PRACTICA: MODOS DE CONTROL. Sistemas de Control y Controladores

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1 Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Laboratorio de Instrumentación y Control, Código L. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 04 de Diciembre del PRACTICA: MODOS DE CONTROL Sistemas de Control y Controladores OBJETIVO GENERAL. Colocar a disposición de los estudiantes que lo requieran los conocimientos teóricos básicos sobre diagramas de bloque y sistemas de control de lazo cerrado o realimentados, incluyendose la estructura fundamental de los controladores o reguladores. CONTENIDO. 1. Sistemas de control 1.1. Terminología utilizada en los sistemas de control Ecuaciones del sistema Funciones de transferencia del sistema Valor final y Ganancia estática Clasificación de los sistemas realimentados Análisis y proyecto de los sistemas de control realimentados Estructuras fundamentales de los Controladores o Reguladores Acción Proporcional, Amplificadora, o Acción P Acción Integral, Integradora, o Acción I Acción Diferencial, Derivadora, o Acción D Acción combinada PID (Proporcional Integral Diferencial) Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 1 / 14

2 1. SISTEMAS DE CONTROL Terminología utilizada en los sistemas de control. Con el término "diagrama de bloques" o "bloque" se entiende la representación gráfica de la relación causa-efecto, entre la entrada y la salida de un sistema físico en el que, como muestra la fig. 1.1, las flechas representan la dirección de la información, o señales del sistema. Figura 1.1. Diagramas de Bloque Las operaciones de suma algebraica se representan de forma especial. El bloque se convierte en un circulo, llamado sumador, con signos apropiados, + ó -, asociados a las flechas que entran y salen de dicho circulo, en algunos casos los signos se encuentran dentro de los segmento del circulo, vease la figura 1.2. En un sumador puede aplicarse cualquier número de entradas, en cuyo caso se transforma en un rectángulo para dar cabida al número de entradas, pero la salida es siempre una sola. Figura 1.2. Sumador de Señales Para utilizar la misma señal como variable de entrada en más de un bloque o sumador se usa un punto de derivación como se muestra en la figura 1.3. Figura 1.3. Punto derivador de señal El sistema de control retro alimentado o realimentado negativamente está representado en la figura 1.4. Es importante que los términos usados en el diagrama de bloques de lazo cerrado, y que se enumeran a continuación, se recuerden y se entiendan con claridad Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 2 / 14

3 Figura 1.4. Diagrama de bloques en lazo cerrado. Forma general. R(s): B(s): g(s): Señal de entrada, Set Point, Referencia,. Es una señal externa aplicada a un sistema de control realimentado utilizada para dar instrucciones al equipo a fin de que realice una acción específica. Dicha señal representa, muchas veces, el comportamiento ideal de salida del equipo. Señal de realimentación. Señal de salida modificada por H(s). Es una señal, función de la salida controlada Y(s), que sumada algebraicamente a la referencia de entrada R(s) da lugar al error g(s). Señal de error, también llamada señal activadora, acción de control, o ley de control. Es la suma algebraica entre la señal de referencia de entrada R(s) y la de realimentación B(s). C(s): Regulador, también llamado controlador. Es el conjunto de componentes necesarios para generar la señal de control U(s) que se aplica al equipo. U(s): G(s): p(t): Y(s): H(s): G f (s): Señal de control, también llamada variable manipulada. Es la señal de error modificada for C(s). Es la cantidad o condición que el controlador aplica a la planta o proceso G(s). Planta, Proceso, Equipo, también llamado sistema controlado. Es el proceso o máquina del cual se debe controlar una cierta cantidad o condición. Perturbaciones o disturbio. Es una señal de entrada no deseada que condiciona el valor de la de salida controlada Y(s). Puede entrar en el equipo sumándose a la variable manipulada U(s), o, a través de un punto intermedio cualquiera. Son aleatorias, esporádicas, impredecibles y pueden afectar al sistema en cualquier punto Señal de salida, Variable controlada. Es la cantidad o condición del equipo a la que hay que controlar. Elementos de realimentación. Es el conjunto de componentes necesarios para establecer la relación funcional entre la señal de realimentación B(s) y la señal de salida controlada Y(s). Función de Transferencia, del sistema, en Lazo Cerrado Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 3 / 14

