ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO.

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1 1 Poición y deplazaiento. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO. Ejercicio de la unidad Ecribe el vector de poición y calcula u ódulo correpondiente para lo iguiente punto: P 1 (4,, 1), P ( 3,1,0) y P 3 (1,0, 5); La unidade de la coordenada etán en el Sitea Internacional..- Sea r(t) = (3t 4) i + 3 j k, en unidade del SI, el vector de poición de un óvil Calcula r(t) para t = y t = 5 aí coo el vector deplazaiento entre abo intante. 3.- Deterinar la ecuacione paraétrica y de la trayectoria del iguiente oviiento expreado por la ecuación: r(t) = [(t 5 t ) i + (3 t +1) j]. 4.- La ecuacione paraétrica de un óvil on: x = t 1, y = t + t 4, en unidade SI. Obtén la ecuación de la trayectoria y decide qué tipo de curva e. 5.- El vector de poición de una partícula e: r(t) = ( t + t 1) i + (t +) j, en unidade Sl. Deterina: a) El vector de poición en lo intante t = 1 y t = 3. b) El vector deplazaiento entre lo intante anteriore y u ódulo. c) La ecuación de la trayectoria en unidade SI. Dibuja aproxiadaente eta trayectoria. Velocidad. 6.- Razona i la iguiente afiracione on verdadera o fala: a) el epacio recorrido e iepre igual al ódulo del vector deplazaiento; b) el epacio recorrido e iepre igual al ódulo del vector deplazaiento ólo en lo oviiento lineale; c) la velocidad y la rapidez intantánea on agnitude idéntica; d) el ódulo de la velocidad intantánea e iepre igual a la rapidez intantánea; e) el ódulo de la velocidad edia e iepre igual a la rapidez edia; f) un óvil cuya rapidez e ditinta de cero puede tener el ódulo de u vector velocidad edia igual a cero entre do punto de u trayectoria. 7.- Calcular la velocidad edia entre lo intante t =,5 y t = 3,5, aí coo u ódulo en el oviiento: r(t) = [(t + 4 t ) i + (3t 1) j]. 8.- Un óvil e deplaza en línea recta a lo largo del eje x ocupando la iguiente poicione a cada intante de tiepo: t () x () Conteta: a) A partir de lo dato, cuánto oviiento ditinto oberva? b) Cuál erá la ecuación de la poición en función del tiepo en cada trao? c) Cual e el vector poición en lo intante t = 1 y t = 9? d) Cual e el vector deplazaiento y el vector velocidad edia entre lo punto del apartado anterior? 9.- Un oviiento viene deterinado por la iguiente ecuacione paraétrica: x(t) = 5 t; y(t) = 3 t t + 7; en unidade del S.I.. Exprea en fora carteiana a) lo vectore de poición para t = 3 y t = 5. b) el vector deplazaiento entre abo punto. c) Calcula, bien uando derivada, o bien de fora aproxiada

2 utilizando Δt = 0,01 la coponente del vector velocidad para t = 3 y u ódulo. d) Ecribe la ecuación de la trayectoria Un óvil igue el recorrido A B C indicado en el gráfico (la ditancia e iden en etro). a) Calcular el vector deplazaiento en cada uno de lo do trao. b) Si el tiepo que tarda en copletar el trao A B e de 5 y el B C de 10, calcula el vector velocidad edia de cada trao aí coo la velocidad edia total; c) Calcula lo ódulo de toda la velocidade obtenida en el apartado anterior Calcular la velocidad intantánea, uando derivada y de anera aproxiada utilizando intervalo Δt = 0,01, en el intante t = 3, aí coo u ódulo para un óvil cuya ecuación del vector poición e: r(t) = [(t + t ) i + (4t 1) j]. 1.- Un avión ituado en A e dipone a depegar. Inicia u recorrido por la pita auxiliare, paando por lo punto B y C hata que llega a D en la cabecera de la pita de depegue. Si la coordenada etán pueta en etro a) calcular el vector deplazaiento en cada trao. b) Si lo tiepo que tarda en copletar cada trao on 8, 50 y 30 repectivaente, calcula el vector velocidad edia de cada trao y el total, aí coo u ódulo. Aceleración 13.- Razona i un otorita que lleve una velocidad contante a lo largo de un circuito cerrado ufrirá aceleración Calcular la expreión del vector aceleración, uando derivada o de anera aproxiada utilizando intervalo Δt = 0,01, del oviiento cuyo vector velocidad era v(t) = [( t 1) i + (3 t + ) j] / en el intante t = 5, aí coo u ódulo Un óvil va por un circuito circular de 50 de radio. El ódulo de la velocidad auenta egún la ecuación: v(t) = (4 t ) /. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración noral; c) el ódulo del vector a a lo Un óvil e deplaza por el plano XY egún la ecuacione paraétrica: x = t 3 + 4; y = t t +5, en unidade del SI. Calcula: a) la expreión de la velocidad y de la aceleración del óvil; b) Calcular el ódulo de la velocidad y de la aceleración para t = La ecuación de poición de un óvil e: r(t) = ( t + ) i + [(8/3) t 3 1] j + (t + ) k (e exprea la poición en etro al exprear el tiepo en egundo). Calcular: a) el vector velocidad y u ódulo en función de t ; b) el vector aceleración y u ódulo en función de t ; c) la aceleración tangencial y la noral en función de t ; d) el radio de curvatura para t =.

