LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
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- Juan Nieto Martínez
- hace 5 años
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1 TEMA N o 5 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. DEFINICIÓN Sea f (t) una función continua en un intervalo [; ) y uponemo que f atiface cierta condicione. Entonce la integral L ff (t)g = F () = Z e t f (t) dt e denomina "Tranformada de Laplace" de f, iempre y cuando la integral ea convergente. Notación. Sean f (t), g (t) y y (t) funcione continua, cuya tranformada de Laplace on L ff (t)g = F (), L fg (t)g = G (), L fy (t)g = y () CONDICIONES SUFICIENTES La condicione u ciente que garantizán la exitencia de la tranformada de f (t), L ff (t)g, on que f ea continua parte por parte, en [; ) y que f ea de orden exponencial para t > T. La primera condición u ciente, geometricamente igni ca que:
2 ORDEN EXPONENCIAL De nición. Se dice que una función f, e de orden exponencial í exiten número a >, M > y T > tale que jf (t)j 6 Me at para t > T. Aí por ejemplo, í f e una función creciente, entonce la condición jf (t)j 6 Me at, t > T, implemente etablece que la grá ca de f en un intervalo [T; ) no crece má rapido que la grá ca de la función exponencial Me at, donde a e una contante poitiva, gra camente eto e. OrdenExp :pdf Ejemplo. La funcione f (t) = t, f (t) = e t y f (t) = co t on de orden exponencial para t >, pueto que e veri ca. jtj 6 e t, je t j 6 e t y j co tj 6 e t Gra camente eto igni ca Orden Lineal Orden Exp Neg 4:pdf 5:pdf
3 Una función tal como f (t) =e t no e del orden exponencial pueto que u grá ca crece má rapido que cualquier función exponencial Me at para a >, gra camente eto e NoOrdenExp 7:pdf L E una Tranformación Lineal Teorema. Supongae que f (t) y g (t) on do funcione continua, cuya tranformada de Laplace exiten, para >, >, entonce Z e t f (t) dt+ L [f (t) + g (t)] = Z Z e t [f (t) + g (t)] dt = e t g (t) dt = L ff (t)g+l fg (t)g = F ()+G () : Debido a eta propiedad dada, e dice que L e una tranformación lineal, iempre que amba integrale ean convergente Ejemplo. Sea:f (t) = con, t > ; hallar L ff (t)g por de nición: L fg = Z e t () dt = lim b! Z b e t e t dt = lim b! jb = lim b! e b + = e b lim + lim b! b! = +. De manera que F () =, > Ejemplo. Sea f (t) = t con, t >,hallar L ff (t)g por de nición.
4 Donde L ff (t)g = Z e t tdt Integrando por parte, tenemo Sí: u = t ) du = Zdt dv = e t ) v = e t dt = e t L ff (t)g = Z e t tdt = t e t j + Z e t t dt = te j + Z e t dt = + e t j, Sí: e t =, cuando t!, entonce : = + F () =, >. Ejemplo. Sea: f (t) = t con, t > ;hallar L ff (t)g por de nición: Donde L t = Z e t t dt Integrando por parte Sí: u = t ) du = Zt dt dv = e t ) v = e t dt = L t = Z = ; >. En general e t t dt = e t t e t j + Z L ft n g = n!, para todo n = ; ; ; : : : n+ Ejemplo 4. Sea: f (t) = e t con, t > ;hallar L ff (t)g por de nición: e t tdt = + + L ftg = 4
5 Donde L e t = Z e t e t dt = Z +. F () = +, >. e (+)t dt = e (+)t ( + ) j = + Ejemplo 5. Sea: f (t) = en at con, t > : Hallar L ff (t)g por de nición: Donde L fen atg = Z e t en at dt Integrando por parte, tenemo Sí: u = e t ) du = Z dv = en at ) v = e t dt en at dt = co at a. Luego, L fen atg = Z e t en at dt = e t co at a j a Z e t co at dt. Integrando nuevamente por parte, tenemo Sí: u = e t ) du Z= dv = co at ) v = e t dt co atdt = en at. a De donde L fen atg = L fen atg = a Z e t en at dt = a + a = a L fen atg a + t en at e a a a Z e t en at dt j + a Z e t en at dt L fen atg + a L fen atg = a + a L fen atg = a 5
