Gravitación universal 1

Transcripción

1 9 Graitación uniersal 1 Contenidos del ódulo 9.1 Descoposición de las fuerzas 9. Ley de la graitación uniersal 9.3 Ecuaciones de un oiiento para fuerzas graitatorias 9.4 Verificación de la ley de graitación uniersal Objetios del ódulo 1. Presentar las leyes de Newton para el oiiento de los cuerpos.. Deducir la ley de graitación uniersal. 3. Discutir la solución a la ecuación de oiiento bajo fuerzas graitatorias. 4. Verificar la copatibilidad de la ley de graitación uniersal con los descubriientos de Galileo sobre caída de los cuerpos. Graitación. La fuerza graitacional que ejerce la Tierra sobre los cuerpos situados en su superficie o cerca de ella hace que éstos tiendan a caer. Preguntas básicas 1. Por qué es posible afirar que toda fuerza que actúa sobre un cuerpo tiene una coponente tangencial y otra perpendicular al oiiento?. Por qué se puede calcular el alor de la aceleración en el oiiento circular unifore a pesar de que la agnitud de la elocidad no cabia? 3. Cuál es la iportancia de poder expresar una ecuación de oiiento para un cuerpo sobre el que actúa una fuerza? 4. Indique cuáles son los paráetros y las funciones que es preciso conocer para poder deterinar la trayectoria de un cuerpo sujeto a una deterinada fuerza. 5. Explique por qué es tan iportante el estudio del oiiento circular unifore en la deterinación de la fuerza de graitación uniersal, a pesar de que los planetas no se ueen en órbitas circulares. 6. Explique por qué la fuerza de graitación debe ser proporcional al producto de las asas de los cuerpos que interactúan. 7. Por qué se llaa uniersal a la ley de graitación de Newton? 8. Explique cuál es la alidez de los descubriientos de Galileo desde el punto de ista de la teoría de Newton de la graitación. Introducción A partir de las leyes para el oiiento de los cuerpos es posible plantear ecuaciones de oiiento si se conoce la fora ateática de la fuerza. La solución a la ecuación de oiiento se conoce coo trayectoria y está dada en térinos de la posición en función del tiepo. Para deterinar las posibles trayectorias de un cuerpo sujeto a la fuerza de graitación es necesario deterinar la fora ateática de la fuerza y resoler la ecuación de oiiento que resulta. Los resultados obtenidos deben ser copatibles con resultados preiaente alidados de las teorías y los odelos anteriores. Vea el ódulo 9 del prograa de teleisión Física Conceptual Física Conceptual 97

2 Capítulo : Los fundaentos de la ecánica 9.1 Descoposición de las fuerzas Considereos la trayectoria de un cuerpo sobre el que actúa una fuerza (figura 9.1). Debido a su carácter ectorial, una fuerza se puede descoponer conenienteente en coponentes perpendiculares; si una de las coponentes es paralela instantáneaente a la elocidad del óil, la otra será perpendicular a la priera, de odo que si designaos por F la fuerza que actúa sobre el cuerpo, por F t la fuerza tangencial a la trayectoria y por F c la fuerza perpendicular, se cuple que: F =F t +F c (9.1) y FT FC F x Figura 9.1. Diagraa de fuerzas y trayectorias Considereos la acción de una fuerza paralela al desplazaiento del cuerpo sobre el que está actuando (figura 9.). La dirección del oiiento peranece inalterada pero la agnitud de la elocidad auenta y la aceleración es positia. Si la fuerza paralela actúa en la dirección contraria al oiiento, la elocidad disinuye y la aceleración es negatia. En consecuencia podeos decir que cuando la fuerza es paralela al desplazaiento del cuerpo sólo cabia la agnitud de la elocidad, pero deja la dirección inalterada. 1 FT : 1 FT : Figura 9.. Diagraa de fuerza y trayectoria paralela 98

3 Cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo es perpendicular a su trayectoria, la dirección del oiiento cabia instantáneaente pero la agnitud de la elocidad peranece inalterada. Puesto que la elocidad tiene carácter ectorial, el ero cabio de dirección iplica que hay una aceleración, aunque la agnitud de la elocidad no haya cabiado. Módulo 9: Graitación uniersal 1 Considereos el oiiento de un cuerpo soetido a una fuerza exclusiaente perpendicular, coo en el caso de un cuerpo atado por una cuerda que gira alrededor del punto O (figura 9.3). F C F C F C F C constante Figura 9.3. Cuerpo que gira atado a una cuerda Puesto que la agnitud de la elocidad no cabia, el óil recorre arcos iguales en interalos de tiepo iguales y realiza un oiiento que denoinaos circular y unifore (figura 9.4). Considereos dos puntos A y B uy próxios entre sí que definen un arco s que el óil recorre en el tiepo t, de odo que la agnitud de la elocidad es: s t (9.) La aceleración que experienta el óil se puede encontrar a partir de la relación entre la diferencia ectorial entre las elocidades en A y en B y el tiepo t (figura 9.5). Obsereos que los dos ectores elocidad A y B hacen un ángulo idéntico al ángulo que hacen los respectios radios R A y R B. Obsereos que si el tiepo t se hace tan corto coo se quiera, lo que se puede llaar un interalo infinitesial de tiepo, el arco AB se aproxia a una línea recta y el sector circular ABO se puede considerar un triángulo, que resulta seejante al triángulo forado por las elocidades A y B y su diferencia. Física Conceptual 99

