Matemática Discreta - IT Informática de Sistemas - Mónica Esquivel - Antonio J. Lozano

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1 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano Tea 4 Técnicas de contar La cobinatoria trata de contar el núero de eleentos de conjuntos finitos. ntre sus aplicaciones prácticas podeos citar por una parte el cálculo de probabilidades, por cuanto se cuentan casos favorables y casos posibles, y por otra el cálculo de la coplejidad o tiepo de ejecución de un algorito, por cuanto se cuenta el núero de operaciones que se realizan en el procediiento. Cuando se trata de estiar el núero edio o esperado de operaciones que realiza un prograa, se unen abas aplicaciones, es decir, coplejidad algorítica y cálculo de probabilidades. I TA 4.1. Cardinales de conjuntos. Principios eleentales Definición ea A un conjunto finito. Al núero de eleentos de A se le denoina cardinal de A y se denota A. nunciaos a continuación las propiedades básicas para el cálculo de cardinales. 0 O N V B N AP R I A \ B A A B. n particular, si B A entonces A \ B A B. Principio de adición. i A 1, A 2,..., A n son conjuntos finitos disjuntos dos a dos, es decir, A i A j para todo i j, entonces A 1 A 2 A n A 1 + A A n Principio de inclusión-exclusión. i A 1, A 2,..., A n son conjuntos finitos entonces A 1 A n i A i i<j A i A j + i<j<k A i A j A k +( 1 n+1 A 1 A n Principio de ultiplicación. i A 1, A 2,..., A n son conjuntos finitos entonces A 1 A 2 A n A 1 A 2 A n 1

2 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano 2 TMA 4. TÉCNICA D CONTAR Principio de distribución. Tabién conocido coo principio del paloar, su versión ás débil nos dice que si paloas ocupan n nidos y > n, entonces algún nido contiene ás de una paloa. Generalizando este enunciado, el principio de distribución nos dice que ean, n y q núeros naturales. i se reparten objetos en n cajas y q n <, entonces al enos una caja ha de contener ás de q objetos. jercicios: 1. Cada usuario de un servidor de Internet tiene una palabra clave para acceder a dicho servidor. Dicha palabra clave está forada por cuatro caracteres, a elegir entre 26 letras ayúsculas y 10 dígitos {0, 1,..., 9}. Cuántas palabras claves que tengan al enos un dígito se pueden forar? 2. Cuántos enteros n, con 1 n 1000, son divisibles por 2, ó por 3 ó por 5? 3. Probar que en un conjunto de 100 núeros naturales hay al enos 5 que son congruentes entre sí ódulo Contar en tablas I TA n ocasiones, el problea de contar eleentos de un conjunto se resuelve ediante el étodo de contar en tablas. ean A {a 1,..., a n } y B {b 1,..., b } conjuntos finitos no vacíos y sea T un subconjunto del producto cartesiano A B. i en un cuadro de doble entrada disponeos los eleentos de A en una entrada y los eleentos de B en la otra, podeos representar T de la siguiente fora: si (a i, b j T escribios t ij 1 en la casilla correspondiente y si (a i, b j / T escribios t ij 0. e verifica que O N V B N AP R I T n ( t ij i1 j1 n ( t ij j1 i1 jercicio: Cada aluno de una deterinada titulación está atriculado en cuatro de las siete asignaturas que se ofertan. Las listas de alunos por asignaturas están constituidas por 42, 35, 30, 30, 20, 26 y 17 alunos respectivaente. Cuántos alunos hay en total?

3 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano 4.3. VARIACION. PRMUTACION. COMBINACION Variaciones. Perutaciones. Cobinaciones n esta sección abordaos el siguiente problea: dado un conjunto con n objetos, cuál es el núero de colecciones de objetos que se pueden forar eligiéndolos entre los n del conjunto? La respuesta depende de dos factores: Iporta el orden en el que coleccioneos los objetos? Puede haber eleentos repetidos en la colección de objetos? Las posibles respuestas dan lugar a cuatro tipo de colecciones: variaciones, variaciones con repetición, cobinaciones y cobinaciones con repetición. Coo caso particular de las variaciones estudiareos tabién las perutaciones Variaciones. Variaciones con repetición Definición Una variación de n eleentos toados de en ( n es una lista ordenada de eleentos distintos elegidos entre los n dados. Tabién se suele llaar variación de orden de n eleentos. l principio de ultiplicación nos lleva al siguiente resultado. Teorea es I TA l núero V n, de variaciones de n eleentos toados de en V n, n(n 1 (n + 1 n! (n! O N V B N AP R I Hasta ahora heos considerado listas ordenadas foradas por objetos distintos. Pero hay listas ordenadas en las que se perite que alguno de los objetos esté repetido (por ejeplo, la quiniela de fútbol. studiaos a continuación este tipo de listas. Definición Una variación con repetición de n eleentos toados de en es una lista ordenada de eleentos, no necesariaente distintos, elegidos entre los n dados. Tabién se suele llaar variación con repetición de orden de n eleentos. Aplicando el principio de ultiplicación obteneos el siguiente resultado. Teorea l núero V R n, de variaciones con repetición de n eleentos toados de en es V R n, n jercicio: Cuántas atrículas de coches con 4 dígitos y 3 letras (elegidas de un alfabeto de 20 letras se pueden forar? Cuántas de ellas tienen al enos una letra repetida?

