20 Losas en dos direcciones - Método del Pórtico Equivalente

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1 0 Losas en dos direiones - Método del Pórtio Equivalente CONSIDERACIONES GENERALES El Método del Pórtio Equivalente onvierte un sistema aportiado tridimensional on losas en dos direiones en una serie de pórtios bidimensionales (vigas plaa y olumnas), un sistema en el ual ada pórtio se extiende en la totalidad de la altura de la estrutura, omo se ilustra en la Figura 0-1. El anho de ada pórtio equivalente se extiende hasta la mitad de la luz entre los entros de las olumnas. El análisis ompleto del sistema de losas en dos direiones onsiste en analizar una serie de pórtios interiores y exteriores equivalentes que atraviesan la estrutura transversal y longitudinalmente. Para argas gravitatorias, las vigas plaa en ada entrepiso o ubierta (nivel) se pueden analizar de forma independiente, onsiderando empotrados los extremos más alejados de las olumnas ( ). El análisis elástio mediante el Método del Pórtio Equivalente se aplia a estruturas en las uales las olumnas están dispuestas formando un patrón básiamente ortogonal, on hileras de olumnas dispuestas en forma longitudinal y transversal. El método de análisis se aplia a losas on o sin vigas entre apoyos. El Método del Pórtio Equivalente se puede utilizar para analizar una estrutura soliitada por argas laterales, siempre que las rigidees de los elementos del pórtio se modifiquen para tomar en uenta la fisuraión y otros fatores relevantes. Ver la disusión sobre el artíulo en el Capítulo 18 de este doumento. DISEÑO PRELIMINAR Antes de proeder on la apliaión del Método del Pórtio Equivalente es neesario determinar una altura preliminar para la losa, h, a fin de limitar las flehas de auerdo on los requisitos de altura mínima del artíulo La Tabla 18-1 y la Figura 18-3 se pueden utilizar para simplifiar el álulo de la altura mínima. Para los sistemas de losas sin vigas, en esta etapa del diseño es aonsejable verifiar la resistenia de la losa en la proximidad de las olumnas u otros apoyos, de auerdo on los requisitos espeiales para losas del artíulo Ver la disusión sobre el artíulo en el Capítulo 18 de este doumento Pórtio Equivalente En las Figuras 0-1 y 0- se ilustra la apliaión de las definiiones dadas en los artíulos 13.7., y En el aso de los sistemas de losas en los uales las longitudes de las lues varían a lo largo de la franja de diseño, el diseñador deberá apliar su riterio profesional para apliar las definiiones dadas en Los elementos que omponen el pórtio equivalente

2 son vigas plaa y elementos torsionales (elementos horizontales transversales) soportados por olumnas (elementos vertiales). Los elementos torsionales permiten transferir momentos entre las vigas plaa y las olumnas. En la Figura 0-3 se ilustran los elementos de un pórtio equivalente. El primer paso del análisis del pórtio exige determinar la rigidez flexional de los elementos del pórtio equivalente. 4 vanos Vigas plaa Pórtio equivalente interior 3 vanos Figura 0-1 Pórtios equivalentes para una estrutura de ino plantas En las Figuras 0-4 y 0-5 se ilustran algunos tipos habituales de sistemas de losas on y sin vigas entre sus apoyos. Para ada tipo se indian las seiones transversales usadas para determinar la rigidez de las vigas plaa, sb, entre los entros de los apoyos. Para el Método del Pórtio Equivalente se pueden usar los diagramas de rigidez de las vigas plaa equivalentes para determinar las onstantes de distribuión de momentos y los momentos de los extremos empotrados. Los álulos de la rigidez se basan en las siguientes onsideraiones: a. El momento de ineria de la viga plaa entre las aras de los apoyos se basa en el área de la seión transversal bruta del hormigón. Se debe tomar en uenta la variaión del momento de ineria a lo largo del eje de la viga plaa ( ). b. Un apoyo se define omo una olumna, un apitel, una ménsula o un tabique. Observar que para el pórtio equivalente las vigas no se onsideran elementos de apoyo ( ).. El momento de ineria de la viga plaa entre la ara del apoyo y el entro del apoyo se supone igual al momento de ineria de la viga plaa en la ara del apoyo, dividido por el valor (1 /l ) ( ). De heho, la apliaión del fator de amplifiaión 1/(1 /l ) al momento de ineria entre la ara del apoyo y el entro del apoyo, onvierte a ada viga plaa en un elemento de seión variable on su longitud. En onseuenia, los fatores de rigidez, los oefiientes de ontinuidad y los momentos de ineria de los extremos empotrados, los uales se basan en las hipótesis habituales orrespondientes a elementos de seión prismátia uniforme, no se pueden apliar a las vigas plaa. 0 -

3 / / / /4 /4 /4 1/ franja intermedia Franja de olumna interior Franja intermedia* Franja de olumna exterior 1 Pórtio equivalente interior Pórtio equivalente exterior / 1 /4 / / 1 /4 1 /4 1/ franja intermedia Franja de olumna interior Franja intermedia* Franja de olumna exterior 1 Pórtio equivalente interior Pórtio equivalente exterior * Cuando el borde de una franja de diseño exterior es soportada por un tabique, el momento mayorado resistido por esta franja intermedia es el definido en el artíulo Figura 0- Franjas de diseño de un pórtio equivalente Las Tablas A1 a A6 del Apéndie 0A al final de este apítulo ontienen oefiientes de rigidez, oefiientes de ontinuidad, y oefiientes para los momentos en los extremos empotrados orrespondientes a diferentes onfiguraiones geométrias y de argas. Estas tablas abaran una amplia gama de relaiones tamaño/luz tanto para la direión longitudinal omo para la direión transversal. La Tabla A1 se puede usar para plaas planas y para losas en dos direiones on vigas. Las Tablas A a A5 se utilizan para losas planas y losas nervuradas on diferentes alturas de ábao (abezas maizas). La Tabla A6 ubre el aso poo habitual de una plaa plana ombinada on una losa plana. Se proveen oefiientes para los momentos en los extremos empotrados tanto para argas uniformes omo para argas uniformes pariales. Los oefiientes para argas pariales fueron desarrollados para argas distribuidas en una longitud igual a 0,l 1. Sin embargo, las argas que atúan sobre una porión mayor de la luz se pueden onsiderar sumando los efetos de argas que atúan en ada intervalo equivalente a 0,l 1. Por ejemplo, si la arga parial se extiende en una longitud igual a 0,6l 1 se deben sumar los oefiientes orrespondientes a tres intervalos onseutivos de 0,l 1. Esto permite gran flexibilidad en la disposiión de las argas. En el aso de las argas onentradas, en la ubiaión orrespondiente se puede onsiderar una arga parial de mayor intensidad, y asumir que ésta se 0-3

4 distribuye en una luz de 0,l 1. Para obtener los valores de los parámetros omprendidos entre los valores listados se puede interpolar linealmente. En ada tabla se ilustran diagramas de rigidez. Apliando el riterio profesional, on ayuda de la informaión ontenida en estas tablas es posible onsiderar otras numerosas ondiiones diferentes. 1 viga plaa t olumna por enima de la losa 1 elemento torsional, ta b / / t B elemento torsional, A viga paralela 1 ta b viga plaa olumna por debajo de la losa Figura 0-3 Elementos de un pórtio equivalente 1 1 h A B D h C E h 1 A B D C E 1 ara del apoyo 1 ara del 1 apoyo 1 Sistema de losa sin vigas h I 1 Corte A-A I /1-/ ( ) 1 h 1 Corte C-C Sistema de losa on ábaos I 1 h 1 h Corte D-D k ( ) I /1-/ I Corte B-B si1 E s I 1 Es 1 Corte E-E E /( 1- / ) E si/ ( 1- / ) I I Es / n 1 1/ Diagrama de rigidez de la viga plaa equivalente 1/ n 1/ Diagrama de rigidez de la viga plaa equivalente Figura 0-4 Seiones para alular las rigidees de las vigas plaa, sb 0-4