4 g f (s): Función de Transferencia del Error, del sistema, en Lazo Cerrado Ecuaciones del sistema. A continuación determinaremos las ecuaciones del sistema para al final establecer las relaciones más importantes de los sistemas de lazo cerrado. La señal de error del sistema es: La señal de realimentación del sistema es: Sustituyendo (2) en (1), tenemos: ε ( s) = R( s) B( s) (1) Bs = Ys Hs (2) ε ( s) = R( s) Y( s) H( s) (3) La señal de control del sistema es: Us = ε ( s) Cs (4) La señal de salida del sistema es: Ys = Us Gs (5) Sustituyendo (4) en (5), tenemos: Y( s) = ε ( s) C( s) G( s) (6) Las ecuaciones (3) y (6) son las que describen el comportamiento del sistema realimentado negativamente Funciones de transferencia del sistema. Sustituyendo (3) en (6), se determina la ecuación de la señal de salida en función de la señal de entrada aplicada al sistema. Desarrollando, tenemos: [ ] Ys = Rs Ys Hs Cs Gs (7) Ys = Rs Cs Gs Ys Cs Gs Hs (8) Despejando: Factorizando: Ys + Ys Cs Gs Hs = Rs Cs Gs (9) [ ] Ys 1 + Cs Gs Hs = Rs Cs Gs (10) Despejando para determinar la ecuación de la señal de salida del sistema: 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 4 / 14

5 Ys = Rs Cs Gs [ 1 + Cs Gs Hs] (11) Despejando para determinar la relación entre: Señal de Salida - Señal de Entrada, o función de transferencia del sistema en lazo cerrado: Ys Rs ε ε = Gf s = ε Cs Gs [ 1 + Cs Gs Hs] Sustituyendo, ahora, (6) en (3) se determina la ecuación de la señal de error en función de la señal de entrada aplicada al sistema. Despejando: Factorizando: [ ] (12) ( s) = R( s) ( s) C( s) G( s) H s (13) ε ( s) + ( s) C( s) G( s) H( s) = R( s) (14) ε ( s) [ 1 + C( s) G( s) H( s) ] = R( s) (15) Despejando para determinar la ecuación de la señal de error del sistema: ε s ε ( s) Rs = Rs [ 1 + Cs Gs Hs] Despejando para determinar la relación entre: Señal de Error - Señal de Entrada, o función de transferencia del error (del sistema) en lazo cerrado: εf = s = 1 [ 1+ Cs Gs Hs ] (16) (17) Valor final y Ganancia estática. Si se desea saber cual es el valor final que tomará las respuesta del sistema en lazo abierto o lazo cerrado ante una entrada escalón de amplitud A, es imprescindible la utilización del teorema del valor final el cual relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento de s@f(s) en la vecindad de s = 0 (s = 0 + ), es decir: lim f t t = lims F s s 0 (18) sin embargo, este teorema solo es aplicable si y solo si: lim f t, t Existe (19) lo que significa que f(t) se estaciona o permanece en un valor finito o definido para t 6 4 si todos los polos de s@f(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s. Si s@f(s) tiene polos en el origen o sobre el eje imaginario, f(t) contendrá términos o funciones de 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 5 / 14

