Técnicas de Frecuencia

Transcripción

1 Teoría del Control Técnicas de Frecuencia Cesáreo Raimúndez Depto. de Ingeniería de Sistemas y Automática ETSII-Vigo Teoría del Control p. 1/46

2 TEMA 6: Análisis en frecuencia de sist. continuos Respuesta en frecuencia - Formas de representación. Especificaciones en frecuencia. Criterio de Nyquist - Gráficas de Nyquist. Estabilidad - Márgenes de fase y ganancia. Criterio de Bode - Gráficas de Bode. Gráficas de Nichols. Teoría del Control p. 2/46

3 Descripción en Frecuencia Los sistemas lineales se pueden describir a través de su respuesta en frecuencia. Supongamos un sistema lineal estable G p (s) estimulado por una señal sinusoidal de amplitud unitaria. Y (s) = G p (s) ω s 2 + ω = N p(s) 2 D p (s) ω s 2 + ω = n(s) 2 D p (s) + c 1s + c 0 s 2 + ω 2 efectuando la expansión por el denominador de Y (s) tendremos: Y (s) = Y t (s) + Y r.p. (s) = {transitorio} + A s + jω + B s jω Teoría del Control p. 3/46

4 Descripción en Frecuencia En régimen permanente tendremos: Y r.p. (s) = A s + jω + B s jω donde A = lím s jω ((s + jω)y (s)) = G p( jω) 2j B = lím s +jω ((s jω)y (s)) = G p(jω) 2j y r.p. (t) = 1 2j ( Gp (jω)e jωt G p ( jω)e jωt) = Y ω sin(ωt + ψ ω ) pues G p (jω) = G p (jω) e j G p(jω) = Y ω e jψ ω Teoría del Control p. 4/46

5 Descripción en Frecuencia A guisa de ejemplo se puede calcular el módulo y fase resultantes de la señal u(t) = sin(t)1(t) aplicada a la planta G p (s) = 1 s + 1 Efectuando los cálculos del régimen permanente tendremos. G p (jω) = 1 jω + 1 = G p (jω) = 1 ω G p (jω) = arctan(ω) Como ω = 1 obtendremos finalmente: y r.p. = 2 2 sin(t π 4 ) Teoría del Control p. 5/46

6 Descripción en Frecuencia Y ω = G p (jω) ψ ω = G p (jω) dada una secuencia de señales sinusoidales de amplitud unitaria y con pulsaciones {ω 1, ω 2,, ω k } aplicadas a una planta lineal con función de transferencia G p (s) podremos elaborar una tabla ω G p (jω) G p (jω) ω 1 Y 1 ψ 1 ω 2 Y 2 ψ 2... ω k Y k ψ k Teoría del Control p. 6/46

7 Respuesta en frecuencia (Polar) con los puntos obtenidos experimentalmente se puede construir la gráfica polar G p (jω), {ω 1 ω ω 7 } conforme veremos, esta gráfica construida en lazo abierto, sirve para caracterizar el comportamiento de la planta en lazo cerrado, con un controlador proporcional. Esta gráfica construida experimentalmente sirve para describir las características dinámicas de la planta desconocida y substituye en este caso la función de transferencia teórica. {Y 4, ψ 4 } {Y 5, ψ 5 } {Y 3, ψ 3 } {Y 2, ψ 2 } {Y 1, ψ 1 } {Y 6, ψ 6 } {Y 7, ψ 7 } Teoría del Control p. 7/46

8 Respuesta en frecuencia (cartesiana) Los puntos colectados por el proceso de señales sinusoidales puede representarse en una gráfica cartesiana G p (jω) G p (jω k ) G p (jω) G p (jω k ) ω Teoría del Control p. 8/46

9 Especificaciones en frecuencia Pico de resonancia Mr es el valor máximo de G p (jω) Frecuencia de resonancia ωr es la frecuencia en la que ocurre el pico de resonancia. El ancho de banda de una función de transferencia se calcula teniendo como base el punto en que el módulo G p (jω) vale 1/ 2 de su valor G p (0). G p (jω) M r 1 1/ 2 ω r BW ω Teoría del Control p. 9/46

10 Aplicación al par de polos Sea G(s) = ( s módulo y fase ω n 1 ) 2 + 2ζ ( s ω n ) + 1, haciendo s = jω y calculando 1 G(jω) = ( ( ) ) 2 2 ( ω ω 1 + 4ζ ω 2 n ( ) ω 2ζ G(jω) = tan 1 ω n ( ) 2 ω 1 ω n ω n ) 2 Teoría del Control p. 10/46