3 3 SOLUCIONES (Eleento del Moviiento). 1.- P 1 (4,, 1): r 1 = (4 i + j k) ; r 1 = [4 + + ( 1) ] 1/ = 4,58 P ( 3,1,0): r = ( 3 i + j) ; r = [( 3) + 1 ] 1/ = 3,16 P 3 (1,0, 5): r 3 = (i 5 k) ; r 3 = [1 + ( 5) ] 1/ = 5,10.- r(t= ) = [(3 4) i + 3 j k] = ( i + 3 j k) r(t=5 ) = [(3 5 4) i + 3 j k] = (11 i + 3 j k) Δr = r(t=5 ) r(t= ) = (11 i + 3 j k) ( i + 3 j k) = = {(11 ) i + (3 3) j +[ ( )] k} = 9 i 3.- r(t) = [(t 5 t ) i + (3 t +1) j] ; Ec. Paraétrica: x = (t 5 t ) ; y = (3 t + 1) Depejao t en una de la ecuacione: t = (y 1)/3 y utituio en la otra: (y 1) (y 1) y y + 1 5y 5 y y y x = 5 = = Ecuación de la trayectoria: y 17 y x = x = t 1, y = t + t 4 Depejao t en la priera ecuación: t = (x +1)/ y utituyendo en la egunda: Ecuación de la trayectoria: 1 3 = + 3 Se trata de una parábola y x x 5.- a) r(t) = [( t + t 1) i + (t +) j] r(t= 1) = [( ) i + (1 +) j] = ( i + 3 j) r(t= 3) = [( ) i + (3 +) j] = (0 i + 5 j) b) Δr = r(t=3) r(t=1) =(0 i + 5 j) ( i + 3 j) = (18 i + j) Δr = (18 + ) 1/ = 18,11 c) x = t + t 1 ; y = t + t = y x = (y ) + y 1 = y 8 y y 1 = y 7 y + 5 Ecuación de la trayectoria: x = y 7 y a) FALSO. En un circuito cerrado, cundo un óvil paa do vece por el io punto, al er la poición de abo oento la ia, el vector deplazaiento y por tanto u ódulo on nulo. Sin ebargo, el epacio recorrido e la longitud del circuito ultiplicado por el núero de vuelta b) FALSO. Sería cierto ólo i no e cabiara de entido. Si el óvil cabia de entido no lo e. Por ejeplo, i lanzao un objeto hacia arriba y éte cae de nuevo al punto de partida, el ódulo del vector deplazaiento ería nulo, ientra que el epacio recorrido ería el doble de la altura áxia que ha alcanzado. c) FALSO. La velocidad intantánea e una agnitud vectorial ientra que la rapidez e una agnitud ecalar.