5 h h1 h 1 A A ara del apoyo C B B C Sistema de losa on apiteles de olumna 1a h3 A F E F D h E D ara del apoyo G G Sistema de losa on vigas B 1b h 1 h 1 I 1 Corte A-A h 1 h k Corte B-B ( ) I /1-/ I I 1 ( ) a I /1- / h Corte D-D h 3 I Corte E-E ( ) 1 b I /1- / Es I1 Corte C-C Es I Corte F-F Corte G-G E si/ ( 1- / ) E si/ ( 1- a/ ) E I /( 1- / ) I Es Es I 1 s 1 b 1/ n / 1 / 1a n 1b/ Diagrama de rigidez de la viga plaa equivalente Diagrama de rigidez de la viga plaa equivalente Columnas Figura 0-5 Seiones para alular las rigidees de las vigas plaa, sb En la Figura 0-6 se ilustran ondiiones de apoyo habituales. La rigidez de las olumnas se basa en una altura de olumna, l, medida entre el plano medio de la losa superior y el plano medio de la losa inferior. Para determinar la rigidez flexional de una olumna,, se pueden usar los diagramas de rigidez para olumnas. Los diagramas de rigidez se basan en las siguientes onsideraiones: a. El momento de ineria de la olumna fuera de la unión on la viga plaa se basa en el área de la seión transversal bruta del hormigón. Se debe onsiderar la variaión del momento de ineria a lo largo del eje de la olumna entre las uniones on las vigas plaa. En el aso de las olumnas on apiteles, se asume que el momento de ineria varía linealmente desde la base del apitel hasta el fondo de la viga plaa ( y ). b. Se asume que en una unión el momento de ineria entre la parte superior y la parte inferior de la viga plaa es infinito (I = ). Como en el aso de las vigas plaas, el fator de rigidez de las olumnas no se puede basar en la hipótesis de elemento prismátio uniforme ( ). Para determinar las rigidees reales de las olumnas y los oefiientes de ontinuidad se puede usar la Tabla A7 del Apéndie 0A Elementos torsionales En la Figura 0-7 se ilustran algunos elementos torsionales. La seión transversal de un elemento torsional es la mayor de las seiones definidas por las tres ondiiones dadas en el artíulo En la Figura 0-7, debajo de ada ilustraión se india la ondiión determinante, (a), (b) o (). 0-5

6 I = I = E I E I I = I = Sistema de losa sin vigas Diagrama de rigidez de la olumna Sistema de losa on apiteles Diagrama de rigidez de la olumna I = I = E I I = fondo de la viga plaa en la unión parte superior de la viga plaa E I I = Sistema de losa on ábaos Diagrama de rigidez de la olumna Sistema de losa on vigas Diagrama de rigidez de la olumna Figura 0-6 Seiones para alular la rigidez de las olumnas, La rigidez torsional t de un elemento torsional se alula mediante la siguiente expresión: 9E C s t = 3 [ 1 ( / ) ] (1) donde la sumatoria abara los elementos torsionales que onurren a una unión: dos en el aso de los pórtios interiores, y uno en el aso de los pórtios exteriores. El término C es una onstante de la seión transversal que define las propiedades torsionales de ada uno de los elementos torsionales que onurren a una unión: 3 x x y C = 1 0,63 y () 3 siendo x la menor dimensión de un omponente retangular e y la mayor dimensión de un omponente retangular. El valor de C se alula dividiendo la seión transversal del elemento torsional en omponentes retangulares independientes y asumiendo los valores de C para ada retángulo. La seión transversal se debería subdividir de manera de obtener el mayor valor de C posible. En la Figura 0-8 se ilustra la apliaión de la expresión para C. Si a un apoyo onurren vigas en la direión en la ual se están determinando los momentos, la rigidez torsional t dada por la Euaión (1) se debe inrementar de la siguiente manera: ta I = I t sb s 0-6

7 donde: ta = rigidez torsional aumentada debido a la viga paralela (observar la viga paralela ilustrada en la Figura 0-3) I s = momento de ineria de un anho de losa igual a la totalidad del anho entre los ejes de los paneles, l, exluyendo la porión del alma de la viga que se prolonga por enima y por debajo de la losa (observar la parte A en la Figura 0-3) = 3 h 1 I sb = momento de ineria de la seión de losa espeifiada para I s inluyendo la porión del alma de la viga que se prolonga por enima y por debajo de la losa (para la viga paralela ilustrada en la Figura 0-3, I sb orresponde a la totalidad de la seión Te ilustrada) 1 1 Condiión (a) Condiión (a) h w< = 4h f h f hw 1 Condiión (a) 1 Condiión () 1 h f h w h f hw b w b w b + h < b + 8h w w w f = Condiión () 1 Condiión (b) Figura 0-7 Elementos torsionales 0-7

8 x 1 y 1 y 1 x 1 y y x x y 1 y 1 (1) () x1 x1 Usar el mayor valor de C obtenido de (1) ó () y 1 x 1 x y 3 3 x 1 x1 y1 x x y = 1-0, ,63 y1 3 y 3 Figura 0-8 Constante C, que define las propiedades torsionales de un elemento torsional Columnas equivalentes (R13.7.4) Con la publiaión de ACI se eliminó del Código el onepto de olumna equivalente que definía un elemento de una rigidez únia onsistente en las olumnas reales por enima y por debajo de las vigas plaas más elementos torsionales transversales unidos a las mismas. Desde que graias al uso de las omputadoras omenzaron a popularizarse los análisis de losas en dos direiones mediante el Método del Pórtio Equivalente, la idea de ombinar las rigidees de las olumnas on las rigidees de los elementos torsionales para obtener una rigidez únia perdió gran parte de su atrativo. Sin embargo, el onepto de olumna equivalente se retuvo en el omentario hasta la ediión del Código de 1989, on el objetivo de que sirviera de ayuda para analizar vigas plaas a diferentes niveles de piso soliitadas exlusivamente a argas gravitatorias, partiularmente uando para el análisis se usaba distribuión de momentos u otros proedimientos de álulo manuales. Aunque en el artíulo R aún se reonoe el onepto de olumna equivalente, en la ediión de 1995 del Código se eliminó del artíulo R el proedimiento detallado para alular la rigidez de la olumna equivalente, e, que se había inluido en Tanto en el Ejemplo 0-1 omo en el Ejemplo 0- se utiliza el onepto de olumna equivalente on distribuión de momentos para análisis bajo argas gravitatorias. El onepto de olumna equivalente modifia la rigidez de la olumna para tomar en uenta la flexibilidad torsional de la unión losa-olumna que redue su efiienia para transmitir momentos. En la Figura 0-3 se ilustra una olumna equivalente. La olumna equivalente onsiste en las olumnas reales por enima y por debajo de las vigas plaas, más elementos torsionales "unidos" a ambos lados de las olumnas, los uales se extienden hasta los ejes de los paneles adyaentes. Observar que para los pórtios de borde, sólo hay un elemento soliitado a torsión unido en uno de los lados. La presenia de vigas paralelas también afeta la rigidez de la olumna equivalente. 0-8