11 Aplicación al par de polos Pico de resonancia: d G(jω) = 0 máx dω G(jω) = M r = ω 1 2ζ 1 ζ ω = ω 2 n 1 2ζ 2 Ancho de banda: G(jω) = 1 2 BW = ω n 1 2ζ (1 2ζ 2 ) 2 Teoría del Control p. 11/46

12 Resonancia (Par de polos) El par de polos G(s) = ( s ω n función de ζ conforme figura. 6 1 ) 2 + 2ζ ( s ω n ) + 1, ofrece las gráficas de módulo en 5 4 G(jω) ω/ω n Teoría del Control p. 12/46

13 Harry Nyquist Nació en Suecia emigrando para los Estados Unidos de America. Trabajó en la explicación cuantitativa del ruido térmico en las comunicaciones, inventó el sistema de transmisión de banda lateral vestigial (TV). Quedó célebre por su famoso diagrama de estabilidad. Teoría del Control p. 13/46

14 Teorema de Nyquist - Preliminares Sean dos ceros: z i interior a la región definida por Γ y z e exterior a esta misma región. Si s efectúa un recorrido completo sobre Γ en el sentido anti-horario, las variaciones angulares percibidas en ambos casos serán: Γ (s + z i ) = 2π D B z i φ AB Γ A Γ (s + z e ) = 0 Ya si fuesen polos tendríamos: φ CD C Γ {1/(s + z i )} = 2π Γ {1/(s + z e )} = 0 z e Teoría del Control p. 14/46

15 Teorema de Nyquist - Preliminares Variación de p n (Γ) Sea un polinomio dado por p n (s) y Γ una curva cerrada en el plano complejo. La variación angular sufrida por p n (s) cuando s Γ efectúa un recorrido completo en el sentido anti-horario, será igual a 2πn i donde n i es el número de raíces de p n (s) = 0 internas a Γ. Γ p n (s) = 2πn i Teoría del Control p. 15/46

16 Teorema de Nyquist - Preliminares Variación de G p (Γ) = N p(γ) D p (Γ) Sea G p (s) = N p (s)/d p (s) y Γ una curva cerrada en el plano complejo. La variación angular sufrida por G p (s) cuando s Γ efectúa un recorrido completo en el sentido anti-horario, será igual a 2π(z i p i ) donde z i es el número de ceros y p i el número de polos de G p (s) interiores a Γ. Γ G p (s) = 2π(z i p i ) Teoría del Control p. 16/46

17 Teorema de Nyquist - Preliminares Sea F(s) = G(s) + γ, donde γ es una constante y Γ una curva cerrada. Si la gráfica de F(Γ) envuelve el origen de coordinadas, entonces G(Γ) envuelve el punto γ. F(Γ) = G(Γ) + γ G(Γ) = F(Γ) γ La constante γ equivale a una traslación en la gráfica de G(Γ). Teoría del Control p. 17/46

18 Teorema de Nyquist - Preliminares I Sea Γ definida de acuerdo con: Γ Γ = jω {r ω R} jre jφ {0 φ π} jω {r ω R} jre jφ {0 φ π} O R R haciendo R y r ǫ > 0, Γ cubrirá todo el semi-plano complejo positivo, menos el origen de coordinadas. r Teoría del Control p. 18/46

19 Teorema de Nyquist Dada F(s) = 1 + k c G p (s) si F(s) presenta una fracción polinomial cuyo numerador es estable, la gráfica de G p (Γ) envolverá el punto 1 k c en el sentido anti horario n i veces, donde n i es el número de polos inestables en G p (s) Este criterio se aplica también a funciones de trans- irracionales o con ferencia retardos La gráfica de k c G p (s) = F(s) 1 rodeará el punto 1 del eje real, n i veces en el sentido anti-horario. Teoría del Control p. 19/46

20 Teorema de Nyquist - Implicaciones - I Sea G c (s) = k c G d (s) con G d (s) estable. ( si G d (s) = 1 contr. proporcional ) Si G p (s) es estable en lazo abierto, para tener estabilidad en lazo cerrado es necesario y suficiente que G p (Γ)G d (Γ) no envuelva al punto 1/k c. Si G p (s) es inestable en lazo abierto, con p i polos inestables, para que el lazo cerrado sea estable es necesario y suficiente que no haya cancelaciones inestables y que G p (Γ)G d (Γ) envuelva p i veces el punto 1/k c en el sentido anti-horario. Teoría del Control p. 20/46

