SR(s)=R(s) + E(s) C(s)

Transcripción

1 TEMA: EO EN ÉGIMEN PEMANENTE Un apecto importante a tener en cuenta e el comportamiento de un itema ante divera entrada en régimen permanente. En cualquier itema fíico de control exite un error inherente, que e el error en etado etacionario en repueta a determinado tipo de entrada. Puede ocurrir que un itema preente o no error en régimen permanente ante diferente entrada. El error en régimen permanente de lo itema en lazo cerrado viene determinado por la función de tranferencia en lazo abierto, como e verá a continuación. EO VEDADEO EN ÉGIMEN PEMANENTE Sea un itema de control con realimentación negativa unitaria como el que e muetra en la Fig. S()=() E() C() G () Fig. Sitema de control en lazo cerrado La función de tranferencia en lazo del itema, en ete cao L()=G(), puede tener divero polo y cero. En ete capítulo la contante Ko repreenta la ganancia etática de la función de tranferencia del lazo () y N e el número de polo de dicha función de tranferencia que e encuentran en el origen. Ko( T)...( α β ) G() = () N ( T )...( α β ) El valor de N en la función de tranferencia en lazo abierto, determina el tipo del itema. Aí, i un itema poee una función de tranferencia con do polo en el origen, N =, entonce e dice que el itema e de tipo II. El error verdadero en régimen permanente del itema e exprea en la ecuación (). Por el convenio de igno de eta expreión, un error poitivo ignifica que la alida no ha alcanzado la referencia de entrada, mientra que un error negativo que e puede dar ignifica que la alida e mayor que la entrada. = lim[r(t) c(t)] () t Eta expreión tiene entido porque la referencia y la alida on dimenionalmente coherente. E poible dearrollar () en el dominio de Laplace, particularizando para el cao del itema de la Fig.. G() () = lim [ () C() ] = lim () () = lim G() (3) G() El valor del error dependerá de la forma de la entrada y del tipo del itema. Error de poición para una entrada ecalón El error de poición en etado etacionario e el que e produce en el itema ante una entrada ecalón. Para el cao de ecalón unidad, u valor e: tipo 0 e = lim = lim = = Ko G() G() limg() Kp (4) P 0 tipo I o uperior

2 La contante Kp e llama coeficiente de error de poición para entrada ecalón y u valor e igual a la ganancia etática de la función de tranferencia en lazo abierto del itema o infinito, dependiendo del tipo del itema, como e puede deducir de la expreión (). Error de poición para entrada velocidad, (o ampa) El error de poición para entrada velocidad, o rampa en etado etacionario e el que e produce en el itema ante la entrada mencionada. Para el cao de rampa con pendiente unidad, u valor tipo 0 e: e = lim = lim = = tipo I G() G() lim G() Kv Ko (5) V 0 tipo II o uperior El valor contante Kv e llama coeficiente de error de poición para entrada velocidad. Su valor e igual a cero, o bien igual a la ganancia etática de la función de tranferencia en lazo abierto del itema, o bien infinito, dependiendo del tipo del itema. Error de poición para entrada aceleración El error de poición para entrada aceleración en etado etacionario e el que e produce en el itema ante una entrada parabólica. Para el cao de parábola: r (t) = (/) t, u valor e: tipo I o inferior e = lim = lim = = tipo II (6) a 3 G() G() lim G() Ka Ko 0 tipo III o uperior La contante Ka e llama coeficiente de error de poición para entrada aceleración. Su valor e igual a cero, o bien igual a la ganancia etática de la función de tranferencia en lazo abierto del itema, o bien infinito, dependiendo del tipo del itema. eumen de errore de poición para diferente entrada y tipo del itema La Tabla reume lo errore en etado etacionario en función del tipo del itema y la entrada. () N(Tipo) 0 Tabla Errore en régimen permanente Se oberva que e puede incrementar el tipo de itema para mejorar el comportamiento de etado etacionario, in embargo eto hace que ea má difícil controlar el itema y puede introducir inetabilidade. 3 4 Kp I 0 Kv II 0 0 Ka

