R. Alzate Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, marzo de 2012

Transcripción

1 Resumen de las Reglas de Diseño de Compensadores R. Alzate Universidad Industrial de Santander Buaramanga, marzo de 202 Sistemas de Control Esuela de Ingenierías Elétria, Eletrónia y Teleomuniaiones Contenidos: Seión tema página Introduión 2 2 Lugar Geométrio de las Raíes 2 a Compensaión en adelanto de fase 2 b Compensaión en atraso de fase 3 Compensaión atraso-adelanto: 3 d Compensaión atraso-adelanto: = 4 3 Respuesta en freuenia 5 e Compensaión en adelanto de fase 5 f Compensaión en atraso de fase 6 g Compensaión atraso-adelanto 7 4 Referenias 7

2 . Introduión A ontinuaión se presentan los pasos que resumen los proedimientos de diseño de ompensadores (adelanto, atraso y atraso-adelanto) mediante las ténias del Lugar Geométrio de las Raíes y de la Respuesta en Freuenia, tomando omo referenia textual los ontenidos de []. 2. Lugar Geométrio de las Raíes (LGR) a. Compensaión en adelanto de fase: a.) A partir de las espeifiaiones de desempeño, determine la ubiaión deseada para los polos dominantes en lazo errado. a.2) Por medio de una gráfia del lugar geométrio de las raíes, ompruebe si el ajuste de la ganania puede o no por si solo produir los polos en lazo errado deseados. En aso ontrario, alule la defiienia de ángulo φ. Este ángulo debe ser una ontribuión del ompensador de adelanto si el nuevo lugar geométrio de las raíes va a pasar por las ubiaiones deseadas para los polos dominantes en lazo errado. a.3) Suponga que el ompensador de adelanto G (s) es G (s) = K α T αt = K T, αt para 0 < α < y donde α y T se determinan a partir de la diferenia de ángulo. K se determina a partir del requerimiento de la ganania en lazo abierto. a.4) Si no se espeifian las onstantes de error estátio, determine la ubiaión del polo y del ero del ompensador de adelanto, para que el ompensador de adelanto ontribuya al ángulo φ neesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de α. Un valor más grande de α por lo general produe un valor más grande de K v, lo ual es onveniente. Si se espeifia una onstante de error estátio, por lo general es más senillo usar el enfoque de la respuesta en freuenia. a.5) Determine la ganania en lazo abierto del sistema ompensado a partir de la ondiión de magnitud. b. Compensaión en atraso de fase: b.) Dibuje la gráfia del lugar geométrio de las raíes para el sistema no ompensado, uya funión de transferenia en lazo abierto sea G(s). Con base en las espeifiaiones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo errado en el lugar geométrio de las raíes. b.2) Suponga que la funión de transferenia del ompensador de atraso es G (s) = ˆK T T = ˆK T, T para >. Así, la funión de transferenia en lazo abierto del sistema ompensado se onvierte en G (s)g(s). 2

3 b.3) Calule la onstante de error estátio espeifiada en el problema. b.4) Determine el inremento neesario en la onstante de error estátio para satisfaer las espeifiaiones. b.5) Determine el polo y el ero del ompensador de atraso que produen el inremento neesario en la onstante de error estátio determinado sin alterar apreiablemente los lugares geométrios de las raíes originales. Observe que la razón entre el valor de la ganania requerido en las espeifiaiones y la ganania que se enuentra en el sistema no ompensado es la razón entre la distania del ero al origen y la del polo al origen. b.6) Dibuje una nueva gráfia del lugar geométrio de las raíes para el sistema no ompensado. Loalie los polos dominantes en lazo errado deseados sobre el lugar geométrio de las raíes. Si la ontribuión de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es deir, de poos grados, los lugares geométrios de las raíes originales y los nuevos serán asi idéntios. Sin embargo, habrá una ligera disrepania entre ellos. A ontinuaión ubique, sobre el nuevo lugar geométrio de las raíes, los polos dominantes en lazo errado deseados a partir de las espeifiaiones de la respuesta transitoria. b.7) Ajuste la ganania ˆK del ompensador a partir de la ondiión de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo errado se enuentren en la ubiaión deseada. Compensaión de atraso-adelanto: Suponga que usamos el ompensador de atraso-adelanto G (s) = K (T ) (T 2 ) T ( ) = K ( T T ) T 2, donde > y >.. Caso.) A partir de las espeifiaiones de desempeño proporionadas, determine la ubiaión deseada para los polos dominantes en lazo errado..2) Use la funión de transferenia en lazo abierto no ompensado G(s), para determinar la defiienia de ángulo φ si los polos dominantes en lazo errado estarán en la posiión deseada. La parte de adelanto de fase del ompensador de atraso-adelanto debe ontribuir a este ángulo φ..3) Suponiendo que después seleiona un T 2 sufiientemente grande para que la magnitud de la parte de atraso s + T 2 s + se aerque a la unidad, de modo que s = s es uno de los polos dominates en lazo errado, elija los valores de T y a partir del requerimiento de que s + T s + T = φ. 3