9 La rigidez flexional de la olumna equivalente, e, se da en términos de su inversa, o flexibilidad, de la siguiente manera: = + e t Para los propósitos del álulo, el diseñador tal vez prefiera la siguiente expresión, diretamente en términos de la rigidez: e = + t t Las rigidees de las olumnas reales,, y de los elementos torsionales, t, deben satisfaer lo indiado en los artíulos y Una vez determinados los valores de y t se alula la rigidez de la olumna equivalente, e. En base a la Figura 0-3: e = ( + )( + ) t b ta ta t b ta ta donde t = rigidez flexional en la parte superior de la olumna inferior que onurre a la unión; b = rigidez flexional en la parte inferior de la olumna superior que onurre a la unión; ta = rigidez torsional de ada elemento torsional, uno a ada lado de la olumna, inrementada debido a la presenia de vigas paralelas (si es que hay vigas paralelas) Ubiaión de la sobrearga En el aso habitual en que no se onoe la ubiaión exata de todas las argas, los máximos momentos mayorados se determinan para las ondiiones de arga ilustradas en el pórtio parial de tres tramos de la Figura 0-9, las uales se desriben de la siguiente manera: a. Si la sobrearga de serviio es menor o igual que tres uartos de la arga permanente de serviio, para determinar los momentos negativos y positivos mayorados sólo es neesario analizar la distribuión de argas (1) suponiendo que en todos los tramos atúa la totalidad de la sobrearga mayorada. b. Si la relaión entre la sobrearga de serviio y la arga permanente de serviio es mayor que tres uartos, para determinar todos los momentos mayorados en las vigas plaa es neesario onsiderar las ino distribuiones de argas ilustradas. Las distribuiones de argas () a (5) onsideran sobreargas mayoradas pariales para determinar los momentos mayorados. Sin embargo, uando hay sobreargas pariales, los momentos mayorados no se pueden tomar menores que los que ourren uando la totalidad de la sobrearga mayorada atúa en todos los tramos. En onseuenia, el análisis también debe inluir la distribuión (1). Para los sistemas de losas on vigas, puede que no sea onveniente inluir las argas soportadas diretamente por las vigas (tales omo el peso propio del alma de la viga o de un tabique soportado diretamente por las vigas) en el análisis de pórtio para las argas de la losa, w d + w l. Es posible que se requiera un análisis de pórtio adiional, diseñando la viga para que resista estas argas además de la porión de los momentos de la losa asignados a las vigas. 0-9

10 Columnas supuestas empotradas en estos extremos w d + w A B C D (1) Disposiión de las argas para los momentos de diseño en todos los tramos on L < 3/4D + 3/4 w w d w d A B C D () Disposiión de las argas para el momento de diseño positivo en el tramo AB* w d w d + 3/4 w w d A B C D (3) Disposiión de las argas para el momento de diseño positivo en el tramo BC* w d + 3/4 w w d Viga plaa supuesta empotrada en el apoyo a una distania de dos lues A B C (4) Disposiión de las argas para el momento de diseño negativo en el apoyo A* w d + 3/4 w w d A B C D (5) Disposiión de las argas para el momento de diseño negativo en el apoyo B* Momentos mayorados Figura 0-9 Análisis de pórtio parial para argas vertiales Es probable que la distribuión de momentos sea el método de álulo manual más onveniente para analizar pórtios pariales que involuran varios tramos ontinuos y en los uales los extremos superiores e inferiores de las olumnas alejados de las losas se onsideran empotrados. En estas páginas no desribiremos la meánia del método, salvo una breve disusión de los dos puntos siguientes: (1) el uso del onepto de la olumna equivalente para determinar los fatores de distribuión en las uniones, y () el proedimiento orreto para distribuir el momento de la olumna equivalente obtenido del análisis de pórtio a las verdaderas olumnas ubiadas por enima y por debajo de la viga plaa. Ver los Ejemplos 0.1 y

11 En la Figura 0-10 se ilustra una unión de un pórtio on los fatores de rigidez para ada elemento que onurre a la unión. A ontinuaión presentamos expresiones para determinar los fatores de distribuión de momento FD en la unión, usando la rigidez de la olumna equivalente, e. En el proedimiento de distribuión de momentos se aplian diretamente estos oefiientes. Rigidez de la olumna equivalente, e = = + ( + )( + ) t b t t t b t t Fator de distribuión para las vigas plaa, b1 FD ( luz 1) = + + t t b1 b e b FD ( luz 3) = + + b1 b e Fator de distribuión para la olumna equivalente (momento no balaneado de la viga plaa), e FD = + + b1 b e El momento no balaneado determinado para la olumna equivalente en los ilos de distribuión de momentos se distribuye a las verdaderas olumnas por enima y por debajo de la viga plaa en proporión a las rigidees reales de las olumnas en la unión. Con referenia a la Figura 0-10: 1 b1 1 1 t b1 b b t t b 3 b 1 = kei/ Figura 0-10 Fatores de distribuión de momentos, FD Fraión de momento no balaneado a la olumna superior Fraión de momento no balaneado a la olumna inferior b = ( + ) b t = t ( + ) b t 0-11

12 Luego las olumnas "reales" se diseñan para estos momentos Momentos negativos mayorados Los momentos negativos mayorados de diseño se deben tomar en las aras de los apoyos retilíneos, pero a una distania no mayor que 0,175l 1 a partir del entro de un apoyo. Este valor absoluto es un límite para los apoyos largos y angostos, para impedir una reduión indebida del momento de diseño. Un elemento de apoyo se define omo una olumna, un apitel, una ménsula o un tabique. Los apoyos no retangulares se deben tratar omo apoyos uadrados on seiones transversales de igual área. Observar que para los sistemas de losas on vigas las aras de las vigas no se onsideran omo ubiaiones de las aras de los apoyos. En la Figura 0-11 se ilustra la ubiaión de las seiones rítias para momento mayorado negativo orrespondientes a diferentes ondiiones de apoyo. Observar los requisitos espeiales para apoyos exteriores. Eje del apoyo ara de los apoyos retilíneos apoyo uadrado que tiene la misma área seión rítia para momento negativo a 0,175 1 a ara del elemento de apoyo > 0, (a) Apoyo en olumas o tabiques interiores y exteriores (b) Apoyos exteriores on ménsulsa o artelas Figura 0-11 Seiones rítias para determinar los momentos negativos de diseño Redistribuión de los momentos Si el diseñador opta por utilizar el Método del Pórtio Equivalente para analizar un sistema de losas que satisfae las limitaiones del Método de Diseño Direto, los momentos mayorados se pueden reduir de manera tal que el momento estátio mayorado total (sumatoria de los momentos positivos y el promedio de los momentos negativos) no sea mayor que el valor de M o alulado mediante la Euaión (13-3). Esta reduión admisible se ilustra en la Figura 0-1. Debido a que el Método del Pórtio Equivalente no es un método aproximado, se puede apliar la redistribuión de momentos permitida por el artíulo 8.4. Pero si estos requisitos se aplian de manera imprudente es posible que se produza una fisuraión exesiva. Es el diseñador quien debe tomar la deisión de redistribuir los momentos o no redistribuirlos, y en aso de haerlo en qué antidad. 0-1

