La Matriz de Transición

Transcripción

1 Caítulo La Matriz de Tranición. Reueta natural de un itema E la reueta que deende olamente de la condicione iniciale, e obtiene cuando la entrada al itema u (t) e hace igual a cero, analíticamente viene dada or: Donde u (t) =: entonce: _x (t) =Ax (t)+bu (t) (.) _x (t) =Ax (t) (.) Alicando la tranformada de Lalace a la ecuación (.) e obtiene: Re-acomodando la ecuación (.) e obtiene: La ecuación de alida e X () x () = AX () (.) X () =(I A) x () (.) y (t) =Cx (t)+du (t) (.) AlicandolatranformadadeLalacealaecuación(.)(conu (t) =)e obtiene: Y () =CX () =C (I A) x () (.6). Polinomio caracterítico o ecuación caracterítica E el olinomio que e obtiene al calcular el determinante de la matriz (I A) ; ara el cao de itema SISO correonde al denominador de la función de tranferencia. n + a n + + a n =det(i A) (.7)

2 . Autovalore o eigenvalue de la matriz A olo Son la raice de la ecuación caracterítica, en término de control e denominan. Matriz de tranición n + a n + + a n = (.8) E la matriz que de ne la tranición de lo etado dede un intante t hata un intante t Lo que imlica que Donde (t; t )=$ n (I A) o (.9) x (t) = (t; t ) x () (.) (t; t o )=e A(tt o) (.) Si t =e tiene que (t) =e At = I + At + A t +! A t + ::: (.) Método ara calcular (t) :Exiten mucho método ara hacer ete cálculo, a continuación e reentarán olo alguno de la ocione de olución oible... ) Directo e At = I + At + A t +! A t + ::: (.) E encillo de alicar i e tiene una herramienta numérica, i la exanión e in nita, e debe detener y tratar de reconocer la exanione exonenciale que e formen en cada uno de lo elemento de la matriz. Si la matriz A e nilotent de orden ; la reueta e cerrada i la exanión e hace hata A. Una matriz e nilotent i a artir de una otencia, todo lo elemento de la matriz A on iguale a cero.

3 .. ) Calculando la matriz diagonal Si todo lo autovalore de A on diferente e hace una tranformación de imilaridad ara obtener D = TAT (.) Donde D e una matriz diagonal. La diagonal etá formada or lo autovalore. En ete cambio e tiene que y La olucione homogenea on: _x (t) =Ax (t) (.) _z (t) =Dz (t) (.6) x (t) =e At x () (.7) Lo que imlica que z (t) =e Dt z () = e TATt z () (.8) e Dt = e TAT t (.9) Calculando directamente e TATt = I + TAT t + TAT t + TAT t + ::: (.)! e TATt = TT + TAT t + TAT t + TAT t + ::: (.)! Debido a que: TAT n = TAT TAT TAT = TA n T (.) Se tiene: µ e TATt = T I + At + A t +! A t + ::: T (.) e TATt = Te At T = e Dt (.) Arovechando la roiedade de lo autovalore y autovectore ( I A) x = (.)

4 6 eectro (A) =f ; ;::: ; ng (.6) Si x e un autovector de A aociado a un autovalor entonce x ( I A) =nulidad de ( I A) (.7) Ejemlo: Suonga que e deea hallar lo autovalore y autovectore de la matriz: A = (.8) Para hallar lo autovalore e calcula el determinante de I A I A = (.9) j I Aj = ( ) ( ) = + (.) (En MATLAB: CE = oly(a) ) Lo autovalore on la raice de j I Aj += (.) Lo cuale e calculan en MATLAB uando la función: lambda = root(oly(a)); donde e obtiene = :7 = :7 = : Para obtener lo autovectore e de ne v v = v v, v v = v v, v = Se calcula ( I A) v = :7 :7 : :7 v v v v v v (.) (.) = (.) :7v v = :7v = :v +:7v = (.)

5 7 Se obtiene v = :7v v = (.6) Si ademá e hace la norma del vector v igual a e tiene que q jv j = v + v + v = (.7) v + v = (.8) v +v = (.9) v =: (.) v = v =:866 (.) Procediendo de la mima manera ara v y v e obtiene : : :, v = :, v = :866 :866 : : : (.) Reuniendo lo autovectore en una matriz e tiene : : : V = : : : (.) :866 :866 : Donde ( I A) V = (.) V = AV (.) Si todo lo autovalore on diferente entonce V e invertible D = I = V AV (.6) D = : : :77 : : :77 : : : : : : : : : :866 :866 : (.7)

6 8 D = :7 : : : :7 : : : : (.8) (MATLAB:[V; D] =eig(a) ) Donde e fácil calcular e Dt Ademá Deejando e At Donde Entonce e Dt = e :7t : : : e :7t : : : e t (.9) e Dt = Te At T (.) e At = T e Dt T (.) T = V (.) e At = Ve Dt V (.) e At = : : : : : : :866 :866 : e :7t : : : e :7t : : : e t : : :77 : : :77 : : : (.) e At = :e :7t :e :7t : : : e t :866e :7t :866e :7t : e At = : : :77 : : :77 : : : : e :7t + e :7t : :8867 e :7t e :7t : e t : :866 e :7t e :7t : : e :7t + e :7t (.) (.6)

7 9.. ) Calculando (I A) ª Suonga que e deea hallar lo autovalore y autovectore de la matriz: I A = (.7) (I A) = adj (I A) ji Aj (.8) ji Aj = ( ) ( ) = ( ) (.9) cofact (I A) = ( ) ( ) ( ) (.6) adj (I A) =(cofact (I A)) T = ( ) ( ) ( ) (.6) (I A) = adj (I A) ji Aj = 6 7 (.6) Calculando cada uno de lo olo (I A) = (.6) Haciendo exanión en fraccione arciale K + K + (I A) = 6 K + K 6 + K + K + K + K + 7 (.6)

