Consideremos la función de transferencia de un sistema en lazo cerrado: 1 + KG(s)H(s) = 0 (2) K > 4 (4)

Transcripción

1 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES INTRODUCCION Cuando un parámetro de un sistema cambia, las raíces de su ecuación característica se mueven en el plano s; estas variaciones es lo que define el Lugar Geométrico de las Raíces, el cual permite examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico en función del parámetro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc.). La variación de la localización de los polos se describe normalmente dibujando la ubicación de estos en el plano s cuando un parámetro se varía continuamente (normalmente de cero a infinito). La aplicación de esta metodología se conoce como técnica del Lugar Geométrico de las Raíces. Entonces el Lugar Geométrico de las Raíces se define como el lugar geométrico de los polos y ceros de la función de transferencia en cadena cerrada (o raíces de la ecuación característica) cuando uno o varios parámetros de la función de transferencia en cadena abierta varían; normalmente el parámetro que varía puede ser una ganancia (K) cuando K varia de 0 a± se conoce como lugar de las raíces. CONDICIONES DE MAGNITUD Y FASE Consideremos la función de transferencia de un sistema en lazo cerrado: (1) con, donde 1 + KG(s)H(s) = 0 (2) G(s)H(s)= (3) K > 4 (4) La solución del problema del lugar geométrico de las raíces requiere encontrar todos los puntos del plano complejo que son soluciones de la ecuación anterior para todos los valores de K.

2 Además; G(s)H(s) = -1/K (5) lo que establece que todo punto que pertenezca al LGR debe cumplir dos condiciones: a) condición de magnitud = =, - <K< b) condición de fase (6) Lo que implica que cuando K tiende a cero, el valor de la ecuación 6 tiende a infinito y, por lo tanto, s tiende hacia los polos de G(s)H(s). Esto demuestra que el origen o el punto de partida del lugar geométrico son los polos de G(s)H(s). El análisis para cuando K tiende a infinito conduce a que los puntos terminales del LGR son los ceros de G(s) H(s). (7) REGLAS PARA LA CONSTRUCCION DEL LGR La construcción del LGR es básicamente un problema grafico, ésta se basa en el conocimiento de los polos y ceros de la función G(s) H(s). 1.- Dibujar los polos y ceros de G(s) H(s) (lazo abierto). Cada línea en el LGR empieza en un polo de lazo abierto y termina en un cero a lazo abierto. Si el sistema a lazo abierto tiene más polos que ceros, algunas de las ramas del LGR terminan en ceros infinito. K = 0, son los polos de G(s) H(s). K =, son los ceros de G(s) H(s).

3 2.- Existencia del LGR en el eje Real Con el supuesto de que G(s)H(s) sea de la forma: (8) Lo que en el plano s se representaría como lo indica la figura 1 Figura 1 son puntos arbitrarios donde se supone la existencia del LGR. Como no genera un ángulo múltiplo impar de 180º entonces no pertenece al LGR pertenece al LGR ya que el ángulo aportado por este punto es múltiplo impar de 180º =-360

4 , no pertenece al LGR ya que el ángulo aportado por este punto es múltiplo par de 180º. Si se continúa con este análisis se podrá llegar a la siguiente conclusión: Si se coloca un punto de prueba en el eje real y se observa que a la derecha de éste punto el número de singularidades (polos y ceros) es una cantidad impar entonces dicho punto pertenece al LGR. 3.- Determinar el número de ramas separadas (N) Se define: Z: número de ceros finitos de G(s)H(s) P: número de polos finitos de G(s)H(s) Entonces: N = Z, si Z>P (9) N = P, si P>Z (10) El número de ramas es igual al orden de la función. 4.- Ángulos de las asíntotas del LGR ( ). Los ángulos de las asíntotas son: Donde k = 0, 1, 2, 3,, (P Z)-1. y P Z = # de asíntotas 5.- Intersección de las asíntotas centroide (σ) Las asíntotas son simétricas respecto al eje real, y parten de un punto definido por las magnitudes relativas de los polos y ceros a lazo abierto. Este punto es el centroide. La intersección de las asíntotas se da sobre el eje real del plano s, y viene dado por: (11)

5 (12) 6.- Ángulos de salida y de llegada. Esto se determina a partir de la condición de ángulo de forma extendida donde i=0, ± 1, ± 2, La rama sale de un polo complejo forma el ángulo respecto de una horizontal dibujada hacia la derecha del polo o el cero respectivamente. 7.- Intersección del LGR con el eje imaginario. Hay tres formas de encontrar los cruces del LGR con el eje jω: Por prueba y error, buscando los puntos del eje jω donde la fase de G (jω) H (jω) es 180º. Por el criterio de Routh-Hurwitz, determinando el valor de K que hace al lazo cerrado inestable (y luego el correspondiente valor de s = jω). Planteando la ecuación característica en s = jω, igualando parte real e imaginaria a cero, y luego resolviendo se obtienen los valores de K y ω. El método que debe usarse depende de cuan precisamente deban conocerse los puntos de cruce. 8.- Puntos de ruptura o de desprendimiento. Los puntos de ruptura se producen donde dos o más ramas del LGR se encuentran y luego divergen. Aunque es más común encontrarlos sobre el eje real, pueden ocurrir en cualquier parte del plano complejo. Para hallar estos puntos se procede de la manera siguiente: En general G(s)H(s) es de la forma M(s)/N(s), entonces la ecuación (1) se puede escribir como: (13) N(s) + KM(s) = 0 (14)