21 Teorema de Nyquist - Implicaciones - II Sea G c (s) = k c G d (s) con G d (s) estable. ( si G d (s) = 1 contr. proporcional ) Si G p (s) es estable en lazo abierto, para tener estabilidad en lazo cerrado es necesario y suficiente que k c G p (Γ)G d (Γ) no envuelva al punto 1. Si G p (s) es inestable en lazo abierto, con p i polos inestables, para que el lazo cerrado sea estable es necesario y suficiente que no haya cancelaciones inestables y que k c G p (Γ)G d (Γ) envuelva p i veces el punto 1 en el sentido anti-horario. Teoría del Control p. 21/46

22 Teorema de Nyquist - Implicaciones - III Otra lectura: Sea G c (s) = k c G d (s) estable. ( si G d (s) = 1 contr. proporcional ) La gráfica de Nyquist de kc G d (Γ)G p (Γ) describirá un total de N vueltas circundando el punto 1 + 0j. Si esta(s) vuelta(s) se efectúa(n) en el sentido anti-horario, N se caracterizará como positivo. Si esta(s) vuelta(s) se efectúa(n) en el sentido horario, N será negativo y si finalmente no se realizan vueltas entonces N = 0. El número de vueltas N es igual al número de polos de 1 + kc G d (s)g p (s) = 0 situados en el semiplano derecho (P r ), menos el número de ceros de 1 + k c G d (s)g p (s) = 0 situados en el mismo semiplano (Z r ), o sea: N = P r Z r El número de polos Pr viene a ser el número de polos inestables de la planta G p (s) y es conocido. Para que la planta sea estable en lazo cerrado es necesario que Zr = 0 de donde se concluye que para los sistemas estables en lazo cerrado debe valer N = P r Teoría del Control p. 22/46

23 Estabilidad relativa - Márgenes En el proyecto de sistemas de control se necesita saber con qué márgenes de estabilidad se trabaja. Estos márgenes deben dar una idea cuantitativa de cuán lejos está el punto operativo del límite de estabilidad. Con este propósito se definen dos medidas asociadas a la distancia del punto de estabilidad crítica 1 en relación a la curva k c G p (Γ), y son: Margen de ganancia MG. Margen de fase MF. Teoría del Control p. 23/46

24 Márgenes de ganancia y fase Los márgenes se definen de acuerdo a: ( ) 1 MG = 20log 10 k c G p (jω g ) MF = φ k c G p (jω g ) I R El MG marca la ganancia adicional en decibelios que llevaría el lazo cerrado a la estabilidad crítica. El MF mide el retardo puro que debería agregarse para alcanzar la condición de estabilidad crítica. φ ω c ω g 1 k c G p (jω c )e jφ = 1 k c G p (jω) Teoría del Control p. 24/46

25 Hendrik Wade Bode Natural de Estados Unidos de América, trabajó en filtros eléctricos siendo hoy considerada clásica su obra Network Analysis and Feedback Amplifier Design. Trabajó posteriormente durante la 2 a guerra mundial en sistemas balísticos de misiles y comunicaciones en general. Teoría del Control p. 25/46

26 Gráficas de Bode Las gráficas de Bode se construyen teniendo como base una transformación logarítmica efectuada sobre la función compleja G p (jω). G p (jω) = G p (jω) e j G p(jω) log(g p (jω)) = log G p (jω) + j G p (jω) Las gráficas de Bode presentan 20 log 10 ( G p (jω) ) y G p (jω) bajo el mismo eje de abscisas log 10 ω. Se cambia el log natural por el log 10 lo que equivale a un escalado constante en la escala logarítmica, y se utiliza el factor 20 para que las gráficas aparezcan en db que es una medida utilizada históricamente para la relación señal-ruido. La fase es medida en grados. El eje de abscisas se divide en décadas. Las gráficas de Bode y polar, poseen relación biunívoca para sistemas de fase mínima. Teoría del Control p. 26/46