6 L fen atg = a +. a a De manera que a F () = + a, > a. Ejemplo. Utilizando la tabla y la linealidad de la tranformada de Laplace, determinar la tranformada de la iguiente funcione. ). Sea: f (t) = t t + t 5 L ff (t)g = L t t + t 5 = L t L t + L ftg 5L fg =! 4! + 5 F () = , >. ). Sea: f (t) = n(t ) L ff (t)g = L (t ) o = L t t + t = L t L t + L ftg L fg =! 4! + F () = , >. ). Sea: f (t) = 4e 5t + en t co 4t L ff (t)g = L 4e 5t + en t co 4t = 4L e 5t +L fen tg L fco 4tg = F () = , > 5. 4). Sea: f (t) = e t t 4 + t L ff (t)g = L e t t 4 + t = L e t t 4 + e t t e t = L t 4 e t +L t e t L e t = " # 4! ( + ) 5 +! ( + ) 6
7 + F () = 4 ( + ) ( + ) +, >. 5). Sea: f (t) = e t en t L ff (t)g = L e t en t = F () = 4 +. ( ) + = ). Sea: f (t) = e 6t co p t t en p t + 5 L ff (t)g = L e 6t co p t t en p t + 5 F () = = L e 6t co p t + 6 = ( + 6) + p L t en p t + 5L fg B 4 h + p i C A + 5 p ( + ) + 5, >. 7). Sea: f (t) = en 4t co 4t L ff (t)g = L fen 4t co 4tg = L f en 4t co 4tg = L fen 8tg = F () = ). Sea: f (t) = co t co t L ff (t)g = L fco t co tg = L co t en t co t = L co t en t co t = L co t L co t + co t co t en t co t = L L co t 4 = 4 L fco tg + 4 L fco tg L fco tg + L fco t co tg Luego, ecribimo L fco t co tg L fco t co tg = 4 L fco tg + 4 L fco tg L fco tg 7
8 L fco t co tg = 4 L fco tg + 4 L fco tg L fco tg Por tanto, L fco t co tg = = 4 L fco tg + 4 L fco tg L fco tg = = 4 ( + 9) ( + 9) + ( + ). TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Ahora etudiamo el proceo invero de la ección anterior, e decir dada una función F () hallar la función f(t), que correponde a u tranformada. Se dice que f(t) e la tranformada invera de F (), entonce ecribimo: f(t) = L ff ()g, L e una Tranformación Lineal. La tranformada invera de laplace e en i mima una tranformación lineal, eto e, para la contante y, entonce: L ff () + G ()g = L ff ()g + L fg ()g donde, F y G on la tranformada de alguna funcione f y g. Ejemplo. Dada la iguiente funcione, determinar u tranformada invera. ). Sea: F () = L ff ()g = L = L +. Entonce: f(t) = 4 en t ). Sea: F () =
9 8 4 >< L ff ()g = L 4 = L + >: Entonce: f(t) = co t >= >; = L ( + ). ). Sea: F () = L ff ()g = L = L L +. Entonce: f(t) = co t en t = (co t en t). + 4). Sea F () = + + L ff ()g = L L ( + ( + ) + Entonce: f(t) =e t co t ). = L + ( + + ) + = 5). Sea: F () = + 8 L ff ()g = L >< = L + >: >< >= >: +. 9 >; 9 L >= + = >; 4 Entonce: f(t) = 9 e t en h 9 t. 6). Sea: F () =
10 5 L ff ()g = L 4 + Factorizando tenemo: L ff ()g = 5 L = + 5 L 5 ( + ) + 5 ( ) 4 L ( ) + = ( ) 4 L ( ) + ( ) L ( ) + L ( ) + = ( ) L ( ) + L ( ) +. = = Entonce: f(t) = et co t e t en t ). Sea: G(S) = L fg()g = L = L = L + 8 ( ) ( ) + ( + ) + 6 = L ( + ) + = L + ( + ) + + 4L ( + ) + = L + ( + ) + + 4L ( + ) +. Entonce: g(t) = e t co t + e t en t. 8 8). Sea: G() = L fg()g = L = L + 6 = L ( + ) L fen kt + kt co ktg = Entonce: k ( + k ). 8 ( + ) = L ( ) ( + ). Por
11 g(t) = (en t + t co t). FRACCIONES PARCIALES Lo fraccione parciale, on muy importante para determinar la tranformada invera de Laplace. Aí conideramo lo ejemplo iguiente Ejemplo Determinar la tranformada invera de la función: F () = 6 47 ( )( + )( + 5). Aplicamo fraccione parciale a la función f() ( )( + )( + 5) = A + B + + C + 5 A( + )( + 5) + B( )( + 5) + C( )( + ) = ( )( + )( + 5) 6 47 = A( + )( + 5) + B( )( + 5) + C( )( + ) Evaluando Sí: =, tenemo () 6() 47 = A()(6) 8A = 7 A = 7 8 A = 4 Sí: =, tenemo ( ) 6( ) 47 = B( )() 9B = 9 B =. Sí: = 5, tenemo ( 5) 6( 5) 47 = C( 6)( )
