Caso Resuelto 4 Análisis en el Dominio de la Frecuencia realizado con Excel

Transcripción

1 Caso Resuelto 4 Para realizar un análisis completo en el dominio de la frecuencia se necesita construir las gráficas: Polar de Nyquist, Diagramas de Bode de Lazo Abierto, Diagramas de Bode de Lazo Cerrado, y de ahí obtener Margen de Fase (MF, Margen de anancia (M, la Frecuencia de Cruce (ω C, la Frecuencia (ω -180, Ancho de Banda (ω 1 - ω, Frecuencia de Resonancia (ω R, y Magnitud Máxima (M max. Como un ejemplo de cómo realizar este procedimiento tomemos la función de transferencia de lazo abierto H(s Ec. (1, que se presenta enseguida, y realicemos un Análisis en el Dominio de la Frecuencia completo. 1. Diagrama Polar de Nyquist 4 H ( s = (1 s ( s + ( s + 6 Para poder iniciar la construcción de la ráfica Polar de Nyquist se necesita normalizar la función de transferencia en cuestión, Ec. (, como se muestra enseguida: H = ( ω jω jω j ( + 1( φ jω, Ec. y luego desarrollar las Fórmulas para Magnitud, H, Ec. (3 y Ángulo de Fase ( (4, como se muestra enseguida: φ H H = ω ω [( 1] 1 ω + ( [ + 1] = 0º 90º tg ω tg ω H (3 y 4 La tabulación para construir la ráfica Polar de Nyquist se calcula a partir de la Fórmulas anteriores y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad del polo o cero menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.5 á ω =10. La obtención de la tabulación, TABLA 1, y la misma construcción de la ráfica Polar de Nyquist, RÁFICA 1, se facilita mucho haciendo uso del Excel. Las Fórmulas para realizar las tabulaciones y gráficas en Excel son: La columna A es la Frecuencia ω La columna B es la Magnitud H(jω posicionado en B con la Ec. (5 =/(A*(RAIZ((A/^+1*(RAIZ((A/6^+1 (5 = La columna C es el Ángulo de Fase φ H (jω posicionado en C con la Ec. (6 =0-90-(ATAN(A/*180/PI(-(ATAN(A/6*180/PI( (6

2 Casos Resueltos de Ingeniería de Control La columna D muestra el Margen de Fase y el Margen de anancia MF y M con las Ec. (7 y Ec. (8 =C (7 =1/B17 (8 Las columnas E y F son la parte Real y la parte Imaginaria de H(jω respectivamente, necesarias para que Excel realice la RÁFICA ya que solo RAFICA en coordenadas rectangulares con las Ec. (9 y Ec. (10 =B*COS(C*PI(/180 (9 =B*SENO(C*PI(/180 (10 TABLA 1:Tabulación en Excel para construir el Diagrama Polar de Nyquist Caso Resuelto 4 Frecuencia ω Magnitud H(jω Ángulo φ H (jω MF y M Real Imaginario 0,5 3, ,7999-1,46-3,6609 0,6 3, ,4098-1,111 -,9370 0,7, ,9445-1,1719 -,4086 0,8, ,3961-1,193 -,0046 0,9,0041-1,7585-1,0844-1, , ,074-1,0378-1,470 1,1 1, ,1997-0,9904-1,143 1, 1, ,737-0,947-1,0370 1,3 1, ,490-0,8953-0,8875 1,4 1, ,160-0,8487-0,7608 1,5 1, ,9061-0,8031-0,655 ω C = 1,53 1, ,715 MF = 38,785-0,7897-0,63 0, ,4349-0,6000-0,3000,5 0, ,9601-0,4434-0, , ,8750-0,38-0,0410 ω -180 = 3,465 0, ,019 M = 4,001-0,499 0, , ,150-0,1846 0,031 4,5 0, ,9074-0,1408 0, , ,004-0,1085 0,0353 5,5 0,0916-0,573-0,0846 0, , ,5651-0,0667 0,0333 6,5 0, ,1879-0,0531 0, , ,4533-0,046 0,08 7,5 0,049-16,4088-0,0345 0, , ,0939-0,08 0,09 8,5 0,0311-1,5419-0,033 0, ,067-3,7811-0,0193 0,0185 9,5 0,03-5,8357-0,0161 0, ,00-7,763-0,0136 0, de Diciembre del 011

