INTERÉS COMPUESTO. Alejandro Vera Trejo

Transcripción

1 INTERÉS COMPUESTO Alejandro Vera Trejo

2 Objetivo Se manejarán los factores que intervienen en el modelo de interés compuesto aplicándolos en el planteamiento y resolución de problemas. Se solucionaran situaciones reales a través de casos concretos que conlleven a la deducción de lo que representa el modelo de interés compuesto. Se platearán y solucionarán ejercicios sobre el cálculo del monto compuesto, tasas nominales y efectivas, así como la ecuación de valor.

3 Qué es el interés compuesto? Es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos. Una transacción trabaja a interés compuesto cuando el capital inicial y los intereses generados en cada periodo ganan intereses en periodos subsiguientes. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y que devenga interés en el período o períodos subsiguientes.

4 Cómo se obtiene el interés compuesto? El interés compuesto se deduce de la siguiente manera: VF =VA + VAi = VA(1+i) Donde VF es el monto o valor futuro al final de periodo e incluye el Capital VA o valor inicial más los intereses devengados por el capital en el periodo VAi. Si al final del periodo ni el capital ni los intereses se retiran, al final del segundo periodo de tendrá que el nuevo monto es:

5 Cómo se obtiene el interés compuesto? VF 2 = VA(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i) 2 Si al final del segundo periodo sucede lo mismo que en el primero. Al final del tercer periodo se tendrá. VF 3 = VA(1 + i)(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i) 3 Generalizando para n periodos de composición se tiene que la formula general de interés compuesto está dada por:

6 Cómo se obtiene el interés compuesto? VF = VA(1 + i) n Donde: VF VA i n = Monto o Valor Futuro = Capital o Valor Inicial = Tasa efectiva = número de periodos n Plazo Total de la Inversión Días del periodo

7 Cómo se obtiene el interés compuesto? Supóngase que se depositan $1,000 en una cuenta bancaria que paga el 0.5% de interés compuesto mensualmente Cuál es el monto al final de año y medio? VF = VA (1+i) n VF = 1,000 ( ) 18 VF = 1,000 (1.005) 18 VF = 1,000 ( ) VF = $1,

8 Cómo se obtiene el interés compuesto? Si se invierten $10,000 a una tasa del 12% anual capitalizable mensualmente, durante 90 días Cuánto se genera de intereses? VF = VA (1+i) n VF = 10,000 (1+ (0.12*30/360)) (90/30) VF = 10,000 ( ) (90/30) VF = 10,000 ( ) VF = $10, I = VF-VA = 10, ,000 = $303.01

9 Cómo se obtiene el interés compuesto? El Banco ofrece a un ahorrador una tasa de 10% de interés capitalizable semestralmente. Si el ahorrador deposita $2, el 1 de enero de 2010, y no hace movimientos en su cuenta Cuánto tendrá el 1 de enero de 2012? VF = VA (1+i) n VF = 2,000 (1+ 0.1) 4 VF = 2,000 (1.1) 4 VF = 2,000 (1.4641) VF = 2,928.20

10 Cómo se obtiene el interés compuesto? Con los datos de ejercicio anterior, calcular el plazo de inversión. VF = VA (1+i) n 2, = 2,000 (1+ 0.1) n Aplicando logaritmos en ambos miembros de la ecuación. log (VF) = log VA(1+i) n log (VF) = log VA + n log(1+i) n=(log ( ) log (2000))/log(1+0.1)=4

11 Cómo se obtiene el interés compuesto? Se desea encontrar el plazo n que se requiere para obtener un monto M de $8, con un capital C de $5,800 y una tasa de interés anual del 5%. Sea M = C (1+i) n Aplicando logaritmos en ambos miembros de la ecuación. log (M) = log C(1+i) n log (M) = log C + n log(1+i) n=(log ( ) log (5800))/log(1+0.05) = 7

12 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Si un capital invertido a interés compuesto se capitaliza cada año, el monto compuesto al final del primer año es igual al interés simple a un año. Sin embargo, si la capitalización se efectúa más de una vez al año; el monto compuesto al final de un año es mayor que el obtenido por interés simple. Cuando esto sucede se puede determinar una tasa efectiva de interés.

13 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de $10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable mensualmente? M = 10,000 (1 + (0.20/ 12)) 12 = 12, I = 12, ,000 = 2,193.9 Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = ó 21.94% De aquí se puede deducir que la tasa efectiva es: Tasa Efectiva = [(1 + i) n 1] Tasa Efectiva = [(1+(0.20/12)) 12 ) -1] Tasa Efectiva = ó % A una tasa nominal del 20%, se recibe una tasa efectiva del 21.94%.