4 4 d) VERDADERO. Al tratare de deplazaiento infiniteiale, la trayectoria viene a coincidir con la dirección del vector deplazaiento de fora que Δr Δ, por lo que u repectiva derivada con repecto al tiepo coincidirán. e) FALSO. Al hablar de deplazaiento en intervalo no infiniteiale, en general Δr Δ, por lo que u repectiva derivada con repecto al tiepo tapoco coincidirán. f) VERDADERO. Siepre que el óvil pae do vece por el io punto Δr = 0, y por tanto v = 0, ientra que Δ 0 ya que la rapidez e ditinta de r(t) = [(t + 4 t ) i + (3t 1) j] r(t=,5 ) = [(,5 + 4,5 ) i + (3,5 1) j] = (14,5 i + 6,5 j) r(t= 3,5 ) = [(3, ,5 ) i + (3 3,5 1) j] = (4,5 i + 9,5 j) Δr = r(t=3,5) r(t=,5) = (10 i + 3 j) Δr (10 i + 3 j) v = = = (10 i + 3 j) / Δt 3,5,5 Δv = ( ) 1/ / = 10,44 / 8.- a) oviiento. Hata t = 6, cada Δt = el deplazaiento por el eje x e cada vez ayor. A partir de t = 6, cada e deplaza iepre 40. b) Prier oviiento: r(t) = t i ; Segundo oviiento: r(t) = (t 6) i = (0 t 48 ) i c) r(t= 1) = 1 i = i r(t= 9) = (0 9 48) i = 13 i d) Δr = r(t=9) r(t=1) = 13 i i = 130 i Δr 130 i v = = = 16,5 i / Δt x(t) =; y(t) = 3 t t + 7 a) r(t= 3) = [(5 3) i + ( ) j] = ( i + 8 j) r(t= 5) = [(5 5) i + ( ) j] = 7 j b) Δr = r(t=5) r(t=3) = 7 j ( i + 8 j) = ( i + 44 j) c) dr d [(5 t ) i + (3 t t + 7) j) v = = = [ i + (6 t ) j] / v(t= 3) = [ i + (6 3 ) j] / = ( i + 16 j) / ; v = [( 1) + 16 ] 1/ / = 16,03 / r(t= 3) = ( i + 8 j) r(t= 3,01) = [(5 3,01) i + (3 3,01 3,01 + 7) j] = (1,99 i + 8,1603 j) Δr = r(t=3,01) r(t=3) = ( 0,01 i + 0,1603 j) Δr ( 0,01 i + 0,1603 j) v = = ( i + 16,03 j) /; v [( 1) + 16,03 ] 1/ / = 16,06 / Δt 3,01 3 d) t = 5 x y = 3 (5 x) (5 x) +7 = x + 3 x 10 + x + 7 = 3 x 8 x +7 y = 3 x 8 x +7

5 a) r A = j ; r B = (4 i + 4 j) ; r C = (6 i + j) Δr A B = r B r A = (4 i + j) ; Δr B C = r C r B = ( i 3 j) b) Δr A B (4 i + j) v (A B) = = = [(4/5) i + (/5) j] / Δt 5 Δr B C ( i 3 j) v (B C) = = = [(1/5) i (3/10) j)] / Δt 10 Δr A C (6 i j) v (A C) = = = [(6/15) i (1/15) j] / Δt 15 c) Δv (A B) = [(4/5) + (/5) ] 1/ / = 0,89 / Δv (B C) = [(1/5) + ( 3/10) ] 1/ / = 0,36 / Δv (A C) = [(6/15) + ( 1/15) ] 1/ / = 0,41 / 11.- r(t) = [(t + t ) i + (4t 1) j] dr d [(t + t ) i + (4t 1) j] v = = = [(t + 1) i + 4 j] / v(t= 3) = [( 3 + 1) i + 4 j]/ = (7 i + 4 j) / ; v = [7 + 4 ] 1/ / = 8,06 / r(t= 3) = [(3 + 3 ) i + (4 3 1) j] = (10 i + 11 j) r(t= 3,01) = [(3,01 + 3,01 ) i + (4 3,01 1) j] = (10,0701 i + 11,04 j) Δr = r(t=3,01) r(t=3) = (0,0701 i + 0,04 j) Δr (0,0701 i + 0,04 j) v = = (7,01 i + 4 j) / ; v [7, ] 1/ / = 8,07 / Δt 3, a) Trao AB: Δ r = = ( ) ( ) AB rb ra i j i j = ( 00i ) Trao BC: Δ r = = ( ) ( ) BC rc rb i j i j = 500i Trao CD: Δ r = = ( ) ( ) CD rd rc i j i j = 150 j b) Δ ( ) v r i j AB AB = = = ( 7,14i+ 3, 57 j ) j ΔrBC 500i ; vbc = = = 10i tab 8 tbc 50 ΔrCD 150 j vcd = = = 50 j tcd 30 Δr ( 800i+ 300 j) ( 100i+ 150 j) ( 700i+ 150 j) AD vtotal = = = = ( 6,48i+ 1,39 j) t AD

6 6 vab = vabx + vaby = 7,14 + 3,57 = 7,98 ; vbc = vbcx + vbcy = 10 = 10 vcd = vcdx + vcdy = 50 = 50 ; vtot = vadx + vady = 6,48 + 1,39 = 43, SÍ. Al llevar una velocidad contante a lo largo de un circuito cerrado, obviaente e refiere a la rapidez, ya que i e tratara del vector velocidad no podría volver al punto de partida. Al no haber cabio en el ódulo de la velocidad no exitirá aceleración tangencial. Sin ebargo, coo en un circuito cerrado exiten curva, en toda ella exitirá aceleración tangencial cuyo valor dependerá del radio de la ia (v /R) v(t) = [( t 1) i + (3 t + ) j] / dv d [( t 1) i + (3 t + ) j] / a = = = [4t i + 3 j] / a(t= 5) = (4 5 i + 3 j)/ = (0 i + 3 j) / ; a = [0 + 3 ] 1/ / = 0, / v(t= 5) = [( 5 1) i + (3 5 + ) j] / = (49 i + 17 j) / v(t= 5,01) = [( 5,01 1) i + (3 5,01 + ) j] / = (49,00 i + 17,03 j) / Δv = v(t=5,01) v(t=5) = (0,00 i + 0,03 j) / Δv (0,00 i + 0,03 j) / a = = (0,0 i + 3 j) / ; a [0,0 + 3 ] 1/ / = 0,4 / Δt 5, v(t) = (4 t ) / a) dv (4 t ) / b) v (4 t ) / 8 8 a t = = = 4 / ; a n = = = t + t + R c) a(t= 3) = 8 8 = 5,60 / r(t) = [(t 3 + 4) i + ( t t + 5) j] a) v(t= 1 ) = [3 1 i + (4 1 1) j]/ = (43 i + 47 j) / ; v(t= 1 ) = = / dv [3t i + (4t 1) j] / a = = = (6t i + 4 j) / b) v(t= 1 ) = [3 1 i + (4 1 1) j]/ = (43 i + 47 j) / ; v(t= 1 ) = = / a(t= 1 ) = [6 1 i + 4 j]/ = (7 i + 4 j) / ; a(t= 1 ) = = 7,11 /

7 r(t) = ( t + ) i + [(8/3) t 3 1] j + (t + ) k a) dr d {( t + ) i + [(8/3) t 3 1)] j + (t + ) k} v = = = (4 t i + 8 t j + k) / v = 64 t t + 1 = (8 t + 1) / b) dv (4 t i + 8 t j + k) / a = = = (4 i + 16 t j) / a = 56 t + 16 c) d v (8 t + 1) / a t = = = 16 t / a = a t + a n a = a a = (56 t + 16) (16 t) = 4 / n d) v v(t=) (8 + 1) / a n = R(t= ) = = = 7,5 R a n 4 / t Solucione a lo ejercicio de lo apunte: A.- y t () r () Coordenada 0 8 j (0,8) r t = 0 r t = r t = 4 r t = 6 4 i + 8 j (4,8) i + 8 j (8,8) 6 1 i + 8 j (1,8) 5 10 x B.- Ecuacione paraétrica: x = t ; y = t + 4t 3 Depejando t de la 1ª ecuación: t = x +, y utituyendo en la egunda: y = (x + ) + 4 (x + ) 3 = (x + 4x + 4) + 4(x + ) 3 y = x + 8x x Ecuación de la trayectoria: y = x + 1x +13

8 8 C.- x Depejando t de x = 3 t t =, 3 y utituyendo en y = t 6 queda: x y = 6 3 ; y = x 6 9 t () r (t) () r(t) () 0 6 j ( 6) = 6,00 6 i + j 6 + = 6,3 4 1 i + 6 j = 8,63 D.- y i + 66 j = 68,41 x y x E.- r1 ( t = ) = ( 6i + j) ; r ( t = 4) = ( 1i + 6 j) Δ r = r r1 = Δ xi +Δ y j +Δ zk = ( 1 6) i + ( 6 ) j Δ r = = 4,74 F.- ; r ( t = 5) = ( 46i 19 j) Δr = r r = i j r1 ( t = ) = ( 4i 7 j) ( 5 ) 1 ( 4 1 ) Δr ( 4i 1 j) v ( 5) = = = Δt 5 14 ( 4) v = + = 14,56 ( 14 i 4 j) Δr i j ; = ( 6 +4 ) G.- Si quereo calcular v (t = ) de fora á aproxiada debereo toar un Δt aún enor, por ejeplo 0,01, y conocer la poición en r 1 (t = ) y en r 3 (t =,01 ). r1 ( t = ) = ( 6i + j) ; r3 ( t =,01) = ( 6,03i +,080 j) Δr,01 = r r = 0,03i + 0,08j ( ) 3 1 ( )

9 9 ( 0,03i + 0,080 j) Δr vaprox ( t = ) = = = ( 3i + 8,0j) Δt 0,01 v = 3 + 8,0 = 8,56 y 0 5 5

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