1. Método del Lugar de las Raíces

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1 . Método del Lugar de las Raíces. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES..... IDEA BÁSICA LUGAR DE LAS RAÍCES DE SISTEMAS SIMPLES LUGAR DE GANANCIA CONSTANTE REGLAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES Regla No. : Número de Ramas Regla No. : Puntos de Comienzo y Final Regla No. 3: Comportamiento en el Eje Real Regla No. 4: Simetría Regla No. 5: Asíntotas Regla No. 6: Intersección de Asíntotas Regla No. 7: Ángulos de Salida y Llegada Regla No. 8: Punto de Dispersión o Confluencia Regla No. 9: Intersección con el Eje Imaginario Regla No. 0: Cálculo de la Ganancia Regla No. : Suma de Raíces ADICIÓN DE UN CERO EN UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN c Lugar de Raíces.doc

2 .6. ADICIÓN DE UN POLO EN UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN SISTEMA CON RETARDO PURO c Lugar de Raíces.doc

3 04 c Lugar de Raíces.doc 3 La respuesta de un sistema depende de la posición de los polos en lazo cerrado.. Idea Básica Estos, a su vez dependen de la posición delos polos y ceros en lazo abierto - Método: Se traza la ubicación de las raíces de un sistema el lazo cerrado haciendo variar un parámetro del sistema Habitualmente el parámetro es el valor de la ganancia del regulador Esta ganancia se hace variar desde cero a infinito R( s) + - G( s) Y ( s) H( s)

4 04 c Lugar de Raíces.doc 4 Y s R s G s = [.] + G s H s la ecuación característica es: + G s H s = 0 [.] o G( s) H( s ) = [.3] Se debe cumplir en magnitud y fase G s H s = ± 80 k+ k = 0,, [.4] G( s) H( s ) = [.5] estos puntos son las raíces de la ecuación característica o polos

5 04 c Lugar de Raíces.doc 5 Ejemplo.. Sistema de Segundo orden H( s ) = [.6] G s = K s s = ( + ) Y s K R s s + s+ K [.7] [.8] la ecuación característica es: s s K + + = 0 [.9] Las raíces están en s = + j 4 K s = j 4 K [.0] las raíces son reales para K 4 Gráfica del lugar de las raíces para todo K

6 04 c Lugar de Raíces.doc 6 g=tf(,poly([0 -]));rlocus(g);grid.5 K= 0.5 Imag Axis 0 K=0 K=0 K=/ Real Axis - los polos en lazo cerrado para K = 0 son los de lazo abierto

7 04 c Lugar de Raíces.doc 7 - al crecer K los polos se acercan uno a otro hasta ser iguales - la parte real es independiete de K - se cumple que K s s ( + ) = s s+ =± 80 k+ k = 0,, [.]

8 04 c Lugar de Raíces.doc 8.5 K= Imag Axis s+ P θ θ s Real Axis Todo punto que pertenezca al lugar de las raíces debe cumplir la condición de ángulo. Dados los polos en lazo cerrado se puede calcular la ganancia correspondiente, por ejemplo

9 04 c Lugar de Raíces.doc 9 s = ± j [.] G s K K = = s s ( + ) s = ± j 7 = s( s+ ) = [.4] 4 K ξ K ω n s= ± j [.3] Este sistema no es nunca inestable

10 04 c Lugar de Raíces.doc 0.. Lugar de las Raíces de Sistemas Simples jω K s jω K s+ p jω ( + z), K s s+ p z > p p z p jω ( + z), K s s+ p z < p jω K s jω jω s K + ω p z jω

11 04 c Lugar de Raíces.doc + jω jω K s + + ω jω K ( s+ p )( s+ p ) jω p p.3. Lugar de Ganancia Constante los puntos del plano s que tienen igual ganancia son G s H s s s+ = K [.6] K = = s s ( + ) [.5]

12 04 c Lugar de Raíces.doc jω K = cte completar

13 04 c Lugar de Raíces.doc 3 Ejemplo.. Sistema de Tercer Orden G s = K, H( s) s s = ( + )( s+ ) [.7] Se desea saber K para obtener un par de polos dominantes con un ξ = 0,5 Condición de ángulo: K G( s) = s( s+ )( s+ ) k = 0,, G s = s s+ s+ =± 80 k+ Condición de amplitud: = K s s = ( + )( s+ ) Procedimiento: [.9]. Hallar el lugar de raíces sobre el eje real. a. ubicar los polos y ceros en lazo abierto [.8]

