pasa por O. - 6/8 -.G.Onandía

7 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas B P O D C u B u CD B CD u CD u OP OP CD La iportancia de este teorea lo vereos cuando realiceos las operaciones con vectores libres. Ejeplo: Dados los puntos (3,-4) B(,0), calcular: a) las coponentes del vector libre uno de cuos representantes es B b) el orien el etreo de otro vector fijo que tabién sea representante de 3.5 Vector posición de un punto 3.5. Definición de vector de posición Dado un punto cualquiera P R, podeos considerar el vector OP p, es decir un vector con orien, en el orien de coordenadas etreo en el punto P, que denoinareos vector de posición del punto P. Se verifica que las coponentes del vector coinciden con las coordenadas del punto P. p P(a,b) a 0, b 0 a b p OP, O Lueo aplicando la propiedad fundaental de los vectores libres, cualquier vector libre B, tiene un representante en el orien de coordenadas OQ q, las coponentes de este vector coinciden con las coordenadas cartesianas de su etreo Q. sí, a cada vector libre le puedo asociar un punto viceversa. hora, teniendo en cuenta que, tener un punto es eactaente iual a tener un vector nuérico, podeos deducir que los vectores libres se pueden anejar iual que los vectores nuéricos por tanto tienen sus isas propiedades. Esto es interesante a la hora de plantear resolver ejercicios. - 7/8 -.G.Onandía

8 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.5. Fora polar de un vector de posición P Eiste otra anera de deterinar la posición de un punto P en un sistea de referencia cartesiano, dando lonop ánulo que fora la recta que contiene ese seento con la dirección positiva del eje OX ρ α Lueo si teneos deterinado el punto P tabién teneos deterinado su vector de posición. p lonop sentido O a P, la dirección nos la da el ánulo α. sí podeos epresar p p que se denoina fora polar de un vector donde a ρ llaaos ódulo a α aruento del vector. Ejeplo: Representar ráficaente los puntos cuos vectores de posición son 3 30º 3 0º. Ejeplo: Epresar en fora polar el vector de posición del punto P(4,3) Ejeplo: Hallar las coponentes cartesianas del vector q =4 60º. Ejercicio: Epresar en fora polar el vector de posición de cada uno de los puntos siuientes: a) (,-) b) (-,) c), 3 d), e) (5,) f) (-8,6) Ejercicio: Calcular las coordenadas cartesianas de los puntos M, N, R, S cuos vectores de posición son: 645º n 450º r 40º s 0300º - 8/8 -.G.Onandía

9 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.6 Operaciones con vectores libres Definición: Dos vectores libres son iuales cuando sus representantes son equipolentes i.e cuando tienen las isas coponentes u v B CD siendo u B v CD Es una definición siilar a la que heos dado para iualdad de vectores nuéricos dición Definición: Para suar dos vectores se representa uno de ellos, con orien en el etreo de, se representa el otro vector. El vector sua de abos, es el que tiene el orien de el etreo de. u v u v Tabién se pude suar aplicando la le del paralelorao: Se representan los vectores con el iso orien. El vector sua se obtiene coo la diaonal del paralelorao que tienen por lados los vectores. Propiedades:.- sociativa:.- Conutativa: 3.- Eistencia de eleento neutro: con o 4.- Eistencia de eleento opuesto: con u B El opuesto de un vector libre es otro vector libre de iual ódulo, dirección sentido contrario, que nos perite definir la diferencia coo u v u v El conjunto de todos los vectores libres del plano lo denotareos por V sí (V,+) es un rupo conutativo. Ejeplo: Dados los vectores libres (,-) (-3,4) calcular analítica ráficaente = + Ejeplo: Si B es un representante del vector libre CD de siendo (0,), B(3,-), C(,0) D(4,7), calcular analítica ráficaente: a) = + b) Un representante de con orien en el punto E(,) - 9/8 -.G.Onandía

10 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.6. Producto de un núero real por un vector tiene: l ultiplicar un vector por un núero real k, obteneos un nuevo vector libre ku que - iual ódulo al del vector por el valor absoluto del núero k ku = k - iual dirección que la del vector - el iso sentido que si k es positivo ó contrario si k es neativo. Ejeplo: -3 Propiedades:.- Distributiva del producto respecto de la sua ku v ku kv.- Distributiva del producto respecto a la sua de núeros reales u k t ku tv 3.- sociativa ita ktu ktu 4.- Eleento neutro para el producto. = Lueo el conjunto de los vectores libres con la sua el producto por un escalar es un espacio vectorial que se denota por (V,+,.). - 0/8 -.G.Onandía

