Regresar Wikispaces. 01. El extremo de un segmento es A(6. 4) y su punto medio M(-2, 9), hallar su otro extremo B(x, y). B(x. y) M(-2, 9) A(6.
|
|
- Lucía Tebar Toledo
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Regresar Wikispaces 01. El extreo de un segento es A(6. 4 y su punto edio M(-2, 9, hallar su otro extreo B(x, y. B(x. y M(-2, 9 A(6. 4 AB 2 x = = 2 x 6 = 4 + 2x x = 10 BM 1 2 x y 4 = 2 y 4 = y y = 14 B( 10, 14 9 y Nota: heos considerado al segento AM, coo el segento inicial y al punto B se ha considerado coo el punto externo o fuera del segento AM, por lo cual la razón es negativa. Para obtener la razón, se toa de A a B entre B a M e igualado a enos r, después se obtiene el valor del segento AB = 2 porque AM = MB y AB = 2AM o 2MB y BM = 1 por ser la itad del segento AB
2 02. Hallar los puntos de trisección del segento AB de coordenadas A(-3, -4 y B(6, 11. Regresar Wikispaces B(6, 11 D(x, y C(x, y A(-3, AC 1 x ( 3 1 = = CB 2 6 x 2 2x + 6 = 6 x 3x = 0 x = 0 y ( 4 1 = 11 y 2 2y + 8 = 11 y 3y = 3 y = 1 C(0, 1 AD 2 x ( 3 = = 2 DB 1 6 x x+ 3= 12 2x 3x = 9 x = 3 y ( 4 = 2 11 y y + 4 = 22 2y 3y = 18 y = 6 D(3, 6 Nota: se ha considerado al segento AB, coo el segento inicial y los puntos C y D coo los puntos que dividen al segento AB en tres partes. Para obtener la priera razón, se toa de AC = 1 y se divide entre CB = 2, donde la razón es positiva por estar dentro del segento AB. Para obtener la segunda razón, se toa de AD = 2 y se divide entre DB = 1, donde la razón es positiva por estar dentro del segento AB. Después se sustituyen valores para cada razón obtenida y se resuelve la ecuación, para obtener los puntos C y D.
3 Regresar Wikispaces 03. Hallar las coordenadas del punto P que divide al segento AB de coordenadas A(-1, 4 y B(2, -3 en la razón dada de 3 a 4. A(-1, 4 P(x, y B(2, -3 AP 3 x ( = = 4x + 4 = 6 3x 7x = 2 x = PB 4 2 x 4 7 y = 4y 16 = 9 3y 7y = 7 y = 1 P(,1 3 y 4 7 Nota: heos considerado epezar del punto A a P y de P a B para igualar con la razón dada que es positiva y la cual nos indica que el punto esta dentro del segento AB. Se puede iniciar en sentido contrario, es decir del punto B a P y de P a A e igualar con la razón dada, esto es posible porque no nos indican ediante la razón dada, cual es la posición del punto P con respecto a el punto A o al punto B, por lo cual existe una segunda solución. ( se recoienda obtener la segunda solución
4 04. Hallar el punto P, que divide al segento AB de coordenadas A(-4, 4 y B(5, 2 si: a P está después de B al doble de distancia de A que de B b P está antes de A al triple de distancia de B que de A. Regresar Wikispaces P(x, y A(-4, 4 B(5, 2 P(x, y a AP 2 x ( 4 04a. = = 2 PB 1 5 x x + 4 = x x = 14 y 4 = 2 2 y y 4 = 4 + 2y y = 0 P(14, 0 b BP 3 x b. = = 3 x 5 = x x = = 8.5 PA 1 4 x 2 y 2 10 = 3 y 2 = y y = = 5 P( 8.5, 5 4 y 2
5 Regresar Wikispaces 05. El segento de A(2, 4 a B(-3, -5 se prolonga por los dos extreos en una distancia igual al doble de su longitud. Hallar las coordenadas de los nuevos extreos M(x, y y N(x, y. N(x, y A(2, 4 B(-3, -5 M(x, y AM 2 x = = 2 x 2 = 6 + 2x x = 8 MB 1 3 x y 4 = 2 y 4 = y y = 14 M( 8, 14 5 y BN 2 x ( 3 = = 2 x + 3 = 4 + 2x x = 7 NA 1 2 x y ( 5 = 2 y + 5 = 8 + 2y y = 13 N(7, 13 4 y
6 Regresar Wikispaces 06. Hallar el punto P que se une al punto A del segento AB de coordenadas A(4, 6 y B(-4, 2, dividiéndolo en una razón de r = -3. A(4, 6 P(x, y B(-4, 2 BP x ( = 3 = 3 x + 4 = x x = 8 PA 4 x y 2 = 3 y 2 = y y = 8 P(8, 8 6 y