3 MAGNITUD Y UNIDADES DEL EO El error tiene iempre la mima unidade que la entrada y la alida. Eto e cumple independientemente de la forma que poea la entrada o del tipo del itema, ya que e define como la diferencia de amba eñale cuando el tiempo tiende a infinito. Evidentemente, cuando el error e nulo o infinito, e obvian la unidade. Cuando el error e finito puede er mayor o menor en función de la magnitud de la entrada al itema. r(t) e P A A e P t Fig. epueta ante entrada ecalón En la Fig. e muetra cómo, en el cao del error de poición al ecalón, el error e directamente proporcional a la amplitud del ecalón de entrada. Para un ecalón de amplitud A, el error e A vece mayor que error ante entrada ecalón unitario. Eto e puede demotrar con la expreión (7) que calcula el error ante un ecalón de amplitud A y compararlo con el que e calculó en (4). A A A A ep = lim = lim = = (7) G() G() limg() Kp Una forma de exprear el error de poición para cualquier amplitud que poea el ecalón de entrada e darlo como un porcentaje repecto de la entrada (8). e 00 = % P (8) Kp Siendo conecuente con el convenio de igno del error, habría que hablar de porcentaje negativo en el cao de que la alida ea mayor que la referencia. El error ante entrada ecalón unitario ería el valor del error en por unidad. Para el cao de entrada dependiente del tiempo, como rampa, aceleracione, etc., la forma de exprear el valor del error para cualquier entrada e diferente. En la Fig. 3 e oberva cómo el valor del error de poición también e proporcional a la pendiente de la entrada rampa. Sin embargo, exite algo invariante en ambo cao, a aber, el retrao en el tiempo (en egundo) entre la do eñale, (et). Por eta razón, e uele utilizar también la medida del error en el tiempo, en egundo, para exprearlo de forma independiente a la pendiente de entrada. Como e puede deducir en la Fig. 3, el valor numérico de lo errore et y ep coinciden i la rampa de entrada tiene pendiente unitaria. Por tanto, e puede emplear el valor numérico del error en egundo como reultado del límite de la ecuación (5), aunque no e conozcan la unidade de la entrada ni de la alida. También por eta razón, e habitual dar el valor del coeficiente de error de velocidad Kv con unidade de.

4 c(t) Salida c(t) et r(t)=a t Aep et r(t)=t ep c(t) 0 0 Fig. 3 epueta ante entrada rampa t EO EN SISTEMAS DE CONTOL CON EALIMENTACIÓN NO UNITAIA Cuando la realimentación de un itema de control en lazo cerrado no e unitaria, e plantea un problema en la definición del error que e dio en la ecuación: = lim[r(t) c(t)], porque la eñal de entrada generalmente puede tener unidade diferente que la eñal de alida. Como no e puede definir la diferencia entre la entrada y la alida, una forma e, determinar el error verdadero = lim[sr(t) c(t)] como ya e etudio en una publicación aparte, o calcular el límite t cuando el tiempo tiende a infinito pero del llamado error actuante o eñal activa e a(t) del lazo, en la mima unidade que la eñal de alida, (9).- Tranformando el diagram de bloque del Sitema para que figure la eñal de referencia. Donde: B () e la eñal de alida medida en la mima unidade que la eñal de referencia. Ea() e la eñal activa o error actuante medida en la mima unidade que la eñal de entrada. E a() e la eñal activa o error actuante medida en la mima unidade que la eñal de referencia. S() E a() Ea() C() B () K H G() H ( ) K H t B () Fig. 4 Sitema de control en lazo cerrado ea ( = lime a(t) = lim[sr(t) b (t)] (9) t t G() H() e a( = lim E a() = lim [S() B ()] = lim S() S() = lim S() t G()H() L() De algún modo la variable de alida verdadera del itema e B() y no C(), pero el obervador ólo e capaz de obervar C(). Eta idea e ve reforzada por el hecho de que mucha (0)

5 vece el bloque H() correponde excluivamente a la función de tranferencia del enor de la eñal C(), por lo que el itema controlado e capaz de obervar la eñal B() en lugar de C(). Se oberva en la ecuación (0), que el error actuante en régimen permanente vuelve a depender del tipo de la función de tranferencia en lazo, en ete cao e el producto L()=G() H(). Por tanto, la Tabla igue irviendo para el cálculo de lo errore, tomando el tipo de la función de tranferencia en lazo abierto y calculando lo coeficiente de error activo también con la expreión de la función de tranferencia en lazo abierto. Ete hecho corrobora la afirmación que e apuntó en la introducción del capítulo de que la magnitud del error actuante en régimen permanente de lo itema de control en lazo cerrado viene determinada por el tipo y la ganancia etática de la función de tranferencia en lazo abierto L()=G() H(). Cuando la realimentación e unitaria coinciden: La eñal de referencia y la de entrada, la eñal activa o error actuante y el error verdadero, etc. EO EN EGIMEN PEMANENTE EN SISTEMAS DE CONTOL CON VAIAS ENTADAS En un itema controlado, la perturbacione on entrada al mimo en punto ditinto al de la referencia. Eta entrada afectan a la alida del itema en régimen permanente, y por tanto, modifican la magnitud del error.- () E() G ( ) U() G ( ) C() = lim E() = lim [( ) C( )] Fig. 5 Sitema de control en lazo cerrado con perturbacione C() = G ()[U() ] = G (){G ()[() C()] } Como: C( ) = G ()G ()() G ()G ()C() G () G ()G () G () Depejando C (), reulta: C() = () G ()G () G ()G () La expreión () quedaría: G ()G () G () = lim () () () G ()G () G ()G () Se puede dividir en do parte, la primera e el error del itema ante la entrada de referencia con perturbación nula y la egunda e el error del itema ante la perturbación con referencia nula. G G = lim E() = lim [ C] = lim = lim ( ) G G G ( ) G ( ) N et ( = N G ( ) = lim E() = lim [ 0 C] = lim P( ) (3) G( ) G ( ) Para calcular la magnitud del error en régimen permanente del itema ante la entrada referencia con perturbación nula, e puede emplear de nuevo la Tabla. Sin embargo, el error ante ()

