IES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Tercer trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CT NOMBRE:

Transcripción

1 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº 1 º Bach CT NOMBRE: Intruccione: 1) Todo lo folio deben tener el nombre y etar numerado en la parte uperior. ) Toda la repueta deben etar jutificada y implificada. 3) No e puede uar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe er de tinta indeleble. Se aconeja no uar borrador. 4) Se puede alterar el orden de la repueta, pero no e puede intercalar la repueta a una pregunta con la de otra. 5) Deatender la intruccione puede penalizare con hata 1 punto o la anulación en cao de uar tinta corregible. 1) Sea r la recta que paa por lo punto A(1, 1, ) y B(3, 1, 1) y la recta dada por: x y 1 y z 1 a) Hallar la ecuación general del plano que paa por el origen de coordenada y e paralelo a la recta dada. (1, punto) b) Hallar una ecuacione paramétrica del plano que paa por B y e perpendicular a. (1,3 punto) ) Coniderar el plano π de ecuación 6x my + z = 1 y la recta r dada por: x 1 y 1 z 3 1 a) Calcular m en el cao en que la recta r e perpendicular al plano π. (1 punto) b) Exite algún valor de m para el que la recta r eté contenida en el plano π? (1,5 punto) x 1 3) Coniderar el punto A(1, 1, 1) y la recta r dada por y 1 z 1 a) Calcular la coordenada del punto imétrico de A repecto a r. (1,5 punto) b) Determinar la ecuación del plano que contiene a r y paa por A. (1 punto) x 3 y 9 z 8 x 3 y 9 z 8 4) Dada la recta r y a) Determinar la poición relativa de la recta r y. (1 punto) b) Calcular la ditancia entre r y. (1,5 punto)

2 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº 1 º Bach CT SOLUCIONES 1) Sea r la recta que paa por lo punto A(1, 1, ) y B(3, 1, 1) y la recta dada por: x y 1 y z 1 a) Hallar la ecuación general del plano que paa por el origen de coordenada y e paralelo a la recta dada. (1, punto) Si el plano π e paralelo a la do recta, d u repectivo vectore de dirección erán, r d también, vectore de dirección del plano π. Dicho vectore on: d r = AB = OB OA = d d n r O π = (3, 1, 1) (1, 1, ) = (,, 1) Para hallar el de, paamo éta a paramétrica. Bata, para ello, llamar y = t y depejar en cada uno de lo plano que determinan : x 1 t y t d = (, 1, 1) z 1 t Notar que lo vectore de dirección obtenido no on proporcionale, por lo que la do recta e cruzan o e cortan y el problema, por tanto, tiene olución única. Por tanto, un vector normal a π erá: n = d r x d i j k = (,, 1)x(, 1, 1) = 1 = (1,, ). 1 1 Y como (,, ) π: π 1(x ) + (y ) (z ) = x z = b) Hallar una ecuacione paramétrica del plano que paa por B y e perpendicular a. (1,3 punto) Si π' n ' = d = (, 1, 1). Como contiene a B(3, 1, 1): π' (x 3) + 1(y + 1) 1(z 1) = x + y z = π' x + y z + 8 = Pero no lo piden en paramétrica. Para coneguirlo, bata llamar x =, y = (conviene uar x con otra de la variable, para evitar fraccione), con lo que: x π' y z 8 ) Coniderar el plano π de ecuación 6x my + z = 1 y la recta r dada por: x 1 y 1 z 3 1 a) Calcular m en el cao en que la recta r e perpendicular al plano π. (1 punto) En ete cao, d y n on proporcionale. Como: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 1 de 3

3 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº 1 º Bach CT d = ( 3,, 1) y n = (6, m, ) Batará exigir: 6 m m = Para dicho valor, e verifican la tre igualdade. b) Exite algún valor de m para el que la recta r eté contenida en el plano π? (1,5 punto) n Para empezar, d n d d r n = ( 3,, 1) (6, m, ) = 18 m = m = 1. Pero, ademá, todo lo punto de r deben etar en π. En particular, el punto que e obtiene de la ecuación continua que no dan: (1, 1, ). Siendo m = 1, quedaría π 6x + 1y + z = 1, por lo que utituyendo el punto en eta ecuación: = 1 8 = 1, que no e cierto, por lo que el punto no verifica la ecuación del plano. Por tanto, el plano que aí e obtiene e paralelo a la recta, de modo que no hay poibilidad de que r π. x 1 3) Coniderar el punto A(1, 1, 1) y la recta r dada por y 1 z 1 a) Calcular la coordenada del punto imétrico de A repecto a r. (1,5 punto) A Hallemo el punto M de r má próximo a A. O ea, tal M que MA r. Un punto genérico de r e, egún e deduce d r de la ecuacione paramétrica, M(1 +, 1, 1). Por A ' tanto: MA = OA OM = (1, 1, 1) (1 +, 1, 1) = = (, +, ) Ademá, iendo un vector de dirección de la recta d = (, 1, ), lo que e deduce de u ecuacione paramétrica, e tiene: MA r MA d MA d = = 5 = = /5 Por coniguiente, M(9/5, 3/5, 1). El imétrico de A repecto r e el mimo que el de A repecto M. Si llamamo A'(a, b, c) al imétrico, M erá el punto medio del egmento AA', por lo que e tiene: 1 a a 18 5a 13 a b b 6 5b 11 b c 1 1 c c En definitiva, A',, n d r IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 3

