ANEXO A. MODELO DE LONGITUD DE MEZCLA PARA EL FLUJO TURBULENTO

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1 ANEXO A. MODELO DE LONGITUD DE MEZCLA PARA EL FLUJO TURBULENTO A.1 Flujo Turbulento y Viscosidad de Vórtice Si el núero de Reynolds es suficienteente alto, virtualente cada tipo de flujo será turbulento. La turbulencia se encuentra en la atósfera, en el océano, en el flujo alrededor de aviones y isiles, en la ayoría de flujos en tuberías, en estuarios y ríos, y en las estelas de vehículos en oviiento. Tal turbulencia se genera principalente por efectos de fricción en las paredes sólidas o por la interacción de las corrientes que se ueven sobre tale paredes con diferentes velocidades. Varios autores han sugerido que lo ejor que se puede hacer, ante la dificultad de definir con precisión la turbulencia, es listar las características del flujo turbulento, ver Street et al., Tales características se listan coo : Irregularidad o aleatoriedad en tiepo y espacio. Difusividad o ezclado rápido. Altos núeros de Reynolds. Fluctuaciones de vorticidad tridiensionales. Disipación de la energía cinética de la turbulencia debido a esfuerzos viscosos. La turbulencia es un fenóeno continuo aún a las escalas enores. La turbulencia es una característica del flujo de fluidos, y no una propiedad intrínseca de los fluidos. Para analizar la turbulencia es conveniente concentrarse en las partículas del fluido. Las partículas viajan aleatoriaente oviendo asas de fluido de variados taaños llaados reolinos; esto causa que en cualquier punto del flujo, haya una rápida e irregular pulsación de la velocidad alrededor de un valor edio bien definido. En general, la 195

2 intensidad de la turbulencia se increenta con la velocidad, y la escala auenta con las diensiones de las fronteras. Esto últio puede verse coo que los reolinos turbulentos serán ayores en un canal grande que en un tubo pequeño para la isa velocidad. De hecho, el ayor taaño esperado del reolino es igual a la longitud característica del flujo, esto es, en un tubo, el radio del iso, en un canal el ancho o profundidad, el espesor de la capa líite, etc. Esfuerzos cortantes en un flujo turbulento paralelo siple pueden visualizarse al considerar dos puntos adyacentes en una sección transversal del flujo (ver figura A.1). En uno de tales puntos sea la velocidad edia teporal u, y en el otro, u + Δu. Si la pequeña distancia transversal es l, se infiere un gradiente de velocidad du/dy (de la velocidad edia). Si u y u + Δu se toan coo las velocidades edias de las capas de flujo, la velocidad turbulenta u representa el oviiento transversal observado de las pequeñas asas de fluido entre capas, tales asas se transfieren en una dirección o en la otra. Sin ebargo, antes de la transferencia tales asas fluidas tienen velocidades (u y u + Δu) y después de la transferencia quedan con velocidades u + Δu y u, respectivaente; esto significa que su oentu se intercabia durante el proceso de transferencia. El prier intento por expresar el esfuerzo turbulento en fora ateática fue hecho por Boussinesq, que siguió el patrón de la ecuación del flujo lainar y escribió Figura A.1. Longitud de ezcla. 196

3 τ = ε u y (A.1) donde la viscosidad de reolino (o de vórtice), ε, era una propiedad del flujo (y no del fluido iso) que depende principalente de la estructura de la turbulencia. Esta expresión para el flujo turbulento se usa frecuenteente hoy a causa de la coparación entre μ y ε aunque no es teóricaente satisfactoria sí es satisfactoria en la aplicación a uchos probleas ingenieriles. Ahora, la ecuación se escribe usualente coo u τ = ( μ + ε ) y (A.) para cubrir la situación cobinada de abas, la acción viscosa y la acción turbulenta, en un flujo. Según sea el flujo copletaente turbulento o lainar se eliina la viscosidad opuesta para la descripción adecuada del flujo Toando las fluctuaciones aleatorias de velocidad del fluido coo u y v, respectivaente, noral y paralela a la dirección del oviiento edio general, Reynolds confiró que tales coponentes aleatorias de velocidad causan un esfuerzo cortante edio efectivo en flujo turbulento y ostró que tales esfuerzos podrían escribirse coo τ = ρ u v (A.3) en donde u v es el valor edio del producto u v. Térinos de la fora ρ uv se llaan hoy esfuerzos de Reynolds. Prandtl consiguió relacionar las velocidades de turbulencia con las características generales del flujo proponiendo que las pequeñas agregaciones de las partículas del fluido se transportan por la turbulencia una cierta distancia edia l, desde las regiones de una velocidad a otras y así haciendo sufrir cabios en las velocidades 197