13 - M u1 + M o - Mu 1 / n 1 + Mu3 1/ Figura 0-1 Momento estátio total de diseño Momentos mayorados en las franjas de olumna y las franjas intermedias Los momentos mayorados negativos y positivos se pueden distribuir a la franja de olumna y a las dos semifranjas intermedias de auerdo on los artíulos , y , siempre que se satisfaga el requisito del artíulo Ver la disusión sobre los artíulos , y en el Capítulo 19 de este doumento. APÉNDICE 0A - AYUDAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES DE DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS Referenias para las tablas del Apéndie 0A: (1) k = Fatores de rigidez () C = Coefiientes de ontinuidad (3) m = Coefiiente de momento para los extremos empotrados orrespondiente a arga unitaria (4) FEM = Momento en el extremo empotrado NOTA: Los subíndies N y F se refieren al extremo próximo y al extremo empotrado, respetivamente. Tabla A1 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa w a 1 w 1 1 Extremo próximo (N) Extremo alejado (F) E I ( ) s 1-C s N/ C N1 / E I s s C F1 / C N C N1 1 C F C FEM = m w n F1 NF NFi i 1 i=1 =k E I / NF NF s s 1 (4) 0-13

14 Tabla A1 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa * C N1 / 1 C N / (1) k NF () C NF (3) m NF Coefiiente m NF para (b-a) = 0, a = 0,0 a = 0, a = 0,4 a = 0,6 a = 0,8 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,006 0,10 0,0 0,30 0,40 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,006 0,10 4,18 0,51 0,0847 0,0154 0,093 0,051 0,016 0,0014 0,0 4,36 0,5 0,0860 0,0158 0,0300 0,055 0,016 0,0001 0,30 4,53 0,54 0,087 0,0161 0,0301 0,059 0,015 0, ,40 4,70 0,55 0,088 0,0165 0,0314 0,06 0,014 0, ,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,006 0,10 4,35 0,5 0,0857 0,0155 0,099 0,054 0,017 0,0013 0,0 4,7 0,54 0,0880 0,0161 0,0311 0,06 0,016 0, ,30 5,11 0,56 0,0901 0,0166 0,034 0,069 0,015 0, ,40 5,51 0,58 0,091 0,0171 0,0336 0,076 0,013 0, ,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,006 0,10 4,49 0,53 0,0863 0,0155 0,0301 0,057 0,018 0,0019 0,0 5,05 0,56 0,0893 0,0160 0,0317 0,067 0,018 0,0007 0,30 5,69 0,59 0,093 0,0165 0,0334 0,078 0,017 0, ,40 6,41 0,61 0,0951 0,0171 0,035 0,087 0,014 0, ,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,006 0,10 4,61 0,53 0,0866 0,0154 0,030 0,059 0,019 0,005 0,0 5,35 0,56 0,0901 0,0158 0,0318 0,071 0,0131 0,001 0,30 6,5 0,60 0,0936 0,016 0,0337 0,084 0,0131 0,0011 0,40 7,37 0,64 0,0971 0,0168 0,0359 0,097 0,018 0,00195 C F1 = 0.5C N1 ; C F = 0.5C N 0, ,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 0,0 0,30 0,40 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,16 0,51 0,0857 0,0155 0,096 0,054 0,0130 0,003 0,0 4,31 0,5 0,0879 0,0158 0,0304 0,061 0,0133 0,003 0,30 4,45 0,54 0,0900 0,016 0,031 0,067 0,0135 0,003 0,40 4,58 0,54 0,0918 0,0165 0,0319 0,073 0,0138 0,003 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,30 0,5 0,087 0,0156 0,0301 0,059 0,013 0,003 0,0 4,61 0,55 0,091 0,0161 0,0317 0,07 0,0138 0,003 0,30 4,9 0,57 0,0951 0,0167 0,033 0,085 0,0143 0,004 0,40 5,3 0,58 0,0989 0,017 0,0347 0,098 0,0148 0,004 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,43 0,53 0,0881 0,0156 0,0305 0,063 0,0134 0,003 0,0 4,89 0,56 0,093 0,0161 0,034 0,081 0,014 0,004 0,30 5,40 0,59 0,0986 0,0167 0,0345 0,0300 0,0150 0,004 0,40 5,93 0,6 0,104 0,0173 0,0367 0,030 0,0158 0,005 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,54 0,54 0,0884 0,0155 0,0305 0,065 0,0135 0,004 0,0 5,16 0,57 0,0941 0,0159 0,036 0,086 0,0145 0,005 0,30 5,87 0,61 0,1005 0,0165 0,0350 0,0310 0,0155 0,005 0,40 6,67 0,64 0,1076 0,0170 0,0377 0,0336 0,0166 0,006 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 0,0 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,7 0,51 0,0817 0,0153 0,089 0,041 0,0116 0,0018 0,0 4,56 0,5 0,0798 0,0156 0,090 0,034 0,0103 0,0013 0,00 4,00 0,50 0,0833 0,0151 0,087 0,047 0,017 0,003 0,10 4,49 0,51 0,0819 0,0154 0,091 0,040 0,0114 0,0019 0,0 5,11 0,53 0,0789 0,0158 0,093 0,08 0,0096 0,0014 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

15 Tabla A Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa (Altura de ábao = 0,5h) * w 1 h 1 a 1 Extremo próximo (N) 1/6 E s I d b 1 Extremo alejado (F) 1/6 C N C N1 /3 C F C F1 1/6 1/6 C N1 / E s I s E I /(1-C / ) s d N C F1 / n NF NFi i 1 i=1 FEM = m w =k E I / NF NF s s 1 (4) C N1 / 1 C N / (1) k NF () C NF (3) m NF Coefiiente m NF para (b-a) = 0, a = 0,0 a = 0, a = 0,4 a = 0,6 a = 0,8 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 0,0 0,30 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 4,99 0,55 0,0890 0,0160 0,0316 0,066 0,018 0,000 0,0 5,18 0,56 0,0901 0,0163 0,03 0,070 0,017 0,0019 0,30 5,37 0,57 0,0911 0,0167 0,038 0,073 0,016 0,0018 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 5,17 0,56 0,0900 0,0161 0,030 0,069 0,018 0,000 0,0 5,56 0,58 0,0918 0,0166 0,033 0,076 0,016 0,0018 0,30 5,96 0,60 0,0936 0,0171 0,0344 0,08 0,014 0,0016 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 5,3 0,57 0,0905 0,0161 0,033 0,07 0,018 0,001 0,0 5,90 0,59 0,0930 0,0166 0,0338 0,081 0,017 0,0019 0,30 6,55 0,6 0,0955 0,0171 0,0354 0,090 0,014 0,0017 C F1 = 0,5C N1 ; C F = 0,5C N 0, ,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 4,96 0,55 0,0900 0,0160 0,0317 0,069 0,0131 0,00 0,0 5,1 0,56 0,090 0,0164 0,035 0,076 0,0134 0,00 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,0 0,10 5,11 0,56 0,0914 0,016 0,033 0,075 0,0133 0,00 0,0 5,43 0,58 0,0950 0,0167 0,0337 0,086 0,0138 0,00 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 0,00 4,79 0,54 0,0879 0,0157 0,0309 0,063 0,019 0,00 0,10 5,10 0,55 0,0860 0,0159 0,0311 0,056 0,0117 0,0017 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