4 Capítulo : Los fundaentos de la ecánica A A B RA RB B C Figura 9.4. Circunferencia con dos radios y ectores tangenciales A A R s B A B O A = B Figura 9.5. Sector esférico y triángulo de diferencia de elocidades Teniendo en cuenta la seejanza de los triángulos se puede establecer la siguiente relación: s R (9.3) De (9.) resulta que s t y teniendo en cuenta que si la aceleración es a t, entonces a t, y reeplazando en (9.3) obteneos: a R (9.4) 100

5 La expresión (9.4) corresponde a lo que aos a denoinar aceleración centrípeta, puesto que en el líite en el que t se hace infinitesial y tiende a cero, el ector es perpendicular a la elocidad y paralelo al radio. En consecuencia podeos decir que si un cuerpo de asa describe un oiiento circular unifore, la fuerza centrípeta que actúa sobre él tiene la agnitud: Módulo 9: Graitación uniersal 1 Fc R (9.5) 9. Ley de la graitación uniersal El haber podido establecer la fora de la fuerza centrípeta fue un paso uy iportante que dio Newton para resoler el problea del oiiento planetario bajo la fuerza central del Sol. Coo habíaos isto en el capítulo anterior, Newton estableció que la isa fuerza que hace caer una anzana tabién es responsable de que la Luna se coporte coo un satélite de la Tierra y de allí extendió su razonaiento al resto del sistea solar. Newton llegó a sus conclusiones a partir de la siguiente consideración: supongaos que desde la cia de una ontaña uy alta se lanza horizontalente un proyectil (figura 9.6). Es claro que el alcance del disparo dependerá de la elocidad inicial y si ésta no es uy alta el proyectil a a describir una trayectoria aproxiadaente parabólica, tal coo deostró Galileo. Pero si la elocidad auenta de una anera considerable de tal odo que el proyectil aance arios kilóetros antes de caer a tierra, la trayectoria será una especie de espiral. Si continuaos auentando la elocidad del proyectil tabién a a auentar su alcance hasta que llegará un oento en que el proyectil llegará de nueo al punto de partida, y puesto que la fuerza que actuó sobre él siepre fue perpendicular a su trayectoria, la elocidad no habrá cabiado de agnitud y el proyectil podrá continuar orbitando a la Tierra en círculos, en tanto no sea detenido por la fricción o por la acción de alguna otra fuerza. Figura 9.6. Lanzaiento de proyectiles desde lo alto de una ontaña Física Conceptual 101

6 Capítulo : Los fundaentos de la ecánica Una consideración adicional que desepeñó un papel uy iportante en la deducción de la fora de la ley de graitación uniersal fue la deostración que realizó Newton de que dos cuerpos extensos coo la Tierra y la Luna se atraen coo si sus asas estuieran concentradas en sus respectios centros de asa. Aunque Kepler había deostrado que el oiiento planetario correspondía a trayectorias elípticas, tabién era cierto que la ayoría de las elipses planetarias tenían poca excentricidad, coo en el caso de la Tierra, y que en ciertos casos se podían considerar casi circulares. Teniendo en cuenta esta aproxiación se puede considerar que el oiiento de la Tierra es circular y unifore (figura 9.7), de odo que la fuerza que actúa sobre ella es una fuerza centrípeta coo la que describe la ecuación (9.5). Sol Tierra Figura 9.7. Trayectoria circular de la Tierra alrededor del Sol Puesto que en el oiiento circular unifore la elocidad instantánea siepre es la isa y constante, y teniendo en cuenta que en un tiepo igual al periodo orbital T se recorre una circunferencia R, donde R es el radio de la órbita terrestre, se puede expresar la elocidad de la Tierra coo: R T (9.6) En consecuencia, si T es la asa de la Tierra, la fuerza que experienta en su órbita alrededor del Sol de acuerdo con la ecuación (9.5) es: F (9.7) 4 T R T En la ecuación (9.7) podeos er que la fuerza depende del inerso del cuadrado del periodo, pero si teneos en cuenta la tercera ley de Kepler, que en unidades astronóicas se expresa: T = R 3 (9.8) 10

7 la ecuación (9.7) queda: Módulo 9: Graitación uniersal 1 F R (9.9) 4 T La ecuación (9.9) está expresada en unidades astronóicas. En un sistea arbitrario de unidades podríaos escribir (9.9) coo una proporcionalidad de la siguiente anera: F R (9.10) T Si se tiene en cuenta que la fuerza con la que el Sol atrae a la Tierra es igual y de sentido contrario a la fuerza con la que la Tierra atrae al Sol, esta últia tiene que ser proporcional a la asa del Sol S, así coo la priera es proporcional a la asa de la Tierra T, de lo que resulta que la fuerza debe ser proporcional al producto de las asas del Sol y de la Tierra, por lo que la ley de fuerza se debe poder escribir: (9.11) T s F R Puesto que aparenteente no hay ninguna otra ariable que deterine la agnitud de la fuerza de interacción graitatoria entre dos cuerpos de asa y respectiaente, la proporción (9.11) se puede escribir coo una ecuación introduciendo una constante de proporcionalidad que llaareos constante de graitación uniersal G. F G R (9.1) La ecuación (9.1) constituye la ley de graitación uniersal. Su carácter de uniersal proiene del hecho de que cualquier par de cuerpos separados una distancia R, en cualquier lugar del unierso, se atraen utuaente con una fuerza cuya agnitud está dada por la ecuación (9.1). 9.3 Ecuaciones de un oiiento para fuerzas graitatorias Una ez conocida la fora de la ley de fuerzas para la atracción graitatoria, Newton procedió a plantear y a resoler la respectia ecuación de oiiento. Teniendo en cuenta que la aceleración está dada por a t y que la elocidad se puede expresar coo r t, donde r es el ector posición del cuerpo que está sujeto a la acción de la fuerza graitacional, si el interalo de tiepo se uele infinitesial y lo expresaos coo dt podeos escribir las expresiones para la elocidad y la aceleración así: = dr /dt. De acuerdo con lo anterior la aceleración se puede expresar coo a = d r /dt, y la ecuación de oiiento para un cuerpo de asa, que experienta la fuerza graitacional de otro cuerpo de asa situado a una distancia r, queda: d r dt G r (9.13) Física Conceptual 103

8 Capítulo : Los fundaentos de la ecánica Para escribir la ecuación (9.13) se ha partido del supuesto de que la asa es ucho ayor que la asa y que se encuentra en el origen del sistea de coordenadas (figura 9.8).,, r Figura 9.8. Diagraa de y La solución ás general de la ecuación (9.13) corresponde a la ecuación de una cónica. Para encontrar una solución específica es necesario conocer la posición y la elocidad inicial del cuerpo de asa, y dependiendo de estos dos alores la solución puede ser una cualquiera de las cuatro curas cónicas. Recordeos que las cónicas son las figuras que resultan cuando se intersecan un plano y un cono, y que dependiendo del ángulo entre el eje del cono y la noral al plano y del ángulo entre el eje y la generatriz del cono, se obtiene una de las cuatro cónicas: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. Noteos que tal coo en la ecuación (9.13) hay dos paráetros ajustables, la posición y la elocidad inicial, en la ecuación de una cónica tabién hay dos paráetros ariables que pueden ser los ángulos encionados o cualquier otra pareja de alores directaente relacionados con los anteriores. Si oleos a la situación de lanzar proyectiles horizontalente desde un sitio suficienteente alto podeos ilustrar de qué odo resulta cada una de las posibles trayectorias ariando la agnitud de la elocidad horizontal y dejando fija la posición inicial (figura 9.9). El prier caso de interés resulta cuando la elocidad inicial tiene el alor ínio necesario para que el cuerpo describa una trayectoria cerrada y regrese al punto de partida; en este caso la trayectoria es una circunferencia. El segundo caso que aos a considerar es aquel en el que el proyectil parte con la ínia elocidad necesaria e para escapar del centro de fuerza y alejarse indefinidaente; la trayectoria que resulta es una parábola. En el tercer caso considereos un proyectil que parte con una elocidad ayor que y enor que e ; la trayectoria que resulta es una elipse. Por últio considereos el caso en el que la elocidad inicial es ayor que e ; la trayectoria que resulta es una hipérbola. 104

