CONTROL BÁSICO. Sistemas de Control Realimentados. Coeficientes estáticos de error. Facultad de Ingeniería - UNER. Asignaturas: Control Básico 1

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1 CONTROL BÁSICO TEMAS: - Diseño de reguladores en bucle cerrado or método frecuencial Facultad de Ingeniería UNER Carrera: Bioingeniería Planes de estudios: 2008 y 993 Sistemas de Control Realimentados Consideramos el lazo básico de control SISO Órgano de Acción Final X + - M e REGULADOR y PLANTA o PROCESO C SENSOR Ley de Control de la realimentación negativa: «Incrementar la variable maniulada (y) cuando la variable del roceso (M) sea más equeña que la referencia (X) y disminuirla cuando ésta sea más grande». Coeficientes estáticos de error Error Estacionario: X(s) E(s) G(s) H(s) C(s) e lime ss () t lim s. E() s sx lim + G t ( s) () s H () s Caracterización del error estacionario Clasificación según función de transferencia en Lazo Abierto Definen el tio de un sistema Coeficientes Estacionarios definidos or las entradas Escalón Rama Parábola Asignaturas: Control Básico

2 Función de transferencia en Lazo Abierto K () () ( Tas + )( Tbs + ) L( Tms + ) G s H s N s ( T s + )( T2s + ) Ts + ) Tio de un sistema de control Definición Tio N según el exonente N del olo en el origen (no es el orden) Proiedades Al aumentar AUMENTA LA EXACTITUD EMPEORA LA ESTABILIDAD Existe un comromiso entre exactitud y estabilidad Coeficiente estático de error de osición Se define ara una entrada escalón lim sx () s () () lim s + G s H s + G() s H () s s + G( 0) H ( 0) siendo K G( 0) H ( 0) + K Para sistemas de tio 0 + K Para sistemas de tio o mayor 0 e ss Coeficiente estático de error de velocidad Se define ara una entrada rama sx () s s lim G() s H () s lim s G() s H () s s sg() s H () s Kv siendo Kv lim sg() s H () s Para sistemas de tio 0 e ss Para sistemas de tio Kv Para sistemas de tio 2 o mayor 0 e ss 0 t Asignaturas: Control Básico 2

3 e e ss ss Coeficiente estático de error de aceleración Se define ara una entrada tio arábola sx () s s lim G() s H () s lim lim s 3 G() s H () s s s s G() s H () s 2 siendo Ka lim s G() s H () s K a Para sistemas de tio 0 y e ss Para sistemas de tio 2 Ka Para sistemas de tio 3 o mayor 0 e ss 0 t Error estático en función del tio entrada con x(t) definida ara t 0: Tio Entrada escalón x(t) Entrada rama x(t) t Entrada aceleración x(t) (/2)t 2 0 /(+K) 0 /Kv /Ka La ley de control de un regulador PI resonde a la siguiente ecuación: t K y K e + e. dt) G PI s K + TI TI. s ( () 0 Diagrama de Bode de un regulador PI (Ti0,8 y K0,5) Asignaturas: Control Básico 3

4 De la gráfica de Bode de un PI se uede observar: Hasta una década desués de /Ti aorta una fase negativa. Para frecuencias sueriores a 0/Ti la magnitud atenúa en una valor igual a 20 log Ki en [db] y la fase es cercana a los cero grados. ESTA ES LA ZONA DE DISEÑO!!!! Pasos orientativos ara realizar el diseño: Si hay requisito de Error Estático y Margen de Fase verificar si al colocar un PI se cumle con la condición de error or tener un olo al origen. Caso contrario no se uede usar un PI. Si se cumle con la condición de error y hay requisito de MARGEN DE FASE (MF), esto es MFa entonces buscar en el diagrama de Bode de G(s).H(s) la frecuencia wa donde la fase de G(s).H(s) a+5-80 y Medir la magnitud en dicha frecuencia a la que llamaremos Ma [db] wa 0 Ti 20.log K M a Ti 0 wa Pasos orientativos ara realizar el diseño: Si hay requisito de Error Estático y Margen de Ganancia verificar si al colocar un PI se cumle con la condición de error or tener un olo al origen. Caso contrario no se uede usar un PI. Si se cumle con la condición de error y hay además requisito de MARGEN DE GANANCIA (MG), esto es MGb [db] entonces buscar en el diagrama de Bode de G(s).H(s) la frecuencia wb donde la fase de G(s).H(s) -80 y Medir la magnitud en dicha frecuencia a la que llamaremos Mb [db] wb 0 Ti 20.log K M b b Ti 0 wb Asignaturas: Control Básico 4

5 Ejemlo ara Resolver con Matlab: Dado el sistema G(s) que trabajaenunlazodecontrolcon realimentación unitaria y negativa se solicita que diseñe un regulador PI ara estos dos casos: 8 G( s) 3 ( s + ) a) Error de osición menor al 5% y Margen de Fase de 40 grados. b) Error de osición menor al 5% y Margen de Ganancia suerior de 6 [db]. La ley de control de un regulador PD resonde a la siguiente ecuación: de y K e + K. TD G ( s) K ( T. s) dt PD + D Diagrama de Bode de un regulador PD (Td0,8 y K) De la gráfica de Bode de un PD se uede observar: Para frecuencias mayores a w/td la magnitud es mayor que 0 [db] y la fase crece de 45 a 90 grados. Para frecuencias menores a /Td la magnitud es 0 [db] y el regulador uede aortar hasta 45 grados de fase. ESTA ES LA ZONA DE DISEÑO!!!! PDarctg (w.td) Asignaturas: Control Básico 5

6 Pasos orientativos ara realizar el diseño: Si hay requisito de Error Estático y Margen de Fase utilizar el valor de K del regulador ara cumlir con la condición de error solicitada (alicar los límites vistos ara el cálculo de los errores estáticos). Si se cumle con la condición de error y hay requisito de MARGEN DE FASE (MF), esto es MFa entonces buscar en el diagrama de Bode de K.G(s).H(s) la frecuencia wa donde el módulo de K.G(s).H(s) 0 [db]. Medir la fase en dicha frecuencia a la que llamaremos Fa. Hacer (a+5-fa- 80) si es menor a 40 grados se uede utilizar un PD. tg( a + 5 F arctg( wa. TD ) ( a + 5 Fa 80) T a 80) D wa Pasos orientativos ara realizar el diseño: Si hay requisito de Error Estático y Margen de Ganancia utilizar el valor de K del regulador ara cumlir con la condición de error solicitada (alicar los límites vistos ara el cálculo de los errores estáticos). Si se cumle con la condición de error y hay además requisito de MARGEN DE GANANCIA (MG), esto es MGb [db], entonces buscar en el diagrama de Bode de K.G(s).H(s) la frecuencia wb donde el módulo vale b [db]. Medir la fase a esa frecuencia que será Fb. Si (80+Fb) es menor de 40 grados oder utilizar un PD. tg( 80 Fb ) arctg ( wb. TD ) (80 + Fb ) TD wb Ejemlo ara Resolver con Matlab: Dado el sistema G(s) que trabajaenunlazodecontrolcon realimentación unitaria y negativa se solicita que diseñe un regulador PD ara estos dos casos: 6 G( s) 3 ( s + 2) a) Error de osición del 0% y Margen de Fase de 30 grados. b) Error de osición del 0% y Margen de Ganancia igual o suerior de 6 [db]. c) Si tuviera que elegir unos de los dos diseños ara imlementar: Cuál elegiría? Por qué? Asignaturas: Control Básico 6

7 Recordando Algunos Circuitos ara Diseñar un Regulador Asignaturas: Control Básico 7