La ecuación de Advección

Transcripción

1 Capítulo 3 La ecuación de Advección Difusión. 3.. Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión El problea de transporte de containantes han sido estudiados apliaente, sin ebargo las soluciones analítias del fenóeno quedan restringidas a condiciones iniciales y de frontera extreadaente siples. Obtener resultados para condiciones iniciales y de frontera ás coplicadas ej. condición inicial variada en el tiepo) requiere el uso de de étodos nuéricos para las soluciones de las ecuaciones. Tabien ante la escaces de inforación para usar en uchos casos odelos ateáticos ás coplejos, es necesario aplicar odelos de dispersión unidiensional, que por lo general enfrentan probleas de estabilidad en la solución nuérica. Tradicionalente para la solución de la ecuación de dispersión longitudinal se separan efectos convección -difusión) y es coun llegar a construir esqueas que conducen a errores en la solución. Presentareos la ecuación de Dispersión Longitudinal y su solución aplicando esqueas explicitos y esqueas iplicitos en diferencis finitas. Ecuación de Advección Difusión Longitudinal u t + α u x = β u x x 0, b t [0, T ] 3.) 49

2 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión donde f C [0, b]) u C[0, b] 0, ) C 0, b 0, ) con α,β, constantes positivas, llaados coeficiente convectivo, difusivo respectivaente Esquea Explicito El análisis de la convergencia de esta ecuación es copilicado, esto se salva usando el teorea de equivalencia de Lax, por ello necesitaos analizar la consistencia y estabilidad. Teniendo en cuenta U t = U + j Uj t U x = U j+ Uj x U x = U j+ Uj + Uj x Reeplazos en la ecuación 3, teneos el esquea: U + j U j t U + j = U j α t x Donde. + α U j+ Uj = β U j+ Uj + Uj x x ) ) U j+ Uj + β t x U j+ Uj + Uj Cr = α t x P e = α x β núeero de Courant núero de Péclet λ = Cr P e = β t x U + j = Uj Cr ) U j+ Uj + λ U j+ Uj + Uj ) De aqui se tiene U + j = λ + Cr ) Uj + λ) Uj + λ Cr ) Uj+ 3.)

3 3. La ecuación de Advección Difusión. 5 Con error de truncacion 0 t, x ) A continuación presentaos el análisis de ecuación de convección difusión Teorea 7 Análisis de la Ecuación de Advección Difusión Transitorio La ecuación de convección difusión u t + α u x = β u x x 0, b t [0, T ] Con el esquea explicito: U + j = λ + Cr ) Uj + λ) Uj + λ Cr ) Uj+ Es Consistente de orden para el tiepo y de orden para el espacio. Es Estable para 0 < Cr P e < λ < donde Cr = α t P e = 4 x α x λ = Cr y β P e Es Convergente. Deostración Vereos el análisis de la consistencia: Estudio de la Consistencia En la ecuación u t + α u x = β u x Reeplazaos las forulas respectivas U j + U j t t t Ux,ξ) +α U j+ U j ξ x x 3 3 x 3 Uς,y ) =β U j+ U j +U j ς x x 4 x 4 Uz,y ) =0 z ξ [n t, n + ) t] z, ς [n ) x, n + ) x] El error de truncación es τj n = t t Ux, ξ) + x 3 ξ 3 x Uς, 3 y ) x 4 ς x Uz, 4 y ) z