9 Módulo 9: Graitación uniersal 1 Hipérbola Circunferencia Parábola Elipse c c c Figura 9.9. Diagraa de lanzaiento de proyectiles y cónicas Vaya a la aniación Diagraa de oiiento en cónicas relacionada con la figura 9.9. Es iportante obserar que para una posición inicial dada sólo hay un odo de obtener una circunferencia o una parábola, en tanto que existe una failia de un núero infinito de elipses o de hipérbolas para cada una de las elocidades que se encuentren en los rangos asignados, lo que explica por qué es tan poco frecuente encontrar en el oiiento planetario trayectorias perfectaente circulares y en cabio son tan counes las trayectorias elípticas y las hiperbólicas. 9.4 Verificación de la ley de graitación uniersal La gran potencia de la ley de graitación uniersal se puede apreciar al coprobar su copatibilidad con todos los hechos y leyes conocidos preiaente asociados al fenóeno de la graedad, tanto del oiiento astronóico coo del oiiento de los proyectiles y de los cuerpos graes La ley de caída de los cuerpos y el oiiento pendular Considereos inicialente los descubriientos de Galileo sobre la caída de los cuerpos y el oiiento pendular. De acuerdo con la ley de graitación uniersal, un cuerpo de asa sobre la superficie de la Tierra experienta una fuerza que se denoina peso, dada por la expresión: F GM R (9.14) Donde M es la asa de la Tierra y R es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Puesto que la fuerza que actúa sobre el cuerpo se puede expresar coo F = g, donde g es la aceleración de caída de los cuerpos, la ecuación (9.14) se puede escribir: g GM R (9.15) Física Conceptual 105

10 Capítulo : Los fundaentos de la ecánica Diidiendo a abos lados de la ecuación (9.15) por se obtiene la expresión para la aceleración que experienta el cuerpo que cae sobre la superficie de la Tierra: g GM R (9.16) Obsereos que g es una agnitud que no depende de la asa del cuerpo que cae. Esto está en copleto acuerdo con el resultado que había obtenido Galileo, de que la aceleración de caída de los cuerpos es independiente de la asa. Para llegar a este resultado se hizo la suposición iplícita de que la asa graitatoria de un cuerpo es igual a su asa inercial, consideración que inicialente pasa casi desapercibida pero que posteriorente a a cobrar un iportante significado físico. Pero Galileo tabién afiró que la aceleración de caída de los cuerpos no depende de la altura desde la que se dejen caer. Sin ebargo, la ecuación (9.16) nos dice que la aceleración depende de la distancia al centro de la Tierra, dato que fue clae para que Newton pudiera coparar la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre. La afiración de Galileo resulta coprensible cuando se tiene en cuenta que el radio terrestre ide unos kilóetros y que las ariaciones de altura que estaban disponibles para los experientos de Galileo apenas alcanzaban unos cientos de etros, agnitud despreciable en priera aproxiación respecto al alor del radio terrestre, de donde resulta que la ley de Galileo para la caída de los cuerpos se obtiene coo una aproxiación a partir de la ley de graitación de Newton. Actualente se dispone de instruentos de edición lo suficienteente precisos para deostrar que la aceleración de caída en los polos es ayor que en el ecuador debido al achataiento de la Tierra. Otro de los descubriientos claes en el trabajo de Galileo fue el isocroniso pendular, según el cual el periodo de oscilación de un péndulo no depende del peso ni de la aplitud. La independencia respecto al peso está directaente relacionada con la ley de caída libre y todas las consideraciones que se hicieron aplican en este caso. Pero la independencia del periodo respecto a la aplitud resulta ser una aproxiación álida sólo para el caso de pequeñas aplitudes de oscilación, en las que sea álida la aproxiación de que el ángulo que hace la cuerda del péndulo con la ertical cupla la relación sen, cuando se expresa en radianes. Resuen A partir de las leyes del oiiento y de las características conocidas del oiiento planetario, Newton deterinó la fora de la fuerza de graitación y estableció la ley de graitación uniersal, con lo que pudo plantear una ecuación de oiiento para un cuerpo sujeto a este tipo de fuerza. La solución ás general a la ecuación de oiiento bajo fuerzas graitatorias es una trayectoria cónica, que toa una fora específica según los alores que toen los paráetros posición inicial y elocidad inicial. La copatibilidad de la ley de graitación uniersal con los descubriientos de Galileo para la caída libre de los cuerpos y el oiiento pendular está garantizada por el hecho de que estos fenóenos se pueden deducir coo casos particulares y aproxiaciones de la ley de Newton. 106

11 Bibliografía Módulo 9: Graitación uniersal 1 1. Arons A La eolución de los conceptos de la física. México: Editorial Trillas.. Ballif J, Dibble W Conceptual physics. New York: Wiley. 3. Dapier WC Historia de la ciencia. Londres: Cabridge Uniersity Press. 4. Dias de Deus J, Pienta M, Noroña A, Peña T, Brogueira P Introducción a la física. Madrid: McGraw-Hill. 5. Sepúleda A Los conceptos de la física. Eolución histórica. Medellín: Editorial Uniersidad de Antioquia. Física Conceptual 107