6 perturbación con referencia nula, iempre hay que calcularlo analíticamente. El error ante perturbacione también e mide en la unidade de la variable de alida y, evidentemente, u valor dependerá de la magnitud de la perturbación. Si, por ejemplo, i ante una perturbación ecalón de amplitud 0 New e produce un error de -5 cm y e deea exprear ete error en por unidad, e puede decir que e -0.5 cm por unidad de perturbación, e decir, un valor de unidade de alida (cm) por unidad de perturbación N. Nunca hay que perder de vita que e etán relacionando variable con unidade ditinta y que la referencia e nula, e decir, nunca e trata de un porcentaje repecto la referencia. POBLEMA ESUELTO El itema de la Fig. 6 repreenta una inercia in vicoidad, e decir en el epacio exterior, a la que e impone un movimiento con velocidad contante. La ley de control conite en una actuación en par puramente proporcional al error de velocidade. Ω () E() K U() J Ω () Fig. 6 Sitema de control en velocidad de una inercia in vicoidad El itema e de tipo I por lo que tendrá error nulo ante entrada referencia ecalón, in embargo, e pide calcular el error ante entrada ecalone en la referencia y en la perturbación, por lo que habrá que calcularlo analíticamente: K = lim [ Ω Ω] = lim Ω Ω P J K J K (4) Sutituyendo la entrada por ecalone de amplitude ωr y τ: J ωr τ 0 τ = lim ωr τ = J K J K = 0 K 0 K (5) K Como era de eperar por el tipo del itema, ante la entrada referencia el error e nulo. Sin embargo, la perturbación modifica ee error, haciendo que la velocidad de la inercia ea mayor el error e negativo i e introduce un par extra poitivo τ. POBLEMA DE EXAMEN ESUELTO Determinar cuál debe er el tipo del controlador, Gc, para que el itema de la Fig. 7 poea error nulo ante entrada ecalón en referencia y perturbación. El itema pretende el control de la velocidad lineal de un vehículo. Controlador Motor Vehiculo 0.30 V () Gc () V() 0 ( ) Fig. 7 Sitema de control en velocidad de un vehículo

7 La expreión del error ante entrada referencia y perturbación: 0.3Gc 0.3( 0) = lim[ V V ] = lim V V P (6) ( 0)( ) 0.3Gc ( 0)( ) 0.3Gc Sutituyendo la entrada por ecalone unitario, e llega a la expreión (7): ( 0)( ) 0.3( 0) 0 3 = lim (7) = ( 0)( ) 0.3Gc ( 0)( ) 0.3Gc 0.3Gc(0) 0 0.3Gc(0) El error ólo puede er nulo i la función de tranferencia del controlador e hace infinito para =0, e decir, poee al meno un polo en el origen. Por tanto, el controlador debe er de tipo I o uperior: 0 3 ) = = 0 (8) 0 0.3( 0 0.3( Si comparamo ete reultado con el del problema del apartado anterior, e oberva cómo la poición del bloque integrador dentro del lazo e crucial para coneguir que error ea nulo ante la entrada perturbación o no. Si el integrador etá ante de la perturbación el error ante ecalone perturbación erá nulo; i el integrador etá depué, en la planta a controlar, el error erá finito. POBLEMAS POPUESTOS Calcular el error en régimen permanente del itema de la Fig. 8 ante referencia nula y perturbación ecalón de amplitud τ. Dar la olución en voltio y en rad/ Válvula Turbina Generador V () K Tacómetro K T J Fig. 8 Sitema de control de la velocidad de un turbo-generador Para el itema de la Fig. 9, e pide: a) Error con controlador contante de valor K, perturbación nula y referencia ecalón unitario. b) Determinar el tipo de Gc para que el error ea nulo ante referencia rampa unitaria y N nula. c) Determinar el tipo de Gc para que el error ea nulo ante referencia ecalón unitario y perturbación ecalón de amplitud p. () E() Gc () U() V() C() Fig. 9 Sitema de control

8 En el itema de la Fig. 0 determinar el tipo del controlador Gc para que el error ea nulo ante entrada ecalón, φ (t) y p (t). Φ () Gc K J C Φ () Fig. 0 Sitema de control