14 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de $1,000 pactada a 18% de interés anual capitalizable mensualmente? Tasa efectiva = [(1+i) n 1] Tasa efectiva = [(1+(0.18/12)) 12 )-1] Tasa efectiva = 19.56% Intereses = C [(1+(0.18/12))12)-1] Intereses = $1,000 [(1+(0.18/12))12)-1] Intereses = $ Lo que significa que a tasa nominal del 18%, el inversionista ganó la tasa efectiva de 19.56%

15 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000 que se pactó a 16% de interés anual capitalizable trimestralmente? Tasa efectiva = [(1+i) n 1] Tasa efectiva = [(1+(0.16/4)) 4 )-1] Tasa efectiva = 16.98% Intereses = C [(1+(0.16/4)) 4 )-1] Intereses = $250,000 [(1+(0.16/4)) 4 )-1] Intereses = $42, Lo que significa que a tasa nominal del 16%, el banco ganó la tasa efectiva de 16.98%

16 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Se dice que dos tasas son equivalentes cuando operando de manera diferente arrojan el mismo resultado. Una tasa puede capitalizar mensualmente y la otra semestralmente, o bien en forma trimestral y la otra en forma anual etc. Cuando sucede que dichas tasas con capitalizaciones diferentes arrojan el mismo interés, se está en presencia de una tasa equivalente.

17 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Un inversionista deposita 10,000 USD a una tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente durante un año. M = 10,000 [( / 4) 4 ] = 10, Tasa nominal = ([(10,824.32/10,000) (1/4) ]-1)4 = 0.08 ó 8% Tasa efectiva = [(10,824.32/10,000) 1 ]-1 = ó % Tasa Equivalente M = 10,000 ( / 4) 4 = 10, Con Tasa Nominal M = 10,000 ( ) 1 = 10, Con Tasa Efectiva

18 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Hallar la tasa equivalente que iguala una tasa capitalizada bimestralmente a una tasa nominal del 36% Se plantea la ecuación capitalizando ambas tasas durante un año. (1+j/6) 6 = (1+0.36) 1 j = [((1+0.36) 1 ) 1/6-1]6 j = ó %

19 Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente Ejemplo: Hallar la tasa compuesta trimestralmente que equivale a 2.5% mensual. Se plantea la ecuación capitalizando ambas tasas durante un año. (1+j/4) 4 = ( ) 12 j = [(( ) 12 ) 1/4-1]4 j = ó %

20 Qué es una ecuación de valor? En el ámbito de las operaciones financieras un deudor puede desear remplazar un conjunto de deudas previamente contraídas con un determinado acreedor, por otro conjunto que le sean equivalentes, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. Para lograr esto último es necesario plantear una ecuación de valor.

21 Qué es una ecuación de valor? Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para remplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha común, llamada fecha focal o fecha de valuación.

22 Qué es una ecuación de valor? Un inversionista tiene una deuda que debe ser saldada en la siguiente forma: $1, en este momento y $2, dentro de un mes. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es del 35%? a) Se elabora la gráfica de tiempo y valor.

23 Qué es una ecuación de valor? b) Se determina la fecha focal que es hoy o mes cero. 1,470 hoy X pago propuesto 2,600 1 mes c) Se plantea la ecuación de valor. X = 1,470 + [2,600 / (1+(0.35/12)) 1 ]= X = 1, ,600/( ) X = 1, , = 3, Valor de deudas originales = Valor de deudas propuesto.

24 Qué es una ecuación de valor? b) Supóngase que la fecha focal es en el segundo mes. 1,470 hoy X pago propuesto 2,600 1 mes 2 mes c) Se plantea la ecuación de valor. X (1+(0.35/12)) 2 = 1,470(1+(0.35/12)) 2 + 2,600(1+(0.35/12)) X = 1,470( ) + 2,600( ) X = (1, , )/ X= 4, / = 3, igual que el anterior

25 Qué es una ecuación de valor? Un inversionista debe $5,700 a pagar dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar dentro de 8 meses. Una negociación con su acreedor le permitirá pagar mediante dos pagos de igual cuantía; el primero a efectuar dentro de 10 meses y el otro al cabo de un año. Cuál será el pago, si ambos acuerdan una tasa de interés del 40%? a) Se elabora la gráfica de tiempo y valor.

26 Qué es una ecuación de valor? b) Se determina la fecha focal en el mes 12 Cuánto debe pagar? 5,700 7, c) Se determina la ecuación de valor M 1 = 5,700[1+(0.40/12)] 8 = 7, M 2 =7,440[1+(0.40/12)] 4 = 8, M 3 = X [1+(0.40/12)] 2 = X ( ) M 4 = X x x meses Ecuación de valor M 1 + M 2 = M 3 + M 4 7, , = ( ) X + X 15, = X X = $7, se deben hacer dos pagos de esta cantidad.

27 Qué es una ecuación de valor? Si la fecha focal es el quinto mes, cuánto debe pagar? 5,700 7, x meses x M 1 = 5,700[1+(0.40/12)] 1 = 5,890 VP 2 =7,440 / [1+(0.40/12)] 3 = 6, VP 3 = X / [1+(0.40/12)] 5 = X ( ) VP 4 = X / [1+(0.40/12)] 7 = X ( ) Ecuación de valor M 1 + VP 2 = VP 3 + VP 4 5, , = X ( ) + X ( ) 12, = X X = $7, se deben hacer dos pagos por esta cantidad.

28 BIBLIOGRAFIA 1. Villalobos José Luis, "Matemáticas Financieras, 2a Edición 2001 por Prentice Hall. 2. Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera Gómez Matemáticas Financieras", Tercera edición 1999 por Mc Graw Hill Interamericana. 3. Carlos Ramírez Molinares, Milton García Barbosa, Cristo Pantoja Algarín, Ariel Zambrano Meza Fundamentos de Matemáticas financieras, Universidad Libre Sede Cartagena Centro de Investigaciones 2009.

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