Desempeño. Respuesta en el tiempo: estado transitorio y estado estacionario Función de transferencia

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1 Desempeño. Respuesta en el tiempo: estado transitorio y estado estacionario Función de transferencia Elizabeth Villota Cerna Curso: Ingeniería de Control (MT221) Facultad de Ingeniería Mecánica UNI-FIM 08 Junio Herramientas del control por realimentación disturbios señal de control Modelado Planta Planta Carro Análisis (estabilidad y desempeño) ruido Controlador ley de control Síntesis MATLAB! señal medida referencia 2 1

2 Desempeño en el dominio de la frecuencia SLIT 2do orden (masa-resorte-amortiguador) Forma espacio de estados Forma función de transferencia respuesta a un escalón diagramas de Bode transiente estado estable ω o autovalores sistema λ(a) 3 Respuesta en el dominio de la frecuencia Microscopio de Fuerza Atómica (AFM) El AFM usa una punta para escanear la superficie de la muestra. La punta está ubicada al final de una viga flexible en voladizo de 450 μm. Cuando la punta se acerca a la muestra, la interacción hace que la viga se flexione en los picos de la muestra. Un haz de luz se refleja a un fotodiodo al detectar la deflexión de la viga. El controlador sensa el movimiento de la viga y mueve el escaner para mantener una fuerza de interacción constante. Modelo viga: Identificación del sistema: configuración del sistema AFM 4 2

3 Modelado en el dominio de la frecuencia Modelado de un sistema a través de su respuesta a un entrada sinusoidal y exponencial Diagrama de bloques para un sistema de control por realimentación (feedback). El bloque reference shaping corresponde a un control por alimentación directa (feedforward). El error entre la señal de referencia y la salida es realimentado al controlador, el que produce una señal de entrada al proceso. Los disturbios y ruido son incluidos como señales externas a la entrada y salida de la dinámica del proceso 5 DIAGRAMA DE BLOQUES Y FUNCIONES DE TRANFERENCIA Considere un sistema que es a) una combinación en cascada de sistemas con funciones de transferencia y (conexión en serie), b) una conexión en paralelo de sistemas, y c) conexión por realimentación, las funciones de transferencia son como detallado debajo. 6 3

4 SISTEMA DE CONTROL CON FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Se desea encontrar la forma cómo se relaciona el error con las señales, y 7 SISTEMA DE CONTROL CON FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Se desea encontrar la cómo de relaciona el error con las señales, y Algebra de diagrama de bloques. (a) Multiplicación de las funciones de transferencia de proceso y del controlador. (b) Función de transferencia equivalente al lazo de realimentación. (c) Multiplicación de los dos bloques restantes. Relación entrada-salida sistema controlado: 8 4

5 CANCELAMIENTO DE POLOS Y CEROS Muchas veces el numerador y denominador de la función de transferencia puede tener factores comunes que pueden ser cancelados. Un cancelamiento polo/cero forzado en un sistema en lazo cerrado podría no darse en la práctica si uno de los sistemas es ligeramente perturbado, resultando en una diferencia entre el comportamiento real y el esperado. Ejemplo: Control crucero Planta: Controlador PI: + Eligiendo el cero del controlador para cancelar La función de transferencia de la referencia a la velocidad: Otras señales:, entonces: POLO CANCELADO APARECE EN OTRA FT! 9 CANCELAMIENTO DE POLOS Y CEROS + θ w - g v v e Eligiendo el cero del controlador para cancelar de la planta, entonces: POLO CANCELADO APARECE EN LA OTRA FT! Y si el polo cancelado es inestable? 10 5

6 Respuesta en el dominio de la frecuencia ENTRADA SALIDA Resolviendo la ecuación espacio de estados para el estado:, Luego la salida es: Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario Función de Transferencia (FT) RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL CORRESPONDIENTE A LA RESPUESTA EN ESTADO ESTACIONARIO PARA UNA ENTRADA EXPONENCIAL Respuesta en estado estacionario 12 ss Forma espacio de estados Función de transferencia 12 6

7 Función de transferencia sistemas varios ss 13 Matriz de transferencia más de una entrada o salida PÉNDULO INVERTIDO EN EL CARRITO Ecuación de movimiento no lineal Ecuación de movimiento lineal Usando transformada de Laplace Funciones de transferencia 14 7

8 Función de transferencia ss Salida para una entrada ESCALÓN UNITARIO Salida para una entrada SINUSOIDAL ss Identidad de Euler ss M: magnitud de G(iω) θ: fase de G(iω) ss ss Por linealidad, la respuesta a una entrada sinusoidal es amplificada por. y desfasada por 16 DIAGRAMAS DE BODE La respuesta en frecuencia puede ser representada por dos curvas. Curva de ganancia, que representa a, magnitud de como una función de la frecuencia Curva de fase, que representa a, fase medida en grados y presentada en función de la frecuencia Una forma práctica de dibujar estas curvas es usando una escala log/log para la ganancia y una escala log/lineal para la fase. La ganancia también se puede representar con escala semilogaritmica, eje vertical: 20log (decibel), eje horizontal: frecuencia en escala logaritmica La escala logaritmica permite cubrir gran rango de frecuencias. decade El sistema de 2do orden tiene un pico en la frecuencia y luego decrece con una pendiente de -2 más allá del pico 18 8