27 Fase Mínima Una función de transferencia se dice de fase mínima cuando todos sus ceros están ubicados en C. G(s) = (s ± 2)(s ± 5)(s ± 20) (s + 1)[(s + 10) ] Todas las posibles realizaciones de G(jω) presentan el mismo módulo. Las fases son distintas y numerador (s + 2)(s + 5)(s + 20) origina la fase mínima (en linea gruesa). Teoría del Control p. 27/46

28 Gráficas de Bode Para representar las gráficas de Bode es conveniente llevar G p (s) a una forma normalizada. Sea una G p (s) típica. Π m 1 i=1 G p (s) = k (s + z i)π m 2 k=1 (s2 + 2ζ k ω k s + ωk 2) p s n 1 Π n 2 l=1 (s + p l)π n 3 ν=1[s 2 + 2ζ ν ω ν s + ων] 2 Π m 1 i=1 = K (s/z i + 1)Π m 2 k=1 [(s/ω k) 2 + 2ζ k (s/ω k ) + 1] p s n 1 Π n 2 l=1 (s/p l + 1)Π n 3 ν=1[(s/ω ν ) 2 + 2ζ ν (s/ω ν ) + 1] Π m 1 i=1 K p = k z iπ m 2 k=1 ω2 k p Π n 2 l=1 p lπ n 3 ν=1ων 2 con m = m 1 + 2m 2, n = n 1 + n 2 + 2n 3, n m Teoría del Control p. 28/46

29 Gráficas de Bode Haciendo ahora s = jω tendremos: Π m 1 i=1 G p (jω) = K (jω/z i + 1) Π m 2 k=1 [1 (ω/ω k) 2 + 2ζ k j(ω/ω k )] p (jω) n 1 Π n 2 l=1 (jω/p l + 1) Π n 3 ν=1 [1 (ω/ω ν) 2 + 2ζ ν j(ω/ω ν )] Π m 1 i=1 (ω/zi ) Π m 2 G p (jω) = K p ω n 1 Π n 2 l=1 G p (jω) = m 1 i=1 tan 1 ( ω z i ) + k=1 (ω/pl ) Π n 3 ν=1 m 2 n 2 l=1 tan 1 ( ω p l ) Π m 1 i=1 K p = k z iπ m 2 k=1 ω2 k p Π n 2 l=1 p lπ n 3 ν=1 ω2 ν k=1 n 3 (1 (ω/ω k ) 2 ) 2 + 4ζk 2(ω/ω k) 2 (1 (ω/ων ) 2 ) 2 + 4ζν 2(ω/ω ν) 2 tan 1 2ζ k ω/ω k ( 1 (ω/ω k ) ) n π ν=1 tan 1 2ζ ν ω/ω ν ( 1 (ω/ω ν ) ) 2 Teoría del Control p. 29/46

30 Gráficas de Bode Finalmente log G p (jω) = log K p m 2 k=1 m 1 i=1 n 1 log ω n 3 ν=1 log[( ω z i ) 2 + 1] log[(1 (ω/ω k ) 2 ) 2 + 4ζ 2 k (ω/ω k) 2 ] n 2 l=1 G p (jω) = m 1 i=1 [tan 1 ( ω z i )] + log[( ω p l ) 2 + 1] log[(1 (ω/ω ν ) 2 ) 2 + 4ζ 2 ν (ω/ω ν) 2 ] m 2 k=1 n 1 90 n 2 l=1 [tan 1 ( ω )] p l n 3 2ζ ν ω/ω ν ν=1 [tan 1 ( 1 (ω/ω ν ) 2 )] [tan 1 2ζ k ω/ω k ( 1 (ω/ω k ) 2 )] Teoría del Control p. 30/46

31 Gráficas de Bode Las gráficas de Bode pueden representarse a través de la suma de términos del tipo: 20 log 10 G p (jω) 20 log 10 K p 20 log 10 [( ω ] 1 ± ) ω 20n 1 log 10 ω [ ( 20 log 10 1 ( ω ) ] 1 2 ) 2 + 4ζ 2 ω ( ω ± ) 2 2 ω G p (jω) ± tan 1 ( ω ) ω 2ζ ( ω ) ± tan 1 ω 1 ( ω ) 2 ω n 1 90 Teoría del Control p. 31/46

32 Gráficas de Bode ( ) s + 1 ω o 20dB dec 0.1ω ω 10ω 20 log 10 [ ( ω ω ) ] 1 2, tan 1 ( ω ω ) Teoría del Control p. 32/46