4 5 3.. Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión Coo trabajaos en un conjunto R = {x, t)/ 0 x L, 0 t T } existen constantes y para u suficienteente regular tal que τ n j t + x denotaos τ n j = 0 t, x ) Por lo tanto el problea con este esquea es consistente. Estudio de la Estabilidad Sea la solucion discreta U j = f n e ikj x i = reeplazos en la ecuación teneos f n+ e ikj x = f n e ikj ) x λ + Cr f n+ e ikj x = f n e ikj x { λ + Cr f n+ = f n { λ e ik x + e ik x) Cr f n+ = f n { λ cosk x) Cr u t + α u x = β u x ) +fn e ikj x λ)+f n e ) ikj+) x λ Cr ) } e ik x ) e ik x + λ) + λ Cr e ik x e ik x) + λ } [i sink x)] + λ} Agrupando la parte real y la parte iaginaria, teneos f n+ = f n { λ + λ cosk x) icr sink x)}.. f n+ = f n { λ + λ cosk x) icr sink x)} f n+ = f 0 { λ + λ cosk x) icr sink x)} n+ El factor de aplificacion G, tiene una parte real y otra iaginaria por Vonn Neuann para la estabilidad del esquea debeos tener: G, G = λ + λ cosk x) icr sink x)

5 3. La ecuación de Advección Difusión. 53 G G = [ λ) + λ cosk x)] + [Cr sink x)], θ = k x G = λ) + 4λ cos θ + 4λ λ) cos θ + Cr) sin θ sin θ = cos θ G = 4λ Cr) ) cos θ + 4λ λ) cos θ + λ) + Cr) 3.3) Lo que considerareos coo una ecuación cuadrática con respecto a cos θ con un axío ó ínio veaos que: caso cos G = cos4λ Cr) ) cos θ + 4λ λ) cos θ) G = 4λ Cr) ) < 0 La función tiene áxio que se da si G = 0 cos θ) Es decir cos θ) G = 4λ Cr) ) 3.4) 4λ Cr) ) cos θ + 4λ λ) = 0

6 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión 4λ λ) cosθ) del áx = 4λ Cr) ) Reeplazaos en 3,3) = λλ ) 4λ Cr) 3.5) [ ] G ax =4λ Cr) λλ ) +4λ λ) [ ] λλ ) ) 4λ Cr) 4λ Cr) +4λλ )+Cr) + { } G ax = 4λ λ 4λ Cr) 4λ Cr) ) 4λ λ) 4λ Cr) +4λ λ) +4λ 4λ+Cr) + G ax = 4λ λ {λ 4λ } + 4λ 4λ + Cr) + 4λ Cr) G ax = 4λ λ) 4λ Cr) + 4λ 4λ + Cr) + G ax = 4λ λ) 4λ Cr) )4λ +Cr) )+4λ Cr) )4λ ) 4λ Cr) ) G ax = 6λ4 +4λ 6λ 3 6λ 4 Cr) 4 +6λ 4λ 4λCr) +Cr) ) 4λ Cr) ) G ax = Cr)4 4λCr) +Cr) 4λ Cr) ) = Cr) [Cr) 4λ+] Cr) 4λ Pero requerios que teneos que Cr) [Cr) 4λ+] Cr) 4λ y Cr) 4λ > 0 Resolviendo Cr) 4 4λCr) + Cr) Cr) 4λ G ax 4λ Cr) < 0 3.6)

7 3. La ecuación de Advección Difusión. 55 Cr) 4 4λCr) + 4λ 0 [Cr) λ] 0 [Cr) λ] = 0 [Cr) λ] < 0 De donde solo se cuple que Cr) = λ 3.7) Reeplazando 3,7) en 3,6) 4λ Cr) < 0 Resolviendo 4λ λ < 0 λλ ) < 0 Tabien 0 < λ < λ = Cr P e 0 < Cr < P e 3.8) 0 < λ < Cr) = λ teneos 0 < Cr) < es decir 0 < Cr < Adeás coo 4λ Cr) < 0 y λ = Cr P e teneos < P e en conclución teneos de 3,8 0 < Cr < P e Cr < < P e 3.9)

8 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión caso La función tiene ínio cos θ) G = 4λ Cr) ) > 0 λ + Cr) λ Cr) > 0 Adeás De 3,3) teneos λ Cr > 0 Cr P e Cr > 0 P e > 0 P e > 0 > P e 0 G G = 4λ Cr) ) cos θ + 4λ λ) cos θ + λ) + Cr) De aqui > P e cosθ 0 > P e [4λ λ)] 44λ Cr) ) [ λ) + Cr) ] 0 > P e Cr 4λ > P e λ 4 3.0) Tabien recuerde 0 G 0 4λ Cr) ) cos θ+4λ λ) cos θ+ λ) +Cr) ; cosθ [, ]

