Departamento de Ingenierías Eléctrica y Electrónica Universidad del Norte

Transcripción

1 Departamento de Ingenierías Eléctrica y Electrónica Universidad del Norte

2 Ejemplo: Considere el sistema de la figura: G(s) tiene un par de polos complejos conjugados en s = 1 + j 2 s ( ) K s s + 3 PROCEDIMIENTO: 1. Determinar los lugares de las raíces sobre el eje real. Para cualquier punto de prueba s sobre el eje real, la suma de las contribuciones tib i angulares de lospoloscomplejosl lj conjugadoses de 360. El efecto neto de los polos complejos conjugados es cero sobre el eje real.

3 jω j 2 La localización del lugar de las raíces sobre el eje real se determina a partir del cero en lazo abierto sobre el eje real negativo. σ Una sección del eje real negativo que se encuentra entre 2 y es una parte del lugar de las raíces. j 2 Como existen dos polos en lazo abierto y un cero, hay una asíntota que coincide con el eje real negativo.

4 2. Determinar el ángulo de salida de los polos complejos conjugados en lazo abierto. El conocimiento de este ángulo es importante, debido a que el lugar de las raíces cerca de un polo complejo proporciona información con respecto a si el lugar geométrico que se origina en el polo complejo emigra hacia el eje real o tiende hacia la asíntota φ 1 ' S φ 1 θ 1 p 1 jω σ θ 2 p θ ' 2 2

5 jω Si el punto de prueba está sobre el lugar de las raíces: S θ 1 p 1 ( ) 180 ( 2 K 1 ) φ ' θ + θ ' =± θ = 180 θ ' + φ ' = 180 θ + φ φ ' 1 φ 1 σ El ángulo de salida es: θ = 180 θ + φ = = θ 2 Por simetría con respecto al eje real, el ángulo de p θ ' 2 2 salida del polo en s = p 2 es 145.

6 3. Determinar el punto de ingreso. Como + + K = s ( s 2s 3) ( s 2)( 2s 2) ( s 2 2s 3) dk = = 0 2 ds s + 2 ( ) s + s+ = s= o s= El punto s = está sobre el lugar de las raíces se trata de un punto de ingreso real. El valor de K en este punto es K =

7 4. Dibujar una gráfica del lugar de las raíces a partir de la información obtenida. Deben encontrarse varios puntos mediante prueba y error entre el punto de ingreso y los polos complejos lj en lazo abierto. jω 145 j2 j σ j1 1 j2

8 El valor de la ganancia K para cualquier punto sobre el lugar de las raíces se encuentra aplicando la condición de magnitud. Por ejemplo, el valor de K en el cual los polos complejos conjugados en lazo cerrado tienen el factor de amortiguamiento relativo ζ =0.7 se encuentra situando las raíces ycalculando el valor de K del modo siguiente: K ( s + 1 j 2 )( s j 2 ) = = 1.34 s + 2 s= j1.70

9 En este sistema, el lugar de las raíces en el plano complejo es parte de un círculo. Los lugares de las raíces circulares se obtienen en sistemas que contienen dos polos y un cero, dos polos y dos ceros, o un polo y dos ceros. Para el sistema actual, la condición de ángulo es: s+ 2 s+ 1 j 2 s+ 1+ j 2 =± 180 ( 2K + 1) Sustituyendo s = σ + jω ω ω 2 ω+ 2 =± + σ + 2 σ + 1 σ ω 2 1 ω+ 2 1 ω tan tan tan 180 2K 1 σ 1 + = ± + σ σ + 2 ( K ) tan tan tan ( )

10 Tomando la tangente a ambos lados y usando la relación: tan ( x y) tan x± tan y ± = 1 m tanxtan y 1 ω 2 1 ω+ 2 1 ω tan tan + tan = tan tan ± 180 ( 2K + 1) σ + 1 σ + 1 σ + 2 Simplificando 2ωσ ( + 1) ( ) ω 2 ω+ 2 ω + ± 0 σ + 1 σ +1 = σ + 2 ω 2 ω+ 2 ω 1 1m 0 σ + 1 σ + 1 σ + 2 ω = σ + 1 ω 2 2 σ + 2 ( ) ( ) Esta última ecuación es equivalente a: ( ) 2 2 ( ) ω σ ω 3 = ( ) ( ) 2 ω = 0 o σ ω = 3

11 2 2 ( ) ( ) 2 ω = 0 o σ ω = 3 La primera ecuación ω = 0 corresponde al eje real. El eje real desde s = 2as= corresponde a un lugar de las raíces para K 0. La parte restante corresponde a un lugar de las raíces cuando K es negativo (En el sistema actual K es no negativo). La segunda ecuación para el lugar de las raíces es una ecuación de un círculo con centro en σ = 2, ω = 0 y radio igual a 3. La parte del círculo a la izquierda de los polos complejos conjugados corresponde al lugar de las raíces para K 0. La parte restante del círculo corresponde al lugar de las raíces cuando K es negativo.