4 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano 4 TMA 4. TÉCNICA D CONTAR Perutaciones. Perutaciones circulares. Perutaciones con repetición Un caso particular de las variaciones resulta cuando n. n este caso hablaos de perutaciones. Definición ea A un conjunto con A n. Una perutación de los n eleentos de A es una lista ordenada de dichos eleentos. i denotaos P n al núero de perutaciones de n eleentos, entonces P n V n,n n! i se ordenan los n eleentos de un conjunto forando un círculo en lugar de una lista o fila, teneos las llaadas perutaciones circulares. n ellas lo que iporta es la posición relativa entre los eleentos. l núero P C n de perutaciones circulares de n eleentos es P C n P n 1 (n 1! Otra variante del problea de calcular ordenaciones se tiene cuando algunos de los objetos a ordenar son iguales. Teneos entonces las llaadas perutaciones con repetición. I TA Definición Una perutación con repetición de una colección de n eleentos donde hay k grupos de eleentos iguales entre sí, con 1,..., k eleentos respectivaente ( k n, es una lista ordenada de esos n eleentos. O N V B N I Teorea l núero P 1,..., k n de perutaciones con repetición de n eleentos donde hay 1 eleentos iguales entre sí, 2 eleentos iguales entre sí,..., k eleentos iguales entre sí, con k n, es jercicios: P 1,..., k n n! 1! k! AP R 1. De cuántas foras pueden organizarse un grupo de 7 personas a en una fila de 7 asientos? b alrededor de una esa redonda de 7 asientos? 2. i teneos 4 libros de Mateáticas y 3 de Física, de cuántas foras se pueden colocar en un estante de anera que los libros de la isa ateria estén juntos? 3. n la casilla inferior izquierda de un tablero de ajedrez (8x8 casillas situaos un rey con la intención de ir oviéndolo hasta que alcance la casilla superior derecha. i los únicos oviientos peritidos son una casilla hacia la derecha o una casilla hacia arriba, cuántos son los cainos distintos que el rey puede hacer hasta llegar a la casilla superior derecha?

5 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano 4.3. VARIACION. PRMUTACION. COMBINACION Cobinaciones. Cobinaciones con repetición Heos estudiado hasta ahora las colecciones de objetos elegidos entre n dados en las que el orden en que estos objetos son elegidos es iportante. Pero hay ocasiones en las que el orden de elección es irrelevante. ste tipo de colecciones se llaan cobinaciones. Coenzaos estudiando aquellas en las que no se periten repeticiones. Definición Una cobinación de n eleentos toados de en ( n es un subconjunto de eleentos distintos elegidos entre los n dados. Tabién se suele llaar cobinación de orden de n eleentos. Teorea en es Al núero l núero C n, de cobinaciones de n eleentos toados de C n, n!!(n! se le denoina tabién núero cobinatorio y se lee n sobre. i peritios que en las colecciones (no ordenadas de objetos que foraos existan eleentos repetidos teneos cobinaciones con repetición. I TA Definición Una cobinación con repetición de n eleentos toados de en es una colección de eleentos, no necesariaente distintos, elegidos entre los n dados. Tabién se suele llaar cobinación con repetición de orden de n eleentos. O N V B N I Teorea l núero CR n, de cobinaciones con repetición de n eleentos toados de en es ( n + 1 CR n, AP R Teorea l núero CR n, coincide con el núero de foras de repartir objetos iguales en n urnas distinguibles. jercicios: 1. Definios distancia entre dos secuencias binarias de longitud n coo el núero de lugares en que difieren. Cuántas secuencias están a una distancia d, 1 d 3, de una secuencia de longitud 5 dada? 2. Una ficha de un n-doinó es una pieza forada por dos cuadrados unidos por un lado. Cada cuadrado puede ser blanco o contener de uno a n puntos. Por ejeplo, el doinó usual es un 6-doinó. Cuántas fichas diferentes tiene un n-doinó?

6 Mateática Discreta - IT Inforática de isteas - Mónica squivel - Antonio J. Lozano 6 TMA 4. TÉCNICA D CONTAR 3. Teneos 20 bolas iguales para repartir en 4 cajas nueradas. a De cuántas foras se puede hacer el reparto? b Calcular el núero de foras de repartir las bolas en las cajas de fora que al enos dos cajas queden vacías. Propiedades de los núeros cobinatorios Los núeros cobinatorios verifican las siguientes propiedades: ( ( n n 1 0 n ( ( n n n 1 n 1 ( ( n n n Fórula de Pascal: I TA O N V B N Teorea del binoio: (a + b n 0 a n + 1 a n 1 b + 2 a n 2 b n b n AP R I