4 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº 1 º Bach CT b) Determinar la ecuación del plano que contiene a r y paa por A. (1 punto) Paamo r a forma implícita. Para ello, paamo por la forma continua. Depejando en la paramétrica e igualando: x 1 y 1 z 1 1 x y 3 z 1 Todo lo plano que contienen a r on lo del haz de plano, que, alvo uno (z 1 = ), on de la forma: (x + y 3) + t(z 1) = Obligamo a que contengan a A(1, 1, 1): = 4 = que no e obtiene para ningún valor de t. Luego ninguno de eo plano contiene a A. De modo que debe er el que quedaba, o ea, z 1 =. En efecto: 1 1 = Lo que ignifica que ete plano contiene a la recta r y a A. El plano bucado e: z 1 = x 3 y 9 z 8 x 3 y 9 z 8 4) Dada la recta r y a) Determinar la poición relativa de la recta r y. (1 punto) d r = d La recta on paralela o coincidente, pue llevan la mima dirección. Si utituimo el punto P( 3, 9, 8) r en la ecuación de : no e cierto, porque la primera expreión e no nula, a diferencia de la otra do. Por tanto, el punto no etá en. Si llevan la mima dirección pero hay punto que no etán en amba, on paralela. b) Calcular la ditancia entre r y. (1,5 punto) Siendo P( 3, 9, 8) r, como la recta on paralela d(r, ) = d(p, ). Tomando un punto cualquiera A P, por ejemplo A(3, 9, 8), e tiene: d(p, ) Área del paralelogr amo d x AP d(p, ) = = bae d A d Por un lado, d = (3,, ). Por otro, AP = ( 6,, ). Por tanto: i j k d x AP = 3 6 Y como d = = 17, e tiene: OP OA = ( 3, 9, 8) (3, 9, 8) = =(, 1, 1) d x AP = =1 d(p, ) = 1 17 u IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 3 de 3

5 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº º Bach CT NOMBRE: Intruccione: 1) Todo lo folio deben tener el nombre y etar numerado en la parte uperior. ) Toda la repueta deben etar jutificada y implificada. 3) No e puede uar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe er de tinta indeleble. Se aconeja no uar borrador. 4) Se puede alterar el orden de la repueta, pero no e puede intercalar la repueta a una pregunta con la de otra. 5) Deatender la intruccione puede penalizare con hata 1 punto o la anulación en cao de uar tinta corregible. 1) Se abe que la función f: [, 5] R e derivable en (, 5), etando definida por: ax bx i x f(x) = 4 x 1 i x 5 a) Calcular la contante a y b comprobando que, en efecto, e derivable en todo u dominio. (1'7 punto) b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcia 7 x = cuando a =, b = 1. (,8 punto) ) Sean la funcione f y g: [, + ) R, dada por f(x) = x y g(x) = x, donde e un número real poitivo fijo. Calcular el valor de abiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de amba funcione e 3 1. (,5 punto) 3) Dada la matrice A = 1 t 1 1 t 1 t 1 y X = t 3 x y. z a) Calcular el rango de A egún lo diferente valore de t. (1,7 punto) b) Razonar para qué valore de t el itema homogéneo AX = O tiene má de una olución. (,8 punto) 4) Dado el punto P(1, 1, 1) y la recta r de ecuacione x z 1, y z a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y paa por P. (1 punto) b) Hallar la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z =, que e perpendicular a r y paa por P. (1,5 punto)

6 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº º Bach CT SOLUCIONES 1) Se abe que la función f: [, 5] R e derivable en (, 5), etando definida por: ax bx i x f(x) = 4 x 1 i x 5 a) Calcular la contante a y b comprobando que, en efecto, e derivable en todo u dominio. (1'7 punto) Si e derivable, e continua. Exijamo que lo ea: En [, ), lo e por er polinómica, independientemente de lo valore de a y de b. En (, 5], etá definida por una función elemental, la cuale on continua en u dominio. El de éta e: x 1 x 1, y todo lo valore del intervalo verifican eto. Luego e continua. En x = : 1) f() = 4 1 = 3; ) lim ( ax bx ) = a + 4b; lim 4 x x 1 verificará: a + 4b = 3. (1) x = 4 1 = 3. Como abemo que e continua, e Paamo a derivar la función: a bx i x f '(x) = 1 i x 5 x 1 1 Se tiene que y = a + bx da imagen x; y = exite i x > 1, y todo x 1 lo punto de (, 5) verifican eto. Por tanto, la función e derivable en (, ) (, 5). Como f '( ) = a + 4b; f '( + ) = 1, iendo derivable también en x =, eto valore coinciden a + 4b = 1 a + 8b = 1. () Reolvemo el itema formado por la condicione (1) y (). Depejando a en amba e igualando: 4b 3 = 1 8b 4b = 4 b = 1. Sutituyendo en (1): a + 4 = 3 a = 7 a = 7/. Luego a = 7, b = 1. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcia 7 x = cuando a =, b = 1. (,8 punto) 7 1 Según lo anterior, para eto valore f '() = + 4 =. Ademá, f() = 4 1 = 3. Por tanto: Punto de tangencia: (, 3). Pendiente de la tangente: m = f '() = ½. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 1 de 4