7 Regresar Wikispaces 07. Una recta pasa por los puntos A(-2, -1 y B(3, 4, hallar: a. el punto P sobre la recta prolongado ás allá de B de anera que P queda 3 veces la distancia de A que de B b. el punto N sobre la recta prolongado ás allá de A de anera que N queda al triple de distancia de B que de A c. la deostración de que la distancia d AP = 3d AB. P(x, y B(3, 4 A(-2, -1 N(x, y AP 3 x ( a. = = PB 2 3 x 2 2x + 4 = 9 + 3x x = 13 y ( 1 3 = 4 y 2 2y + 2 = y y = 14 P(13, 14 BN 3 x b. = = NA 2 2 x 2 2x 6 = 6 + 3x x = 12 y 4 3 = 1 y 2 2y 8 = 3 + 3y y = 11 N( 12, AP AB 07c. d = (x x + (y y d = 3d A( 2, 1 B(3, 4 P(13, 14 (13 ( 2 + (14 ( 1 = 3 (3 ( 2 + (4 ( 1 (15 + (15 = 9 (5 ( = 9( = 9( = 450 se cuple la condicion
8 Regresar Wikispaces 08. El extreo de un diáetro de centro C(-4, 1 es A(2, 6. Hallar las coordenadas del otro extreo B y deostrar que se cuple d Ac = d CB. A(2, 6 C(-4, 1 B(x, y AB 2 x = = 2 x 2 = 8 + 2x x = 10 BC 1 4 x y 6 = 2 y 6 = 2 + 2y y = 4 B( 10, 4 1 y AC CB d = (x x + (y y d = d A(2, 6 C( 4, 1 B( 10, 4 ( (1 6 = ( 10 ( 4 + ( 4 1 ( 6 + ( 5 = ( 6 + ( = = 61 se cuple la condicion
9 Regresar Wikispaces 09. Hallar las coordenadas del punto C(x, y del segento que une esté punto con A(2, -2, sabiendo que el punto B(-4, 1 esta situado a una distancia de A igual a las tres quintas partes de la longitud total del segento, así coo su distancia d Ac. C(x, y B(-4, 1 A(2, si AB = BC = AC = AC 5 5 x 2 5 = = = 2x 4 = x x = 8 CB 4 x 2 5 y ( 2 5 = 2y + 4 = 5 + 5y y = 3 B( 8, 3 1 y d = (x x + (y y A(2, 2 B( 4, 1 C( 8, 3 AC d = ( (3 ( 2 = ( 10 + (5 = = 125 = u
10 Regresar Wikispaces El área de un triángulo rectángulo, es el sei producto de sus catetos y el de un rectángulo, es el producto de sus lados diferentes. En la analítica para encontrar las áreas de triángulos y paralelograos, se suele eplear el concepto de deterinantes, de la siguiente anera: Dados los puntos A( x 1, y 1, B( x 2, y 2 y C( x 3, y 3 que son los vértices de un triángulo, encontrar el área encerrada por los puntos ABC. C( x 3, y 3 B( x 2, y 2 A( x 1, y 1 x y 1 1 x2 y2 1 1 A = = (x1y2 + x2y3 + x3y 1 (x2y1+ x3y2 + x1y 3 2 x y ( [ ] x y 1 1 ( Sean los puntos A( -4, -3, B( 5, 3 y C( 2, 6 de un triángulo, calcular su área A = = ( ( = (12 ( 33 = 45 = 22.5 u [ ] [ ] [ ] 2
11 Dados los puntos A( x 1, y 1, B( x 2, y 2, C( x 3, y 3 y D( x 4, y 4 que son los vértices de un paralelograo, encontrar el área encerrada por los puntos ABCD. C( x 3, y 3 D( x 4, y 4 A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 x x y 1 1 y 1 x y 1 2 x y 2 [ ] A = 3 3 = (xy xy xy xy 4 1 (xy 2 1+ xy xy 1 4 x 4 4 y 1 1 Sean los puntos A( -3, -4, B( 7, -2, C( 8, 5 y D( -2, 1 de un paralelograo, calcular su área A = = ( ( = (57 ( 57 = 114 = 57 u [ ] [ ] [ ] 2
12 La inclinación de un segento AB, esta relacionado con la tangente del ángulo ( Tan θ que se foran entre el cateto adyacente y la hipotenusa. c = hipotenusa C b = cateto opuesto A θ a = cateto adyacente B c.o b y y Tanθ = Tanθ = a = x2 x1 b = y2 y1 Tanθ = c.a a x x y y esta es la pendiente "" de un segento o una racta = x x Deterinar la pendiente del segento AB, de coordenadas A( 3, 4 y B( -3, -2 A( 3, 4 y y = = = = 2 1 AB 1 x2 x B( -3, -2 Nota: La pendiente igual a uno, representa un ángulo de 45º con respecto a la horizontal, por lo tanto cualquier punto que este sobre la recta tendrá la isa pendiente.