16 Tabla A3 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa (Altura de ábao = 0,50h) * w 1 h 1 a 1 Extremo próximo (N) 1/6 E s I d b 1 Extremo alejado (F) 1/6 C N C N1 /3 C F C F1 1/6 1/6 C N1 / E s I s E I /(1-C / ) s d N C F1 / n NF NFi i 1 i=1 FEM = m w =k E I / NF NF s s 1 (4) C N1 / 1 C N / (1) k NF () C NF (3) m NF Coefiiente m NF para (b-a) = 0, a = 0,0 a = 0, a = 0,4 a = 0,6 a = 0,8 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 0,0 0,30 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6,04 0,60 0,0936 0,0167 0,0341 0,08 0,016 0,0018 0,0 6,4 0,61 0,0940 0,0170 0,0347 0,085 0,015 0,0017 0,30 6,43 0,61 0,095 0,0173 0,0353 0,087 0,013 0,0016 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6, 0,61 0,094 0,0168 0,0346 0,085 0,016 0,0018 0,0 6,6 0,6 0,0957 0,017 0,0356 0,090 0,013 0,0016 0,30 7,01 0,64 0,0971 0,0177 0,0366 0,094 0,010 0,0014 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6,37 0,61 0,0947 0,0168 0,0348 0,087 0,016 0,0018 0,0 6,95 0,63 0,0967 0,017 0,036 0,094 0,013 0,0016 0,30 7,57 0,65 0,0986 0,0177 0,0375 0,0300 0,0119 0,0014 C F1 = 0,5C N1 ; C F = 0,5C N 0, ,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 0,0 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6,00 0,60 0,0945 0,0167 0,0343 0,085 0,0130 0,000 0,0 6,16 0,60 0,096 0,0170 0,0350 0,091 0,013 0,000 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6,15 0,60 0,0957 0,0169 0,0348 0,090 0,0131 0,000 0,0 6,47 0,6 0,0987 0,0173 0,0360 0,0300 0,0134 0,000 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 0,00 5,84 0,59 0,096 0,0164 0,0335 0,079 0,018 0,000 0,10 6,17 0,60 0,0907 0,0166 0,0337 0,073 0,0116 0,0015 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

17 Tabla A4 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa (Altura de ábao = 0,75h) * w 1 h 1 a 1 Extremo próximo (N) 1/6 E s I d b 1 Extremo alejado (F) 1/6 C N C N1 /3 C F C F1 1/6 1/6 C N1 / E s I s E I /(1-C / ) s d N C F1 / n NF NFi i 1 i=1 FEM = m w =k E I / NF NF s s 1 (4) C N1 / 1 C N / (1) k NF () C NF (3) m NF Coefiiente m NF para (b-a) = 0, a = 0,0 a = 0, a = 0,4 a = 0,6 a = 0,8 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 0,0 0,30 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,1 0,64 0,097 0,0174 0,0365 0,095 0,01 0,0016 0,0 7,31 0,64 0,0978 0,0176 0,0370 0,097 0,010 0,0014 0,30 7,48 0,65 0,0984 0,0179 0,0375 0,099 0,0118 0,0013 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,1 0,64 0,0977 0,0175 0,0369 0,097 0,011 0,0015 0,0 7,31 0,65 0,0988 0,0178 0,0378 0,0301 0,0118 0,0013 0,30 7,48 0,67 0,0999 0,018 0,0386 0,0304 0,0115 0,0011 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,9 0,65 0,0981 0,0175 0,0371 0,099 0,011 0,0015 0,0 7,66 0,66 0,0996 0,0179 0,0383 0,0304 0,0117 0,0013 0,30 8,0 0,68 0,1009 0,018 0,0394 0,0309 0,0113 0,0011 C F1 = 0,5C N1 ; C F = 0,5C N 0, ,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 0,0 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,08 0,64 0,0980 0,0174 0,0366 0,098 0,015 0,0017 0,0 7,3 0,64 0,0993 0,0177 0,037 0,030 0,016 0,0016 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,1 0,64 0,0991 0,0175 0,0371 0,030 0,016 0,0017 0,0 7,51 0,65 0,1014 0,0179 0,0381 0,0310 0,018 0,0016 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 0,00 6,9 0,63 0,0965 0,0171 0,0360 0,093 0,014 0,0017 0,10 7,6 0,64 0,0946 0,0173 0,0361 0,087 0,011 0,0013 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

18 Tabla A5 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa (Altura de ábao = h) * w 1 h 1 a 1 Extremo próximo (N) 1/6 E s I d b 1 Extremo alejado (F) 1/6 C N C N1 /3 C F C F1 1/6 1/6 C N1 / E s I s E I /(1-C / ) s d N C F1 / n NF NFi i 1 i=1 FEM = m w =k E I / NF NF s s 1 (4) C N1 / 1 C N / (1) k NF () C NF (3) (m NF ) Coefiiente (m NF ) para (b-a) = 0, a = 0,0 a = 0, a = 0,4 a = 0,6 a = 0,8 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 0,0 0,30 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8,07 0,66 0,0998 0,0180 0,0385 0,0305 0,0116 0,0013 0,0 8,4 0,67 0,1003 0,018 0,0389 0,0360 0,0115 0,001 0,30 8,40 0,67 0,1007 0,0183 0,0393 0,0307 0,0113 0,0011 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8, 0,67 0,100 0,0180 0,0388 0,0306 0,0115 0,001 0,0 8,55 0,68 0,1010 0,0183 0,0395 0,0309 0,011 0,0011 0,30 9,87 0,69 0,1018 0,0186 0,040 0,0311 0,0109 0,0009 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8,35 0,67 0,1005 0,0181 0,0390 0,0307 0,0115 0,001 0,0 8,8 0,68 0,1016 0,0184 0,0399 0,0311 0,0111 0,0011 0,30 9,8 0,70 0,106 0,0187 0,0409 0,0314 0,0107 0,0009 C F1 = 0,5C N1 ; C F = 0,5C N 0, ,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 0,0 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8,03 0,66 0,1006 0,0180 0,0386 0,0307 0,0119 0,0014 0,0 8,16 0,67 0,1016 0,018 0,0390 0,0310 0,010 0,0014 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8,15 0,67 0,1014 0,0181 0,0389 0,0310 0,010 0,0014 0,0 8,41 0,68 0,103 0,0184 0,0398 0,0316 0,011 0,0013 C F1 = C N1 ; C F = C N 0, ,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 0,00 7,89 0,66 0,0993 0,0177 0,0380 0,0303 0,0118 0,0014 0,10 8,0 0,67 0,0981 0,0179 0,038 0,097 0,0113 0,0010 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