6 tiempo no acotadas o términos oscilantes no amortiguados, respectivamente y por lo tanto: lim f t, t No existe (20) Para el caso en el cual s@f(s) posee polos en el semiplano derecho del plano complejo S, F(s) es inestable por naturaleza y f(t) contendrá términos exponencialmente crecientes (funciones de tiempo no acotadas) y por lo tanto el limite de f(t) no existe. Como corolario se puede indicar que el teorema del valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es igual al comportamiento de s@f(s) alrededor de s = 0, y por tanto es posible obtener f(t) en t = 4 directamente de F(s), consideración que es muy útil para el análisis y diseño de sistemas de control en régimen permanente. Otra consideración que se puede establecer de lo anteriormente planteado es el hecho de que por definición el comportamiento de F(s) cuando s 6 4 es cero, es decir: lo cual nos permite deducir que: { } Si, f t = Fs, Entonces limfs = 0 (21) s 0 s lim F s 0, Pero un numero finito (22) y para que esto sea cierto es necesario que F(s) no posea polos sobre el eje imaginario como ya se considero previamente, es decir, la expresión anterior nos permite establecer desde el punto de vista de la Teoría de Control que: γ F 0 = con γ R F( s) sin polos en eje imaginario siendo F(s) cualquier función de transferencia que cumpla con las condiciones de estrictamente propia y mónica como: C(s), G(s), H(s),..., donde ( es la ganancia estática de sistemas absolutamente estables. (23) 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 6 / 14

7 1.2. Clasificación de los sistemas realimentados Consideremos el sistema de control realimentado cuyo esquema de bloques se representó en la fig Esta configuración se llama Forma General de un sistema de control. Cualquier sistema realimentado con un diagrama de bloques, por muy complejo que sea, puede reducirse a la forma general, la cual a su ves lo podemos llevar a su Forma Canónica si consideramos que C(s)=1, ó matemáticamente fusionamos C(s) con G(s), expresión que seguimos llamando en cualquier caso como G(s), vease la figura 1.5. Figura 1.5. Forma Canónica Para el caso particular en que H(s)=1, la forma canónica se transforma en Sistema con Realimentación Unitaria, vease la figura 1.6, y es aquella en que la realimentación primaria coincide con la salida controlada Y(s). Figura 1.6. Sistema con Realimentación Negativa Unitaria Debe hacerse notar que la función de transferencia en lazo abierto de un sistema de control realimentado canónico está dada por el producto de G(s) por H(s), que en el caso de realimentación negativa unitaria es G(s). Por otra parte, se dice que un sistema es de tipo 0 cero si en el denominador de su función de transferencia en lazo abierto no hay polos en el origen. Que es de tipo 1 uno si en el denominador de su función de transferencia en lazo abierto hay un solo polo en el origen. Que es de tipo 2 dos si en el denominador de su función de transferencia en lazo abierto hay dos polos en el origen Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 7 / 14

8 1.3. Análisis y proyecto de los sistemas de control realimantados. El objetivo principal en el análisis de un sistema de control realimentado es la determinación de las siguientes características: 1. El grado de estabilidad, o tipo de estabilidad. 2. La respuesta en régimen permanente. 3. La respuesta transitoria. Saber si un sistema es estable, la mayor parte de las veces no basta; por ello, normalmente se debe determinar la estabilidad relativa, que está bien vinculada a la respuesta transitoria del sistema. El procedimiento para analizar un sistema de control es el siguiente: 1. Determinar la función de transferencia para cada componente del sistema. 2. Elegir un modelo para representar el sistema (por ejemplo, el diagrama de bloques). 3. Formular el modelo del sistema conectando sus componentes de manera adecuada. 4. Determinar las características del sistema. Teniendo en cuenta que en el dominio del tiempo es bastante difícil estudiar sistemas de orden superior al segundo (es decir, resolver directamente la ecuación diferencial), existen cinco métodos gráficos que permiten el análisis de los sistemas de control realimentados. Dichos métodos son: 1. El lugar de las raíces (estudio en el dominio de la variable compleja S ). 2. Diagrama de Bode (estudio en el dominio de T). 3. Diagrama de Nyquist (estudio en el dominio de T). 4. Mapas de Nichols (estudio en el dominio de T). 5. Gráfico plano-fase para analizar los sistemas no lineales. Por lo que respecta al proyecto, el objetivo principal es el de obtener los datos deseados de comportamiento. Estos últimos pueden enunciarse de dos modos diferentes y que en concreto son : 1. Datos en el dominio del tiempo (Respuesta en tiempo). 2. Datos en el dominio de la frecuencia (Respuesta en frecuencia). En general, éstos definen tres importantes propiedades dinámicas de los sistemas, es decir: 1. La velocidad de respuesta. 2. La estabilidad relativa. 3. La precisión del sistema. Los datos en el dominio de la frecuencia normalmente se presentan en los términos siguientes: 1. Margen de ganancia. 2. Margen de fase. 3. Tiempo de retardo. 4. Ancho de banda. 5. Velocidad de corte ("Cutoff Rate") Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 8 / 14