6 Implica que (15) Derivando K respecto de s, se obtiene la ecuación: Si K es real y positivo en algún valor de s que satisfaga esta ecuación, entonces el punto es un punto de bifurcación (condición necesaria más no suficiente), además esta solución debe satisfacer la ecuación característica F(s). Siempre hay un número par de ramas en un entorno de un punto de bifurcación, ya que por cada rama que entra al punto de bifurcación debe haber una que salga de él. Un lugar de las raíces puede tener más de un punto de separación y estos no deben estar necesariamente situados en el eje real. Las ramas del lugar de las raíces deben llegar y salir de un punto de separación sobre el eje real formando ángulos de 180 /n, donde n es el número de ramas del lugar de las raíces, que llegan y salen de dicho punto. La aplicación de las ecuaciones conducirán entonces a veces a puntos extraños del plano s; sin embargo estos se detectan rápidamente porque esta claro que no están localizados en el lugar de las raíces para. (16) 1.- Para la gráfica de LGR de un sistema que se muestra en la figura 1, se pide:

7 a) Determine y explique como se obtiene un K para que le factor de amortiguamiento sea de. b) Si se desea que el sistema tenga un par de polos dominantes en -0,6 ± j4 determine gráficamente Cuál controlador colocaría entre un P, PI o PD para cumplir los requerimientos? Solución: a) Aplicando la ecuación cos β = ζ despejando de aquí ß se tiene que:, por tanto para ζ=, β = 45º. Ubicándose en el polo -1+j este forma una ángulo de 45º respecto al eje real negativo, que coincide con el ángulo hallado para el valor de ζ dado. Aplicando la condición de magnitud; K= 10 b) Probando con un Proporcional Puro: Intersección de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LGR) Ángulo de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LRG)

8 Estos resultados son los mismos del sistema sin compensar. Al agregar un controlador proporcional puro al sistema, no modifica el LGR ya que no agrega singularidades, por lo tanto el LGR permanece igual, esto se puede verificar con los siguientes resultados: Para =10 Para =100

9 Probando con un PD: Intersección de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LGR) Ángulo de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LRG) (1) Si -3< <0; por ejemplo = -2 Sustituyendo en (1) σ = -2,5 Según este resultado y tomando en cuenta el ángulo de las asíntotas, se puede decir que no es posible que el LGR pase por el punto deseado, para un valor del cero del controlador en este rango, tal y como se muestra en la siguiente gráfica.

10 Si -4< <-3 ; por ejemplo = -3,5 Sustituyendo en (1) σ σ= -1,75 Haciendo un análisis similar al anterior, tampoco es posible esta solución, como se muestra en la siguiente gráfica. Si <-4, por ejemplo = -8 Sustituyendo en (1) σ = 0,5

11 Según este resultado, es posible lograr que el LGR pase por el punto deseado en algún valor de este rango, para verificar se muestran las siguientes gráficas. = -20 Sustituyendo en (1) σ = 6,5 La solución puede ser un PD. Probando con un PI:

12 Intersección de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LGR) Ángulo de las asíntotas (ecuación del marco teórico del LRG) (2) Si -3< <0; por ejemplo = -2 Se observa que para este rango del polo que agrega el PI, no es posible obtener la solución. Si -4< <-3; por ejemplo = -3,5

13 En este rango tampoco se halla la solución deseada. Finalmente si <-4; por ejemplo = -20 Aún no es posible la solución para este rango, lo que implica que no se puede usar un controlador PI, para satisfacer la condición requerida. Del análisis realizado, se puede concluir que la solución para el problema planteado es usar un controlador PD, cuyo cero debe ubicarse en algún valor del rango <-4

14 1.- La función de transferencia de una planta es: su LGR se muestra en la figura 1. Elegir una ganancia razonadamente para que el sistema sea óptimo. Respuesta: ζ= 0,7; K = 4,85 Figura La gráfica de la figura 2 muestra la representación de los polos y cedros de G(s)H(s) Figura 2 Indique cuál de las siguientes gráficas muestra el LGR correspondiente al sistema dado?.

15 Figura 2(a) Figura 2(b) Figura 2(c) Figura 2(d) Respuesta: 2(a). 3.- En la figura 3(a) se muestra la respuesta subamortiguda de un sistema de control de velocidad de un motor DC ante un cambio escalón de set-point. En vista de que la respuesta del sistema no sastiface las condiciones mínimas se control, se procedió a colocar un controlador, obteniéndose la respuesta de la figura 3(b)a un cambio en el set-point. Figura 3(a) Figura 3(b) Determinar usando la técnica del LGR:

16 a) Tipo de controlador usado y por qué? b) Calcular sus parámetros. c) LGR resultante con el controlador. Respuesta a): Controlador PD: respuesta transitoria., porque mejora la Respuesta b):,