3 Caso Resuelto 4: El Diagrama Polar de Nyquist se obtiene con la RÁFICACIÓN automática de Excel RÁFICANDO en Dispersión de Puntos las Columnas E Real y F Imaginario FIURA 1. Fig. 1: Diagrama Polar de Nyquist construido con Excel Caso Resuelto 4 Para calcular el Margen de Fase (MF y el Margen de anancia (M se facilita con la tabulación en Excel, TABLA 1, que se utiliza para construir la ráfica Polar de Nyquist. El Margen de Fase (MF se obtiene buscando, en la tabulación hecha en Excel, la frecuencia en la que la Magnitud H(jω toma el valor de 1, Ec. (11, y al Ángulo de Fase φ H (jω encontrado para esa misma frecuencia se le suma 180º obteniéndose como resultado el Margen de Fase (MF, Ec. (1. Para obtener el Margen de anancia (M se busca la frecuencia para la cual el Ángulo de Fase φ H (jω toma el valor de -180º, Ec. (13, y el inverso del valor de la Magnitud H(jω encontrada para esa frecuencia viene siendo el Margen de anancia (M, Ec. (14. ω C = A13 = 1.53 rad./seg. (11 MF = D = 38.7º (1 ω -180 = A17 = 3.46 rad./seg. (13 M = 1/C17 = 4.00 (14 13 de Diciembre del 011 3

4 . Diagrama de Bode de Lazo Abierto Casos Resueltos de Ingeniería de Control Para poder iniciar la construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Abierto se necesita normalizar la función de transferencia en cuestión como se muestra en la Ec. (15: H = (15 ω jω jω j ( + 1( y luego desarrollar las Fórmulas para Magnitud en decibeles 0log H(jω, Ec. (14, y Ángulo de Fase φh(jω, Ec. (15, como se muestra enseguida: 0 log H ω = 0 log 0 logω 0 log ( φ H = 0º 90º tg ω tg ω 6 [ 1] 1 ω + 0 log[ ( + 1] 6 1 (16 y 17 La tabulación para construir los diagramas de Bode de Lazo Abierto se calcula a partir de la Ec. (16 y Ec. (17 y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad del polo o cero menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.1 á ω = 10. La obtención de la tabulación; TABLA, y la misma construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Abierto se facilita mucho haciendo uso del Excel FIURA ; A Diagrama de Magnitud y B Diagrama de Ángulo de Fase. La columna A es la Frecuencia ω La columna B es el Logaritmo base 10 de la Frecuencia Logω posicionado en B se calcula con la Ec. (18 =LO(A (18 La columna C es la Magnitud en db 0log H(jω posicionado en C se calcula con la Ec. (19 =0*LO(-0*LO(A-0*LO(RAIZ((A/^+1-0*LO(RAIZ((A/6^+1 (19 La columna D es el Ángulo de Fase φ H (jω posicionado en D se calcula con la Ec. (0 =0-90-(ATAN(A/*180/PI(-(ATAN(A/6*180/PI( (0 La columna E muestra el Margen de Fase y el Margen de anancia MF y M se calculan con las Ec. (1 y Ec. ( respectivamente. =D (1 =-C0 ( 4 13 de Diciembre del 011