14 04 c Lugar de Raíces.doc 4 b. hay tres lugares de inicio del lugar para K=0 jω c. se verifica qué puntos del eje real pertenecen al lugar i. el eje real positivo no pertenece ya que los ángulos s = s+ = s+ = 0 [.0] no pueden sumar 80 ii. los punto que están entre 0 y - sí pertenecen ya que s = 80, s+ = s+ = 0 [.] iii. los punto que están entre - y - no pertenecen ya que s = s+ = 80, s+ = 0 [.] iv. los punto menores a - sí pertenecen ya que

15 04 c Lugar de Raíces.doc 5 s = s+ = s+ = 80 [.3] jω. Determinar las asíntotas K K limg( s) = lim = lim s s s s s s s 3 ( + )( + ) a. los ángulos serán ( k ) 3s =± ,60, 60 ( + )( s+ ) s s [.5] [.4] b. como tiene que ser simétrico y repetitivo para cada k resultan [.6] c. punto de intersección de la asíntota con el eje real. Siempre se cumple K = [.7]

16 04 c Lugar de Raíces.doc 6 o 3 s 3s s K + + = [.8] para s muy grande se puede aproximara a s+ = ( s+ ) = [.9] que se interseca en el eje real en s = jω 3. Punto de ruptura: punto donde las raíces dejan de ser reales. En este caso será un punto real b + j0.

17 04 c Lugar de Raíces.doc 7 Se toma un punto complejo entre 0 y. jω b θ 3 θ θ δ θ θ θ Se calculan los ángulos = 80 tan b tan = b ( ) tan δ δ δ 3 = b ( ) [.30] para pequeños valores de δ

18 04 c Lugar de Raíces.doc 8 δ θ = 80 δ θ = + b δ θ3 = + b b [.3] para que pertenezca al lugar de las raíces deben sumar 80 δ δ δ θ+ θ + θ3 = 80 = δ δ δ + + = b b b + + = b b b 3 b 6 b 0 + = [.35] b b b [.33] [.34] [.3]

19 04 c Lugar de Raíces.doc 9 b b = 0,43 =,577 [.36] Se toma el que está entre 0 y. 4. Puntos que cortan al eje imaginario = 0 [.37] 3 s s s K se hace s = 0 + jω 3 jω + 3 jω + jω + K = 0 [.38] 3 jω ω jω K = 0 3 ( K ω ) j( ω ω ) K 3 + = 0 [.39] ω = ω =± = ω = 3 6 [.40]

20 04 c Lugar de Raíces.doc 0 jω j j 5. Elección de la Ganancia: β =± ξ = a. Elegir un sistema de segundo orden con un ξ = 0,5 b. Los polos en lazo cerrado deben estar sobre una recta que forme un ángulo de cos 60 [.4]

21 04 c Lugar de Raíces.doc s c. Se interseca esta recta con el lugar de las raíces y se calculan los polos correspondientes que son: = 0,33 ± j0,58 [.4] d. Se calcula la ganancia para esa posición haciendo s= 0,33± j0,58 K = s s+ s+ =,06 [.43] jω j j

22 04 c Lugar de Raíces.doc 3 s s s K e. con este valor se encuentra el tercer polo = 0 [.44] f. para cualquier punto del lugar se cumple s s+ s+ = K [.45]

23 04 c Lugar de Raíces.doc 3 Ejemplo.3. Sistema de Segundo Orden con Cero G s ( + ) K( s+ ) K s = =, H ( s) = s + s+ 3 s+ + j s+ j Esta función de transferencia tiene dos ceros en s = y s = Procedimiento:. Hallar el lugar de raíces sobre el eje real. a. ubicar los polos y ceros en lazo abierto b. hay dos lugares de inicio del lugar para K=0 [.46] jω j

24 04 c Lugar de Raíces.doc 4 c. se verifica qué puntos del eje real pertenecen al lugar. Los puntos que están a la izquierda del cero cumplen con G s H s = s+ s+ + j s+ j = 80 + α α = k = 0,, ( k ) =± 80 + [.47] pertenece al lugar. Los demás puntos no pertenecen. jω j. Determinar las asíntotas

25 04 c Lugar de Raíces.doc 5 ( + ) K s K limg( s) = lim = lim s s s s ( s+ + j )( s+ j ) a. los ángulos serán ( k ) s =± 80 + [.49] que es el eje real negativo 3. Determinar el ángulo con que sale el lugar de las raíces de los polos complejos. Se elige un punto cercano a uno de estos polos [.48]

26 04 c Lugar de Raíces.doc 6 s jω θ j φ φ θ θ ( k ) φ θ+ θ =± 80 + θ = 80 + φ θ 80 + φ θ θ = = 45 [.5] [.50] [.5] 4. Punto de entrada: punto donde las raíces comienzan a ser reales. En este caso será un punto real b + j0.