9 6. Pico de resonancia. 7. Frecuencia de resonancia. Los datos en el dominio del tiempo se definen normalmente en términos de respuesta al escalón unitario. Esta última tendrá una componente de régimen permanente y otra de régimen transitorio. La de régimen permanente es un índice de la precisión del sistema, mientras que el comportamiento transitorio da una indicación de la velocidad de respuesta y de la estabilidad relativa. Los datos típicos son: 1. Sobre impulso ó Sobrepaso (Overshoot). 2. Tiempo de retardo. 3. Tiempo de subida. 4. Tiempo de ajuste. 5. Constante de tiempo predominante. Con el fin de obtener los datos deseados y teniendo en cuenta que el equipo, planta o proceso representado en G(s) posee una función de transferencia difícil de modificar, o que no es modificable en lo absoluto, hay que recurrir entonces a la utilización de redes compensadoras adecuadas, es decir, un regulador o controlador representado en C(s). Vease la figura 1.7. Recuérdese que las redes compensadoras pueden ser de tipo activo (amplificador, integrador o diferenciador) o bien pasivo (red anticipadora-"lead" o red retardadora-"lag"). El proyecto de las redes compensadoras, como ya se ha visto anteriormente (Punto 1.3) se puede hacer con los métodos del análisis o de la síntesis. En las prácticas de laboratorio se trabajará solamente el proyecto por análisis, es decir, el que se realiza modificando las características de un sistema standard, o ya existente (Configuración del controlador), analizando después su comportamiento por la respuesta en tiempo del sistema o Y(s) ante una entrada R(s) del tipo escalón unitario o no. Figura 1.7. Sistema con realimentación negativa unitaria y controlador 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 9 / 14

10 1.4. Estructuras fundamentales de los Controladores o Reguladores. Hemos visto en párrafos anteriores que el proyecto por análisis de los sistemas de control realimentados consiste en modificar los parámetros de un regulador o controlador hasta obtener los resultados deseados en la variable controlada (Verificados con el análisis sucesivo del sistema). Los controladores empleados normalmente son de varios tipos, pero todos incluyen una o más funciones que dan lugar a acciones de los tipos que se mencionan a continuación Acción Proporcional, Amplificadora, o Acción P. Es la acción introducida por un amplificador/atenuador. La característica principal de la acción P es que el coeficiente de ganancia Kp solo afecta la amplitud de la señal de salida más no su forma de onda, esto es debido a que la salida es una copia perfecta de la de entrada con distinta amplitud. En la figura 1.8 se muestra como se representan de manera usual el bloque de acción proporcional. Figura 1.8. Acción Proporcional Normalmente se suele utilizar un cuadrado o rectángulo como se hace en funciones de transferencia, sin embargo, Simulink utiliza un triangulo para indicar la acción proporcional y distinguirla de los bloque de función de transferencia, que sí afectan la forma de onda de la señal de entrada por efecto de los polos y ceros. Se habla de Amplificación si Kp>1, atenuación si 0 < Kp <1, y seguimiento si Kp = Acción Integral, Integradora, o Acción I. Es la acción introducida por un integrador puro. la señal de salida es la integral en tiempo de la señal de entrada. Vease la figura 1.9. La constante J i toma el nombre de Tiempo de la Acción Integradora, debe observarse que a mayor tiempo en la acción integradora menor será la ganancia de integración Ki. Figura 1.9. Acción Integral 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 10 / 14

