Tasas de Interés y Valor de Dinero en el tiempo

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1 IN Análisis y Matemáticas Financieras Profesores: Eduardo Contreras Claudio Jiménez Auxiliares: María Angélica Gatica Ricardo Mascaró Tasas de Interés y Valor de Dinero en el tiempo Pregunta 1 Dado que usted ya es alumno de 4to (o 3ro) de Ingeniería Industrial, se ha convertido en un sujeto bastante atractivo de crédito y productos bancarios. Luego de que ha sido seducido(a) por muchas empresas del rubro, obtiene la tasa de interés que le ofrece cada banco para un determinado crédito. La tasa de inflación anual esperada es del 2%. Con qué banco se quedaría? Cómo cambiaría su respuesta si esta tasa no fuera para otorgar créditos, sino para sus depósitos a plazo? 1. El Banco del Gobierno de Chile le ofrece una tasa de colocación del 6.02 % anual capitalizable semestralmente. 2. El Banco VVBA le ofrece una tasa de colocación del 3.5 % anual capitalizable trimestralmente. 3. El Banco de Tchile le ofrece una tasa de colocación del % mensual nominal. 4. El Banco Fue a la Feria le ofrece pagar una tasa anual de un 14% que compone continuamente. Para obtener el banco más conveniente, se deben comparar las tasas de interés ofrecidas. Pero para realizar dicha comparación es necesario tener tasas que afecten el mismo periodo. Transformaremos todas las tasas a anuales efectivas y reales para realizar las comparaciones. Alternativa Banco del Gobierno de Chile: Transformación entra una tasa anual efectiva y una tasa anual capitalizable semestral. (1 + r a ) = (1 + r an/sem ) r a 6, 02% = r a = 6, 11% 2 1 Alternativa Banco VVBA: Transformación entre tasas efectivas. (1 + r a ) = (1 + r an/trim ) 4 4

2 0, 035 (1 + r a ) = (1 + 4 )4 (1 + r a ) = (1 + 0, 035%) 4 r a = 14, 75% Alternativa Banco de Tchile: Tasa efectiva a partir de una tasa nominal que incluye efectos de inflación: 1 + i a = 1 + i men 12 i a = 1 + 0, = 9, 73% Descontamos los efectos de la inflación a partir de la identidad de Fischer: 1 + r a = 1 + i a 1 + π a 1, 0973 = 1, 02 r a = 7, 5% Alternativa Banco Fue a la Feria: Tasa efectiva a partir de tasa anual que capitaliza continuamente: (1 + r a ) = e r cont (1 + r a ) = e 0,14 r a = 15, 02% Luego, la alternativa que más conviene es la del Banco del Gobierno de Chile. La respuesta cambiaría para la segunda pregunta, dado que la tasa correspondería a lo que me pagarían por realizar mis depósitos en el banco, lo que se traduciría en un beneficio futuro. En ese caso, la alternativa más conveniente es la del Banco Fue a la Feria. Pregunta 2 Usted necesita realizar una fuerte inversión en equipamiento electrónico para echar a andar un negocio de sonido. El equipo que más se adecua a sus necesidades, tiene un valor de mercado de $ Como estudiante no tiene recursos para realizar dicha inversión, por lo que se ve obligado a pedir un préstamo bancario. Si pide un préstamo a cuota fija por el total del valor, a cinco meses con dos periodos de gracia sin pago de intereses y un interés del 18% anual. Confeccione la tabla de pago correspondiente al crédito.

3 Dada la tasa anual del 18% anual, encontramos la mensual: (1 + r a ) = (1 + r men ) 12 r men = 1 + r a r men = 1, 3888% Para la construcción de la tabla de pagos, debemos considerar que los primeros dos periodos corresponden a "periodos de gracia" por lo que sólo se acumularán intereses, sin cancelar cuotas ni generando amortización. Es por esto, que para el periodo dos, tendremos acumulado el saldo inicial, más todos los intereses generados por esos dos periodos de gracia (Valor futuro en 2: VF ). Luego, basta aplicar la fórmula de anualidades: VF 2 = C ((1 + r)3 1) (1 + r) 3 r C = VF 2 ((1 + r)3 r) ((1 + r) 3 1) C = $ Recordar que: Cuota = Amortización + Interés Deuda t = Deuda t1 Amortización t Periodo Deuda Interés Amortización Cuota , , , , , Notar que la deuda al final es cero, lo que indica que el crédito se pagó en su totalidad, lo que es consistente con el desarrollo del ejercicio. Pregunta 3