12 Como el método general del lugar de las raíces se basa esencialmente en una técnica de prueba y error, la cantidad de pruebas requeridas se reduce sustancialmente si se aplican estas reglas: Primero, obténgase la ecuación característica: G( s) H( s) 1+ = 0 Ordenar la ecuación para que el factor de interés aparezca como el factor multiplicativo en la forma: ( + 1)( + 2)...( + m ) ( s+ p )( s+ p )...( s+ p ) K s z s z s z 1+ = n

13 1. Situar los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramas del lugar de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito). Los lugares de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo aparecen en pares conjugados. Una gráfica del lugar de las raíces tendrá tantas ramas como raíces tenga la ecuación característica. Si se incluyen los polos y los ceros en infinito, el número de polos en lazo abierto es igual al de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre se puede plantear que los lugares de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) y terminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito.

14 2. Determinar los lugares de las raíces sobre el eje real. Los lugares de las raíces sobre el eje real se determinan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan a la localizaciónli ió de los lugares de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360 sobre el eje real. Si el número total de polos y ceros reales a la derecha de un punto de prueba ubicado sobre el eje real es impar, este punto se encuentra en el lugar de las raíces. Si los polos y ceros en lazo abierto son simples, el lugar de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

15 3. Determinar las asíntotas de los lugares de las raíces. Ángulos de las asíntotas = ( K ) ± ( K 01 0,1, 2,...) n m = Donde n = número de polos finitos de G(s)H(s) m = número de ceros finitos de G(s)H(s) La cantidad de asíntotas distintas es n m Todas las asíntotas cortan el eje real La abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real s = ( p p... p ) ( z... z ) n 1 n m m

16 4. Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso. Debido a la simetría conjugada de los lugares de las raíces, los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien aparecen en pares complejos conjugados. Si un lugar de las raíces se encuentra entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de ruptura entre dichos polos. Si el lugar de las raíces está entre dos ceros adyacentes (un cero puede localizarse en ) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar de las raíces se encuentra entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o infinito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de ruptura o de ingreso, o bien pueden existir ambos.

17 Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de ruptura y de ingreso se determinan a partir de las raíces de ( ) ( ) ( ) '( ) 2 ( ) dk B' s A s B s A s = = 0 ds A s Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso deben ser raíces de ( ) aunque no todas las raíces de ( ) son puntos de ruptura o de ingreso. Si una raíz real de la ecuación ( ) se encuentra en la parte del eje real del lugar de las raíces, es un punto de ruptura o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación ( ) no está en la parte del eje real del lugar de las raíces, esta raíz no corresponde a un punto de ruptura ni a un punto de ingreso. ( )

18 5. Determinar el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un lugar de las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo). Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. El ángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar de las raíces de un polo complejo (odeuncerocomplejo) se encuentra restando a 180 la suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados.

19 Ángulo de salida desde un polo complejo = 180 (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Ángulo de llegada a un cero complejo = 180 (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos) jω θ 1 φ 0 σ θ 2

20 6. Encontrar los puntos donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario. Por medio de: (a) El criterio de estabilidad de Routh. (b) Suponiendo s = jω en la ecuación característica, igualando a cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K Los valores encontrados de ω representan las frecuencias a las cuales los lugares de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce proporciona la ganancia en el punto de cruce.

21 7. Tomando una serie de puntos de prueba en la cercanía del origen del plano s, dibujar los lugares de las raíces. La parte más importante de los lugares de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte cercana al eje jω yalorigen. 8. Determinar los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar de las raíces será un poloenlazocerradosielvalordek en dicho punto satisface la condición de magnitud. La condición de magnitud permite determinar el valor de la ganancia K en cualquier localización de las raíces sobre el lugar. El valor de K que corresponde a cualquier punto S sobre el lugar de las raíces se obtiene a partir de la condición de magnitud o bien K = producto delaslongitudes entreel punto s y los polos producto delas longitudes entreel punto s y los ceros

22 Ejemplo: Dibuje los lugares de las raíces del sistema de control de la Figura. Determine el rango de valores de la ganancia K para la estabilidad. K ( s 1)( s 2 + 4s+ 7) Solución: Los polos en lazo abierto se localizan en s = 1, s = 2 + j 3, s = 2 j 3 Existe lugar de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = 1 y s =. Las asíntotas de las ramas del lugar de las raíces se encuentran del modo siguiente: ± 180 ( 2 K + 1 ) Angulos delas asíntotas = = 60 ; 60 ;180 3