19 Tabla A6 Constantes de distribuión de momentos para vigas plaa * (Se asume que las dimensiones en ambos extremos de la olumna son iguales F1 = N1, F = N ) 1 1 Extremo próximo (N) w t h N1 / /6 1 E I s d E s I Extremo alejado (F) s s d N E I /(1-C / ) / F1 N s s N E I /(1-C / ) N1 /6 1 /3 FEM NF = m F NF 1 =k E I / NF NF s s 1 F1 w (4) t = 1,5h t = h C N1 / 1 C N / k NF C NF m NF k FN C FN m FN k NF C NF m NF k FN C FN m FN 0, ,39 0,49 0,103 4,6 0,60 0,0749 6,63 0,49 0,1190 4,49 0,65 0,0676 0,10 0,0 0,30 0,00 5,39 0,49 0,103 4,6 0,60 0,0749 6,63 0,49 0,1190 4,49 0,65 0,0676 0,10 5,65 0,5 0,101 4,65 0,60 0,0794 7,03 0,54 0,1145 5,19 0,66 0,0757 0,0 5,86 0,54 0,101 4,91 0,61 0,0818 7, 0,56 0,1140 5,43 0,67 0,0778 0,30 6,05 0,55 0,105 5,10 0,6 0,0838 7,36 0,56 0,114 5,57 0,67 0,0786 0,00 5,39 0,49 0,103 4,6 0,60 0,0749 6,63 0,49 0,1190 4,49 0,65 0,0676 0,10 5,88 0,54 0,1006 5,04 0,61 0,086 7,41 0,58 0,1111 5,96 0,66 0,083 0,0 6,33 0,58 0,1003 5,63 0,6 0,0874 7,85 0,61 0,1094 6,57 0,67 0,087 0,30 6,75 0,60 0,1008 6,10 0,64 0,0903 8,18 0,63 0,1093 6,94 0,68 0,089 0,00 5,39 0,49 0,103 4,6 0,60 0,0749 6,63 0,49 0,1190 4,49 0,65 0,0676 0,10 6,08 0,56 0,1003 5,40 0,61 0,085 7,76 0,6 0,1087 6,77 0,67 0,0873 0,0 6,78 0,61 0,0996 6,38 0,63 0,09 8,49 0,66 0,1055 7,91 0,68 0,095 0,30 7,48 0,64 0,0997 7,5 0,65 0,096 9,06 0,68 0,1047 8,66 0,69 0,0991 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

20 Tabla A7 Fatores de rigidez y Coefiientes de ontinuidad para olumnas * A t a A t a A t a H I B H I B H z g* I B H EI =k H Para los valores de k BA y C BA leer (t a /t b ) omo (t b /t a ) *g se puede aproximar omo z/. t b t b t b t a /t b H/H 1,05 1,10 1,15 1,0 1,5 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 0,00 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8,0,,4,6,8 3,0 3, 3,4 3,6 3,8 k AB 4,0 4,40 4,60 4,80 5,00 5,0 5,40 5,60 5,80 6,00 C AB 0,57 0,65 0,73 0,80 0,87 0,95 1,03 1,10 1,17 1,5 k AB 4,31 4,6 4,95 5,30 5,65 6,0 6,40 6,79 7,0 7,6 C AB 0,56 0,6 0,68 0,74 0,80 0,85 0,91 0,96 1,01 1,07 k AB 4,38 4,79 5, 5,67 6,15 6,65 7,18 7,74 8,3 8,94 C AB 0,55 0,60 0,65 0,70 0,74 0,79 0,83 0,87 0,91 0,94 k AB 4,44 4,91 5,4 5,96 6,54 7,15 7,81 8,50 9,3 10,01 C AB 0,55 0,59 0,63 0,67 0,70 0,74 0,77 0,80 0,83 0,85 k AB 4,49 5,01 5,58 6,19 6,85 7,56 8,31 9,1 9,98 10,89 C AB 0,54 0,58 0,61 0,64 0,67 0,70 0,7 0,75 0,77 0,79 k AB 4,5 5,09 5,71 6,38 7,11 7,89 8,73 9,63 10,60 11,6 C AB 0,54 0,57 0,60 0,6 0,65 0,67 0,69 0,71 0,73 0,74 k AB 4,55 5,16 5,8 6,54 7,3 8,17 9,08 10,07 11,1 1,5 C AB 0,53 0,56 0,59 0,61 0,63 0,65 0,66 0,68 0,69 0,70 k AB 4,58 5,1 5,91 6,68 7,51 8,41 9,38 10,43 11,57 1,78 C AB 0,53 0,55 0,58 0,60 0,61 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 k AB 4,60 5,6 5,99 6,79 7,66 8,61 9,64 10,75 11,95 13,4 C AB 0,53 0,55 0,57 0,59 0,60 0,61 0,6 0,63 0,64 0,65 k AB 4,6 5,30 6,06 6,89 7,80 8,79 9,87 11,03 1,9 13,65 C AB 0,5 0,55 0,56 0,58 0,59 0,60 0,61 0,61 0,6 0,63 k AB 4,63 5,34 6,1 6,98 7,9 8,94 10,06 11,7 1,59 14,00 C AB 0,5 0,54 0,56 0,57 0,58 0,59 0,59 0,60 0,60 0,61 k AB 4,65 5,37 6,17 7,05 8,0 9,08 10,4 11,49 1,85 14,31 C AB 0,5 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,59 0,59 k AB 4,66 5,40 6, 7,1 8,11 9,0 10,39 11,68 13,08 14,60 C AB 0,5 0,53 0,55 0,56 0,56 0,57 0,57 0,58 0,58 0,58 k AB 4,67 5,4 6,6 7,18 8,0 9,31 10,53 11,86 13,9 14,85 C AB 0,5 0,53 0,54 0,55 0,56 0,56 0,56 0,57 0,57 0,57 k AB 4,68 5,44 6,9 7,3 8,7 9,41 10,66 1,01 13,48 15,07 C AB 0,5 0,53 0,54 0,55 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 0,56 k AB 4,69 5,46 6,33 7,8 8,34 9,50 10,77 1,15 13,65 15,8 C AB 0,5 0,53 0,54 0,54 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 k AB 4,70 5,48 6,36 7,33 8,40 9,58 10,87 1,8 13,81 15,47 C AB 0,5 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 k AB 4,71 5,50 6,38 7,37 8,46 9,65 10,97 1,40 13,95 15,64 C AB 0,51 0,5 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0,53 0,53 0,53 k AB 4,71 5,51 6,41 7,41 8,51 9,7 11,05 1,51 14,09 15,80 C AB 0,51 0,5 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,5 k AB 4,7 5,53 6,43 7,44 8,56 9,78 11,13 1,60 14,1 15,95 C AB 0,51 0,5 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,5 0,5 0,5 * Ver "Referenias para las tablas del Apéndie 0A" en la página

21 t a /t b H/H 1,05 1,10 1,15 1,0 1,5 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 4,0 4, 4,4 4,6 4,8 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 k AB 4,7 5,54 6,45 7,47 8,60 9,84 11,1 1,7 14,3 16,08 C AB 0,51 0,5 0,5 0,53 0,53 0,5 0,5 0,5 0,5 0,51 k AB 4,73 5,55 6,47 7,50 8,64 9,90 11,7 1,78 14,4 16,0 C AB 0,51 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,51 0,51 0,51 k AB 4,73 5,56 6,49 7,53 8,68 9,95 11,34 1,86 14,5 16,3 C AB 0,51 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,51 0,51 0,51 0,51 k AB 4,74 5,57 6,51 7,55 8,71 9,99 11,40 1,93 14,61 16,43 C AB 0,51 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,51 0,51 0,50 0,50 k AB 4,74 5,58 6,53 7,58 8,75 10,03 11,45 13,00 14,69 16,53 C AB 0,51 0,5 0,5 0,5 0,5 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 k AB 4,75 5,59 6,54 7,60 8,78 10,07 11,50 13,07 14,77 16,6 C AB 0,51 0,51 0,5 0,5 0,51 0,51 0,51 0,50 0,49 0,49 k AB 4,76 5,63 5,60 7,89 8,90 10,4 11,7 13,33 15,10 17,0 C AB 0,51 0,51 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,48 0,47 k AB 4,78 5,66 6,65 7,76 9,00 10,37 11,88 13,54 15,35 17,3 C AB 0,51 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 0,48 0,48 0,47 0,46 k AB 4,78 5,68 6,69 7,8 9,07 10,47 1,01 13,70 15,54 17,56 C AB 0,51 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 k AB 4,79 5,69 6,71 7,86 9,13 10,55 1,11 13,83 15,70 17,17 C AB 0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,45 k AB 4,80 5,71 6,74 7,89 9,18 10,61 1,19 13,93 15,83 17,90 C AB 0,50 0,50 0,50 0,49 0,48 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0-1