12 8C = 8 C = 6 Siendo 6 47 ( )( + )( + 5) = : Luego L 6 47 ( )( + )( + 5) 4 6 = L +L +L = 4L L +6L Entonce f(t) = 4e t e t + 6e 5t. Ejemplo Determinar L ff ()g, donde F () = Primero factorizamo el denominador de F () F () = Aplicando fraccione parciale a F (), tenemo: + 8 ( + )( ) = A + B + C + + D = A( + )( ) + B( + )( ) + C ( ) + D ( + ) ( + )( ) + 8 = A( + )( ) + B( + )( ) + C ( ) + D ( + ) Hacemo la evaluación Sí: =, tenemo
13 8 = B()( ) B = Sí: =, entonce ( ) + 8 = C( ) ( 4) 6C = C = 4 Sí: =, tenemo + 8 = D(4)(4) 6D = D = 4 Ahora efectuamo la iguiente operación + 8 = A 4A B 4B C C + D + D = (A + B + D) + (B C + D) 4A 4B. Igualando lo coe ciente de potencia iguale de, obtenemo el iguiente itema 8 A + C + D = >< B C + D = => A = B = : 4A = >: 4B = 8 Siendo entonce + 8 ( + )( ) = Luego L + 8 ( + )( ) = L 4 L L Entonce f(t) = t 4 % t + 4 %t. Ejemplo Determinar L ff ()g, donde
14 F () = Factorizar el denominador de F (): F () = L + + ( + )( )( + ) Aplicando fraccione parciale a F (), e tiene + + ( + )( )( + ) = A ( + ) + B + C + D + = A( )( + ) + B( + )( + ) + ( + )( )(C + D) ( + )( )( + ) + + = A( )( + ) + B( + )( + ) + ( + )( )(C + D) + + = A +A A A+B +B+B +B +C C+D D = (A+B+C) +( A+B+D) +(A+B C)+( A+B D). 8Igualando lo coe ciente de potencia iguale de,obtenemo el itema A + B + C = () >< A + B + D = () A + B C = () >: A + B D = (4) Reolviendo el itema obtenemo que: A = ; B = ; C = ; D = : Luego + + ( + )( )( + ) = : Siendo L + + ( + )( )( + ) L : + Entonce = L + + L +L + f(t) = e t + et + co t en t. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA 4
15 Teorema A. Sea f (x) una función continua en [; ) y que f (x) e continua parte por parte en [; ) iendo ambo de orden exponencial a. Entonce, para > a L ff (t)g = L ff (t)g f () Demotración. Para demotrar ete Teorema, uponemo que exite L ff (t)g, iendo L ff (t)g = Z e t f (t) dt. Integrando por parte, tenemo Ze t dt dv = f (t) ) v = f (t) dt = f (t). Sí: u =e t ) du = Proiguiendo L ff (t)g = Z e t f (t) dt =e t f (t) j Z + e t f (t) dt = f () + L ff (t)g. En conecuencia L ff (t)g = L ff (t)g f (). ó bien L ff (t)g = F () f (). donde F () = L ff (t)g : Nótee que, e t f (t) = cuando t!. En forma análoga podemo obtener L ff (t)g. Vemo que la tranformada e de la iguiente manera 5
16 Z L ff (t)g = e t f (t) dt. Integrando por parte e t dt dv = f (t) dt ) v = f (t). Sí: u =e t ) du = Proiguiendo L ff (t)g = Z e t f (t) dt =e t f (t) j + Z e t f (t) dt = f () + [L ff (t)g f ()] En conecuencia L ff (t)g = L ff (t)g f () f (). En general, reulta L f (n) (t) = n L ff (t)g n f () n f () f (n ) () donde F () = L ff (t)g : Ejemplo. Determinar L fco atg, utilizando el Teorema A.. Sea: f (t) = co at Donde f () = co a = y f (t) = Teorema A. a en at, luego utituimo en el L f a en atg = L fco atg al fen atg = L fco atg a a + a = L fco atg a L fco atg = + a 6
17 L fco atg = L fco atg = a ( + a ) = + a a ( + a ) ( + a ) = + a. APLICACIONES Reolución de Problema de Valor Inicial La tranformada de Laplace, e puede aplicar para reolver problema de valor inicial a ecuacione diferenciale lineale con coe ciente contante. Ejemplo. Utilizando la tranformada de Laplace, reolver el problema de valor inicial y + y =e t, y () = 4 Aplicando la tranformada de Laplace a ambo miembro de la ecuación, tenemo L fy + yg = L e t Aplicando linealidad de la tranformada, e tiene L fyg L fy g + L fyg = L e t y () + L fyg = L e t Y () 4 + Y () = + Y () ( + ) 4 = + Y () ( + ) = Y () = ( + ) Ahora, calculamo la tranformada invera de Y (), y eto e ( ) L fy ()g = L ( + ) ( ) L fy ()g = L ( + ) + 4L. + 7