13 Condición de paraleliso: dos segentos AB y MN o rectas L 1 y L 2, guardan una relación de paraleliso si sus pendientes son iguales 1 = 2. N L 2 B α β M L 1 A Si tanα tan β = 0 => paraleliso = AB MN De los siguientes pares de segentos, deterine si guardan una relación de paraleliso. a AB y CD de coordenadas A( 1, -1, B( -5, -5, C( 1, -2 y D( 7, 2 b PQ y RS de coordenadas P( -1, 5, Q( -5, 2, R( 2, 3 y S( 6, 6 a AB = = CD = = AB = CD = son paralelas 3 Q P A R S D b PQ = = RS = = B C 3 PQ = RS = son paralelas 4
14 Condición de perpendicularidad: dos segentos PQ y RS o rectas L 1 y L 2, guardan una relación de perpendicularidad si el producto de sus pendientes es igual a enos uno 1 2 = - 1. S Q ϕ θ L 1 L 2 α β P R Si tanα tan β = 1 => perpendicularidad = 1 PQ RS De los siguientes pares de segentos, deterine si guardan una relación de perpendicularidad. a MN y OP de coordenadas M( 2, -3, N( 0, 2, O( 1, 0 y P( 6, 2 b QR y ST de coordenadas Q( -3, 2, R( -5, 6, S( -2, 5 y T( -6, 3 a MN = = OP = = R S OP 1 2 = = 5 MN son perpendiculares T Q N P b QR = = 2 ST = = O M QR 1 = = 2 son perpendiculares ST
15 Un segento de recta AB de coordenadas A( x 1, y 1 y B( x 2, y 2, puede representarse ediante una ecuación ateática llaada ecuación de la recta, la cual depende de sus puntos. A( x 1, y 1 P( x, y B( x 2, y 2 AB en x AB en y x x y y = = AP en x AP en y x x y y y2 y 1 y y1 = ( x x1 ecu. de la recta dados dos puntos x2 x1 Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( -3, -4 y B( 5, 3. y2 y y y1 = ( x x1 y 3 = ( (x 5 x2 x1 3 5 B( 5, 3 7 y 3= ( x 5 7x+ 8y+ 11= si y= 0 x= P(,0 7 7 A( -3, si x = 0 y = Q( 0, 8 8
16 Dado un punto A( x 1, y 1 y la pendiente de una recta que pasa por este punto, se puede obtener la ecuación de la recta, de la siguiente fora. A( x 1, y 1 P( x, y y y 2 1 Si = y y1 = (x x 1 ecu. de la recta punto - pendiente x2 x1 Obtener la ecuación de la recta cuyo punto es A( -8, -8 y pendiente 3/4. 3 y y1 = (x x 1 y + 8 = (x x + 4y + 8 = 0 A( -8, -8 M N = 3/4 θ = 36.8 º si x = 0 y = 2 M(0, si y = 0 x = N(, 0 3 3
17 Dados los puntos A( 0, y 1 y B( x 2, y 2 de una recta con pendiente, para deterinar su ecuación se obtiene coo: y - y 1 = ( x - x 1 B( x 2, y 2 A( 0, y 1 Si x = 0 y b = y y b = x 1 1 y = x + b ecu. de la recta pendiente ordenada al origen Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje vertical es -2. = 3 b= 2 y= 3x 2 3x + y + 2 = 0 N M = -3 θ = º si x = 0 y = 2 M(0, 2 si y = 0 x = N(, 0 3 3
18 La ediana es una recta que se traza desde el vértice de un triángulo al punto edio de su segento o lado opuesto y la intersección de las tres edianas es en el punto llaado baricentro G( x, y. R A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 G Q P C( x 3, y 3 La ediana AP x + x y + y y y x = y = P (x,y = AP x x1 y y = (x x ecu. 1 1 AP 1 La ediana BQ x + x y + y y y x = y = Q (x,y = BQ x x2 y y = (x x ecu. 2 2 BQ 2 La ediana CR x + x y + y x = y = R (x,y = CR 3 x x y y 3 y y = (x x ecu. 3 3 CR 3 Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto G( x, y.
19 Dados los puntos de un triángulo A( 5, 5, B( -6, 3 y C( 3, -4, deterine las ecuaciones de las edianas y el punto donde se intersectan (baricentro G( x, y. R A( 5, 5 B( -6, 3 G Q P C( 3, La ediana AP x = = y = = P (, AP = = y 5 = (x 5 13y 65 = 11x 55 11x + 13y 10 = 0 ecu La ediana BQ 2 x = = 4 y = = Q (4, BQ = = 4 ( y 3 = (x ( 6 20y 60 = 5x 30 5x + 20y 30 = 0 ecu ( 4 16 La ediana CR x = = y = = 4 R (,4 CR = = y ( 4 = (x 3 7y + 28 = 16x x + 7y 20 = 0 ecu De la ecu. 1 y 2, para K 55x + 65y = 50 55x + 220y = y = 380 y = sustituyendo "y" en la ecu. 2 5x + 20( = 30 5x = 30 x = G(,
20 La altura es una recta que se traza en el vértice de un triángulo, que tiene coo pendiente la reciproca negativa del segento o lado opuesto y la intersección de las tres alturas se da en un punto llaado ortocentro H( x, y. Q 1 A( x 1, y 1 B( x 2, y 2 R 1 H P 1 P 2 Q 2 R 2 C( x 3, y 3 y y 1 La altura en A = = y y = (x x ecu BC A 1 A 1 x3 x2 BC para trazar la recta, se tabula x = 0 para P ( 0, y y luego y = 0 para P ( x, y y 1 La altura en B = = y y = (x x ecu AC B 2 B 2 x3 x1 AC para trazar la recta, se tabula x = 0 para Q ( 0, y y luego y = 0 para Q ( x, y y 1 La altura en C = = y y = (x x ecu AB C 3 C 3 x2 x1 AB para trazar la recta, se tabula x = 0 para R ( 0, y y luego y = 0 para R ( x, Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto H( x, y.
21 Dados los puntos de un triángulo A( 4, 6, B( -4, 2 y C( 2, -4, deterine las ecuaciones de las alturas y el punto donde se intersectan (ortocentro H( x, y. A( 4, 6 B( -4, 2 H P 1 Q 1 P 2 R 1 R 2 Q 2 C( 2, La altura en A BC = = 1 A = = 1 y 6 = 1(x 4 2 ( 4 BC x + y 2 = 0 ecu. 1 para x = 0 P ( 0, 2 para y = 0 P ( 2, La altura en B AC = = 5 B = = y 2 = (x ( AC 6 x + 5y 6 = 0 ecu. 2 para x = 0 Q 1( 0, para y = 0 Q 2( 6, La altura en C AB = = C = = 2 y ( 4 = 2(x AB 2x + y = 0 ecu. 3 para x = 0 R ( 0, 0 para y = 0 R ( 0, De la ecu. 1 y 3, para K x y = x + y = 0 3x = 2 x = sustituyendo "x" en la ecu. 3 2( + y = 0 y = H(,
22 La ediatriz es una recta perpendicular que se traza en el punto edio de un segento o lado de un triángulo y la intersección de las tres ediatrices es en el punto llaado circuncentro K( x, y de un circulo (circunscrito que pasa por los tres vértices del triángulo. B( x 2, y 2 R A( x 1, y 1 K Q P C( x 3, y 3 y y 1 x + x y + y La ediatriz de AB en R AB = = R(, x x R 2 1 AB y y = (x x ecu. 1 R R R y y 1 x + x y + y La ediatriz de BC en P BC = = P(, x x P 3 2 BC y y = (x x ecu. 2 P P P y y 1 x + x y + y La ediatriz de AC en Q AC = = Q(, x x Q 3 1 AC y y = (x x ecu. 3 Q Q Q Resolver el sistea de ecuaciones para calcular las coordenadas del punto K( x, y.