8 Calculando el valor de lo reiduo (uando la funcion reidue de MATLAB) : + : + : : (I A) = (.6) 6 :866 + :866 + : + : 7 + n $ (I A) o = : e :7t + e :7t : :8867 e :7t e :7t : e t : :866 e :7t e :7t : : e :7t + e :7t (.66).. ) Calculando analíticamente a artir de la ecuación de etado _x (t) =Ax (t) (.67) _x (t) _x (t) _x (t) = x (t) x (t) x (t) (.68) _x (t) = x (t) _x (t) = x (t) _x (t) = x (t) (.69) Alicando la tranformada de Lalace (coniderando la condicione iniciale) X () x () = X () X () x () = X () X () x () = X () (.7) Deejando X () = X ()+x () X () = X ()+x () X () = X ()+x () (.7) Multilicando la rimera y la tercera ecuación or X () = X ()+x () X () X () = x () X () = X ()+x () (.7)

9 Subtituyendo X () en la rimera ecuación y X () en la tercera X () = X ()+x () + x () ( ) X () = x () X () = (X ()+x ()) + x () X () = x () + x () ( ) X () = x () X () = x () + x () (.7) (.7) X () X () X () = 6 7 x () x () x () (.7) Lo cual e reuelve de la mima manera que e hizo en el método anterior, calculando lo olo, haciendo la exanión en fraccione arciale, calculando el valor de lo reiduo y alicando la invera de la tranformada de Lalace ara obtener x (t) x (t) x (t) = : e :7t + e :7t : :8867 e :7t e :7t : e t : :866 e :7t e :7t : : e :7t + e :7t.. ) Calculando grá camente a artir de la ecuación de etado (.76) x () x () x () _x (t) _x (t) _x (t) = _x (t) =Ax (t) (.77) x (t) x (t) x (t) (.78) El diagrama de ujo de eñale que rereenta la ecuación de etado e: x () dx /dt x (t) x () dx /dt x (t) x () dx /dt x (t) Figura

10 En eta cao e tiene un itema con tre entrada x () ;x () y x () ytre alida X () ;X () y X () Lazo de Realimentación: T = T = =T T +T T = + = + = ( ) M Camino Directo M k k M k k k k x ()! X () T = x ()! X () x ()! X () T = x ()! X () x ()! X () T = x ()! X () x ()! X () T = ( ) x ()! X () x ()! X () T = Agruando eto reultado en una ecuación matricial e tiene X () X () = x () X () 6 x () (.79) 7 x () El cual e el mimo reultado arcial que e obtuvo en la olución analítica. Proiedade de la matriz de tranición de etado (t) : ) ()=e A = I ) (t) = e At = e At = e A(t) = (t) ) (t + t )=e A(t +t ) = e At e At = (t ) (t ) ) ( (t)) n = (nt) ) (t t ) (t t )= (t t )= (t t ) (t t ) Finalmente en cualquiera de lo cao Entonce i y (t) or ejemlo e Y () =C (I A) x () (.8) y (t) = x (t) (.8)

11 Y () = 6 7 x () x () x () (.8) Y () = x () x () x () (.8) Calculando lo olo y exandiendo en fraccione arciale e tiene: Y () = K + K + K + K + x () x () x () (.8) Calculando el valor de lo reiduo (uando la funcion reidue de MATLAB) : Y () = + : + : :8867 x () + x () (.8) x () y (t) =$ fy ()g = : e :7t + e :7t e t :8867 e :7t e :7t (.86) x () x () x (). Reueta forzada de un itema E la reueta que deende olamente de la eñale de entrada, e obtiene cuando la condicione iniciale x () e aumen igual a cero, analíticamente e calcula a artir de la función de tranferencia.. Correlación entre la función de tranferencia y la ecuacione de etado La función de tranferencia ara un itema de una entrada - una alida (SISO) e de ne como: G () = Y () (.87) U ()

12 En el cao de itema de múltile entrada y múltile alida (MIMO) e de ne la matriz de funcione de tranferencia: Y () =G () U () (.88) q m. Unitemauedeerrereentadouandovariabledeetadoatravédelarealización: Donde Y () e un vector q ; U () e un vector m y G () e una matriz _x (t) =Ax (t)+bu (t) (.89) y (t) =Cx (t)+du (t) (.9) Donde x (t) e el vector de etado (n ); u (t) e el vector de entrada (m ); y (t) e el vector de alida (q ): La tranformada de Lalace de la ecuacione (.89) y (.9) e: X () x () = AX ()+BU () (.9) Y () =CX ()+DU () (.9) Re-acomodando la ecuación (.9) ara x () = e obtiene X () =(I A) BU () (.9) Subtituyendo la ecuación (.9) en la ecuación (.9) e obtiene Y () =C (I A) BU ()+DU () (.9) Donde la matriz de funcione de tranferencia G () e.6 Ejercicio G () =C (I A) B + D (.9) ) Si todo lo autovalore de la matriz A no on diferente entre í, no e uede obtener iemre la matriz diagonal D; en ee cao e debe obtener la matriz de Jordan J. Ecriba una rutina en MATLAB ara obtener la matriz de Jordan ara una matriz A arbitaria eleccionada or uted (no trivial) y demuetre analíticamente uando eta matriz como e uede obtener la matriz de tranición (t) =e At Veri que u reultado uando el método equivalente e At = $ n(i A) o :