27 04 c Lugar de Raíces.doc 7 En el ejemplo, (, ) ( )( ) Z s = s+ P s = s+ + j s+ j [.53] = j + j ( + ) + = + + ( ) [.55] [.54] Se toma un punto tentativo - y 3 por ejemplo = = = = 0, = 6,6 [.57] ( 0 ) ( ) [.56] se toma este nuevo valor de y se itera hasta la convergencia que resulta en = 3,73 [.58] b g=tf(poly([-]),poly([--sqrt()*i -+sqrt()*i]));rlocus(g),grid

28 04 c Lugar de Raíces.doc Imag Axis Real Axis

29 04 c Lugar de Raíces.doc 9.4. Reglas Para la Construcción del Lugar de las Raíces G s G s Se verá sobre el siguiente ejemplo: ( + 3)( + 5)( + + ) K( s ) ( + 3)( + 5)( + + )( + ) K s = = s s s s s s s s s j s j.4.. Regla No. : Número de Ramas El número de ramas es igual al número de polos en lazo abierto. Esto se cumple ya que KZ s = [.60] P s siendo la ecuación característica, KZ( s) 0 P s + = [.6] el grado de este polinomio está dado por P( s ) existen n ramas función de K. en este caso son 5 ramas. [.59]

30 .4.. Regla No. : Puntos de Comienzo y Final cada rama comienza en un polo de lazo abiertok = 0 y termina en un cero de lazo abierto K = haciendo K = 0 P( s ) = 0 [.6] resultan los puntos de inicio haciendo K = Z( s ) = 0 [.63] las ramas que no pueden llegar a ningún cero de lazo abierto terminan en infinito. En el ejemplo las ramas partirán de s = 0, 3, 5, ± j [.64] una de las ramas llegará a s = 4 [.65] las otras terminan en infinito 04 c Lugar de Raíces.doc 30

31 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 3: Comportamiento en el Eje Real Un punto del eje real pertenece al lugar de raíces si la cantidad de polos y ceros de lazo abierto a la izquierda de dicho punto es impar. Esto se cumple ya que: KZ s G( s) = = Z( s) P( s) =± 80 ( k+ ) k = 0,, P s [.66] la contribución en ángulo de los polos y ceros complejos se cancela. la cantidad de polos y ceros a la izquierda debe ser impar para que de 80. jω + j j

32 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 4: Simetría El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real Las raíces complejas son conjugadas

33 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 5: Asíntotas Las ramas que terminan en el infinito son asintóticas para grandes valores de s a rectas cuyos ángulos con el eje real son: ( q + ) π θa =, q= 0,, n m n m [.67] la contribución de ángulo de un punto ubicado muy lejos estará dada por ángulos iguales desde cada polo y cero, es decir ( n m) θ ( q ) = + π [.68] a En este ejemplo q = 0 θa = π = 45 ( 5 ) q 3π = θa = = 35 4 q 5π = θa = = 35 4 q 3 θ 7π = a = = 45 4 [.69]

34 04 c Lugar de Raíces.doc 34 jω + j j

35 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 6: Intersección de Asíntotas Las asíntotas se intersecan en el eje real a una distancia polos ceros o = [.70] n m en el ejemplo j j 4 o = =,5 5 [.7]

36 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 7: Ángulos de Salida y Llegada Son los ángulos con que parte la rama desde cada polo o con que llegan a cada cero. jω + j θ + j p La suma de los ángulos debe ser llano. en el ejemplo, j θ 4 p θ0 p + θ 5 p + θ 3 p + θ + j p + θ j p = q + π [.7] para un punto muy cercano a + j los ángulos son

37 04 c Lugar de Raíces.doc 37 θ θ 4 p 4 + j θ θ θ 0 p 0 + j 5 p 5 + j 3 p 3 + j jp j + j = θ = 8,4 = θ = 35 = θ = 4 = θ = 6,6 = θ = 90 [.73] θ + jp = θ 4 p θ0 p θ 5 p θ 3 p θ jp q + π = 67, [.74]

38 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 8: Punto de Dispersión o Confluencia En los puntos de dispersión o confluencia la derivada de la ganancia con respecto a s es cero. Si hay un punto de dispersión o confluencia, las raíces son múltiples en ese punto: q + = 0 = ( i ) [.75] P( s), Z( s), Q( s ) no tienen as i como raíz P s KZ s s s Q s incrementando la ecuación, P( s) + ( K + K) Z( s) = P( s) + KZ( s) + KZ( s) = 0 [.76] + Z s K 0 P( s) + KZ( s) = [.77] Z( s) q ( s s ) Q( s) + K = 0 i [.78]