23 Dados los puntos de un triángulo A( 4, 6, B( -4, 2 y C( 2, -4, deterine las ecuaciones de las ediatrices y el punto donde se intersectan (circuncentro K( x, y. R A( 4, 6 B( -4, 2 K Q P C( 2, La ediatriz de AB en R AB = = R = 2 R(0, y 4 = 2(x 0 2x + y 4 = 0 ecu La ediatriz de BC en P BC = = 1 P = 1 P( 1, y + 1 = 1(x + 1 x + y = 0 ecu La ediatriz de AC en Q AC = = 5 Q = Q(3, y 1 = (x 3 x + 5y 8 = 0 ecu De la ecu. 1 y 2, para K 2x + y = 4 2x + 2y = 0 3y = 4 y = sustituyendo "y" en la ecu. 2 x + = 0 x = K(,
24 Sean los puntos Q( 0, b y R( b, 0 de una recta que corta los ejes x-y, para deterinar su ecuación se obtiene coo: Q( 0, b R( a, 0 0 b b b = = y b = (x 0 xb + ay ab = 0 xb + ay = ab a 0 a a xb ay ab x y + = + = 1 ecu. sietrica de la recta ab ab ab a b Deterine la ecuación de la recta que pasa por el punto M( 2, 3, donde su abscisa al origen es el doble de su ordenada. abscisa = a ordenada = b a = 2b Q M( 2, 3 x y = 1 + = 1 a b 2b b b= 4 a = 8 x y + = x + 2y 8 = 0 R si x = 0 y = 4 Q(0,4 si y = 0 x = 8 R(8,0
25 Ecuación de la recta en su fora noral: dado el segento de recta al origen OR de agnitud p, con coordenada R( a, b y con ángulo de inclinación Ø, teniendo coo condición que cualquier recta que pase por el punto R guardará una relación de perpendicularidad, por lo tanto el segento OR tendrá una pendiente reciproca negativa para cualquier posición en el plano girando en el origen. p R( a, b O Ø 1 a Si a = p cosφ y b = psinφ R( p cos φ, psin φ R = = tanφ b a y b = (x a ax + by = a + b px cosφ + pysinφ = p cos φ + p sin φ b coo cos φ + sin φ = 1 x cosφ + ysinφ = p ecu. Fora noral de la recta En un círculo de centro en el origen y radio igual a 5, hallar la fora noral de la ecuación de la recta tangente en el punto R( -3, 4. O p = 5 Ø R( -3, cosφ = sinφ = x( + y( = 5 3x + 4y = x + 4y = 25 3x 4y + 25 = 0
26 Ecuación de la recta general de la recta: es una ecuación de prier orden con dos variables y terino independiente e igualada a cero. Esta ecuación puede provenir de los casos de ecuaciones de la recta y puede expresarse teniendo la fora siguiente. B( x 2, y 2 A( x 1, y 1 y y y y = ( x x (x x y (x x y = (y y x (y y x x2 x1 (y y x + (x x y + (y y x (x x y = A = (y y B = (x x C = (y y x (x x y Ax + By + C = 0 ecu. general de la recta A C donde = y b = B B Dada la ecuación de la recta 3x - 4y +8 = 0, graficar y obtener su pendiente y ordenada. 3x 4y + 8 = 0 A = 3 B = 4 C = 8 Q R si x = 0 y = 2 R(0, si y = 0 x = Q(, A 3 3 C 8 = = = b= = = 2 B 4 4 B 4
27 Intersección de rectas: dos rectas se cruzan si no son paralelas, por lo tanto sus pendientes 1 y 2 son diferentes. El punto de intersección P( x, y se obtiene resolviendo el sistea de ecuaciones de las rectas por los étodos conocidos. L 2 L 1 P( x, y Ax + By + C = 0 ecu. 1 A x + B y + C = 0 ecu. 2 Las coordenadas del punto P( x, y se deterinan resolviendo el sistea de ecuaciones por los étodos de sua y resta, por igualación, por sustitución, etc. Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: 4x - 5y - 26 = L 1 y 3x + 7y + 2 = L 2 4x 5y = 26 3x + 7y = 2 12x + 15y = 78 12x + 28y = 8 L 2 L 1 43y = 86 y = 2 P( x, y 3x 14 = 2 x = 4 P( 2, 4
28 Distancia de un punto a una recta: se quiere deterinar la distancia de un punto Q a una recta ( L 1, para deducirlo considereos que en el punto Q pasará una recta paralela ( L 2 a la priera, ahora trazareos una recta perpendicular ( OP = OQ =PQ a las otras dos rectas cortándolas y que pase por el origen. En consecuencia cualquier punto sobre la recta paralela L 2 tendrá la isa distancia perpendicularente a la recta L 1, es decir d = RS = PQ, para encontrar esta distancia partireos de la intersección de rectas y de la ecuación general de la recta. L 2 Sea la recta L 1 Ax + By + C = ecu. 1 recta L 2 paralela a L 1 L 1 Q R Ax + By + C = ecu. 2 P d recta perpendicular a L 1 y L 2 que pasa por el origen Bx - Ay = ecu. 3 O S Bx Bx Resolviendo 1 y 3 de 3 y = sustituyendo en 1 Ax + B( + C = 0 A A AC Ay A x + B x + AC = 0 x = de 3 x = sustituyendo en 1 A + B B Ay BC AC BC A( + By + C = 0 A y + B y + BC = 0 y = P(, B A + B A + B A + B de foea siilar para las coordenadas de Q, pero sustituyendo en la ecuacion 2 AC' BC' 2 AC' AC BC' BC = = + Q(, d (PQ d A + B A + B A + B A + B A + B A + B 2 2 A (C C' + B (C C' (C C' C C' d = = d = de 2 C' = Ax By 2 (A + B (A + B A + B Ax + By + C d = ± A + B distancia de un punto a una recta el signo de la raiz, es de acuerdo al signo que tiene B.