11 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.7 Cobinación lineal de vectores en V Utilizando las propiedades anteriorente definidos en V, a partir de unos ciertos vectores, se pueden obtener uchos ás, sin ás que suarlos o ultiplicarlos por un núero. Por ejeplo. (5,-4)=(,)+3(,-6) entonces direos que (5,-4) es cobinación lineal de (,) (,-6). Definición: Una cobinación lineal de un vector es cualquier otro vector de fora que = con R Definición: u (, ) es cobinación lineal (C.L.) de los vectores v ( ', ' ) w( '', '' ) sii eisten dos núeros reales, aluno no nulo, verificando que u v + w Ejeplo: El vector es cobinación lineal de pues Ejeplo: El vector es C.L. de pues = + Definición: Un conjunto de vectores es linealente dependiente, cuando uno de ellos puede epresarse coo cobinación lineal de los restantes. Tabién se denoina sistea liado. libre. En caso contrario se dice que son linealente independiente (L.I.) tabién llaado sistea Gráficaente dos vectores son L.D. cuando tienen la isa dirección por tanto serán L.I. si tienen distinta dirección. Cuando se trate de dos vectores no nulos u (, ), v( ', ' ) la c.n.s. para que sean L.D. es que se verifique que: () sus coponentes sean proporcionales i.e. / =/ () = con R. (3) + = con ó aluno no nulo - /8 -.G.Onandía

12 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas Estas tres caracterizaciones son equivalentes. Deostración: ()() coo las coponentes son proporcionales llaaos a la constante de proporcionalidad ' entre ellas (, ) ( ', ') ( ', ') con 0 ' ' ' (3)() + = =- u v llaando obteneos u v 0 sí en el ejeplo anterior los vectores (5,-4), (,), (,-6) son L.D. En caso contrario son L.I., es decir que podeos definir dos vectores de V L.I. coo L.I., R u v o sii 0 Definición: Una base del plano V está forada por dos vectores de V L.I. Cualquier vector de V se puede epresar coo C.L. de dos vectores L.I. De todas las bases que podeos eleir de V la ás sencilla es la forada por los vectores ={î, ĵ }=,0, 0,, por ello se le denoina BSE CNÓNIC de V. Estos dos vectores tienen la propiedad de ser perpendiculares tener ódulo. Ejeplo: Coprobar si el vector (5,7) es C.L. de (,) (,3) (5,7)=(,)+(,3) (5,7)=(,)+(,3)=(+,+3) 5 = ; = 7 3 Ejeplo: Estudiar la dependencia lineal de los siuientes conjuntos de vectores: a) 4,,,6 b),, 3,4 c),0, 0, Ejeplo: Coprobar si los vectores (,), (0,) foran una base de V. (,)+(0,)=(0,0) +0=0 +=0 =0; =0 L.I. por tanto base de V Ejercicio: Dados los vectores (,3) (,4) calcular analítica ráficaente = - Ejercicio: Sean los puntos (0,-), B(4,-3), C(3,) D(4,-). Si B es un representante del vector libre CD del vector, calcular: a) - b) = - c) = + - /8 -.G.Onandía

13 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 3.8 Coponentes de un vector en una base cualquiera de V. Sean u, v dos vectores de V no paralelos, i.e. ={ u, v } base de V, w un vector cualquiera de V. Por ser base w lo podeos obtener coo cobinación lineal de sus eleentos i.e.,r t.q. w = u + v a estos escalares les llaaos coponentes del vector w en la base ={ u, v } i.e. w (, ). Gráficaente las coponentes de un vector son sus proecciones sobre los diferentes vectores de la base, con sus correspondientes sinos. (+ en la dirección del vector en dirección contraria) Ejeplo: Sea ={ u, v } una base de V, representar w =3 u + v v pro v w v u u prou w w v u w 3.9 Coponentes de un vector en la base canónica de V. Ya sabeos que la base canónica es i j, que son dos vectores unitarios perpendiculares. Seún acabaos de ver en el apartado anterior las coponentes de un vector w de V serán, si se verifica que w = i + j Coo i (,0) j (0,) es evidente que las coponentes de w, j i w coinciden con las coordenadas del etreo del vector w situando su orien en el orien de coordenadas Ejeplo: a i,0 d c a e b f b 3 j (0, 3) c i j, d 3i j 3, e i j, f 3i j 3, - 3/8 -.G.Onandía

14 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 4. Producto escalar Definición: El producto escalar de dos vectores u v es un núero real que se obtiene del odo siuiente: u. v u v cosu,v si u v no nulos = 0 si u ó v nulo Ejeplo: Calcular ( u -3 v )(3u + v ) sabiendo que u. v =,5, u =, v =. Sol. -47/ 4. Interpretación eoétrica v u pro u v pro v u pro u v v cos prou u cos v u v =(u, v )=ánulo audo forado por abos vectores pro u v =proección del vector v sobre el vector u. pro v u =proección del vector u sobre el vector v. Teneos que u v = u v cos = u pro v = v pro v u u El valor absoluto del producto escalar de dos vectores es iual al ódulo de uno de ellos por la proección del otro sobre el priero Ejeplo: Si u =6 u. v =-8; hallar razonadaente 8 pro u v Sol: 4-4/8 -.G.Onandía