23 La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene como: s = = 1 3 Los puntos de ruptura y de ingreso se localizan a partir de dk/ds = 0 como: ( 1)( 4 7) ( 3 3 7) K = s s + s+ = s + s + s dk 2 2 = ( 3s + 6s+ 3) = 0= ( s + 2s+ 1) = 0 ds s + 1 = 0 ( ) 2 dk = 0 Tiene una raíz doble en s = 1 ds Esto significa que la ecuación característica tiene una raíz triple en s = 1. Elpuntoderuptura se localiza en s = 1. Las tres ramas del lugar de las raíces se encuentran en este punto de ruptura. Los ángulos de salida de las ramas en el punto de ruptura son ± 180 / 3 es decir, 60 y 60, 180.

24 Los puntos donde las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario se calculan a partir de: 2 ( )( ) s 1 s + 4s+ 7 + K = s + s + s + K = Sustituyendo s por jω ( ω) ( ω) ( ω) j + 3 j + 3 j 7+ K = ( K ω ) + j ω ( ω ) = 0 Esta ecuación se satisface cuando: ω = ± = + ω = ω = = 2 3, k o 0, K 7 Las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario en (donde K=16) y ω = 0 (donde K = 7) Como el valor de la ganancia K en el origen es 7, el rango de la ganancia K para la estabilidad es: 7 < K < 16

25 De la condición de ángulo K ( s 1)( s+ 2+ j 3)( s+ 2 j 3) ( K ) = ± Sustituyendo s = σ + jω ( ) σ 1+ jω+ σ j ω+ j 3 + σ jω j 3 =± ± 180 2K + 1 ( ) ( ) ( ) σ + 2+ j ω+ 3 + σ + 2+ j ω 3 = σ 1+ jω± 180 2K ω ω 3 1 ω tan tan tan 180 2K 1 σ 2 + = ± + σ σ 1 ( ) ω + 3 ω 3 + σ + 2 σ + 2 ω = ω+ 3 ω 3 σ 1 1 σ + 2 σ + 2 ( + ) 2ωσ 2 ω = 2 2 σ + 4σ + 4 ω + 3 σ 1

26 Que se puede simplificar: 2 2 ( + )( ) = ( + + ) 2 2 ( ) = 0 2ω σ 2 σ 1 ω σ 4σ 7 ω ω σ σ ω 1 1 ω σ + 1+ ω σ + 1 ω = Lo que define tres líneas: 1 1 ω = 0, σ + 1+ ω = 0, σ + 1 ω = Cada recta empieza a partir de un polo en lazo abierto y tiende a infinito en la dirección de 180, 60, 60 medidos a partir del eje real. La parte restante de cada recta corresponde a K < 0

27 Ejemplo: Dibuje el lugar de las raíces del sistema de la figura. ( ) K s +1 ( + 2) s s Solución: Los ceros en lazo abierto se localizan en s=±j Los polos en lazo abierto se localizan en s = 0 y s = 2 Este sistema contiene dos polos y dos ceros. Entonces, hay una posibilidad de que exista una rama circular del lugar de las raíces.

28 ( + )( ) s( s+ 2) K s j s j =± ( K ) ( ) s + j+ s j s s+ 2=± 180 2K + 1 Sustituyendo s = σ + jω ( σ + j ω + j ) + ( σ + j ω j ) ( σ + j ω ) ( σ j ω ) = ± 180 ( 2 K + 1 ) ω+ 1 ω 1 ω ω + = + ± + σ σ σ σ + 2 ( K ) tan tan tan tan Tomando las tangentes a ambos lados y considerando que: ω + 1 ω 1 ω ω ω ω tan tan 180 ± = σ 2 σ σ = σ σ σ + 2 ω+ 1 ω 1 ω ω 1 1 σ σ σ σ ω σ + ω = 0 2 4

29 2 2 = + = 1 5 ω 0 o σ ω 2 4 Corresponde al lugar de las raíces sobre el eje real. El segmento entre s = 0 y s = 2 corresponde al lugar de las raíces para 0 K <. El resto corresponde al lugar de las raíces para K < 0 jω La segunda ecuación corresponde a un lugar de las raíces circular con centro en σ=1/2, ω = 0 y radio 5/2 La parte circular del lugar de las raíces a la izquierda de los ceros imaginarios corresponde a K > 0. El resto corresponde a K < 0. σ