39 04 c Lugar de Raíces.doc 39 i K q Q s = ( s si ) s s Z s K dk lim = = 0 s s i s s ds i [.80] [.79] No es fácil calcularla para sistemas complejos - Aproximación: ( ) ( ) Z + K = 0 [.8] P K P Z ( ) ( ) = [.8] ( ) ( ) dk dp dz = Z( ) P( ) d d d = Z ( ) Z dp P dz ( ) d = [.84] d 0 [.83]

40 04 c Lugar de Raíces.doc 40 ( ) ( ln ( )) ln ( ) ( ) dp dz P d Z d d P d Z n d = [.85] = [.86] d los polinomios son productos de factores, que al derivar su logaritmo, m = [.87] ( + p ) i ( + z ) i= i = se calcula esta igualdad En el ejemplo, i ( 4, ) ( 3)( 5)( )( ) Z s = s+ P s = s s+ s+ s+ + j s+ j [.88] la igualdad es + 4 = j + + j ( + ) = [.90] [.89]

41 04 c Lugar de Raíces.doc 4 Se toma primeramente el punto medio entre 0 y 3 es decir =,5 (,5+ ) = + + +, ,5 + 5,5 + + = + + +, ,5,5 0,9 + 0,73 3 = 0 [.93] =, 45 [.94] =,6 [.9] [.9] se toma -,6 como segunda aproximación: (,6+ ) + = + 3,6+ 4,6+ 5,6 + +,8 +,54 3 = 0 [.96] =, 07 [.97] =,38 se toma,38 [.95]

42 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. 9: Intersección con el Eje Imaginario Se determinan con el criterio de Routh Son puntos que hace que el sistema sea marginalmente estable. En el ejemplo la ecuación característica es s s+ 3 s+ 5 s + s+ + K s+ 4 = 0 [.98] s s s s K s K = 0 [.99] 5 s K 4 s K 3 s 8, ,6K s 35,4 0,K 4K s ( ,6K )( 35,4 0,K) 3,6K 35,4 0,K 0 s 4K Se debe cumplir que el término de s debe ser nulo ,6K 35,4 0,K 3,6K = 0 [.00]

43 04 c Lugar de Raíces.doc 43 0,66K 98,69K + 06 = 0 [.0] K = 0,6 [.0] Para calcular el valor de las raíces se utiliza: ( K) s 35,4 0, + 4K = 0 [.03] s =±,3 j [.04]

44 04 c Lugar de Raíces.doc 44 K =.4.0. Regla No. 0: Cálculo de la Ganancia la ganancia para un punto cualquiera se calcula por el módulo n i= m i= s s + p + z i i [.05]

45 04 c Lugar de Raíces.doc Regla No. : Suma de Raíces Si la ecuación característica se deja en forma de un polinomio mónico, la suma n de las raíces es igual al coeficiente del término s cambiado de signo. g=tf(poly([-4]),poly([ i -+i]));rlocus(g),grid 4 3 Imag Axis Real Axis

46 04 c Lugar de Raíces.doc Adición de un Cero en un Sistema de Segundo Orden g=tf(,poly([- -3]));rlocus(g),grid Imag Axis Real Axis g=tf(poly(-4),poly([- -3]));rlocus(g),grid

47 04 c Lugar de Raíces.doc Imag Axis Real Axis

48 04 c Lugar de Raíces.doc 48 g=tf(poly(-),poly([- -3]));rlocus(g),grid Imag Axis Real Axis Un cero hace más estable el sistema

49 04 c Lugar de Raíces.doc Adición de un Polo en un Sistema de Segundo Orden g=tf(,poly([- -3-4]));rlocus(g),grid 4 3 Imag Axis Real Axis Un polo reduce la estabilidad del sistema Pensar este efecto en un PID

50 04 c Lugar de Raíces.doc Sistema con Retardo Puro G s d Ke = s s Ts d ( + ) [.06] la función de transferencia del retardo es Ts d Td jtd Td ω G s = e = e e = e T ω [.07] d Para que un punto pertenezca al lugar de raíces, el ángulo de la función de transferencia total deberá cumplir Ts d ( ) G s = e s s+ = q+ π [.08] o T ω s s+ =± q+ π [.09] d Para q = 0 s+ s+ =± T ω [.0] π d haciendo ω = 0 s+ s+ =± π [.]

51 04 c Lugar de Raíces.doc 5 [nd,dd]=pade(,0) d=poly([0 -]) ddd=conv(d,dd) g=tf(nd,ddd);rlocus(g),grid

52 04 c Lugar de Raíces.doc Imag Axis Real Axis

53 04 c Lugar de Raíces.doc Imag Axis Real Axis