29 Hallar la distancia de la recta L igual a 5x - 12y - 26 = 0 a los puntos P( 3, -5, Q( -4, 1 y R( 9, 0. Q R L P Ax + By + C d = 5x 12y 26 = 0 A = 5 B = 12 C = 26 ± A + B P(3, 5 Q( 4,1 R(9, 0 Ax + By + C (5(3 + ( 12( 5 + ( Para P dp = dp = = = u ± A + B (5 + ( El signo negativo asegura que el punto P esta por abajo de la recta. Ax + By + C (5( 4 + ( 12(1 + ( Para Q dq = dq = = = u ± A + B (5 + ( El signo positivo asegura que el punto Q esta por arriba de la recta. Ax + By + C (5(9 + ( 12(0 + ( Para R dr = dr = = = u ± A + B (5 + ( El signo negativo asegura que el punto R esta por abajo de la recta. La rectas que pasa por cada punto, son perpendiculares a la recta L y tienen pendiente reciproca negativa de L.
30 Ángulo entre dos rectas: sea θ el ángulo interno (vértice, edido en sentido antihorario entre dos rectas, estará definido por su tangente ( tan θ y por las tangentes o pendientes de las rectas. Tabién se puede expresar en función del ángulo externo ϕ entre las dos rectas, que tendrá tangente negativa ( - tan ϕ. S Q ϕ θ L 1 L 2 α β P R β = θ + α θ = β α tan ( θ = tan ( β α por identidad trigonoetrica tan ( β tan ( α tan ( α tan ( β tan ( θ = angulo interno o tan ( φ = angulo externo 1+ tan ( β tan ( α 1+ tan ( β tan ( α si tan ( α tan ( β tan ( θ 2 1 = 1 = 2 = Hallar el ángulo entre las dos rectas de valores: x - 2y + 1 = 0 y x + 3y - 3 = 0. A C 1 3 = b= 1 = b1 = = 1 B B = = b = = ( tan ( θ = = = ( ( ( ϕ θ 1 5 θ = tan ( = Nota: La pendiente inicial es la que corresponde a la recta de la cual se ide el ángulo θ.
31 La bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo dividiendo su ángulo en dos partes iguales y la intersección de las tres bisectrices es en un punto llaado incentro I( x, y de un circulo inscrito y tangente a cada uno de los lados del triángulo. B( x 2, y 2 β Q L 2 I P α L 1 A( x 1, y 1 L 3 R γ C( x 3, y 3 Para dividir un ángulo entre dos rectas o un vértice, ubicareos un punto dentro del ángulo y que tenga la isa distancia a cada recta o lado del triángulo ( distancia de un punto a una recta. Sea P( x, y un punto dentro del angulo α y las rectas del vertice A A x + B y + C = Ax + By + C Ax + By + C2 = 0 d1p = d2p d= K=± A + B ± A + B d 1P A x+ B y+ C A x+ B y+ C A x+ B y+ C A x+ B y+ C = d = = P K1 K2 K1 K2 ± K ± K1 ± K1 ± K1 (A x + B y + C = ( (A x + B2y + C 2 (A1+ A 2x + (B1+ B 2y + (C1+ C 2 = 0 ± K ± K ± K ± K2 2 ± K ± K ± K Si A' = A + ( A B' = B + ( B C' = C + ( C ± K2 ± K2 ± K2 ecuacion de la Bisec triz de α A'x + B'y + C' = 0 ecu.1 Bisec triz de β con ± K y ± K A''x + B'' y + C'' = 0 ecu Bisec triz de γ con ± 1 3 K y ± K A '''x + B''' y + C''' = 0 ecu. 3 y se resuelve el sistea para el punto incentro I( x, y.
32 Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo entre las rectas: 4x - 2y - 8 = 0 y 3x + 4y - 12 = 0. 4x 2y 8 = 0 si y = 0 x = 2 P(2, 0 si x = 0 y = 4 Q(0, 4 3x + 4y 12 = 0 si y = 0 x = 4 R(4, 0 si x= 0 y= 3 S(0,3 S θ La recta inicial es el segento RS P R Q ± K ± K ± K Si A' = A + ( A B' = B + ( B C' = C + ( C A'x+ B'y+ C' = ± K2 ± K2 ± K A' = 3 + ( (4 = 3 + = 3 20 B' = 4 + ( ( 2 = 4 + = C' = 12 + ( ( 8 = 12 + = (3 20x + (4 + 5y + ( = 0 ecuacion de la Bisec triz
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás
Más detallesUNI DAD 3 ESPACIO BIDIMENSIONAL: LA RECTA
UNI DAD 3 ESPACIO BIDIMENSIONAL: LA RECTA Objetivos Geoetría analítica Introducción U 3.1. Definición de recta 91 Dos puntos sólo pueden ser unidos por una sola recta la relación ateática que satisface
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.
ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PARA LA CLASE. A (x 2 ;y 2 ) y 2. d(a,b) y 2 y 1. x 1 x 2. y 1. B (x 1 ;y 1 ) x 2. Geometría Analítica DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Analítica hace uso del Álgebra y la Geometría plana. Con ella expresamos y resolvemos fácilmente problemas geométricos de forma algebraica, siendo los sistemas de coordenadas
Más detallesPágina 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesTEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación general de la recta. Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección (llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta. Tipos de ecuaciones
Más detallesLA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD 1 LA RECTA Y SUS ECUACIONES PROBLEMAS PROPUESTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivos
Más detallesFICHA DE TRABAJO Nº 18
FICHA DE TRABAJO Nº 18 Nombre Nº orden Bimestre IV 3ºgrado - sección A B C D Ciclo III Fecha: - 11-12 Área Matemática Tema TRIÁNGULOS II: Líneas y Puntos Notables LINEAS y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. 32) Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y- 6=0.
GEOMETRÍA ANALÍTICA 30) Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1). Sol: (x,y)=(3,2)+t(2,3); {x=3+2t; y=2+3t}; (x-3)/2=(y-2)/3 31) Cuál
Más detallesUNIDAD 3 LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA. Dada la ecuación de dos rectas. Determinará si se cortan, si son paralelas o perpendiculares. Y l.
UNIDAD 3 LA RECTA SU ECUACIÓN CARTESIANA OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de la unidad, el alumno: Conocerá las distintas formas de representación de la recta e identificará cuál de ellas conviene usar.
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte
Más detalles( ) = ( 2 1) + ( 6 2 ) ( ) RESOLUCIÓN RERESOLUCIÓN RESOLUCIÓN SEMANA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA. d AC d = 5 2L = 25 L = RPTA.:C RPTA.
SEMANA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Sean: A (-;5; B (;- y C (0;b; puntos del plano. Si d (A, B d (B,C, Halle el valor de b, si es negativo. A - B -5 C -7 D -8 E -9 RE ( ( 5 ( 0 ( + + + b + b ± 5 donde: b b 7
Más detallesGuía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Wilson Herrera 1 Guía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
Más detallesUNIDAD XVII LA LINEA RECTA. Modulo 4 Ecuación de la recta
UNIDAD XVII LA LINEA RECTA Modulo 4 Ecuación de la recta OBJETIVO Encontrar y determinar la ecuación de una recta, conocidos los puntos de intersección con los ejes coordenados. 4. 1. LINEA RECTA. Lugar
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y PARÁBOLA. 1.- Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V ( 0, 0 ) y F ( 3, 0 ). Grafique la ecuación.
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y PARÁBOLA 1.- Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V ( 0, 0 ) y F (, 0 ). Grafique la ecuación. La distancia del vértice al foco es a =, entonces la ecuación
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesINECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I. VECTORES LIBRES 1. Dada la siguiente figura, calcula gráficamente los siguientes vectores: a. AB BI b. BC EF c. IH 2BC d. AB JF DC e. HG 2CJ 2CB 2. Estudia si las siguientes
Más detallesGEOMETRÍA MÉTRICA. Plano afín:
Plano afín: Es el plano vectorial al que se le ha dotado de un sistema de referencia compuesto por un origen y una base de dicho espacio vectorial. En el plano afín podemos asignar a cada punto del plano
Más detallesFormulario de Geometría Analítica
1. El Punto 1.1. Distancia entre dos puntos Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos en el plano. La distancia d entre ambos está dada por la ecuación: d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1.. Punto medio: Sean
Más detallesAYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA
AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:
Más detalles*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
*DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 x a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular bajada del vértice al
Más detalles1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a
Más detallesGeometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:
5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE III
UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales 1. Emplea de manera sistemática conceptos algebraicos, geométricos, trigonométricos y de geometría analítica. 2. Relaciona una ecuación algebraica con
Más detallesVectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las
Más detallesEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas., es decir, los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, por
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO Exámenes a Título de Suficiencia 2013/2
Unidad de aprendizaje: SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA GEOMETRIA ANALITICA Departamento: UNIDADES DE APRENDIZAJE DEL ÁREA BÁSICA Nivel: 3 Academia: MATEMÁTICAS Turno: MATUTINO ELABORADA POR: FECHA DE ELABORACIÓN
Más detalles= y y 2 x x 2. = y 2 y 1 x 2 x 1
GEOMETRIA ANALITICA Capítulo 8 La Recta 8.1. Definición Se llama recta al lugar geométrico de los puntos P (x, y) de un plano, tales que para todo par de puntos P 1 y P 2 de ella, las pendientes de P P
Más detallesEjercicios resueltos
ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas.,
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesConsideraciones previas: *DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x. ). Q(x. d= ( ) ( ) 2. *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
Consideraciones previas: *DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) x 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular
Más detallesGeometría Analítica Enero 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. A( 2,, B( 8,, C( 5, 10) R( 6, 5) S( 2, - T(3,- U( -1, - V( 2, - W( 9, 4) II.- Demuestre
Más detallesTEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Más detallesSistema Bidimensional
Capítulo 7 Sistema Bidimensional 7.1. Sistema Cartesiano La correspondencia entre pares ordenados de números reales y puntos en el plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596-1650), es lo
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA
C u r s o : Matemática Material N 18 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la recta Un punto y un vector Dos puntos Un punto y la pendiente P x, p P(x, y ) P(p, p ) v
Más detallesTriángulos. 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores es 360
Triángulos Es un polígono formado por tres segmentos cuyos tres puntos de intersección no están en línea recta. Triángulo ABC A,B y C son vértices del triángulo α, β, γ s interiores. a, b y c, longitud
Más detallesTema 3. GEOMETRIA ANALITICA.
Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase
Más detallesEscribir las definiciones y/o fórmulas del anexo I. Desarrollar los siguientes reactivos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO C l a v e 1 44 U n i v e r s i d a d d e L o n d r e s P r e p a r a t o r i a, A. C. Clave: 1500 Asignatura:_ Matemáticas V GUÍA DE ESTUDIO 4 PARCIAL Profesora:_
Más detalles1.- SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO. COORDENADAS DE PUNTOS Y VECTORES.
º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.- SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO. COORDENADAS DE PUNTOS Y VECTORES. Un Sistea de referencia en el plano está forado por: Un punto O llaado Origen
Más detallesP RACTICA. 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
P RACTICA Puntos Si los puntos 6 ) 6) y ) son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6) 6 ) ) P ) P Los puntos ) ) y ) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice?
Más detallesACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE MATEMÁTICAS III G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A
GEOMETRÍA ANALÍTICA CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE MATEMÁTICAS III G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A G U
Más detalles12Soluciones a los ejercicios y problemas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 9 Pág. P RACTICA Puntos Si los puntos 6 6 y son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6 6 P P Los puntos y son vértices de un paralelogramo.
Más detallesPROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Problemario de Geometría Analítica PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA COORDENADAS RECTANGULARES d = ( x y Distancia entre dos puntos x1) + ( y 1) x1 + rx x p = 1 + r
Más detallesProblemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6
página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto
Más detallesDepartamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA 2, PARCIAL 3 TEMA: Ecuación de Primer Grado
Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA 2, PARCIAL 3 TEMA: Ecuación de Primer Grado NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Apellido paterno Apellido materno Nombre(s)
Más detalles1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas
Más detallesGuía de actividades. Problemas Misceláneos Profesor Fernando Viso
Guía de actividades Problemas Misceláneos Profesor Fernando Viso GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía #37. Tema: Problemas misceláneos. Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del
Más detallesSGUICEG024MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano
SGUICEG04MT-A16V1 SOLUCIONARIO Ubicación de puntos, distancia longitudes en el plano cartesiano 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA UBICACIÓN DE PUNTOS, DISTANCIA Y LONGITUDES EN EL PLANO CARTESIANO Ítem
Más detalles11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS
11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas. 11.1. Determinar la posición de un topógrafo que tiene tres vértices geodésicos A,B,C, si
Más detallesSegunda Tarea de Geometría Moderna I. Repaso de Geometría
Segunda Tarea de Geometría Moderna I Repaso de Geometría 1. La siguiente construcción data de la época de los Griegos y es un procedimiento para encontrar geométricamente lo que en términos modernos son
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).
GEOMETRÍA ANALÍTICA La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). LA RECTA.- La recta es un conjunto infinito de puntos alineados en
Más detallesCAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.
CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS CIRCUNFERENCIAS. Ejercicios E1. Sean r la recta que pasa por los puntos. A(1, 2), B(3, 1), s la recta que pasa por el punto C(2, 2) y tiene pendiente
Más detallesSoluciones Ficha 5.1: Geometría Analítica
Soluciones Ficha.: Geometría Analítica. Observa el rombo de la figura y calcula gráficamente: a) AB AD b) AB CD c) DB CA d) OB OC Suponiendo que el origen de coordenadas está en el punto O, calcula analíticamente
Más detallesMATHEMATICA. Geometría - Recta. Ricardo Villafaña Figueroa. Material realizado con Mathematica. Ricardo Villafaña Figueroa
MATHEMATICA Geometría - Recta Material realizado con Mathematica 2 Contenido Sistema de Coordenadas... 3 Distancia entre dos puntos... 3 Punto Medio... 5 La Recta... 8 Definición de recta... 8 Pendiente
Más detallesEjercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detalles7 Geometría analítica
7 Geometría analítica ANALIZA Y CALCULA Qué ángulo formarán las direcciones de las bolas si ambas siguen en la misma línea recta? Las direcciones de las bolas, si ambas siguen en la misma línea recta,
Más detallesGeometría Analítica. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 1. DE UN PUNTO 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Geometría Analítica GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA René Descartes, matemático francés, en 67 define una ecuación algebraica para cada figura geométrica; es decir, un conjunto de pares ordenados de números reales
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas
Más detalles6 6 + c. = 10 c 2 = 10. Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: = 10 c 1
7 Determina c para que a distancia da recta x y + c 0 ó punto (6, ) sea de 0 unidades. (Hai doas solucións). dist (P, r) 6 + c 6 6 + c c + 9 0 0 Hay dos soluciones: c 0 c 0 0 c 0 0 c 0 Las dos rectas solución
Más detallesSOLUCIONES PRIMER NIVEL
SOLUCIONES PRIMER NIVEL 1. Los cuatro polígonos de la figura son regulares. Halla los valores de los tres ángulos, de vértice A limitados por dos lados de los polígonos dados, indicados en la figura. Solución:
Más detallesACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA
C u r s o : Matemática Material N 8 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando
Más detallesMATHEMATICA. Geometría - Triángulos. Ricardo Villafaña Figueroa. Ricardo Villafaña Figueroa. Material realizado con Mathematica y Geometry Expressions
MATHEMATICA Geometría - Triángulos Material realizado con Mathematica y Geometry Expressions Contenido TRIÁNGULOS... 3 Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo... 3 Baricentro... 6 Ortocentro...