33 Gráficas de Bode ( ) s ω o 20dB dec 0.1ω ω 10ω [ ( ) ] 1 ω 2 ( 2 20 log , tan 1 ω ω ω ) Teoría del Control p. 33/46

34 Gráficas de Bode ( ) 1 s n 1 = 3 n 1 = 2 n 1 = 1 n 1 = 1 n 1 = 2 n 1 = 3 20 log 10 ω n 1, n 1 90 Teoría del Control p. 34/46

35 Gráficas de Bode ( ( s ω o ) 2 + 2ζ ( s ω o ) + 1 ) 40dB dec 20 log 10 (2ζ ) 0.1ω ω 10ω 20log 10 ( ( ω 1 ω ) 2 ) 2 + 4ζ 2 ( ω ω 1 ( ) ω ) 2 2 2ζ, tan 1 ω ( ω 1 ω ) 2 Teoría del Control p. 35/46

36 Gráficas de Bode ( ( s ω o ) 2 + 2ζ ( s ω o ) + 1 ) 1 20 log 10 (2ζ ) 40dB dec ω 0.1ω 10ω 20log 10 ( ( ω 1 ω ) 2 ) 2 + 4ζ 2 ( ω ω ) 2 1 2, tan 1 ( ) ω 2ζ ω ( ω 1 ω ) 2 Teoría del Control p. 36/46

37 Gráficas de Bode ( ( s ω o ) 2 + 2ζ ( s ω o ) + 1 ) 1 Influencia del parámetro ζ 0.2 ζ ω ω 10ω 20log 10 ( ( ω 1 ω ) 2 ) 2 + 4ζ 2 ( ω ω ) 2 1 2, tan 1 ( ) ω 2ζ ω ( ω 1 ω ) 2 Teoría del Control p. 37/46

38 Gráficas de Bode - Polos y Ceros inestables Los polos y ceros ubicados en el semi-plano positivo (inestables) poseen el mismo módulo de sus simétricos ubicados en el semi-plano izquierdo. La fase es distinta y para calcularla es suficiente recordarse de la variación reflejada en la figura. Para el cero z y el polo p se tiene: π φ z π 2 π φ p π 2 jω C + π 2 π 2 φ z φ p j0 O z X p Teoría del Control p. 38/46

39 Gráficas de Bode - Polos y Ceros inestables (jω 1) ( 1 jω 1 ) Teoría del Control p. 39/46

40 Ejemplo - Representación de Bode Hagamos la representación de Bode para G p (s) con ζ = 0.2, ω n = 100. G p (s) = 10 6 (s + 1) s(s + 10) (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ) normalización llegamos pues a G p (s) = G p (s) = ( 10 6 ) 10ωn 2 (s + 1) ( ( ) ) s 2 s(s/10 + 1) + 2ζ s + 1 ω n ω n K(s + 1) ( ( ) ) s 2 s(s/10 + 1) + 2ζ s + 1 ω n ω n con K = 10 Teoría del Control p. 40/46

41 Ejemplo - Componentes 40 comp. de G p (jω) db (s + 1) 20 1/s ω 2 n /(s2 /ω 2 n + 2ζs/ω n + 1) log 10 ω comp. de G p (jω) (s + 1) 1/(s + 10) /s 1/(s + 10) ω 2 n /(s2 /ω 2 n + 2ζs/ω n + 1) log 10 ω -180 Teoría del Control p. 41/46

42 Ejemplo - Suma 40 G p (jω) K db log 10 ω G p (jω) 0-90 log 10 ω -180 Teoría del Control p. 42/46

43 Ejemplo - Traslación 40 G p (jω) db log 10 ω 0-90 G p (jω) log 10 ω -180 Teoría del Control p. 43/46

44 Nyquist Bode a MG 20log 10 a 1 φ MF G p (jω) k c G p (jω) G p (s) = 20 s(s + 2)(s + 4) Teoría del Control p. 44/46

45 Identificación - Bode Si la función G p (s) es de fase mínima es suficiente el módulo para identificarla G p (s) = s s(s + 6) = s/ s(s/6 + 1) Teoría del Control p. 45/46

46 Identificación - Bode 20dB/dec 20 log 10 K 40dB/dec 20dB/dec ω 1 ω 2 {20 log 10 K 28, ω 1 5, ω 2 130} G p (s) 25(s/ ) s(s/5 + 1) Teoría del Control p. 46/46