7 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº º Bach CT Ecuación de la tangente: y + 3 = 1 (x ) x y 8 =. ) Sean la funcione f y g: [, + ) R, dada por f(x) = x y g(x) = x, donde e un número real poitivo fijo. Calcular el valor de abiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de amba funcione e 3 1. f(x) = x e la parábola etándar. Si no limitamo a x, la función y = x e u función invera, y e imétrica de la anterior repecto de y = x. Multiplicándola por >, e alargará o contraerá verticalmente. Por tanto, la gráfica debe er imilar a la que adjuntamo. El punto de interección de amba e: y x x = x x 4 = x y x x 4 x = x(x 3 ) = x = ó x 3 = x = ó x = 3 De donde el área entre la curva vale: A = 3 3 ( 3/ 3 x x ) dx = ( x 1/ x ) dx = x x 3/ 3 = /3 3 /3 3/ ( ) = = = Como el área tiene que er 1/3: 1 1 = Pero abemo que > = 1. / 3 (,5 punto) 3) Dada la matrice A = 1 t 1 1 t 1 t 1 y X = t 3 x y. z a) Calcular el rango de A egún lo diferente valore de t. (1,7 punto) 1 1 A = t 1 t 1 t 1 = (t + 1)(t + 3) + (t 1)( t 1) (t + 3) = t 3 = t + 3t + t + 3 t t + t + 1 t 6 = t + 3t A = t t + = t = = Por tanto: t 1 y t : A r(a) = 3. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 4

8 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº º Bach CT 1 1 t = 1: A =, y A =. Como un menor formado por la fila 1 y 3 con la columna 1 y e: r(a) = t = : A =, y A = 3 1, donde cruzando la do primera fila con la do primera columna obtenemo el menor 3 r(a) =. b) Razonar para qué valore de t el itema homogéneo AX = O tiene má de una olución. (,8 punto) En un itema homogéneo la última columna de la matriz ampliada e nula (definición de itema homogéneo), por lo que e irrelevante para el cálculo del rango. De ete modo, r(a) = r(a'), y el itema iempre e compatible. Cuando el valor de eto rango e 3, erá compatible determinado por el Teorema de Rouché-Fröbeniu, y la olución única e (x, y, z) = (,, ), que e iempre olución en un itema homogéneo. Entonce, i r(a) < 3 el itema e compatible indeterminado y tendrá infinita olucione. En definitiva, en virtud de lo etudiado anteriormente, el itema tiene má de una olución (infinita) i, y olo i t = 1 ó t =. 4) Dado el punto P(1, 1, 1) y la recta r de ecuacione x z 1, y z a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y paa por P. (1 punto) Si contiene a r, el plano bucado e uno de lo del haz de plano de bae r. Concretamente, el bucado e el que contiene a P. El haz e: (x + z 1) + t(y + z) = Obligamo a que contenga a P: t(1 1) = 1 = Por lo que no e ninguno de eto. Luego no puede er má que el que no obedece a la etructura general del haz anterior, que e y + z =. En efecto, P verifica eta ecuación. Aí que el plano bucado e: y + z =. b) Hallar la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z =, que e perpendicular a r y paa por P. (1,5 punto) El plano que no dan contiene a P. Luego el problema tiene olución y tenemo ya un plano que contiene a la recta pedida. Si dicha recta, a la que llamaremo, e perpendicular a r, etará contenida en un plano perpendicular a r. De todo lo plano perpendiculare a r, etará contenida en el plano π que contiene a P, pueto que P etá en la recta. Llamando z = t, depejando en cada una de u do ecuacione, obtenemo la ecuacione paramétrica de r, que on: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 3 de 4

9 IES Fernando de Herrera Curo 16 / 17 Tercer trimetre Obervación evaluable ecrita nº º Bach CT x 1 t r y t z t Por tanto, el vector de dirección de r e ( 1, 1, 1). Ete vector erá normal al plano π. Por tanto, como P(1, 1, 1) ete plano e: 1(x 1) 1(y 1) + 1(z + 1) = x y + z = x + y z 3 = Ademá de éte, tenemo otro plano que contiene a. Por tanto, como interección de do plano: y z x y z 3 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 4