5 Caso Resuelto 4: TABLA : Tabulación para los Diagramas de Bode de Lazo Abierto y Cerrado Caso Resuelto 4 ω logω 0log H(jω φ H (jω MF y M H(jω M db N 0,1-1,0000 6, ,817 19,973 0,0181 -,8696 0, -0, ,950-97,6197 9,9448 0,075-5,7681 ω 1 = 0,35-0,689 18, ,9445 8,4460 0,100-6,7949 0,3-0,59 16, ,393 6,5847 0,1634-8,756 0,4-0, , ,140 4,890 0,913-11,7747 0,5-0, , ,7999 3,867 0, ,9517 0,6-0,18 10, ,4098 3,1769 0, ,981 0,7-0,1549 8, ,9445,6786 0,9006-1,869 0,8-0,0969 7, ,3961,3008 1,1791-5,7041 0,9-0,0458 6,0383-1,7585,0041 1,4936-9, ,0000 4,935-16,074 1,7645 1, ,5085 1,5 0,1761 0, ,9061 1,0348 3,667-67,6938 ω C = 1,53 0,1847 0, ,715 MF = 38,785 1,0060 3, ,3641 ω R = 1,65 0,175-0, ,8989 0,9015 3, ,7483 0,3010-3, ,4349 0,6708, ,5651 ω =,3 0,3617-5, ,9644 0,538 0, ,8888,5 0,3979-6, ,9601 0,4613-1, , ,4771-9, ,8750 0,3308-6, ,3803 ω -180 = 3,465 0,5397-1, ,019 M = 1,0457 0,499-9, ,017 3,5 0,5441-1,06-180,5116 0,449-9, , ,601-14, ,150 0,1861-1, ,746 4,5 0,653-16, ,9074 0, , , , , ,004 0, , ,701 5,5 0,7404-0,7615-0,573 0, , , ,778 -,557-06,5651 0,0745-1, ,6105 6,5 0,819-4,400-10,1879 0,0614-3,7711-1, ,8451-5, ,4533 0,0511-5, ,1380 7,5 0,8751-7,346-16,4088 0,049-7, , ,9031-8,787-19,0939 0,0364-8,5363-0,446 8,5 0,994-30,1508-1,5419 0,0311-9,9483 -, ,954-31,4567-3,7811 0,067-31,889-4,8619 9,5 0,9777-3,7054-5,8357 0,03-3,5653-6, , ,9015-7,763 0,00-33,7838-8,5936 Para calcular el Margen de Fase (MF y el Margen de anancia (M se facilita con la tabulación en Excel que se utiliza para construir los Diagramas de Bode de Lazo Abierto. El Margen de Fase (MF se obtiene buscando, en la tabulación hecha en Excel, la frecuencia en la que la Magnitud 0log H(jω toma el valor de 0, Ec. (3 y al Ángulo de Fase φ H (jω encontrado para esa misma frecuencia se le suma 180º obteniéndose como resultado el Margen de Fase (MF, Ec. (4. Para obtener el Margen de anancia (M se busca la frecuencia para la cual el Ángulo de Faseφ H (jω toma el valor de -180º, Ec. (5, y el negativo del valor de la Magnitud en decibeles 0log H(jω encontrada para esa frecuencia viene siendo el Margen de anancia (M, Ec. (6. 13 de Diciembre del 011 5

6 Casos Resueltos de Ingeniería de Control ω C = A14 = 1.53 rad./seg. (3 MF = D = 38.7 (4 ω -180 = A0 = rad./seg. (5 M = 1/C0 = db (6 Los Diagramas de Bode de Lazo Abierto, FIURA, se obtiene RÁFICANDO como dispersión de puntos las Columnas B LO W y C 0log H(jω A Diagrama de Magnitud; y las columnas B LO W y D φ H (jω B Diagrama de Ángulo de Fase. RÁFICA A (ráfica de Magnitud 6 RÁFICA B (ráfica de Ángulo de Fase Fig. : Diagrama de Bode de Lazo Abierto construido con Excel Caso Resuelto 4 13 de Diciembre del 011