15 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 4. Propiedades del producto escalar.- u.u 0 Deostración: u. u u u cos0 u 0 Corolario: u u. u.- Conutativa: u. v = v.u Deostración: u. v u v cos( u, v) v u cos( v, u) v. u 3.- Hooénea o asociativa del producto de un núero real por el producto escalar de dos vectores: k R, u, v V k u. v ku. v u. kv Deostración: Si k=0 trivial Si k>0 (ku ). v = k u. v cos(k u, v )= k u v cos( u, v )= =k u v cos( u, v )=k( u. v ) v u ku Si k<0 (ku ). v = k u. v cos(k u, v )= k u v cos= =-k u v cos(-)=-k u v (-cos(-))= v ku u =k u v cos=k( u. v ) 4.- Distributiva del producto escalar con respecto a la sua de vectores: u.( v + w )=u. v +u. w 4.3 Ánulo forado por dos vectores De la propia definición u. v = u. v cos( u, v ) cos(u, v )= u. v u v Consecuencias: - Dos vectores paralelos de iual sentido u. v = u. v - Dos vectores paralelos de distinto sentido u. v =- u. v - Dos vectores perpendiculares distintos de cero u v 0-5/8 -.G.Onandía

16 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 4.4 Epresión analítica del producto escalar en la base canónica Noralizar un vector es obtener otro vector a partir de él, que tena la isa dirección sentido de ódulo, para ello lo único que ha que hacer es dividirlo por su ódulo u V v u u Deostración: u u u u V v v, lueo a teneos la unicidad del ódulo. u u u La isa dirección sentido viene dado de que u es un núero positivo. Dos vectores u, v V se llaan ortoonales si u v i.e. u. v =0. Y si adeás son de ódulo (u v u = v =) son ortonorales. Ejeplo: Noralizar el vector u =(3,4). u u 3 4 = 9 6 5, u 5 5 vector unitario Epresión analítica del producto escalar en la base canónica ={ î, ĵ } Es obvio que es una base ortonoral, es decir que está forada por dos vectores perpendiculares unitarios esto quiere decir î. ĵ =0 î = ĵ = u, v V u = î + ĵ, v = î + ĵ î ĵ î ĵ 0 î î î ĵ ĵ ĵ u. v =( î + ĵ )( î + ĵ )= î î + î ĵ + ĵ î + ĵ ĵ == + Por tanto en la base canónica u. v =(, )(, )= + Ejeplo: Deostrar que el triánulo con los vértices en los punto (,), B(6,5) C(3,0) es rectánulo en B. cuánto iden los otros dos ánulos del triánulo? Ejeplo: Sabiendo que u (/3,-) v (7,) son perpendiculares, hallar Ejeplo: Sea u (3,-4), hallar las coponentes de los dos vectores unitarios en la dirección de u ; así coo el ánulo que fora u con el prier vector de la base. Ejeplo: Calcular el ánulo que foran los vectores u =(3,5), v =(4,). Sol =3º8-6/8 -.G.Onandía

17 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas - 7/8 -.G.Onandía 5. plicaciones eoétricas de los vectores 5. Coordenadas del punto edio de un seento Sea el seento B con (, ) B(, ) M(, ) el punto edio. b) (a a) (b a B a M a Pasando esta ecuación vectorial a coponentes teneos:,,,, Ecuación analítica Ejeplo: Hallar el punto edio del seento que une los puntos (3, ) B(5, ) Sol M(4, 3/) Seunda deostración:,, MB M iualando las coponentes obteneos Coo eneralización podeos hallar los puntos que dividen un seento en un deterinado núero de partes. Dividir el seento B en n+ partes iuales. Teneos que hallar los n núeros ( k, k,, k n ) que lo dividen en n+ partes. Para ellos partireos de que: n B k, n B k, n B 3 k 3,, n B n k n Ejeplo: Hallar las coordenadas de los puntos que dividen el seento PQ en 5 partes iuales siendo P(-, 3) Q(6, 4) Sol: k =(/5,6/5), k =(9/5,7/5), k 3 =(6/5,8/5), k 4 =(3/5,9/5) O B M a b

18 Geoetría: Vectores en el plano Mateaticas 5. Puntos alineados Tres puntos, B C están alineados si están en la isa recta. Vectorialente esto quiere decir que B C tienen la isa dirección, por lo que se debe verificar que eista un núero real k tal que B =k C Ejeplo: Coprobar si están o no alineados los siuientes puntos: a) (, -4) B(3,) C(6,) b) P(,4) Q(-3,) R(7,4) Ejeplo: Hallar p sabiendo que los puntos (,5), B(3,-) C(-,p) están alineados. 5.3 Baricentro de un triánulo vértices. Se trata de hallar las coordenadas del baricentro de un triánulo conociendo las de sus Recordeos que el baricentro de un triánulo es el punto donde se cruzan las edianas. Y tiene la propiedad de que divide a cualquiera de las edianas en dos seentos tales que la lonitud de uno de ellos es el doble del otro. G GM BG GN CG GP P B coo consecuencia de esta epresión podeos escribir G M G GM coo M es el punto edio de BC N ( a, a ), B( b, b ), C( c, c ), G(, ) M b c, b c C G GM b c b a, a a, a a b b c c a a b 3 b 3 c c - 8/8 -.G.Onandía Ejercicios del libro páina: 84 Ejercicios: nº 37, nº 40, nº 4, nº 44, nº 46, nº 49, nº 50, nº 5, nº 53, nº 55, nº 58