9 3. La ecuación de Advección Difusión. 57 Si cosθ = Se tiene 4λ Cr) + 4λ λ) + λ) + Cr) lo cual es cierto siepre Si cosθ = Se tiene [ 4λ Cr) ] ) + 4λ λ) ) + λ) + Cr) 6λ 8λ 0 De aqui λλ ) 0 0 λ 0 Cr P e Por lo tanto de 3,) y 3,0) teneos 0 Cr P e < 4 λ Asi tendreos la región de estabilidad para este caso 3.) Así del caso y del caso teneos la región de estabilidad vea la fig.3. Estudio de la Convergencia Aqui vaos a utilizar un resultado fundaental de la teoría de Aproxiación en diferencias finitas, EL TEOREMA DE LAX, para este problea bien planteado que satisface la condición de Consistencia y la condición de Estabilidad, lo cúal iplica la convergencia de nuestro algorito.

10 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión Figura 3.: Grafico de la curva de estabilidad núero de Péclet vs. Courant 3... Esquea Iplicito El étodo de Crank-Nicolson Proporsiona un esquea iplicito que es exacto de segundo orden tanto en espacio coo en tiepo. Para proporcionar esta exactitud, se desarrollaron las aproxiaciones por diferencias en el punto edio del increento en el tiepo. Teneos: u n+ i u n i t = t un+ i + 3 t) 4 t 3 un+ i + t U = un+ i u n i t 0k ) La segunda derivada en el espacio puede ser deterinada en el punto edio al proediar las aproxiaciones al inicio t n y al final t n+ del increento del tiepo.

11 3. La ecuación de Advección Difusión. 59 u n+ i+ un+ i + u n+ [ i = x) Del iso odo [ u n i+ u n i + u n i = x) Teneos x U = Tabien x U = x un+ i x un+ i + t t + x) [ 3 + x) [ 3 t x un+ i t x un+ i 4 x 4 un+ i 4 x 4 un+ i + x) + x) 6 x 6 un+ 5 t x 4 un+ + x) x 6 un+ 5 t x 4 un+ + x)4 360 [ u n i+ u n i + u n i + un+ i+ un+ i + u n+ ] i x) x) [ u n+ i+ ] un+ i + un i+ u n i x x Reeplazando en la ecuacion,8) Teneos el esquea u n+ i = β u n i + α t [ u n i+ u n i + u n i x) u t + α u x = β u x 0h ), 0k ) [ u n+ i+ ] un+ i + un i+ u n i = x x ] + un+ i+ un+ x) i + u n+ i ] i + + ] i + + ] i + ] i + + 0k ) u n+ i u n i + α t [ u n+ i+ 4 x un+ i + un i+ u n i ] = = β t [ u n x) i+ u n i + u n i + u n+ i+ un+ i + u n+ i ]

12 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión Cr = α t x Núero de Courant P e = α x β Núero de Péclet λ = Cr = β t P e β u n+ i u n i + Cr [ u n+ i+ 4 un+ i + un i+ ui ] n = = λ [ u n i+ u n i + u n i + u n+ i+ ] un+ i + u n+ i u n+ i Se tiene + Cr 4 un+ i+ Cr 4 un+ i λ un+ i+ + λun+ i λ un+ i = = u n i + Cr 4 un i Cr 4 un i+ + λ un i+ λu n i + λ un i Cr 4 λ )un+ i ++λ)un+ i + Cr 4 λ )un+ i+ = Cr Con error de truncación 0 x, t ) 4 +λ )un i + λ)u n i + Cr 4 +λ )un i+ 3.)