4 La eleión de T y no es únia. Puede esogerse un onjunto infinitamente más grande de valores para T y. A ontinuaión determine el valor de K a partir de la ondiión de magnitud: s K + T s + G(s ) T =..4) Si se espeifia la onstante de error estátio de veloidad K v, determine el valor de que satisfaga el requerimiento para K v. La onstante de error estátio de veloidad K v se obtiene mediante T K v = lim sg (s)g(s) = lim sk s 0 s 0 T 2 T G(s) = lim sk s 0 G(s), en donde K y se determinaron en el paso.3. Por tanto, dado el valor de K v, el valor de se determina a partir de esta última euaión. Después, usando el valor de determinado de este modo, seleione un valor de T 2 tal que s + T 2 s + 5 < s + T 2 s + < 0 d. Caso = d.) A partir de las espeifiaiones de desempeño proporionadas, determine la ubiaión deseada para los polos dominantes en lazo errado. d.2) El ompensador de atraso-adelanto adquiere la forma (T ) (T 2 ) G (s) = K T ( ) = K ( T T ) T 2, donde >. La funión de transferenia en lazo abierto del sistema ompensado es G (s)g(s). Si se espeifia la onstante de error estátio de veloidad K v, determine el valor de la onstante K a partir de la euaión siguiente: K v = lim s 0 sg (s)g(s) = lim s 0 sk G(s). d.3) Para tener los polos dominantes en lazo errado en la ubiaión deseada, alule la ontribuión requerida del ángulo φ de la parte de adelanto de fase del ompensador de atraso-adelanto. d.4) Para el ompensador de atraso-adelanto, seleione una T 2 sufiientemente grande, a fin de que s + T 2 s + 4

5 se aproxime a la unidad, de modo que s = s sea uno de los polos dominantes en lazo errado. Determine los valores de T y a partir de las ondiiones de magnitud y ángulo: s K + T s + G(s ) = T s + T s + T = φ. d.5) Usando el valor de reién determinado, seleione T 2 de modo que s + T 2 s + 5 < s + T 2 s + < 0. El valor, la onstante de tiempo más grande del ompensador de atraso adelanto no debe ser demasiado grande, a fin de que pueda materializarse. 3. Respuesta en Freuenia e. Compensaión en adelanto de fase: e.) Suponga el siguiente ompensador de adelanto: para 0 < α <. Defina K α = K, y así G (s) = K α T αt = K T, αt G (s) = K T αt La funión de transferenia en lazo abierto del sistema ompensado es G (s)g(s) = K T αt G(s) = T αt KG(s) = T αt G (s), en donde G (s) = KG(s). Determine la ganania K que satisfaga el requerimiento sobre la onstante estátia de error. e.2) Usando la ganania K determinada, dibuje las trazas de Bode de G (jω), el sistema on la ganania ajustada pero sin ompensar. Calule el valor del margen de fase. e.3) Determine el ángulo de adelanto de fase φ neesario que se agregará al sistema. 5

6 e.4) Determine el fator de atenuaión α a partir de sin(φ) = α + α. Estableza la freuenia a la ual la magnitud del sistema no ompensado G (jω) es igual a 20 log(/ α). Seleione ésta omo la nueva freuenia de rue de ganania. Esta freuenia orresponde a ω m = /( αt ), y el ambio de fase máximo φ m ourre en ella. e.5) Determine las freuenias de esquina del ompensador de adelanto del modo siguiente: - Cero del ompensador de adelanto: ω = T, - Polo del ompensador de adelanto: ω = αt. e.6) Usando el valor de K determinado en el paso e. y el de α estableido en el paso e.4, alule la onstante K a partir de K = K α. e.7) Verifique el margen de ganania para asegurarse de que es satisfatorio. De no ser así, repita el proeso de diseño modifiando la ubiaión de los polos y eros del ompensador hasta obtener un resultado satisfatorio. f. Compensaión en atraso de fase: f.) Suponga el siguiente ompensador de atraso: para >. Defina K = K, y así G (s) = K T T = K T, T G (s) = K T T La funión de transferenia en lazo abierto del sistema ompensado es G (s)g(s) = K T T G(s) = T T KG(s) = T T G (s), en donde G (s) = KG(s). Determine la ganania K que satisfaga el requerimiento sobre la onstante estátia de error. f.2) Si el sistema no ompensado G (jω) = KG(jω) no satisfae las espeifiaiones en los márgenes de fase y de ganania, enuentre el punto de freuenia en el ual el ángulo de fase de la funión de transferenia en lazo abierto sea igual a 80 más el margen de fase requerido. Éste es el margen de fase espeifiado entre 5 y 2 (la adiión de entre 5 y 2 ompensa el atraso de fase del ompensador de atraso). Seleione ésta omo la nueva freuenia de rue de ganania. 6

7 f.3) Para evitar los efetos noivos del atraso de fase produido por el ompensador de atraso, el polo y el ero del ompensador de atraso deben ubiarse muho más abajo que la nueva freuenia de rue de ganania. Por tanto, seleione la freuenia de esquina ω = /T (que orresponde al ero del ompensador de atraso) entre una otava y una déada por debajo de la nueva freuenia de rue de ganania. Si las onstantes de tiempo del ompensador de atraso no se vuelven demasiado grandes, se seleiona la freuenia de esquina ω = /T una déada por debajo de la nueva freuenia de rue de ganania. f.4) Determine la atenuaión neesaria para disminuir la urva de magnitud a 0 db en la nueva freuenia de rue de ganania. Considerando que esta atenuaión es de 20 log, determine el valor de. Luego se obtiene la otra freuenia de esquina (que orresponde al polo del ompensador de atraso) a partir de ω = /(T ). f.5) Usando el valor de K determinado en el paso f. y el de obtenido en el paso f.4, alule la onstante K a partir de K = K. g. Compensaión de atraso-adelanto: Suponga que usamos el ompensador de atraso-adelanto G (s) = K (T ) (T 2 ) T ( ) = K ( T T ) T 2, donde > y >. El proedimiento de diseño (de la misma manera que fue ilustrado en los numerales y d), orresponde on una ombinaión de los pasos ilustrados en e y f para las respetivas partes de adelanto y atraso del ompensador. 4. Referenias []. K. Ogata Ingeniería de Control Moderna. 3 Ed. Pearson