7 Caso Resuelto 4: 3. Diagrama de Bode de Lazo Cerrado Para poder iniciar la construcción de los diagramas de Bode de Lazo Cerrado se necesita haber construido los diagramas de Bode de Lazo Abierto y con los valores en la tabulación aplicar las Ec. (7, Ec. (8 y Ec. (9 como se muestra enseguida: 0 log H = 10 0 (7 M db = 0 log (8 1+ cosφ + N º = tg senφ cosφ + (9 La tabulación para construir los diagramas de Bode de Lazo Cerrado se calcula a partir de la Ec. (7, Ec. (8 y Ec. (9 y un rango de variación de frecuencias, en ciclos completos, de la mitad del polo o cero menor y del doble del polo o cero mayor en este caso de ω = 0.1 á ω = 10. La obtención de la tabulación; TABLA, y la misma construcción de los Diagramas de Bode de Lazo Cerrado se facilita mucho haciendo uso del Excel FIURA 3 ráfica 3A Diagrama de Magnitud y ráfica 3B Diagrama de Ángulo. La columna A es la Frecuencia ω La columna B es el Logaritmo base 10 de la Frecuencia Logω posicionado en B se calcula con la Ec. (18 =LO(A (18 La columna C es la Magnitud en db 0log H(jω posicionado en C se calcula con la Ec. (19 =0*LO(-0*LO(A-0*LO(RAIZ((A/^+1-0*LO(RAIZ((A/6^+1 (19 La columna D es el Ángulo de Fase φ H (jω posicionado en D se calcula con la Ec. (0 =0-90-(ATAN(A/*180/PI(-(ATAN(A/6*180/PI( (0 La columna E muestra el Margen de Fase y el Margen de anancia MF y M E15 y E5 se calculan con las Ec. (1 y Ec. ( respectivamente. =D (1 =-C0 ( 13 de Diciembre del 011 7

8 Casos Resueltos de Ingeniería de Control La columna F es la Magnitud de Lazo Abierto suponiendo H(s=1 H(jω posicionado en F se calcula con la Ec. (30 =10^(C/0 (30 La columna es la Magnitud de Lazo Cerrado en Decibeles suponiendo H(s=1 M db posicionado en se calcula con la Ec. (31 =0*LO(RAIZ((F^/(1+*F*COS(D*PI(/180+F^ (31 La columna H es el Ángulo de Fase de Lazo Cerrado en rados suponiendo H(s=1 Nº posicionado en H se calcula con la Ec. (3, posicionado en H16 se calcula con la Ec. (33 debido a correcciones de cálculo =ATAN((F*SENO(D*PI(/180/(F*COS(D*PI(/180+F^*180/PI( (3 =ATAN((F16*SENO(D16*PI(/180/(F16*COS(D16*PI(/180+F16^*180/PI(-180 (33 Para calcular a partir de la TABLA de Excel el Ancho de Banda ω 1 - ω, ω 1 es la frecuencia donde la Magnitud de Lazo Cerrado en db M db = 0.1 y ω es la frecuencia cuando la Magnitud de Lazo Cerrado en db M db vuelve a pasar por 0 db después de haber llegado a su valor máximo. La Frecuencia de Resonancia ω R se obtiene de la TABLA de Excel buscando la Frecuencia en la que la Magnitud de Lazo Cerrado en Decibeles M db es mayor. La M max es el valor de la Magnitud de Lazo Cerrado en db mayor. Las Diagramas de Bode de Lazo Cerrado, FIURA 3 ráfica 3A Diagrama de Magnitud y ráfica 3B Diagrama de Ángulo, se obtienen en forma automática de Excel tomando la opción RÁFICA de dispersión de puntos para las columnas B (Log w y (M db ráfica 3A y las columnas B (Log w y H (Nº ráfica 3B. RÁFICA 3A (ráfica de Magnitud M db 8 13 de Diciembre del 011

9 Caso Resuelto 4: RÁFICA 3B (ráfica de Ángulo de Fase Nº Fig. 3: Diagrama de Bode de Lazo Cerrado construido con Excel Caso Resuelto 4 ω 1 = A4 = 0.35 rad./seg. (34 ω = A17 =.35 rad./seg. (35 ω R = A15 = 1.65 rad./seg. (36 M max = db (37 13 de Diciembre del 011 9