Más detallesCENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21 GUIA DE ESTUDIO PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 21 GUIA DE ESTUDIO PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA TEMARIO DEL CURSO I. Sistemas de coordenadas rectángulares y polares
Más detallesTALLER 4 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
TALLER 4 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA 013- UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Profesor: Jaime Andrés Jaramillo G jaimeaj@conceptocomputadorescom 1 Coloque para cada una de las siguientes
Más detallesDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
SISTEMA COORDENADO CARTESIANO, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS y AREA 1) Transportar a una gráfica los siguientes puntos: a) ( 5, 2 ) b) (0, 0 ) c) ( 1 + 3, 1-3 ) d) ( 0, 3 ) e) ( -
Más detallesEjercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detallesEcuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué?
Ecuaciones de la forma y = m. Haga las gráficas de y = y = y = y = y y y y y y a. Como son las rectas b. Cuales son simétricas respecto al origen c. La recta y que tipo de simetría presenta respecto a
Más detallesEJERCICIOS SELECTIVIDAD TRAZADOS GEOMÉTRICOS
EJERCICIOS SELECTIVIDAD TRAZADOS GEOMÉTRICOS 1- Dados el punto V, la circunferencia de centro O y la recta R tangente a la circunferencia, se pide: a. Dibujar la circunferencia homotética de la dada, sabiendo
Más detallesGEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados.
GEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. POLÍGONO.- Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados. El triángulo (tres lados), el cuadrilátero (cuatro lados), el
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof.
U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morales INTRODUCCIÓN: La geometría analítica combina el Álgebra
Más detallesMinisterio del Poder Popular para la Educación Unidad Educativa Nacional Domitila Flores Curso: 5to Año Área de Formación: Física UNIDAD DE NIVELACIÓN
Ministerio del Poder Popular para la Educación Unidad Educativa Nacional Domitila Flores Curso: 5to Año Área de Formación: Física UNIDAD DE NIVELACIÓN Elaborado por: Prof. Ronny Altuve Raga 1 Lagunillas,
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS ) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(, 0), C(0, ) y sea P un punto variable sobre el eje. i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular
Más detallesMódulo 17. Capítulo 4: Cuadriláteros. 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2.
Módulo 17 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 210 Capítulo 4: Cuadriláteros Figura 7 Figura 8 Figura 9 2. En
Más detallesa.- (0; 0), 3xy = 0 3 (0) (0) = 0, 0 = 0, Sí b.- (2; -4), x 2 + y = 0 (2) 2 + (-4) 2 = 0, 20 = 0, No c.- (9; 3), x - y 2 = (3) 2 = 0, 0 = 0, Si
Tabién se dice que dos núeros x = x 0 e y = y 0, satisfacen a una ecuación de la fora f (x; y), si al sustituir estos núeros en la ecuación, en lugar de las variables x e y, el prier iebro se convierte
Más detallesMatemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8
I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que
Más detallesEJERCICIOS SELECTIVIDAD TRAZADOS GEOMÉTRICOS
EJERCICIOS SELECTIVIDAD TRAZADOS GEOMÉTRICOS 1- Dados el punto V, la circunferencia de centro O y la recta R tangente a la circunferencia, se pide: a. Dibujar la circunferencia homotética de la dada, sabiendo
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROFESORAS: L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO C RAMIREZ N. AÑO : 2010 AYUDANTE : C. ESCOBEDO C.
UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE DISEÑO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCION ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROFESORAS: L. ALTIMIRAS
Más detalles1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2
CAPÍTULO 5 Geometría analítica En el tema de Geometría Analítica se asume cierta familiaridad con el plano cartesiano. Se entregan básicamente los conceptos más básicos y los principales resultados (fórmulas)
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2015
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. 1) A(3, 3), B( 3, 1), C(0, 3) 2) O( 2, 3), P(2, 3), Q(0, 2) 3) R(4, 4), S(7, 4), T(6,
Más detallesMUNICIPIO DE MEDELLÍN GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1. Hallar la dirección, la pendiente y los interceptos de una línea recta.
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES PERÍODO II ÁREA MATEMÁTICAS FECHA: Septiembre 26 de 2013 MUNICIPIO DE MEDELLÍN GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la pendiente y los
Más detallesEl análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.
Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario
Más detalles101 EJERCICIOS de RECTAS
101 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(5,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detalles5 Geometría analítica plana
Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles
Más detalles4, m = C) 2 D) 2. 3 m = B) 2. Sesión 9. Unidad IV Conceptos básicos. G. Pendiente de una recta.
Sesión 9.- La pendiente y ángulo de inclinación de la recta ilustrada es: Unidad IV Conceptos básicos. G. Pendiente de una recta..- La pendiente de recta R ilustrada m = m = m = m = E) m =.- Si la pendiente
Más detalles1) Clasifica las siguientes cónicas y expresa sus focos y su excentricidad: a)
Ejercicios de cónicas 1º bachillerato C 1) Clasifica las siguientes cónicas y expresa sus focos y su excentricidad: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Soluciones: a) Circunferencia de centro ( y radio 3. Excentricidad
Más detallesUNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas
009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch.
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL IGNACIO RAMÍREZ CALZADA DE LA ESCUELA PREPARATORIA PROBLEMARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA ELABORO: ING. ROBERTO MERCADO DORANTES SEPTIEMBRE 2008 Sistemas coordenados
Más detallesEJERCICIOS de RECTAS
EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur (1, 2), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detallesALGUNAS RELACIONES PARA RECORDAR:
ALGUNAS RELACIONES PARA RECORDAR: División Áurea de un trazo: Consideremos el trazo: AB AP AP PB Se dice que P divide de modo áureo al trazo AB. Es decir el mayor de los trazos es media proporcional entre
Más detalles