4 generales de oviiento. Prandtl llaó la distancia l longitud de ezcla y sugirió que el cabio en la velocidad Δu, incurrida por una partícula de fluido oviéndose a través de la distancia l era proporcional a u y v, esto es, l du/dy u y l du/dy v. A partir de esto él sugirió τ = ρ u v = ρl u y (A.4) coo una ecuación valida para la descripción del esfuerzo cortante en flujo turbulento. Así pues la viscosidad de reolino se puede expresar coo ε = ρl du dy (A.5) En el caso de flujo cerca a una pared de borde, la turbulencia es fuerteente influida por la pared, u y v deben ser cero en la pared. Intuitivaente se puede proponer que la longitud de ezcla varíe con la distancia a la pared y, de acuerdo con la figura A.1, esto produce l = ky (A.6) La constante k es la llaada constante de Von Kárán la cual ha sido deterinada a partir de datos experientales (aunque coo se sabe hoy en día ésta realente no es constante, la discusión de este aspecto está fuera de las pretensiones de este trabajo). El valor noinal que se acepta es Incorporando la suposición anterior entonces el esfuerzo de Reynolds puede expresarse coo τ = ρ k y u = y du du ρ k y (A.7) dy dy 198

5 A parte de la ecuación A.6, Von Kárán propuso otra expresión para regiones lejos de las paredes sólidas donde l probableente dependería ayorente de las variaciones locales de la velocidad, esto es, du / dy, d u/ dy, etc. Eligiendo la cantidad ás siple con las diensiones de longitud forada por estas derivadas, él propuso l = du dy k du dy (A.8) donde k es una constante experiental. Puede ostrarse que la constante k en la ecuaciones A.6 y A.8 es la isa (ver Li - La, 1964). Estas fórulas para l no se entienden físicaente correctas. Por ejeplo, uno espera que la longitud de ezcla en flujo en un tubo debería ser influenciada por el taaño del tubo, pero coo se ve, el taaño no está incluido en estas fórulas. Por el centro del tubo donde la ezcla es ás intensa, con du/dy = 0, la ecuación 8 sugiere que l = 0!. A pesar de todo esto, tales fórulas se han usado exitosaente para predecir la distribución de la velocidad edia. El valor de k debe deterinarse experientalente, pero se supone que es esencialente el iso flujos turbulento paralelos. En cuanto a esto, por ejeplo autores coo Labert y Sellin, 1996, toan k = 0.6 (que ellos llaan coeficiente de longitud de ezcla C l ) para todos los cálculos de los perfiles de velocidades proediadas verticalente a lo ancho de la sección transversal de los canales copuestos, que es lo que nos interesa en el presente estudio. Uno de los objetivos del presente trabajo fue la discusión acerca de tal valor constante e igual a 0.6 y que a nuestro odo de ver no siepre ha de ser 0.6 (o 0.41). La elección de tal valor corre por cuenta del odelista y es, en general, propia de cada problea particular a tratar. 199

6 Otros autores proponen la toa de otras expresiones para el coeficiente de longitud de ezcla. Jia y Wang, 1999, proponen en su artículo trabajar con dos odelos de viscosidad de vórtice. Priero, el coeficiente de viscosidad de reolino ε se calcula usando la coúnente aceptada fórula de viscosidad de reolino parabólica integrada verticalente xy ε = A 6 ku* h (A.9) donde U * es la velocidad de cizalladura; h es la profundidad local del agua; k = A xy es un valor ajustable de la viscosidad de reolino, su valor por defecto es la unidad. El segundo odelo de la viscosidad de vórtice es el odelo de longitud de ezcla proediado verticalente ε = l u + v + u + v + U (A.10) x y y x z donde, l = 1 1 h kz z 1 dz = kh d kh h λ ( 1 λ) λ (A.11) 0 El gradiente de velocidad integrado verticalente se obtiene a partir de U z C U * = (A.1) kh 00

7 Este térino se introduce para dar cuenta del efecto de turbulencia que se genera por la superficie del fondo. C es un coeficiente al que se le asigna el valor de Otro problea iportante y que uchas veces se desprecia o se pasa por alto es el relacionado con abos, la longitud de ezcla y los odelos parabólicos, es el efecto de pared. En la región uy cercana a la pared, el efecto de huedeciiento en la pared es significativo. Las distancias desde los nodos (en odelación D) a la pared deben eplearse coo longitud de escala en cabio de la profundidad local z desde el fondo del lecho. La distancia noral desde la pared dp se usa para el cálculo de la longitud de ezcla en la región dp/h< 0.345; tabién se usa para el cálculo del perfil parabólico en el rango dp/h < 0.1. Los núeros y 0.1 son las respectivas distancias relativas en que la longitud de ezcla y la función parabólica son iguales a sus respectivos valores proediados verticalente. Esta aproxiación eliina la posibilidad de predecir viscosidades de reolino cerca de la pared. Si d w es la distancia desde un punto del fluido a la pared, entonces para el cálculo de la longitud de ezcla y la viscosidad de reolino proediada verticalente se procede coo sigue l dw = kdw 1 para d w < 0.345h h l = kh para d w > 0.345h (A.13) ε = khu d w dw * 1 para d w < 0.1h h h ε = khu * /6 para d w > 0.1h (A.14) 01

8 Los coponentes del esfuerzo cortante de fondo se obtienen a partir de τ ox = 1 ρfuu 8 y τ oy = 1 ρfvu 8 (A.15) Un étodo alternativo es eplear la fórula de Manning para evaluar los esfuerzos cortantes τ ox = 1 ρnuu y τ 13 / ox = 1 ρnvu (A.16) 13 / h h donde el coeficiente de Manning n es una constante local para una condición de fondo fija, que no cabia con las condiciones de flujo. La ecuación A.16 es ás eficiente que (A.15), según se ha podido establecer. Para aplicaciones generales el segundo étodo usarse, pero en casos con datos de rugosidad precisos la priera aproxiación se recoienda. Cuando se consideran ríos con fondo y banca flojas, es iportante que la altura de rugosidad k s y el n de Manning usados para el cálculo del esfuerzo cortante deben incluir abos, el taaño del grano y los efectos de resistencia de la fora del lecho. Los puntos antes señalados son iportantes en cuanto tienen que ver con el odelo de longitud de ezcla utilizado por Labert y Sellin, 1996, así coo nos da arguentos para decidir qué tipo de fórulas de rugosidad utilizar, trátese de las fórula de Manning o fórulas que tienen en cuenta el coeficiente f de Darcy Weisbach. Nuestro objetivo en este anexo ha sido presentar al lector interesado algunas de las ás recientes y proetedoras etodologías para enfrentar el problea de la odelación de los flujos turbulentos usando el concepto de la longitud de ezcla 0

9 Este odelo lo utilizan en fora siplificada (ecuación A.6) Labert y Sellin, 1996, y sí proporciona resultados aceptables en el cálculo de la curva de calibración de caudales en canales copuestos pero necesita refinarse con el objeto de extender su uso no sólo a casos relativaente siples coo los expuestos por tales autores, canales copuestos con llanuras de inundación y canal principal plenaente identificables con foras regulares, sino tabién a canales cuya geoetría sea irregular adeás de contar con rugosidad copuesta. En este sentido el autor recoienda aplicar y explorar el odelo de Labert y Sellin, 1996 en trabajos futuros, cabiando el coeficiente C l = 0.6 que ellos utilizan y aún el coeficiente de longitud de ezcla l por otras expresiones que sean variables en el ancho de la sección y que dependan de la profundidad de flujo y la distancia a las paredes del canal tal y coo se propone en las ecuaciones A.11, A.13 y A.14. La esperanza que se tiene es que efectivaente, se logren ejoras en el capo de la predicción no solo en cuanto a las curvas de calibración de caudales sino en otros capos relacionados con los flujos a superficie libre dentro de los que se cuenta el cálculo de perfiles de flujo. A. Obtención de la ecuación de oviiento.4 Recordeos la figura. y de la cual extraeos un eleento infinitesial de voluen coo el que se uestra en la figura A.. Figura A.. Voluen de control usado para deterinar las fuerzas que actúan en uno de los eleentos verticales que se uestran en la figura.. 03

10 Contaos en la dirección del flujo con flujo unifore. Por equilibrio de fuerzas en dirección x podeos escribir entonces la siguiente ecuación τ z ρdvo lgsen θ τ s dydx τ zdx τ dy dx z y y dy o 1+ y + ( + ) ( + ) = 0 (A.17) donde dvol es el diferencial de voluen del eleento, y puede expresarse coo dvol = zdxd + 1 dxdy z y y despreciaos el térino dy para obtener que dvol = zdxdy. Así entonces podeos reescribir la ecuación A.17 coo zdydx g B dydx zdx zdx dx z y dy τ y zdydx τ y dydx ρ sen θ τ z y dy * o τ + τ + τ + + = 0 Reuniendo térinos seejantes y despreciando de nuevo térinos de segundo orden dy, llegaos a z zdydx g B dydx y dxdy τ ρ sen θ τ y zdydx * o + τ + = 0 (A.18) Ahora, al reeplazar senθ por So que es la pendiente longitudinal del canal y al dividir todos los térinos de la ecuación A.18 por dxdy obteneos finalente B o gzso *τ 1 + ( z) = ρ ρ y τ 0 (A.19) que es precisaente la ecuación.4 que queríaos deostrar. 04