13 3. La ecuación de Advección Difusión. 6 Teorea 8 Análisis de la Ecuación de Convección Difusión Transitorio) La ecuación de convección difusión u t + α u x = β u x x 0, b t [0, T ] 3.3) Con el esquea iplicito de Crank-Nicolson Cr 4 λ )un+ i ++λ)un+ i + Cr 4 λ )un+ i+ = Cr 4 +λ )un i + λ)u n i + Cr 4 +λ )un i+ Es Consistente de orden para el tiepo y de orden para el espacio. Es incondicionalente estable para Cr = α t P e = α x y x β Es Convergente. Deostración Vereos el : Análisis de la Consistencia Al inicio de la sección, teneos que el error de truncatura es τ n j = 3 t) 4 t 3 ux, ξ) x) ξ 4 x uβ, 4 y ) β β [i ) x, i + ) x] ξ [n ) t, n + ) t] Coo trabajaos en un conjunto R = {x, t)/ 0 x L, 0 t T } existen constantes y para u suficienteente regular tal que τj n t + x denotaos τj n = 0 t, x ) Por lo tanto el problea con este esquea es consistente.

14 6 3.. Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión Análisis de la Estabilidad Sea la solución discreta U n j = f n e ikj x i = reeplazando en 3,3) teneos: Cr 4 λ ) Cr f n+ e ikj ) x + + λ)f n+ e ikj x + 4 λ ) f n+ e ikj+) x = Cr = 4 + λ ) f n e ikj ) x + λ)f n e ikj x + Cr 4 + λ ) f n e ikj+) x { f n+ Cr 4 λ ) = f n { Cr 4 + λ { f n+ Cr 4 λ ) = f n { Cr 4 + λ Cr e ikj ) x + + λ)e ikj x + 4 λ ) } e ikj+) x = ) e ikj ) x + λ)e ikj x + Cr 4 + λ ) } e ikj+) x { Cr f n+ e ikj x e ikj x) λ 4 { = f n Cr 4 Cr e ik x + + λ) + 4 λ ) } e ik x = ) e ik x + λ) + Cr 4 + λ ) } e ik x e ikj x e ikj x) + λ e ikj x + e ikj x) } + λ) = e ikj x + e ikj x) } + λ) { Cr f n+ 4 i sink x) λ } cosk x) + + λ) = { = f n Cr 4 i sink x) + λ } cosk x) + λ) { f n+ + λ λ cosk x) + i Cr } { sink x) = f n λ + λ cosk x) i Cr } sink x)

15 3. La ecuación de Advección Difusión. 63 Así teneos que { λ + λ cosk x) i Cr f n+ = f sink x) } n + λ λ cosk x) + i Crsink x) { λ + λ cosk x) i Cr f n+ = f sink x) 0 + λ λ cosk x) + i Crsink x) Afiraos que λ[ cosk x)] i Cr sink x) + λ[ cosk x)] + i Crsink x) < En efecto, pues se quiere deostrar que } n Coo { λ[ cosk x)]} + { Cr sink x)} { + λ[ cosk x)]} + { Cr sink x)} < cosk x) > 0 Se tiene que 0 < {λ[ cosk x)]} es decir teneos que 0<{+λ[ cosk x)])+ λ[ cosk x)])}{+λ[ cosk x)]) λ[ cosk x)])} 0 < + λ [ cosk x)]) λ [ cosk x)]) Suando iebro a iebro [ Cr sink x)] 0<{ λ[ cosk x)]} +{ Cr sink x)} <{+λ[ cosk x)]} +{ Cr sink x)} se tiene entonces que { λ[ cosk x)]} + { Cr sink x)} { + λ[ cosk x)]} + { Cr sink x)} < Por lo tanto se tiene que lo que quereos probar

16 Diferencias finitas en la Ecuación de Advección difusión λ[ cosk x)] i Cr sink x) + λ[ cosk x)] + i Crsink x) < por lo que el esquea de Crank-Nicolson es incondicionalente estable Análisis de la Convergencia Aqui usaos el teorea de LAX, Para este problea que cuple la condición de Consistencia y Estabilidad, lo cual iplica la Convergencia de nuestro algorito.