22 Ejemplo 0.1 Apliaión del Método del Pórtio Equivalente a una losa en dos direiones sin vigas Usar el Método del Pórtio Equivalente para determinar los momentos de diseño para el sistema de losa en la direión ilustrada, para un piso intermedio. Altura de piso = 9 ft Dimensiones de las olumnas = in. Las argas laterales serán resistidas por muros de ortante No hay vigas de borde Peso de los tabiques no estruturales = 0 lb/ft Sobrearga de serviio = 40 lb/ft f' = 4000 psi (losas), hormigón de peso normal f' = 6000 psi (olumnas), hormigón de peso normal f y = psi franja de diseño 18' - 0" 18' - 0" 18' - 0" 14' - 0" 14' - 0" 14' - 0" Cálulos y disusión Referenia del Código 1. Diseño preliminar para determinar la altura de la losa, h: a. Control de las flehas. Para un sistema de plaas planas, la mínima altura total, h, on armadura Grado 60 es (ver Tabla 18-1): n 00 h = = = 6,7in pero no menor que 5 in. Tabla 9.5(a) (a) donde l n = longitud de la luz libre en la direión más larga = = 00 in. Intentar on una losa de 7 in. para todos los paneles (peso = 87,5 lb/ft ) b. Resistenia al orte de la losa. Usar una altura efetiva promedio, d = 5,75 in. ( reubrimiento de 3/4 in. y barras No. 4) Carga permanente mayorada, w 1, ( 87,5 0) 19 lb / ft d = + = 9..1 Sobrearga mayorada, Carga total mayorada, w = 1,6 40= 64lb/ft wu = 193lb/ft 0 -

23 Para el orte en una direión (omportamiento omo viga anha) onsiderar una franja de 1 in. de anho a una distania d medida a partir de la ara del apoyo en la direión más larga (ver Figura 0-13) Vu = 0,193 7,854 = 1, 5 kips V = f ' b d w φ V = 0, , 75 /1000 = 6, 6 kips > V VERIFICA Como no hay esfuerzos de orte en los ejes de los paneles adyaentes, la resistenia al orte en dos direiones a una distania d/ alrededor del apoyo se alula de la siguiente manera: ( ) Vu = 0, ,81 = 48,0kips u V = 4 f ' b d (para olumnas interiores uadradas) E. (11-35) o = ( 4 1, 75) 5, 75 /1000 = 16, 6 kips φ V = 0,75 16,6= 95,0 kips > V VERIFICA u 18'- 0" 1,75" 1,75" 14'- 0" 7,854' prom. d/=,88" prom. d=5,75" eje del panel Figura 0-13 Seiones rítias para el orte orrespondientes al problema del Ejemplo El diseño preliminar india que una losa de 7 in. es adeuada para ontrolar las flehas y también para la resistenia al orte.. Elementos del pórtio equivalente: Determinar los fatores de distribuión de momentos y los momentos en los extremos empotrados para los elementos del pórtio equivalente. Para analizar el pórtio parial utilizaremos el proedimiento de distribuión de momentos. Los fatores de rigidez, los oefiientes de ontinuidad (CC) y los oefiientes para los momentos en los extremos empotrados (FEM) se determinan usando las tablas del Apéndie 0-A. A ontinuaión ilustramos estos álulos. a. Rigidez flexional de las vigas plaa en ambos extremos, sb. 0-3

24 N1 = 16 = N 16 0, 07 = = 0,1 ( 18 1) ( 14 1) 1 Interpolando a partir de los valores de la Tabla A1 del Apéndie 0A para F1 = N1 y F = N : k NF = k FN = 4,13 Por lo tanto, EsIs E I sb = knf = 4,13 s s = 4,13 3, / 16 = in.-lb Tabla A1 donde I s 3 ( ) 3 h = = = 480 in s 6 E = f ' = = 3,60 10 psi El oefiiente de ontinuidad CC = 0,509 (por interpolaión entre los valores de la Tabla A1). El momento en el extremo empotrado b. Rigidez flexional de las olumnas en ambos extremos,. En base a la Tabla A7, Apéndie 0A, ta = 3,5in., tb = 3,5in., H = 9 ft = 108 in.;h = 101 in.; t a / tb = 1; H / H = 1,07 Por lo tanto, por interpolaión, kab = kba = 4,74. FEM = 0,0843w u, 1 por interpolaión en base a la Tabla A1. = 4,74EI / Tabla A7 6 6 = 4, 74 4, /108 = in.-lb donde I 4 ( 16) 4 = = = 5461 in s 6 E = f ' = = 4,4 10 psi = 9ft= 108in.. Rigidez torsional de los elementos torsionales, t. 9E C = s t 3 ( 1 / ) R , ,5 6 = = 3, in.-lb ,905 ( ) 0-4

25 donde C= ( 1 0,63x/y)( x y/3) ( )( ) 3 4 = 1 0, 63 7 / / 3 = 135 in. = 16 in. y = 14 ft = 168 in. 16" Elemento torsional d. Rigidez de la olumna equivalente, e. e = + t t 7" Condiión (a) de la Figura 0-7 = ( 1059)( 345) ( 1059) + ( 345) 6 = in.-lb donde t orresponde a dos elementos torsionales, uno a ada lado de la olumna, y orresponde a las olumnas superior e inferior en la unión de la viga plaa en un piso intermedio. e. Fatores de distribuión FD en la unión de la viga plaa. En una unión exterior, 331 FD = = 0, 389 ( ) En una unión interior, t 1 1 t 331 FD = = 0, 80 ( ) Coefiiente de ontinuidad para la viga plaa, CC = 0, Análisis de pórtio parial del pórtio equivalente: Determinar los momentos negativos y positivos para las vigas plaa usando el método de distribuión de momentos. Debido a que la sobrearga de serviio no es mayor que tres uartos de la arga permanente de serviio, se asume que los momentos de diseño ourren en todas las seiones rítias onsiderando en todas las lues la totalidad de la sobrearga mayorada L 40 3 = = 0,37 < D 87, ( + ) a. Carga mayorada y momentos en los extremos empotrados. Carga permanente mayorada: ( ) Sobrearga mayorada: ( ) w 1, 87, lb / ft d = + = E. (9-) w = 1,6 40 = 64 lb / ft E. (9-) 0-5