11 La señal de salida correspondiente a una señal de entrada de tipo escalón no unitario de valor A, cuando se introduce a un integrador, es una rampa de pendiente A que presenta un retardo de tipo lineal en la igualación del valor de salida con la entrada, es decir, después de un período igual al tiempo de la acción integradora, el valor de la señal de salida alcanza el valor de la señal de entrada. El significado físico de J i se muestra en la figura Figura Respuesta en tiempo de un integrador Debe tenerse presente que una vez alcanzado el valor de la entrada (después de un tiempo igual a J i ), la salida continua creciendo con la misma inclinación hasta que la señal de entrada toma el valor de cero en tx, en cuyo momento el valor de la señal de salida se mantiene constante. Una interpretación de este comportamiento puede darse si se considera que el operador matemático equivalente a la función integral es la sumatoria de Riemman ( E ), y a partir de tx ya no hay nada que adicionar a la señal de salida Y(t) y por tanto mantiene su último valor Acción Diferencial, Derivadora, o Acción D. Es la acción introducida por un derivador puro. la señal de salida es la derivada en tiempo de la señal de entrada. Vease la figura La constante Jd toma el nombre de Tiempo de la Acción Derivadora, debe observarse que a mayor tiempo en la acción derivadora mayor será la ganancia de derivación Kd. Figura Acción Diferencial La señal de salida correspondiente a una señal de entrada de tipo rampa no unitaria de pendiente A, cuando se introduce a un derivador, es un escalón no unitario de valor A que presenta un retardo de tipo 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 11 / 14

12 lineal en la igualación del valor de salida con la entrada, es decir, después de un período igual al tiempo de la acción derivadora, el valor de la señal de entrada alcanza el valor de la señal de salida. El significado físico de Jd se muestra en la figura Figura Respuesta en tiempo de un derivador Debe tenerse presente que una vez alcanzado el valor de la entrada (después de un tiempo = Jd ), la señal de salida y(t) se mantiene constante hasta que cambia la inclinación o pendiente de la señal de entrada en t x Acción combinada PID (Proporcional - Integral - Diferencial). Consideremos el efecto combinado de la acción proporcional, integradora y derivadora, como muestra la figura Figura Controlador PID La función de transferencia del regulador o controlador, que reúne las tres acciones, es de la forma: 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 12 / 14

13 Cs Cs Us Ki = = K p + + Kd S s S ε Poniendo a Kp como factor común en la ecuación de C(s), se obtiene: Donde: Ki Kd S = Kp + + K p Kp S K P = τ i S + τ d S J i = tiempo de la acción integradora Jd = tiempo de la acción derivadora Por lo que el esquema de la figura 1.13 será equivalente al esquema de la figura 1.14, en el cual, la suma de la acción proporcional unitaria, de la acción integradora y de la acción derivadora se multiplica, se amplifica, por el factor Kp. Kp, en vez de expresarse como valor de la amplificación se define, a menudo, en términos de banda proporcional B, ya que M(s) y U(s) podrían ser cantidades físicas diferentes con distintos campos de variación. Figura Controlador PID B%, se define como la banda proporcional expresada en porcentaje, y la cual tiene la siguiente expresión: en donde: M U B% = 100 U M M = Señal de entrada al amplificador Kp. U = Señal de salida del amplificador Kp, o acción de control Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 13 / 14

14 )U = Campo de variación de la acción de control. )M = Campo de variación de la señal de entrada al amplificador Kp. ) = (Valor Final) - (Valor Inicial) Si U y M tienen los mismos campos de variación (como en el emulador circuital de procesos, G26, que estamos estudiando) y dado que U / M = Kp, se puede afirmar que: Cs PI B% = 100 Consideraciones análogas se pueden hacer para la combinación PI y PD, como muestra la fig. 1.15, en donde las funciones de transferencia valen: K p K K i i = Kp + = K p + K p S Kp S = τ i S d PD = p + d = p 1+ Kp [ 1 τ d S] Cs K K S K K K S p = + Figura Controladores PI, y PD 2008 Dic 04, UNET, L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 14 / 14