18 Por tanto, la olución e y (t) = te t + 4e t. Ejemplo. Utilizando la tranformada de Laplace, reolver el problema de valor inicial. y 4y + 4y = t e t ; y () =, y () = Aplicamo L y linealidad L fy g 4L fy g + 4L fyg = L t e t L fyg y () y () 4 (L fyg y ()) + 4L fyg = L t e t 6 Y () 4Y () + 4Y () = ( ) 4 Y () = 6 ( ) 4 Y () ( ) 6 = ( ) 4 6 Y () = ( ) 6. Ahora, calculamo L y la linealidad, ( ) L fy ()g = L 6 ( ) 6 ( ) L fy ()g = 6L ( ) 6 ( ) L fy ()g = 6 5! L 5! ( ) 6 y (t) = t5 e t. 8
19 Ejemplo. Utilizando la tranformada de Laplace, reolver el problema de valor inicial y + y + 5y = e t en t; y () =, y () =. Aplicando L y linealidad, tenemo L fy g + L fy g + 5L fyg = L fe t en tg L fyg y () y () + (L fyg y ()) + 5L fyg = L fe t en tg Y () + Y () + 5Y () = Y () + Y () + 5Y () = " ( + ) Y () = Y () = ( + + 5) ( + + ) # Aplicando fraccione parciale, tenemo ( + + 5) ( + + ) = A + B C + D + + = (A + B) (C + D) ( + + 5) ( + + ) = A + A + A + B + B + B + C + C + 5C + D + D + 5 ( + + 5) ( + + ) = (A + C) + (A + B + C + D) + (A + B + 5C + D) + (B + 5D) ( + + 5) ( : + + ) ( + + 5) ( + + ) = (A + C) + (A + B + C + D) + (A + B + 5C + D) + (B + 5D) ( + + 5) (. + + ) Igualando lo numeradore, e tiene + ++ = (A + C) +(A + B + C + D) +(A + B + 5C + D) + (B + 5D). Igualando, lo coe ciente de potencia iguale de del primer y egundo miembro, obtenemo el itema 9
20 8 >< >: A + C = () A + B + C + D = () A + B + 5C + D = () B + 5D = (4) De la primera ecuación depejamo C = ecuación del itema, obtenemo A y reemplaando en la egunada.. A + B A + D = ) B + D =. Luego, reolvemo el itema B + D = j 5 B + 5D = j 5B 5D = B + 5D = B = ) B =. Demanera que: D = : Luego, reemplazando B = y D = en la tercera ecuación del itema, e obtiene A + 5C =. Sutituyendo C = A, en eta ecuación, e obtiene A + 5 ( A) = ) A = y C =. En conecuencia, la raice del itema on: A =, B =, C = y D =. Siendo ( + + 5) ( + + ) = Continuando Y () = = De manera que L fy ()g = L +L = L + L = L + L L + + 5
21 = L +L ( + + ) + 5 ( + + ) + = L ( L fy ()g = L ( ( + ) + 4 ( + ) + 4 ) + L ( ) + L ( ( + ) + ( + ) + ) ). Finalmente: y (t) = e t en t + e t en t. Ejemplo. Mediante la tranformada de Laplace, reolver el problema de valor inicial. y y y = en t 8 co t ; y =, y =. Donde L fy g L fy g L fyg = L fen tg 8L fco tg h i L fyg y y L fyg y L fen tg 8L fco tg Y () [Y () ] Y () = + Y () Y () + Y () = + L fyg = Y () + = ( ) ( + ) Y () = Y () = ( ) ( + ) ( + ) + Y () = 8 + ( ) ( ) ( + ) + = ( ) ( + ) ( + ) Y () = 7 ( ) ( + ) ( + ). ( ) ( + ) ( + )
22 Aplicando fracccione parciale, tenemo 7 ( ) ( + ) ( + ) = A + B + + C + D + = A ( + ) + + B ( ) + + (C + D) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) = (A + A) + + (B B) + + C + D ( ) ( + ) ( + ) = A + A + A + A + B + B B B + C C C + D D ( ) ( + ) ( + ) = A + B + C + A B C + D + A + B C D + A B ( ) ( + ) ( + ) = (A + B + C) + (A B C + D) + (A + B C D) + (A B D) ( ) ( + ) (. + ) o bien 7 ( ) ( + ) ( + ) = (A + B + C) + (A B C + D) + (A + B C D) + (A B D) ( ) ( + ) (. + ) Simpli cando lo denominadore, e tiene 7 = (A + B + C) +(A B C + D) +(A + B C D) + (A B D) () Evaluación: Sí: = en (), entonce 7 () = (A + B + C) +(A B C + D) +(A + B C D) + (A B D) = 8A + 8B + 8C + 4A 8B 4C + 4D + A + B 4C D + A B D = 5A )) A = 5. Sí: = en (), entonce +7 = (A + B + C) ( )+(A B C + D)+(A + B C D) ( )+ (A B D) = A B C + A B C + D A B + C + D + A B D = 6B )) B =.