26 Carga total mayorada: w = w + w = 193 lb / ft u d Momentos en los extremos empotrados para las vigas plaa, FEM = mnfwu 1 (Tabla A1, Apéndie 0A) = 0, 0843( 0,193 14) 18 = 73,8 ft-kips b. Distribuión de momentos. La Tabla 0-1 muestra los álulos. Los momentos antihorarios que atúan en los extremos del elemento se onsideran positivos. Los momentos de tramo positivos se determinan a partir de la siguiente euaión: ( ) ( ) M mitad de la luz = M M + M / (Nota: L, izquierda; R, dereha.) u o ul ur siendo M o el momento a la mitad de la luz para una viga simple. Si los momentos en los extremos no son iguales, el máximo momento del tramo no se produe en la mitad de la luz, pero su valor es similar al orrespondiente a la mitad de la luz. Momento positivo en el tramo 1-: u ( ) ( ) + M = 0, / 8 46,5 + 84,0 / = 44, ft-kips Momento positivo en el tramo -3: u ( ) ( ) + M = 0, / 8 76,3 + 76,3 / = 33,1 ft-kips Tabla 0-1 Distribuión de momentos para el pórtio parial Unión Elemento FD 0,389 0,80 0,80 0,80 0,80 0,389 CC 0,509 0,509 0,509 0,509 0,509 0,509 FEM MC* +73,8-73,8 +73,8-73,8 +73,8-73,8 0-14, ,6 0 +0,1 0 -,1 +,1 0 -,1 +0, -0,4-0, +0, +0,4-0, +76,1-88,8 +71,5-71,5 +88,8-76,1 MD** -9,6 +4,8 +4,8-4,8-4,8 +9,6 M. Neg. +46,5-84,0 +76,3-76,3 +84,0-46,5 M en el entro del tramo 44, 33,1 44, Notas: * El momento de ontinuidad, MC, es el produto negativo entre el fator de distribuión, el oefiiente de ontinuidad y el momento no balaneado de la unión que se transmite al extremo opuesto del tramo. ** El momento distribuido, MD, es el produto negativo entre el fator de distribuión y el momento no balaneado de la unión. 0-6

27 4. Momentos de diseño: En la Figura 0-14 se grafian los momentos positivos y negativos mayorados para el sistema de losa en la direión de análisis. Los momentos de diseño negativos se toman en la ara de los apoyos retilíneos pero a una distania no mayor que 0,175l 1 a partir de los entros de los apoyos in. = 0,67 ft < 0, = 3, ft (Usar la ubiaión de la ara del apoyo) 1 3 w u= 0,193 x 14 =,70 klf 18'-0" 44, 18'-0" 33,1, 46,5 76,3 84,0 MOMENTOS DEL PÓRTICO (ft-kips) 4,3,5 0,4 76,3 6,4 84,0 8,' 4,6,5 4,3 6,4 CORTES DEL PÓRTICO (kips) 44, 33,1 3,3 67,0 60,8 60,8 67,0 MOMENTOS DEL PÓRTICO (ft-kips) Figura 0-14 Momentos de diseño positivos y negativos para la viga plaa (Todos los tramos argados on la totalidad de la sobrearga mayorada) 5. Momento total mayorado por tramo: En los sistemas de losa omprendidos dentro de las limitaiones del artíulo los momentos resultantes se pueden reduir en una proporión tal que no sea neesario que la sumatoria numéria de los momentos positivos y el promedio del momento negativo sea mayor que: u n w Mo = = 0, ( 16, 67 ) / 8 = 93, 9 8 ft-kips 0-7

28 Tramos finales: 44, + ( 3,3 + 67,0 )/ = 93,9 ft-kips Tramo interior: 33,1 + ( 60,8 + 60,8 )/ = 93, 9 ft-kips Se puede observar que on los momentos de diseño totales obtenidos apliando el Método del Pórtio Equivalente se obtiene un momento estátio igual al dado por la expresión para momento estátio usada on el Método de Diseño Direto. 6. Distribuión de los momentos de diseño en las franjas de la viga plaa: Los momentos mayorados negativos y positivos en las seiones rítias se pueden distribuir a la franja de olumna y las dos semifranjas intermedias de la viga plaa de auerdo on las proporiones espeifiadas en los artíulos y El requisito del artíulo no se aplia en el aso de sistemas de losa sin vigas, α = 0. En la Tabla 0- se resume la distribuión de los momentos mayorados en las seiones rítias. Tabla 0- Distribuión de los momentos mayorados Momento mayorado Franja de olumna Momento (ft-kips) en dos (ft-kips) Porentaje* Momento (ft-kips) semifranjas intermedias** Tramo final: Exterior negativo 3, ,3 0,0 Positivo 44, 60 6,5 17,7 Interior negativo 67, ,3 16,7 Tramo interior: Negativo 60, ,6 15, Positivo 33, ,9 13, * Para sistemas de losas sin vigas ** La porión del momento mayorado que no es resistido por la franja de olumna se asigna a las dos semifranjas intermedias. 7. Momentos en las olumnas: El momento no balaneado de las vigas plaa en los apoyos del pórtio equivalente se distribuye a las olumnas reales por enima y por debajo de la viga plaa de forma proporional a las rigidees relativas de las olumnas. En base a la Figura 0-14, los momentos no balaneados en las uniones 1 y son: Unión 1 = + 46,5 ft-kips Unión = 84,0 + 76,3 = 7,7 ft-kips En la Figura 0-15 se muestran las rigidees y los oefiientes de ontinuidad de las olumnas reales, junto on la distribuión de los momentos no balaneados a las olumnas exteriores e interiores. Los momentos de diseño para las olumnas se pueden tomar en la onfluenia de la olumna y la losa. Resumiendo: Momento de diseño en una olumna exterior =,08 ft-kips Momento de diseño en una olumna interior = 3,66 ft-kips 0-8

29 Eje de la losa CC = 0,55 = 1059,08 1,83 Parte sup. de la losa 3,5 3,85,13 3,66 7" 9'-0" CC = 0,55 = 1059 Eje 3,5 Fondo de la losa 1,83,13 COLUMNA EXTERIOR,08 3,66 3,85 COLUMNA INTERIOR 9'-0" Figura 0-15 Momentos en las olumnas (Momentos no balaneados de la viga plaa) 8. Verifiar la resistenia a flexión de la losa y la resistenia al orte en una olumna exterior a. Armadura total de flexión requerida para la franja de diseño: i. Determinar la armadura requerida para el momento de la franja de olumna M u = 3,3 ft-kips Suponer que se trata de una seión ontrolada por la traión (φ = 0,9) Anho de la franja de olumna 14 1 b = = 84 in R M 3, = = = 155 psi φ bd 0,9 84 5,75 u u 0,85f ' R u ρ= 1 1 f y 0,85f ' 0, = 1 1 0, = 0, A =ρ bd = 0, , 75 = 1, 8 in. s ρ min = 0, s Min A = 0, = 1,06 in. < 1,8 in. Número de barras No. 4 1, 8 = = 6, 4 (onsideramos 7 barras) 0, Separaión máxima smax = h = 14 in. < 18 in

30 a 0,9 = = = 0,34 in. β 0,85 1 0,003 ε t = d t 0,003 0,003 = 5,75 0,003 = 0,048 > 0,005 0,34 Por lo tanto, la seión es ontrolada por traión En la franja de olumna usar 7 barras No. 4. ii. Verifiar la armadura de la losa en la olumna exterior para transferenia de momento entre la losa y la olumna: Porión del momento no balaneado transferido por flexión = γ fmu De la Figura 16-13, Caso C: d 5,75 b1 = 1+ = 16+ = 18,88 in. b = + d = , 75 = 1, 75 in. 1 γ f = E. (13-1) 1 + /3 b /b f ( ) ( ) 1 1 = = 0,6 1+ /3 18,88/1,75 γ M = 0,6 3,3 = 0,0 ft-kips u Observar que se pueden utilizar los requisitos del artíulo ; sin embargo, en este ejemplo no los utilizamos. Suponiendo que el omportamiento es ontrolado por la traión, determinar el área de armadura requerida para γ fmu = 0,0 ft-kips Anho efetivo de la losa ( ) b = + 3h = = 37in R M = = = 18 psi φ bd 0,9 37 5,75 u u 0,85f ' R u ρ= 1 1 f y 0,85f ' 0, = 1 1 0, = 0,