9 BOSQUEJANDO E INTERPRETANDO DIAGRAMAS DE BODE Sea la función de transferencia de la forma: Se tiene: y luego se puede calcular facilmente la curva de ganancia simplemente mediante adición y sustracción de los terminos correspondientes del numerador y denominador. De la misma forma: y la curva de fase se determina de forma análoga. Dado que un polinomio se puede escribir como un producto de: Es suficiente solo bosquejar los diagramas de Bode de estos términos. 19 PRINCIPALES FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (A) Ganancia real constante K: (B) Integrales y derivadas puras (polos y ceros en el origen): Tomando como el eje-x y en el eje-y resulta una linea recta con pendiente de (un cambio unitario en corresponde a un cambio de 10 en ) Amplitud y fase, polos y ceros en el origen 20 9

10 PRINCIPALES FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (C) Polos y ceros simples: Ganancia: error en la frecuencia de corte Aproximación por líneas: i) Una línea con pendiente y pasando por la frecuencia frecuencia de corte. ii) La otra línea coinciente con la línea 0 db. Fase: Aproximación por líneas: i) La fase es una línea recta entre, uniendo los puntos y PRINCIPALES FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (C) Polos y ceros simples: Ganancia: error en la frecuencia de corte Aproximación por líneas: i) Una línea con pendiente y pasando por la frecuencia frecuencia de corte. ii) La otra línea coinciente con la línea 0 db. Fase: Aproximación por líneas: i) La fase es una línea recta entre, uniendo los puntos y

11 PRINCIPALES FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (D) Polos y ceros complejos: error en la frecuencia de corte depende de Ganancia: Aproximación por líneas: La frecuencia de corte es. La asintotas a pequeñas y grandes frecuencias no depende de. El pico resonante ocurre cerca de y la magnitud del pico depende de 23 PRINCIPALES FACTORES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (D) Polos y ceros complejos: Fase: Aproximación por líneas: La fase depende de y Es a y en la frecuencia de corte mientras que se aproxima a cuando En la frecuencia de corte la fase no depende de 24 11

12 BOSQUEJAR LOS DIAGRAMAS DE BODE Reescribiendo la FT en su forma normalizada Esta FT se compone de: Se identifican 3 frecuencias de corte: factor de amortiguamiento = y 1. Se grafican las curvas aproximadas de cada factor. 2. La curva compuesta se obtiene agregando algebraicamente las curvas individuales. Antes de la pendiente es Después de, la pendiente cambia a y continúa hasta donde la pendiente se convierte en En la última frecuencia la pendiente cambia a La fase se calcula de forma similar. 30 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN MATLAB % Script num1=[1 5]; num=10*num1; den=[ ]; g1=tf(num,den); g2=zpk([ ],[0-2],1); F=g1*g2; bode(f,{0.01, 100}) 31 12

13 SISTEMAS DE FASE MÍNIMA (ceros a la izquierda del plano complejo) Y NO MÍNIMA (ceros a la derecha del plano complejo): La magnitud de y es la misma, pero la fase de es mayor que la de Procesos de transporte son de fase no mínima por naturaleza. Los sistemas de fase no mínima son lentos debido al excesivo retraso. RETRASO Ocurre en sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos. Presenta gran retraso en la fase. Magnitud: Fase: 32 EJEMPLO SISTEMA CON RETRASO Magnitud: Fase: 33 13

14 DIAGRAMAS DE BODE PROVEEN UN RÁPIDO RESUMEN DEL SISTEMA Dado que cualquier señal puede ser descompuesta en una suma de sinusoides, es posible visualizar el comportamiento de un sistema en diferentes rangos. Un sistema puede ser visto como un filtro que puede cambiar la amplitud y fase de una señal de entrada de acuerdo a la respuesta en frecuencia. Por ejemplo, si hay rangos de frecuencia donde la ganancia tiene pendiente constante y la fase cercana a cero, la acción del sistema para señales con estas frecuencias puede interpretarse como ganancia pura. Similarmente, para frecuencias con pendiente +1 y la fase cercana a 90 o, la acción del sistema se puede interpretar como un diferenciador. Tres tipos de respuestas en frecuencia se muestran a continuación. 34 DIAGRAMAS DE BODE PARA FILTROS PASA-BAJA, PASA-BANDA Y PASA-ALTA 35 14

15 DINÁMICA DEL REFLEJO PUPILAR A LA LUZ (Stark, 1960) El ojo humano es un organo de fácil acceso para experimentos. Este posee un sistema de control que ajusta la apertura de la pupila para regular la intensidad de luz que llega a la retina. Para determinar la dinámica, intensidad de luz de un ojo se varió sinusoidalmente y la apertura de la pupila fue medida. Lazo cerrado: se usó haz de luz ancho que cubría toda la pupila. Lazo abierto: se usó haz de luz angosto, lo suficientemente pequeño para no ser influenciado por la apertura de la pupila. Ajustando curvas: Ajuste de curva + retraso: 36 DIAGRAMAS DE BODE SISTEMAS EN LAZO CERRADO La función de transferencia del diagrama de bloques: Evaluando para se tiene: En términos de su magnitud y su fase: O también como número complejo: La magnitud de es: La fase de es: 37 15

16 ESPECIFICACIONES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Pico de resonancia Medida máxima del valor de la amplitud de y puede considerarse com una medida de la estabilidad relativa. Valor asociado con gran sobreimpulso en la respuesta transitoria. Valor recomendado entre 1.1 y 1.5. Frecuencia de resonancia Frecuencia correspondiente al pico de resonancia. Ancho de banda (BW) Frecuencia donde cae 3 db hacia abajo del valor en frecuencia cero. Valor relacionado a las propiedades del transiente; a mayor ancho de banda el tiempo de subida es más rápido - señales de gran contenido de frecuencia son pasadas a la salida; y viceversa. También indica características de filtrado de ruido y robustez. Razón de corte El ancho de banda muchas veces no es adecuado para indicar las características del sistema en relación al ruido. Muchas veces se debe indicar la pendiente de a a altas frecuencias