23 Luego, igualando lo coe ciente de potencia iguale de en (), obtenemo el itema 8 >< >: A + B + C = () A B C + D = () A + B C D = 7 () A B D = (4) Como ya conocemo de antemano la raíce A = 5 y B =, utituyendo eto valore en el itema obtenemo lo demá raice, eto e: C = 5 y D = 7 5. Operacione Auxiliare: Sea la ecuación A + B + C = 5 + C = C = )) C = 5. Reemplazamo en la egunda ecuación lo valore de A, B ; C y D, tenemo A B C + D = D = D = + + D = D = D = D = D = = 5 5 )) D = 7 5. Continuamo, reemplazando lo valore de A, B, C y D en la función Y (): 7 Y () = ( ) ( + ) ( + ) = Y () = Ahora calculamo la tranformada invera de Y ()
24 L fy ()g = 5 L L L L. + En conecuencia, la olución e: y (t) = e 5 et t + co t en t. Ejemplo. Mediante la tranformada de Laplace, reolver el problema de valor incial. y + y y = co t ; y () =, y () = 4. L fy g + L fy g L fyg = L fco tg L fyg y () y () + L fyg y () L fyg = L co t L en t Y () 4 + Y () Y () = + ( + 4) ( + 4) + Y () 5 = + ( + 4) ( + 4) ( + ) ( ) Y () = ( + 4) Y () = ( + 4) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Simpli cando en la primera fracción y depejando Y (), e tiene Y () = ( + 4) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Y () = ( + 5) ( + 4) ( + ) ( ) = ( + 4) ( + ) ( ). Simpli cando lo término emejante del numerador, reulta Y () = ( + 4) ( + ) ( ). Aplicando fraccione parciale, tenemo 4
25 ( + 4) ( + ) ( ) = A + B Operamo en el egundo miembro C + + D. A + B C + + D = (A + B) ( + ) ( ) + C + 4 ( ) + D + 4 ( + ) ( + 4) ( + ) ( ) = (A + B) + + C D ( + 4) ( + ) ( ) = A + A A + B + B B + C C + 4C 4C + D + D + 4D ( + 4) ( + ) ( ) = A + C + D + A + B C + D A + B + 4C + 4D B 4 ( + 4) ( + ) ( ) = (A + C + D) + (A + B C + D) + ( A + B + 4C + 4D) + ( B 4C + ( + 4) ( + ) ( ) O bien ( + 4) ( + ) ( ) = (A + C + D) + (A + B C + D) + ( A + B + 4C + 4D) + ( B 4C ( + 4) ( + ) ( ) Simpli camo lo denominadore = (A + C + D) + (A + B C + D) + ( A + B + 4C + 4D) + ( B 4C + 8D) Igualando lo coe ciente de potencia iguale del primer y egundo miembro, tenemo el iguiente itema 8 >< >: A + C + D = () A + B C + D = 5 () A + B + 4C + 4D = 5 () B 4C + 8D = (4) Reolviendo el itema encontramo que la raíce on: A =, B =, C =, D = 5. Continuamo, reemplazando lo valore de A, B, C y D en la función Y (): Y () =
26 Y () = Ahora calculamo la tranformada invera de Y () L fy ()g = L L L. L + + En conecuencia, la olución e: y (t) = co t + in t e t + 5 et. 6
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