1.- SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO. COORDENADAS DE PUNTOS Y VECTORES.

Transcripción

1

2 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.- SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO. COORDENADAS DE PUNTOS Y VECTORES. Un Sistea de referencia en el plano está forado por: Un punto O llaado Origen r r i, j r r O, i, j Una base. Toareos la base canónica B { } Se denota R { } Vector posición: Sea A un punto cualesquiera del plano. Llaareos vector posición al vector OA, que tiene origen en O etreo en A. Coordenadas del vector libre AB Sean los puntos A (, ), B (, ). Luego para hallar las coordenadas del vector AB, se obtienen restando las coordenadas del etreo enos las del origen. Página de 7

3 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica Proposición: Tres puntos A, B, C están alineados si los vectores isa dirección, eso es, si sus coordenadas son proporcionales AB BC tienen la Ejeplo: Ejeplo: Página 3 de 7

4 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica Página 4 de 7 Coordenadas del punto edio de un segento: Considereos el segento AB, siendo A ( ), B ( ), sea M ( ), el punto edio de dicho segento. Las coordenadas de M serán : + + Deostración: Basta considerar que MB AM ( ) ( ) ( ) ( ) cqd MB AM s s s,,,, Punto siétrico de un punto A respecto de otro punto M Si A' es el punto siétrico de A respecto de M, entonces M es el punto edio del segento ' AA. Es decir, se cuple que ' MA AM

5 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica Ejeplo: Página 5 de 7

6 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.- ECUACIONES DE UNA RECTA:. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Para poder calcular esta ecuación necesitareos: un punto por el que pase la recta un vector que deterine la dirección de la isa. Sea A (a, a ) un punto por el que pasa la recta u (u, u ) el vector director de la recta. Cosidereos P (, ) un punto cualquiera por el que pase la recta. Observando el gráfico se observa que : r OP OA + t u Ecuación vectorial, a, a + t u u, siendo t R ( ) ( ) ( ),. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Desde la ecuación vectorial, operaos e igualaos coordenada a coordenada, obtendreos las ecuaciones paraétricas. (, ) ( a, a ) + t ( u u ) (, ) ( a + tu a + tu ),, Ecuaciones paraétricas a a + tu + tu, t R Página 6 de 7

7 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.3 ECUACIÓN CONTINUA Despejaos el paráetro t de las dos ecuaciones paraétricas e igualaos las epresiones resultantes: a + tu a + tu, t R a u a u t t Ecuación continua a a u u.4 ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL Operando siplificando en la ecuación continua obtendreos la ecuación general de la recta. a u a u a ) u u ( ) a ) u u ( ) ( a ( a u a u u + u 0 u u + ( u a a u ) 0 a Ecuación general o iplícita A + B + C 0 Nota: De la ecuación general es u fácil obtener el vector director de la recta: u ( u, u ), basta fijarse en los coeficientes de e, coo se deduce de u u + ( u a a u ) 0 A + B + C 0 u( B, A) Ejeplo: El vector director de la recta r: es u (5,3) Página 7 de 7

8 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.5 ECUACIÓN EXPLÍCITA Se obtiene despejando de la ecuación general. A C r: A + B + C 0. Suele epresarse de la fora + n, B B siendo A B C n B la pendiente la ordenada en el origen Notas: Sobre la pendiente de la recta u Recuérdese que, siendo u ( u, u ) el vector director de r. u La pendiente arca la inclinación de la recta, coincide con el valor de la tangente del ángulo que fora la recta con el seieje positivo X. tgα Si la recta es creciente, la pendiente es positiva, si es decreciente, la pendiente será negativa. Sobre la ordenada en el origen : La recta pasa por el punto P(0, n), n > 0 ó n < 0.6 ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA Considereos la recta r: A + B + C 0 de vector director u( B, A). Direos que el vector n r ( A, B) es un vector perpendicular o noral a r, a que el producto escalar es 0. u r v r ( B, A ) ( A, B) -BA + AB 0 Sea P (p, p ) un punto por el que pase la recta, Q (, ) un punto cualquiera de la recta r. Sea n r (A, B) un vector noral a r. La ecuación noral de la recta r es de la fora n r PQ 0 Es decir (A, B) ( - p, - p ) 0 A ( p ) + B ( p ) 0 Página 8 de 7

9 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica.7 ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE DE LA RECTA Dados un punto P ( 0, 0 ) la pendiente de la recta, la ecuación punto pendiente será: - 0 ( - 0 ) Ejeplos resueltos: Página 9 de 7

10 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica 3.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO La posición relativa de dos rectas en el plano viene deterinada por el núero de puntos que tienen en coún dichas rectas. Para averiguar la posición relativa de dos rectas habría que resolver el sistea forado por sus ecuaciones se daría uno de estos casos: Sistea copatible deterinado: la solución es única, esto es, tienen un punto de intersección, por lo tanto son rectas secantes. Sistea copatible indeterinado: Infinitas soluciones, es decir, eisten infinitos puntos de intersección, por lo tanto son rectas coincidentes. Sistea incopatible: no tiene solución, es decir, no tienen ningún punto en coún, son rectas paralelas. Sin ebargo, no será necesario resolver el sistea, a que podreos aplicar los siguientes criterios: Página 0 de 7

11 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica 4.- HAZ DE RECTAS 4..- HAZ DE RECTAS SECANTES Se llaa haz de rectas secantes de centro o vértice P ( 0, 0 ), al conjunto de todas las rectas que pasan por el punto P. La ecuación del haz será de la fora : - 0 ( - 0 ) Nota: Para que el haz quede copleto ha que añadir la recta 0, paralela al eje Y que está incluida en el haz. Así: el haz copleto sería: { - ( - ) } { } HAZ DE RECTAS PARALELAS Se llaa haz de rectas paralelas a la recta r: A + B + C 0, al conjunto de rectas que son de la fora: A + B + K 0, siendo k R Página de 7

12 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica 5.- DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS 5..- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre los puntos del plano P(p, p ) Q (q, q ), coincide con el ódulo del vector PQ, por lo tanto: Propiedades de la distancia entre dos puntos: Ejeplo: La distancia del punto A (0, 6 ) a otro punto B del eje de abscisas es 0 u. Halla las coordenadas del punto B. Página de 7

13 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica 5..- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dados un punto P una recta r, la distancia del punto P a la recta r es la ínia distancia entre dicho punto cualquier punto de la recta, se obtiene en la perpendicular a la recta r trazada desde el punto P. Deostración: Ejeplo: Página 3 de 7

14 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Se entiende por distancia entre dos rectas a la enor distancia que se puede obtener al toar un punto de cada una de ellas. Naturalente, si las rectas son secantes o coincidentes la distancia es 0. Luego la distancia entre rectas interesa únicaente entre rectas paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas r: A + B + C 0 s: A + B + C' 0 es igual a la distancia de la recta s a un punto cualquiera P (p, p ) de la recta r. d( r, s) d ( P, s) A p + B p + C' A + B Página 4 de 7

15 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica 6.- ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Por lo tanto, teneos que: Página 5 de 7

16 º Bachillerato Mateáticas I Tea 6: Geoetría analítica RESUMEN TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA Página 6 de 7

17 RESUMEN TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA