UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN AUTOR: ANTONIO CAMARGO MARTÍNEZ Mateáticas financieras Clave: 1154 Plan: 2005 Créditos: 8 Licenciatura: Contaduría Seestre: 1 Área: Mateáticas Hrs. Asesoría: 4 Requisitos: Ninguno Hrs. Por seana: 4 Tipo de asignatura: Obligatoria (x) Optativa ( ) Objetivo general de la asignatura El aluno evaluará los odelos financieros aplicando los principios ateáticos referentes a la variación del dinero en el tiepo. Teario oficial (horas sugeridas 64) 1. Interés siple (8 hrs.). 2. Interés copuesto (12 hrs.). 3. Anualidades (18 hrs.). 4. Aortización (12 hrs.). 5. Depreciación (8 hrs.). 6. Aplicaciones (6 hrs.). 1

2 Introducción En esta asignatura el estudiante investigará lo relativo a Mateáticas financieras. La ateática financiera es una de las áreas ás útiles e iportantes de la ateática aplicada la que coprende diversos odelos ateáticos relacionados con los cabios cuantitativos que se producen en suas de dinero que constituyen los capitales. La realidad financiera y coercial actual, deanda cada vez ás un ayor núero de profesionistas capacitados para brindar la asesoría y orientación adecuada a quienes tengan necesidad de obtener créditos, préstaos o financiaientos y, por otra parte, a los que disponen de capitales para su inversión, todo ello con el objetivo de obtener los ejores beneficios en tasas de interés o de rendiiento. El conociiento de la ateática financiera proporciona la posibilidad de su aplicación en operaciones bancarias o bursátiles, en teas econóicos y en uchas áreas de finanzas peritiendo al adinistrador financiero toar decisiones acertadas con rapidez y oportunidad. Tabién se considera una base fundaental en los análisis de proyectos de inversión para la toa de decisiones. En el tea I se estudiará el concepto del valor del dinero en el tiepo y se conocerán los eleentos básicos de operaciones financieras a interés siple, las diversas anifestaciones de capital coo valor presente, onto futuro, tasa de interés y plazo o tiepo. Tabién se resolverán situaciones financieras por edio de ecuaciones de valor equivalente. Se conocerán las operaciones de descuento de intereses o cobrados por anticipado y de las usuales de factoraje. En el tea 2 se estudiarán las variables de las operaciones financieras ás frecuentes en nuestro edio, usualente establecidas a interés copuesto. Se conocerán las diferencias con el interés siple y se obtendrán las fórulas para deterinar el valor presente, el valor futuro, las tasas de interés (noinal, efectiva, equivalentes), y el plazo o tiepo en este tipo de operaciones. Finalente se resolverán situaciones de cabio de obligaciones por edio de ecuaciones de valor equivalente. 2

3 En el tea 3 se abordarán los diversos tipos de anualidades que se utilizan en el capo financiero, desde las siples: ordinarias, anticipadas, y diferidas, hasta las de tipo general. Se conocerán las diversas fórulas que se utilizan en cada situación financiera para deterinar el valor de la renta, la tasa de interés y el plazo de la operación, así coo su valor actual o presente y el onto futuro. En el tea 4 se analizarán los principales sisteas de aortización de financiaientos, préstaos o créditos que se otorgan a ciertas tasas de interés y plazos. Mediante tablas se conocerá el coportaiento de las variables de interés, así coo los saldos de capital en cualquier periodo que se desee. Se estudiarán diferentes situaciones de este tipo de operaciones coo es el de pago fijo periódico, con aortización unifore, o sistea de pagos desiguales para cubrir deudas contraídas. Se conocerán los ecanisos adecuados para elaborar tablas de aortización de créditos y tablas de fondo de aortización. En el tea 5 se investigarán los 2 principales étodos de depreciación de activos coo es el de la línea recta y de sua de dígitos. Se observará el registro en libros ediante tablas de depreciación y su coportaiento dentro de la vida útil del activo. Se conocerán las fórulas correspondientes y su aplicación. El tea 6 está relacionado con algunas aplicaciones de la ateática financiera en la eisión de bonos y obligaciones, sus principales características y uso práctico, así coo su funcionaiento y la etodología para calcular los valores de eisión, de redención y de copraventa de estos títulos de inversión. 3

4 Tea 1. Interés siple Objetivo particular Al terinar la unidad el estudiante debe diferenciar entre onto, interés, tasa de interés, tiepo y capital, así coo hacer los cálculos respectivos para obtener cada concepto. Deberá utilizar las herraientas necesarias para la reestructuración de una o varias deudas, conocer coo cabia el valor del dinero en el transcurso del tiepo. Teario detallado 1. Interés siple. 1.1 Concepto. 1.2 Monto, capital, tasa de interés y tiepo. 1.3 Tipo de interés siple (clasificación). 1.4 Descuento bancario o siple. 1.5 Ecuación de valor. Introducción Desde que se inventó la oneda o el uso de la isa, el hobre ha tratado de utilizarla de la ejor anera, el dinero pasó a forar parte iportante de la vida de las personas. Con él se podía y se puede realizar todo tipo de transacciones. El día de hoy ha adquirido una ayor iportancia ya que, afortunada o desafortunadaente, todo se ueve través de ese edio. Por tal otivo, se ha visto la anera de utilizarlo de la ejor anera posible dado que, al iso tiepo que abunda en lo general, es uy escaso en lo particular, y por lo iso es enester el que se sepa anejar y aprovechar a su áxia utilidad. Al estar las personas relacionadas con el uso y anejo del dinero es necesario coprender de una fora clara y sin coplejidades cóo el dinero puede ganar, perder o cabiar de valor con el transcurso del tiepo, debido a la inflación; para ello debeos saber eplear en particular las ateáticas financieras. Adeás 4

5 su anejo es trascendental porque la econoía de cualquier nación está basada en el crédito y para toar una decisión acertada es necesario toar en cuenta que a través del tiepo el valor del dinero puede tener variaciones. La ateática financiera proporciona los eleentos y etodología para trasladar en el tiepo y de anera sibólica los capitales que intervienen en cualquier operación de carácter financiero y coercial, quitando o agregando intereses. En la actualidad las actividades econóicas se basan en el concepto de interés o intereses y significan la cantidad que se paga por hacer uso del dinero solicitado en préstao o crédito o, la cantidad que se recibe coo rendiiento obtenido al invertir un capital en una entidad financiera. Por lo anterior, un capital que se invierte o se presta, deberá acrecentarse en el tiepo y de esta fora contrarrestar los efectos negativos inflacionarios para conservar por lo enos el poder adquisitivo o valor del dinero y en su caso aspirar a recibir una ganancia legítia en térinos reales Concepto El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero toado en préstao. En una operación ateática financiera intervienen básicaente tres eleentos fundaentales: el capital, la tasa de interés y el tiepo o plazo. a) Capital: Es una cantidad o asa de dinero localizada en una fecha o punto inicial de una operación financiera. Se le conoce tabién coo principal. b) Tasa de interés: Es la razón de los intereses devengados en un lapso de tiepo entre el capital inicial. Se expresa en tanto por uno o en tanto por ciento. c) Tiepo: Es el núero de unidades de tiepo que transcurren entre la fecha inicial y final en una operación financiera. Se conoce tabién coo plazo. 5

6 Un diagraa de valor-tiepo se utiliza para representar gráficaente la operación financiera situando en el eje horizontal el o los periodos de tiepo y en el eje vertical el capital inicial, el onto de intereses y en su caso el capital final. I C Figura 1.1 Diagraa de valor- tiepo Inversión de dinero a interés siple. El interés siple es aquel que se calcula sobre un capital inicial que peranece invariable en el tiepo y los intereses se anejan por separado y se retiran de la operación financiera. En consecuencia el interés que se obtiene en cada intervalo unitario de tiepo es siepre el iso Los objetivos de las inversiones. En su aspecto lucrativo será increentar lo ás posible el capital inicial (C) invertido en un deterinado lapso de tiepo, a una tasa de interés deterinada, para obtener un onto futuro (M). Por otra parte se pueden retirar los intereses generados para una diferente utilización y se puede tabién retirar o no el capital inicial. 6

7 Noenclatura: C Representa el capital inicial, llaado tabién principal. Suele representarse tabién por las letras A o P (valor presente). M Representa el capital final, llaado tabién onto o dinero increentado. Es el valor futuro de C. I Es el onto de intereses generados en un deterinado periodo de tiepo y es la diferencia entre M y C. i Es la tasa de interés y representa el costo o rendiiento de un capital ya sea producto de un préstao o de una cantidad que se invierte. n Es el lapso (años, eses, días) que peranece prestado o invertido un capital. NOTA: para aplicar las fórulas y resolver los probleas, los datos de tiepo (n) y la tasa de interés (i) deben referirse a una isa unidad de tiepo. Ejeplos Si la tasa es anual y el tiepo 5 años, n = 5. Si la tasa es anual y el tiepo 7 eses, sustituios n por 7/12. Si la tasa es ensual y el tiepo 2 años, consideraos n por 24 eses. En el iso caso, si la tasa es triestral y el tiepo 3 años, convertireos los años a triestres: n = 12. En conclusión, siepre convertireos las unidades de tiepo a las unidades a que hace referencia la tasa. A continuación, se analiza la fórula general del interés: I Cin en una serie de probleas de cálculo del interés (I), capital (C), tasa de interés (i) y tiepo (n). (Es iportante que realices tus propios cálculos para que copruebes cóo se llegó a los resultados). Cálculo del interés (i) 7

8 Ejercicio 1. Qué interés produce un capital de $40, en 1 año 7 eses y 21 días, al 24% anual? Fórula: I Cin C 40, 000 i 0.24 n 1 año,7 eses21días Solución: n 1 año 360días 7eses 210días 21días 21días Total de días 591 días I Cin 0.24 I 40, , De la fórula de interés: I Cin (1) 1 se extraen las que sirvan para calcular el capital (C), tasa de interés (I) y tiepo (n), despejando cada una de esas variables de la fórula de interés (I): I Capital (C ) C (2) in Tasa de interés (i ) I i (3) Cn Tiepo...(n) n I... (4) Ci 1 Se presenta una nueración para las fórulas para facilitar su anejo. 8

9 1.2. Monto, capital, tasa de interés y tiepo. Financiaientos a interés siple. Las econoías odernas se desarrollan entre otros aspectos, con base en financiaientos o créditos a corto, ediano y largo plazo. La palabra crédito proviene del latín credere que significa creer o confiar por lo cual uchas operaciones financieras se realizan en base de confianza y credibilidad de que el deudor pagará a tiepo su préstao Cálculo de los valores presentes a interés siple. Es iportante conocer el capital inicial equivalente a un onto futuro o a un onto de intereses preestablecidos. Se le conoce tabién coo valor actual o valor presente. Cálculo del capital (C): Ejercicio 2. Qué capital (C), con tasa de interés del 12% anual (i), produce intereses de $15, (I) en 10 eses (n)? I 15, 000 I Fórula: C i 0.12 in n 10 eses Solución: 15, 000 C 150, Fórulas para calcular el valor presente de una inversión a interés siple: Si se conoce el onto futuro y los intereses: C A M I...(5) 9

10 Si se conoce el onto futuro, tasa y tiepo: M C A...(6) 1 in Se puede usar indistintaente C o A para designar un valor presente o valor actual. Ejercicio 3. Cuál es el capital (C) que produjo un onto (M) de $135,000.00, a una tasa (i) de 14% anual durante nueve eses? M 135, 000 M Fórula: C i in n 9 135, 000 Solución: C , Ejercicio 4. Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo de un 20% y un docuento a 3 eses de $4, si la tasa es igual a TIIE+1.5 puntos porcentuales (ppc) y el día de la copra el valor de la TIIE es del18.5%? (La TIIE significa tasa de interés interbancario de equilibrio y es fijada diariaente coo resultado de las cotizaciones de los fondos faltantes y sobrantes entre los bancos coerciales y el banco central) a) Calculo del valor actual : Fórula: M A 1 in M 4,200 i n 3 Solución: 4,200 A A 4,000 b ) Pr ecio del televisor :: 10

11 Fórula: P 4, ,000 P 5, Deterinación de la tasa generada en una inversión. La tasa de interés en una operación financiera significa un costo si se trata de un préstao y un rendiiento si se refiere a una inversión de capital. Por consiguiente, será fundaental para la toa de decisiones, conocer a qué tasa de interés se deberá colocar un dinero si se requiere obtener un onto futuro establecido y en un tiepo deterinado. O cuál es el costo del dinero si se obtiene un préstao de cierta cantidad y se conviene pagar otra superior o uy superior en un deterinado lapso de tiepo Fórulas para calcular la tasa de interés de una inversión a interés siple: Si se conoce el onto futuro, el capital inicial y el tiepo: M 1 i C...(7) n Si se conoce el capital inicial, el onto de intereses y el tiepo: I i...(8) Cn Cálculo de la tasa de interés (i) Ejercicio 5. Cuál es la tasa de interés (i) a la que ha estado invertido un capital de $110, (C) que durante dos años y 5 eses (n) produjo $39, de interés (I)? C 110, 000 I Fórula: i I 39,875 Cn n 2 años 5 eses 29 eses 11

12 39,875 Solución: i % 110, i =? C = $110, I = $39, t = 2 años y 5 eses = 29 eses i = I / Ct = / ( x 29) = = 1.25% ensual Si el interés es de 1.25% cada es, corresponde a 1.25 x 12 = 15% anual. NOTA: si la tasa de interés es la incógnita, la unidad de tiepo será la que se aneje en la variable tiepo. Ejercicio 6. Cuál es la tasa de interés siple anual si con $2, se liquida un préstao de $2, en un plazo de: a) 6 eses, b) 5 eses. c) Interpretar resultados. a) Plazo a 6 eses : Fórula: Solución: M 1 i C n 2, ,000 i ensual 6 i % anual M 2,300 C 2,000 n 6 b ) Plazo a 5 eses :: Fórula: M 1 i C n M 2,300 C 2,000 n 5 12

13 Solución: 2, ,000 i 0.03 ensual 5 i % anual c) Interpretación : Auenta 6 puntos porcentuales (ppc) la tasa de interés (o sea un 20%) al reducirse un es el plazo inicial de esta operación financiera Cálculo del tiepo requerido para que una inversión genere cierto rendiiento. El ayor o enor tiepo de pago de una operación financiera representa un ayor o enor costo para un deudor o un ayor o enor rendiiento si se trata de una inversión. Por lo tanto la relación entre tiepo y tasa es uy estrecha y va en proporción directa si es una inversión o inversa si se trata de un financiaiento. Se supone que en una econoía débil el poder contar con ás tiepo significará ayor oportunidad de pago o de acuulación de capital Fórulas para calcular el tiepo o plazo en una inversión a interés siple: Si se conoce el onto futuro, el capital inicial y la tasa de interés: M 1 n C... (9) i Si se conoce el capital inicial, el onto de intereses y la tasa de interés: I n... (10) Ci Cálculo del tiepo (n) Ejercicio 7. Qué tiepo (n) habrá estado invertido un capital de $85, (C) que produjo un interés de $35, (I) a una tasa anual de 21% (i)? 13

14 Fórula: I n Ci C 85, 000 I 35, 700 i 0.21 Solución: 35, 700 n 2 años 85, NOTA: cuando se pide la tasa de interés en años, autoáticaente la tasa saldrá anualizada. Es decir, toa la unidad de tiepo que aneja la tasa de interés. Ejercicio 8. En cuanto tiepo se acuularían $ si el día de hoy se invierten $40, a una tasa: a) del 0.5% ensual. b) Si se obtiene una tasa de rendiiento del 1% ensual, qué pasa con el tiepo? a) Tasa 0.5% ensual : Fórula: Solución: M 1 n C i 50, ,000 n M 50,000 C 40,000 i n 50 eses años 4 años, 2 eses, 0 días b) Tasa 1.0% ensual : Fórula: M 1 n C i M 50,000 C 40,000 i

15 Solución: 50, ,000 n 0.01 n 25 eses años 2 años, 1 eses, 0 días Monto de un capital utilizando interés siple..se conoce por onto a la sua del capital (C) ás el interés (I). (Tabién se le denoina valor futuro, valor acuulado o valor noinal). Fórulas para calcular el onto futuro de una inversión a interés siple: Si se conoce el capital y onto de intereses: M C I... (11) Si se conoce el capital, tasa y tiepo: M C Cin o sea: M C( 1in)... (12) por lo que el onto de intereses I partir de M y C : I M C...(13) En función de la fórula del onto, puede ser necesario calcular el capital, el tiepo o la tasa; en tal caso, se procederá a despejar la incógnita de la fórula básica. A continuación ediante ejercicios se analizan las fórulas anteriores. (Conviene que realices los cálculos, para que coprendas cóo se resolvieron cada una de las literales). Cálculo del onto (M) Ejercicio 9. Si usaos los datos del ejercicio 1, y sabiendo de anteano que el onto (M) relativo es $55,760.00, coprobaos nuestra nueva fórula: C 40, 000 Fórula: M C( 1in) i 0.24 n 1 año,7 eses 21días 591 días 15

16 Solución: M , 000(1 ) 55, Ejercicio 10. En una cuenta bancaria se invierten $56, ganando intereses del 12.3% anual. a) Cuál es su capital futuro en 3 años y los intereses ganados? b) Calcular los intereses ganados. c) Interpretación. a) Capital futuro : Fórula: M C( 1in) M Solución: M M 76,664 56, , C 56,000 i n 3 b) Intereses ganados : Fórula: I M C Solución: I I 76,664 56,000 20,664 c) Interpretación : El onto de intereses en 3 años representa el 36.9% sobre el capital invertido Tipos de interés siple (clasificación) En operaciones financieras se puede considerar 2 tipos de interés siple: a) Tiepo ordinario o aproxiado. b) Tiepo real o exacto. 16

17 En el 1er. caso el tiepo es el bancario en el cual se utilizan eses de 30 días y año de 360 días. En el 2 caso el tiepo será año de 365 días y eses de acuerdo a días calendario según los que contengan los eses en estudio. Ejercicio 11. Obtener el onto a interés ordinario que se acuula al 15 de octubre si el 25 de arzo anterior se depositaron $15, en una cuenta bancaria que abona TIIE ppc. (valor de la TIIE es del 21.1%) C 15, 000 Fórula: M C( 1in) i Solución: Cálculo de n: Mes días Del 25 al 30 arzo 5 De abril a septiebre (6 180 eses) Del 1 al 15 octubre 15 Total: 200 c) Interpretación : 200 M 15, 000( , I M C 16, , 000 1, El onto futuro auenta con respecto al capital inicial en $1,958.33, lo que representa un 13.06% ás Ejercicio 12. Del ejercicio anterior obtener su onto futuro considerando tiepo real o exacto. C 15, 000 Fórula: M C( 1in) i Solución: Cálculo de n: Mes días Del 25 al 30 arzo 6 abril 30 17

18 ayo 31 junio 30 julio 31 agosto 31 septiebre 30 Del 1 al 15 octubre 15 Total M 15, 000( , I M C 16, , 000 1, c) Interpretación : El onto futuro auenta con respecto al capital inicial en $1, lo que representa un 13.13% ás. En relación al tiepo ordinario el onto es ayor en 0.07ppc Descuento bancario o siple Conceptos básicos del interés cobrado por anticipado. En ciertas operaciones de crédito bancario se acostubra cobrar el onto de intereses en el oento iso de otorgar un préstao o crédito. Tabién en transacciones coerciales a proveedores o clientes. Al interés cobrado por anticipado se le llaa descuento y la cantidad de dinero que recibe el solicitante del crédito, una vez descontado el onto de intereses se le llaa valor efectivo. Con objeto de indicar explícitaente que en un préstao los intereses se cobrarán de una anera anticipada, la tasa de interés cabia de nobre a tasa de descuento. 18

19 Se distingue el descuento racional porque la tasa de descuento se aplica sobre la cantidad inicial del préstao y se cobra en ese oento. Se llaa tabién descuento real. Se utilizan las isas fórulas de interés siple El descuento bancario. Es una operación financiera que por lo general se realiza por una institución bancaria, epresas de factoraje, cuyo objetivo es coprar docuentos, por lo general pagarés, en fora anticipada o sea antes de su venciiento descontando cierta cantidad calculada ediante una tasa de descuento la cual se aplica sobre el valor noinal del pagaré. El verbo descontar significa el acto de obtener o pagar dinero en efectivo a cabio de un docuento de iporte ás elevado a pagar en el futuro Los conceptos de valor noinal y valor líquido. En general los docuentos que dan lugar a operaciones de factoraje son los giros y los pagarés. El tenedor de un pagaré no puede exigir el cobro del iso antes de la fecha de su venciiento por lo tanto, si desea hacerlo efectivo antes de dicha fecha, lo puede vender a una institución bancaria, epresa o institución de factoraje, o a cualquier persona física o oral que lo acepte. Entonces el nuevo deudor se convierte en beneficiario. El valor noinal de un pagaré es la sua del capital del préstao ás los intereses acuulados a su venciiento. El valor líquido de un pagaré es su valor noinal enos el descuento. Es la cantidad que efectivaente recibe el prestatario. Por lo tanto, el descuento es la disinución que se hace a una cantidad que se paga antes de su venciiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipación a una cantidad con venciiento futuro; esto significa que la persona que copra el derecho de cobrar esa cantidad futura efectúa un préstao por el cual exige un interés, ya que debe transcurrir el tiepo anticipado para recuperar su inversión. 19

20 A ese interés se le llaa descuento: cuando el inversionista (quien copra el docuento que apara la cantidad futura) adquiere en una cantidad enor un valor noinal que vence en el futuro. Asiiso a una cantidad que tiene un venciiento en un plazo futuro le corresponde un valor actual. A la diferencia entre abos se le llaa descuento. M Noenclatura: Valor noinal del docuento. C Valor coercial, valor de descuento o valor efectivo. D Es la cantidad que se descuenta del valor noinal del pagaré. d Es la tasa de descuento que actúa sobre el valor noinal del pagaré. r Tasa de rendiiento de un préstao descontado intereses por adelantado. n Es el lapso de tiepo faltante entre la fecha de negociación del docuento y la fecha de su venciiento. Fórulas de descuento siple bancario. Descuento siple: D Mdn... (13) 20

21 Cdn D... (14) 1 dn Valor coercial o de descuento: Tasa de descuento: Tiepo o plazo de descuento: Descuento real o justo: C M D... (15) C M Mdn... (16) C M 1 dn... (17) C 1 d M n... (18) C 1 n M....(19) d M Dr M... (20) 1 in Ejercicio 13. Se tiene un docuento con valor noinal de $50, y una tasa de descuento del 2.5% ensual M 50, 000 d Adeás, se cuenta con los datos de la tabla siguiente: Tiepo Descuento coercial Descuento real o justo M Dr M D Mdn 1 in 1 es 1, , eses 2, , eses 5, , eses 7, , año 15, , La tabla anterior nos revela la diferencia entre los descuentos. El descuento coercial es el interés del valor noinal (M), ya que calcula el descuento no 21

22 sobre el capital invertido, sino sobre la sua de éste ás los intereses; por lo tanto el descuento se calcula a una tasa ayor que la del problea, pues al disinuir al valor noinal el descuento, se obtendrá una cantidad enor al valor actual. Por ende, el descuento se rige por una tasa ayor de la que se da en el problea. Ejercicio 14. Cuál es el valor descontado de un docuento con valor noinal de $50, y una tasa de descuento del 2.5% ensual, si se descuentan 6 eses antes de su venciiento? Fórula: C M dn Solución: 1 C 50, ,500 M 50, 000 i n 6 Se puede utilizar el descuento de la tabla anterior correspondiente a 6 eses y se aplica a la fórula: C M D Por lo tanto: C 50,000 7,500 42,500 Con descuento real o justo (Dr), se tiene: Fórula: Solución: D r M M 1 in C 50, 000 i n 6 50, 000 Dr 50, 000 6, C M D r 50, 000 6, , Interpretación: Existe una diferencia entre el valor de descuento coercial y el justo de $1, lo que representa un (2.5%) enos. 22

23 Ejercicio 15. Una persona solicita un préstao quirografario por $120,000 a un plazo de 90 días y le cobran una tasa de descuento del 25.0%. a) Calcular a cuanto asciende el descuento; obtener el valor efectivo. b) Si la tasa de descuento baja 5 ppc. cuales son los nuevos valores? c) Interpretar resultados. a Descuento al 25% : Fórula: D Mdn Solución: D 120, , 500 M 120,000 d n a1 Valor efectivo : Fórula: C M D Solución: C 120,000 7, , 500 M 120,000 D 7,500 b Descuento al 20% : Fórula: D Mdn Solución: D 120, , 000 M 120,000 d n b1 Valor efectivo : Fórula: C M D Solución: C 120,000 6, , 000 M 120,000 D 6,000 23

24 c Interpretación : Si la tasa de descuento baja 5 ppc. (20%), el valor en efectivo auenta sólo en un 1.33%. Ejercicio 16. La tasa de descuento de pagarés en un banco es actualente del 22.4%. Si el valor noinal de un pagaré es de $19, con fecha de venciiento dentro de 3 eses: a) Calcular la cantidad descontada y el valor coercial o valor de descuento del docuento. b) Calcular el valor de descuento real. c) Coparar e interpretar resultados. a Descuento al 22.4% : Fórula: D Mdn Solución: D 19, , 092 M 19,500 d n a1 Valor coercial : Fórula: C M D M 1,9,500 D 1,092 Solución: C 19,500 1,092 18, 408 b Descuento real : 24

25 M Fórula: C 1 in 19,500 Solución: C 18, M 19,500 i n c Interpretación : Existe una diferencia de $57.91 que representa una pérdida del 0.314%. Cálculo del tiepo Ejercicio 17. Indicar con qué tiepo de anticipación se descontó un docuento cuyo valor noinal es $50, Se recibió un valor descontado de $42,500.00, con descuento coercial y a una tasa de descuento de 2.5% ensual. Fórula: C 1 n M d M 50, 000 C 42,500 d Solución: 42, ,000 n 6 eses Cálculo de la tasa 25

26 Ejercicio 18. A qué tasa descuento se aplicó un docuento con valor noinal de $60,000.00, si se descontó faltando 5 eses para su venciiento y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500.00, con descuento coercial. Fórula: C 1 d M n M 60, 000 C 53,500 n 5 eses Solución: 53, ,000 d % ensual 5 d % anual Equivalencia entre tasa de interés y descuento siple. En la práctica del descuento, adeás de peritir al prestaista disponer inediataente de los intereses cobrados por anticipado, hace que la tasa de interés que se está pagando por el préstao sea ayor que la de descuento. Esta tasa de interés se conoce coo tasa de rendiiento y su calculo es independiente del préstao descontado. Sólo está en función de la tasa de descuento y del tiepo que dura el préstao Fórulas de tasa de rendiiento y de descuento siple. d Tasa de rendiiento: r... (21) 1 dn Tasa de descuento: r d... (22) 1 rn Ejercicio 19. Calcular la tasa de rendiiento de un pagaré cuya tasa de descuento es del 27.5% en un plazo de 6 eses. Fórula: d r 1 dn d n 6 26

27 Solución: r r % Interpretación: Existe una diferencia de 4.4 ppc. o sea un 16.0% ás entre la tasa de rendiiento y la tasa de descuento Ecuación de valor Es frecuente en el capo financiero principalente por razones econóicas o de tiepo, cabiar una serie de obligaciones ya pactadas por otro conjunto de obligaciones que puedan peritir a un deudor saldar su deuda. En otras palabras se renegocia una deuda. Una ecuación de valor es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones valuadas todas a la isa fecha llaada fecha focal o fecha de valuación. Es iportante encionar que debe precisarse claraente la fecha focal ya que los ontos de las obligaciones en los probleas de interés siple varían de acuerdo al tiepo y a diferente fecha focal. Generalente esta últia se refiere a la fecha de liquidación total de la deuda. En la resolución de estos probleas, se utilizan gráficas (de tiepo valor) en las que se representan las fechas de venciiento de las obligaciones originales y cuándo se realizarán los pagos (se puede utilizar tanto el interés siple coo el copuesto). En este caso, se lleva a cabo el procediiento siguiente: ETAPA 1. Calcular el onto a pagar de cada una de las obligaciones originales a su venciiento. ETAPA 2. Hacer la gráfica de tiepo-valor que considere las fechas de venciiento. Y se colocan, sobre la isa, los ontos en la fecha de su venciiento. ETAPA 3. En la gráfica de tiepo, se ubican los pagos parciales (coo las deudas, con sus fechas respectivas). 27

28 ETAPA 4. Se deterina en la gráfica la fecha focal (de preferencia en donde coincida con algún pago; es recoendable que sea una incógnita, con el fin de realizar el enor núero de operaciones). ETAPA 5. Se efectúa la solución; para ello, se trasladan todas las cantidades a la fecha focal (se debe toar en cuenta que la sua de todos los pagos debe cubrir la sua de las deudas). ETAPA 6. Se resuelven las operaciones. Ejercicio 20. Al día de hoy una persona tiene las obligaciones siguientes: a. Un préstao de $30,000.00, otorgado hace 6 eses, con venciiento el día de hoy e ipuesto con una tasa de 2.5% ensual. C = $30, t = Hace 6 eses con venciiento el día de hoy i = 2.5% = ensual b. Una deuda por $ 5, contraída hace tres eses, con venciiento dentro de 9 eses y con un tipo de interés de 3% ensual. C = $5, t = Hace 3 eses con venciiento dentro de 9 eses. I = 3% = 0.03 ensual c. Un coproiso por $50, contratado hace cuatro eses, con una tasa de 2% ensual y con un venciiento dentro de 6 eses. C = $50, t = Hace 4 eses con venciiento dentro de 6 eses i = 2% = 0.02 ensual d. Una deuda por $10, contratada hace un es, con venciiento dentro de 7 eses y una tasa de 3.5% ensual. C = $10, t = Hace un es con venciiento dentro de 7 eses i = 3.5% = ensual 28

29 Hoy iso, esta persona decide renegociar sus obligaciones con un rendiiento, en las nuevas operaciones, del 30% anual ediante tres pagos: $40,000.00, el día de hoy. $35,000.00, dentro de 6 eses. El saldo, dentro de 12 eses. Calcula el iporte del saldo utilizando coo fecha focal el es 12. Solución con interés siple. ETAPA 1 DEUDA (D) OPERACIÓN M = C(1 + in) MONTO DE LA DEUDA a 30000[1 + (0.025)(6)] M1 34,500 b 5000[1 + (0.03)(12)] M 2 6,800 c 50000[1 + (0.02)(10)] M 3 60,000 d 10000[1 + (0.035)(8)] M 4 12,800 TOTAL EN VALORES ABSOLUTOS $114, ETAPA M1 M3 M4 M X ETAPA M1 M3 M4 M X 29

30 ETAPA M1 M3 M4 M2 ff ETAPA M1 M3 M4 M M M M M X M5 M 6 ETAPA 6 i = 30% = ensual DEUDA OPERACIÓN RESULTADO a M = 34500[1 + (0.025)(12)] b M = 6800[1 + (0.025)(3)] c M = 60000[1 + (0.025)(6)] d M = 12800[1 + (0.025)(5)] M11 44,8500 M 21 7,310 M 31 69, 000 M 41 14, 400 SUMA DE DEUDAS $135, PAGO OPERACIÓN RESULTADO 30

31 a 40000[1 + (0.025)(12)] b 35000[1 + (0.025)(6)] c X X SUMA DE PAGOS M 5 52, 000 M 6 40, 250 $92, X Σ DEUDAS = Σ PAGOS o sea ecuación de valor: M11 M 21 M 31 M 41 M 5 M 6 X 135,560 = 92,250 + X 135,560 9,2250 = X 43,310 = X Finalente, el saldo se liquidará con una cantidad de $43, Ejercicio 21. Una persona recibe un préstao de $60, a pagar en un plazo de 3 eses y una tasa de interés del 22.0%. Al es contrae otra deuda de $50, para pagar en 4 eses a una tasa del 24.0%. Sin ebargo al térino del prier préstao no puede pagar y conviene con el acreedor hacer un solo pago dentro de otros 3 eses pero a una tasa del 30.0%. Por edio de una ecuación equivalente, calcule el valor del pago único considerando la fecha focal al es 6. a) Cálculo del onto de $60,000 : 31

32 Fórula: M C( 1in) Solución: M 60, , C 60,000 i n b) Cálculo del onto de $50,000: C 50,000 Fórula: M C( 1in) i n Solución: M 50, , c) Diagraa de tiepo : M M1 M 2 M X d) Ecuación de valor equivalente : M 3 M 4 X Solución: M M 3 4 M M , , X 123, Una de las principales aplicaciones del Interés siple es realizar depósitos a plazo en los bancos privados o coerciales. Un depósito a plazo es un capital de dinero que se deposita en una cuenta bancaria por una persona física o oral que pretende un onto de intereses por su inversión al terino del plazo pactado. Existen varios tipos de depósito: Las cuentas de ahorro, las cuentas a plazo, los certificados de depósito, los pagares, etc.. Las cuentas de ahorro son instruentos que se anejan coúnente en libretas de ahorro y periten a su titular efectuar retiros de capital con solo solicitarlo, de 32

33 tal fora que estas cuentas son uy útiles para aquellas persona que desean un rendiiento por sus ahorros, pero requieren una liquidez inediata..son una fora segura de depósito de capitales por lo que los intereses que se obtienen son odestos, pero proporcionan retiro inediato, seguridad y flexibilidad de hacer depósitos y retiro de los isos en cualquier oento. Las cuentas de depósito otorgan por lo general ayores tasas de interés que las de ahorro debido a sus restricciones en cuanto a depósitos y retiros. Algunas inversiones solicitan cantidades ínias de depósito. Los certificados de depósito son instruentos del ercado financiero que especifican claraente el onto de los capitales, periodos de capitalización y tasas de interés. En general no son negociables y la institución eisora no tiene la obligación de rediirlos hasta su venciiento. Un pagaré es un docuento negociable que iplica una obligación de pagar el capital prestado ás un onto de intereses que se ha pactado a su venciiento. Pueden ser noinativos o al portador. Otras aplicaciones del interés siple son en operaciones de instituciones de ahorro y préstao cuyos beneficios se otorgan a sus socios ediante dividendos anuales. 33

34 Bibliografía del tea 1 AYRES F. Mateáticas financieras Serie Schauan, McGraw-Hill, México, DIAZ Mata A. y V. M., Góez Aguilera, Mateáticas financieras, McGraw-Hill México, PORTUS L. Mateáticas financieras 3ª. ed., McGraw-Hill, México, TOLEDANO Castillo M. A. y Hueltine L.E., Mateáticas financieras, CECSA, México, VILLALOBOS José L., Mateáticas financieras, Grupo Editorial Iberoaericano, México, VIDAURRI Aguirre Héctor M., Mateáticas financieras, Thoson, México, Actividades de Aprendizaje A.1.1. A partir del estudio de la bibliografía específica sugerida, estudiar cada uno de los conceptos principales, sus fórulas y aplicaciones. A.1.2. Investigar y realizar por lo enos 3 ejercicios o probleas situacionales de cada uno de los conceptos estudiados utilizando la bibliografía sugerida. A.1.3. Elaborar un glosario de los principales conceptos ateáticos estudiados. A.1.4. Elaborar un listado de fórulas de cada uno de los conceptos ateáticos estudiados. A.1.5. Investigar las características de las Unidades de inversión (UDI S) y las fórulas para su cálculo quincenal. A.1.6. Investigar los sisteas de cálculo de intereses en las tarjetas de crédito de los bancos coerciales. A.1.7. Estudiar el cálculo del valor coercial el día de su colocación en la Bolsa Mexicana de Valores de los Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES). A.1.8. Investigar en que consiste el servicio de factoraje y coo opera el concepto de descuento en su operación. A.1.9. Exaine el coportaiento de los intereses en copras aplazo en la adquisición de bienes o servicios. A Visite las páginas y copare los teas estudiados con la propuesta que se expresa e indique sus conclusiones. 34

35 Cuestionario de autoevaluación 1. Explique breveente los conceptos de valor presente o actual y el onto futuro de capital en operaciones financieras. 2. Qué diferencia existe entre tasa de interés y tipo de interés? 3. En una situación financiera que significa una proporción directa o inversa en la relación tiepo y tasa? 4. Qué es ayor, el capital o el onto de capital? 5. Explique breveente el concepto de descuento coercial. 6. Cuál es la diferencia entre descuento real y coercial? 7. Defina o explique la diferencia entre valor noinal y valor descontado de un docuento. 8. Explique las características del interés y del descuento siple exacto con tiepo aproxiado. 9. Qué características tiene el descuento coercial exacto con tiepo aproxiado? 10. Qué es ás productivo para el inversionista, el interés siple exacto o el ordinario? 35

36 Exaen de autoevaluación 1. Si invertios $25, en una institución financiera que nos otorga una tasa de interés siple del 9% anual, cuanto tendreos dentro de 3 años? a) $32, b) $31, c) $27, d) $31, e) $19, Una persona recibió un préstao y al final de 4 eses deberá pagar un onto futuro de $19,600. Si los intereses causados iportan $1, Qué cantidad le prestaron? a) $18, b) $18, c) $18, d) $18, e) $18, Calcular el interés siple que produce un capital de $13, a una tasa del 4.25% triestral durante un año y tres eses. a) $2, b) $2, c) $3, d) $2, e) $2,

37 4. Un epleado obtiene un préstao por $97, para liquidarlo 3 años después. Mientras exista la deuda el epleado pagará intereses ensuales a una tasa de interés siple del 18% anual. Calcular el iporte del pago de intereses de cada es. a) $1, b) $ 1, c) $1, d) $ 1, e) $1, Un capitalista posee $200,00.00 e invierte el 75% a una tasa de interés siple del 2% cada triestre, y el resto al 3.6% cada seestre, si se conviene en retirar ensualente los intereses, Cuánto recibirá cada es de intereses? a) $1, b) $1, c) $ d) $1, e) $2, Si se ha prestado la cantidad de $2, a una tasa del 3.58% cada es y se ganó un interés de $286.40, cuántos eses transcurrieron? a) 1 es b) 2 eses c) 3 eses d) 4 eses e) 5 eses 7. Para disponer de veinte il pesos dentro de seis eses, con una tasa del 4.2% siple anual, se necesita una inversión de: a) $19, b) $19, c) $16,

38 d) $14, e) $20, Cuál es el onto de un docuento cuyo venciiento es seis eses después y que apara un préstao por $320, pesos con recargos del 36% siple anual? a) $377, b) $435, c) $388, d) $415, e) $396, Cuál es el valor descontado de un docuento cuyo valor es de $34, si se le aplica una tasa del 8% siple anual, tres eses antes de su venciiento: a) $33, b) $34, c) $33, d) $30, e) $33, Cuál es el valor líquido sobre un docuento con valor noinal de $ que vence dentro de 3 eses a una tasa de descuento siple del 9% anual. a) $ b) $ c) $ d) $ e) $

39 Tea 2. Interés copuesto Objetivo particular Al finalizar la unidad el estudiante deberá diferenciar entre operaciones financieras realizadas a interés siple y copuesto. Obtendrá la capacidad de calcular el onto de capital, valor presente, interés, tasa de interés, y plazo a interés copuesto. Deberá utilizar las herraientas necesarias para la reestructuración de una o varias deudas efectuando cálculos necesarios para deterinar las nuevas obligaciones en tiepo y cantidad. Teario detallado 2. Interés copuesto 2.1 Concepto 2.2 Monto, capital, tasa de interés y tiepo 2.3 Tasa noinal, tasa efectiva y tasas equivalentes 2.4 Ecuación de valor Introducción El interés copuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada periodo que sirve coo base para su deterinación, los intereses correspondientes. Así, provoca que los isos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir ás intereses). Cuando el tiepo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontraos ante un problea de interés copuesto y no de interés siple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean enores al tiepo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés siple. 39

40 Por eso, es iportante deterinar los plazos en que van a vencer los intereses, para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia, establecer el procediiento para calcular los intereses (siple o copuesto). NOTA: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con los periodos a los que se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su venciiento, se entenderá que ésta es anual, y las capitalizaciones, anuales Concepto Si al terinar un periodo de tiepo en una inversión a plazo fijo no se retira el capital ni los intereses entonces, a partir del segundo periodo los intereses ganados se integran al capital inicial forándose un nuevo capital para el siguiente periodo el cual generará nuevos intereses y así sucesivaente. Se dice por lo tanto que los intereses se capitalizan por lo que el capital inicial no peranece constante a través del tiepo, ya que auentará al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo con una tasa convenida. Cuando esto sucede decios que las operaciones financieras son a interés copuesto. El interés siple produce un creciiento lineal del capital y por el contrario un capital a interés copuesto crece de anera exponencial. Un gran núero de operaciones en el edio financiero se trabajan a interés copuesto cuando son a plazos edianos o largos Monto, capital, tasa de interés y tiepo. El onto futuro de una operación a interés copuesto es la cantidad que se acuula al final del proceso o lapso de tiepo considerado, a partir de un capital inicial sujeto a deterinados periodos de capitalización de intereses. 40

41 El valor presente o actual de una operación a interés copuesto es el capital inicial calculado a partir de un onto futuro y considerando cierto núero de periodos de capitalización de intereses. El periodo convenido para convertir el interés en capital se llaa periodo de capitalización o periodo de conversión. Así, si una operación se capitaliza seestralente, quiere decir que cada seis eses los intereses generados se agregan al capital para generar nuevos intereses en los siguientes periodos. De igual fora al decir que un periodo de capitalización es ensual se está indicando que al final de cada es se capitaliza el interés generado en el transcurso del es. El interés puede capitalizarse en periodos anuales, seentales, cuatriestrales, triestrales, biestrales, ensuales, seanales, quincenales etc. y el núero de veces que el interés se capitaliza en un año se llaa frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización Noenclatura. C Representa el capital inicial, llaado tabién principal. Suele representarse tabién por las letras A o P (valor presente). M Representa el capital final, llaado tabién onto o dinero increentado. Es el valor futuro de C. J Es la tasa noinal de interés calculada para un periodo de un año. Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento. i Es la tasa de interés por periodo de tiepo y representa el costo o rendiiento periodo de capitalización de un capital ya sea producto de un préstao o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa noinal entre la frecuencia de conversión 41

42 Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el núero de veces que se capitaliza un capital en un año. na Es el núero de años que peranece prestado o invertido un capital. n Es el núero de periodos de que consta una operación financiera a interés copuesto. Para calcular el onto de un capital a interés copuesto, se deterina el interés siple sobre un capital sucesivaente ayor, coo resultado que en cada periodo los intereses se van suando al capital inicial. Por ejeplo, el caso de un préstao de $10,000.00, a 18% anual en 6 años; para confrontar el funcionaiento respecto del interés siple, se copara abos tipos de interés en la siguiente tabla: Interés Interés siple copuesto Capital inicial $ 10, $ 10, Intereses en el 1.º año $ 1, $ 1, Monto al fin del 1.º año $ 11, $ 11, Intereses en el 2.º año $ 2, $ 1, Monto al fin del 2.º año $ 13, $ 13, Intereses en el 3.º año $ 2, $ 1, Monto al fin del 3.º año $ 16, $ 15, Intereses en el 4.º año $ 2, $ 1, Monto al fin del 4.º año $ 19, $ 17, Intereses en el 5.º año $ 3, $ 1, Monto al fin del 5.º año $ 22, $ 19, Intereses en el 6.º año $ 4, $ 1, Monto al fin del 6.º año $ 26, $ 20,

43 Coo se puede ver, el onto a interés copuesto es ayor por la capitalización de los intereses en cada uno de los plazos establecidos de anteano. Si se sigue este procediiento, podeos encontrar el onto a interés copuesto; sin ebargo, cuando el tiepo de operación es deasiado largo, esta isa solución puede tener errores Fórulas para calcular el onto futuro de una inversión a interés copuesto. Se conoce el capital, la tasa noinal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiepo: Monto futuro: n M C 1 i... (23) Tasa por periodo de capitalización J i... (24) N de periodos de capitalización: n n a... (25) NOTA: para estudiar el interés copuesto, se utilizan las isas literales del interés siple. Pero cabe hacer algunas observaciones iportantes: a. En este caso, el tiepo se ide por periodos de capitalización (núero de veces que los intereses se convierten o suan al capital en todo el plazo que dura la operación). b. Se debe toar en cuenta, nuevaente, que tanto la variable tiepo que de aquí en adelante se le puede llaar periodo de capitalización (n) coo la de tasa de interés (i) se anejen en la isa unidad de tiepo. c. En la tasa de interés pueden aparecer las palabras convertible, copuesto, noinal o capitalizable, que se toan coo sinónios e indican el núero de veces que se capitalizarán los intereses en un año (frecuencia de conversión). 43

44 Ejeplo: El 18% convertible ensualente indica que el 18% que está en fora anual debe ser convertido a fora ensual. Esto se realiza dividiendo el porcentaje entre 12 (núero de eses del año): 0.18/12. Si es capitalizable triestralente, el resultado es 0.18/4, etcétera. Ejercicio 1. Cuál es el onto de un capital de $10,000.00, ipuesto a interés copuesto a la tasa del 18% anual en 6 años? Fórulas: J i M C 1i n n n a C 10, 000 J n a 6 Solución: 0.18 i 0.18 n M 10, , El resultado anterior es el iso que obtuvios aritéticaente en la tabla anterior. (Observa que la tasa no fue convertida en una unidad de tiepo enor, ya que no se indicaba en ella). Desde este oento, siepre que se encione la palabra interés, deberá entenderse que se hace referencia al interés copuesto. Ejercicio 2. Cuál es el onto de un capital de $85,000.00, ipuesto a un interés copuesto a la tasa del 22% durante 12 años)? Fórulas: J i M C 1i n n n a C 85, 000 J n a 12 Solución: 0.22 i 0.22 n

45 M 85, , Ejercicio 3. Obtener el onto de que se acuula en 3 años de un capital de $65, a) Si se invierte al 15% copuesto por seestres. b) Si la tasa disinuye 3 ppc. c) Interpretar resultados. a Tasa al 15% : Fórulas: J i M C 1i n n n a C 65,000 J n a Solución: i n b Tasa al 12% : M 65, , Solución: i 0.06 n M 65, , c Interpretación : Si la tasa disinuye en 3 ppc., el onto futuro en 3 años tabién disinuye en un 8.1%. 45

46 Fórulas para calcular el valor presente de una inversión a interés copuesto. Se conoce el onto futuro de capital, la tasa noinal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiepo o núero de periodos de capitalización: M C... (26) 1 i n o tabién: C M i n 1... (27) en donde: J i y n n a Cálculo del capital en función del interés I C... (28) 1 i 1 n Coprobeos la fórula anterior en los ejercicios siguientes. Ejercicio 4. Qué capital producirá un interés copuesto de $139, a los 4 años y a la tasa del 2% biestral? Fórulas: I C 1 i 1 n I 139, i n a 4 Solución: i 0.02 n , C 230,

47 Ejercicio 5. Cuál es el capital de un valor acuulado de $924,138.14, invertido durante 12 años al 22% anual? Fórulas: C M J i 1 i n n n a M J n a 12 Solución: 0.22 i 0.22 n A 924, , Ejercicio 6. Qué capital produce un onto de $380, a los 6 años, si la tasa es del 3.5% triestral? Fórulas: C M J i 1 i n n n a M 380, i n 6 a Solución: n A 380, , Ejercicio 7. Calcular el valor actual de un capital futuro de $7, con venciiento en 4 años si la tasa de interés es del 14.0%. a) Con capitalización ensual. b) Con capitalización biestral. c) Con capitalización triestral. d) Coparar resultados. 47

48 a Capitalización ensual : Fórulas: C M J i 1 i n n n a M 7,500 J n a Solución: i n A 7, , b Capitalización biestral : 0.14 Solución: i n M 7,500 J n a 4 A 7, , c Capitalización triestral : 0.14 Solución: i n A 7, , M 7,500 J n a 4 d) Interpretación : La diferencia entre una capitalización biestral respecto a una ensual es del 0.32%, la triestral respecto a la biestral es de un 0.315% y de una triestral respecto a una ensual es del 0.635% 48

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