4 Los padres de Valentina siempre han sido precavidos con la educación de su hija, por lo que para su décimo cumpleaños deciden hacer un depósito de $ en una cuenta de ahorros. Ellos pretenden hacer el mismo depósito cada año hasta que Valentina cumpla 17 años de manera que fondos ahorrados permitan pagar la universidad de su hija (alejándola de la farándula), por lo que esperan hacer cuatro retiros idénticos por $ en los cumpleaños número 18, 19, 20 y 21. La rentabilidad anual de la cuenta es de 10% anual. Alcanzará el monto ahorrado para poder realizar los retiros? Si no alcanza el ahorro realizado cuál sería el valor real de los retiros? Se debe cumplir que 𝑉𝐹 "#ó"#$ = 𝑉𝑃 "#$%& El valor futuro de la anualidad se define como: 𝑉𝐹 = 𝑉𝐹 "#ó"#$ = 1+𝑟 ,1 0,1 El valor presente de la anualidad se define como: 𝑉𝑃 = 𝑉𝑃 "#$%& = 1 1 = $ ,1 0,1 1 1+𝑟 = $ Como 𝑉𝐹 "#ó"#$ 𝑉𝑃 "#$%& no alcanza el ahorro para pagar la universidad. El valor real de los retiros que se pueden realizar será: 𝐴 = Pregunta 4 𝑉𝑃 𝑟 ,1 = = $ [1 (1 + 𝑟) ] [1 (1 + 0,1) ] Mathias Goma, previsor y preocupado estudiante universitario, asustado por las bajas pensiones que recibirán sus padres una vez jubilados, se ha propuesto desarrollar un plan de inversiones de manera de que al momento de su retiro esté "forrado" teniendo acceso a una vida de licor, juego y mujerzuelas. Goma sabe que no va a poder ahorrar hasta por lo menos 3 años más, pero aún así quiere estimar cuándo debería ser el ahorro mínimo que debería realizar para poder lograr su objetivo. Según sus estimaciones, una jubilación "óptima" debería ser de al menos 80UF mensuales. Nuestro amigo, por ley deberá ahorrar mensualmente 5UF en su fondo de pensión, a lo cual piensa sumar un ahorro previsional voluntario (APV). Además, dada la preocupación de él, cada tres años desea destinar la totalidad de sus bonos y aguinaldos anuales a su fondo de pensión lo que asciende a 40UF anuales. Mathias tiene hoy 21 años y tiene una cuenta de ahorro de 140UF las que tiene depositadas en su cuenta de ahorro previsional. Espera empezar a trabajar a los 24 años y jubilarse a los 69. Cuál debería ser el APV que deberá realizar mensualmente Goma para poder lograr su objetivo, si desea obtener una jubilación por 35 años? Cómo cambia el aporte en caso que

5 desee una pensión vitalicia (perpetua)? Asuma una tasa de interés de un 5% para todo el periodo de evaluación. Para obtener el valor futuro del ahorro, se deberán llevar a valor futuro cada uno de los factores de ahorro, es decir, el ahorro de 5UF mensuales, 40UF cada tres años, el ahorro de 140UF para el día de hoy y el ahorro por concepto de APV. Por otro lado, dado que Mathias se quiere pensionar con 80UF mensuales, se debiese calcular que: 𝑉𝐹" (5𝑈𝐹) + 𝑉𝐹" (140𝑈𝐹) + 𝑉𝐹" (40𝑈𝐹) + 𝑉𝐹" (𝐴𝑃𝑉) = 𝑉𝑃" (80𝑈𝐹) (1) Valor futuro de las 140UF ahorradas a los 21 años: 𝑉𝐹" (140𝑈𝐹) = 140 (1 + 0,05)"" = 1.465,17𝑈𝐹 Valor futuro de 5UF mensuales: 1 + 0,05 = 1 + 𝑟"#$ " 𝑟"#$ = (1,05)/" 1 = 0,4074% Periodos: (69-24)x12=540 (1 + 0,004074)"# 1 𝑉𝐹" (5𝑈𝐹) = 5𝑈𝐹 = 9.799,22𝑈𝐹 9800𝑈𝐹 0, Valor futuro de 40UF cada tres años: Para esta partida, conviene construir una tasa trianual. Con ello se facilita rápidamente el cálculo, considerando cada depósito como una "anualidad" (que es cada tres años) ,05 = 1 + 𝑟"#$ 𝑟"#$% = 1,05 1 = 15.76% Periodos: (69-24)/3=15 o bien, 15 trianualidades. (1 + 0,1576)" 1 𝑉𝐹" (40𝑈𝐹) = 40𝑈𝐹 = 2.026𝑈𝐹 0,1576 Valor presente en el año 69 de una mensualidad por 35 años de 80 UF: Periodos: 35x12=420 Tasa de interés: 0, (despejada previamente) 1 + 0, "# 1 𝑉𝑃" 80𝑈𝐹 = 80𝑈𝐹 = 𝑈𝐹 0, , "#

6 Reemplazando cada valor en (1), se tiene: VF " APV = UF VF " APV = 2.785UF APV (1 + 0,004074"# ) 1 0, = 2.785UF APV = 1.42UF Para el caso en que se tenga una perpetuidad de 80UF el ejercicio es análogo, con la salvedad que se calcula el valor futuro en el año 69 de una perpetuidad de 80UF: VP " (80UF) = 80 0, = UF Reemplazando dicho valor en (1) y despejando el APV se tiene la solución: VF " APV = UF VF " APV = 6.345UF APV (1 + 0,004074"# ) 1 0, = 6.345UF APV = 3.73UF

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