11 Efectos de la esbeltez

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1 11 Efetos de la esbeltez CONSIDERACIONES GENERALES El diseño de las olumnas onsiste básiamente en seleionar una seión transversal adeuada para la misma, on armadura para soportar las ombinaiones requeridas de argas axiales mayoradas P u y momentos (de primer orden) mayorados M u, inluyendo la onsideraión de los efetos de la esbeltez de la olumna (momentos de segundo orden). La esbeltez de una olumna se expresa en términos de su relaión de esbeltez kl u /r, donde k es un fator de longitud efetiva (que depende de las ondiiones de vínulo de los extremos de la olumna), l u es la longitud de la olumna entre apoyos y r es el radio de giro de la seión transversal de la olumna. En general, una olumna es esbelta si las dimensiones de su seión transversal son pequeñas en relaión on su longitud. A los fines del diseño, el término "olumna orta" se usa para designar una olumna que tiene una resistenia igual a la alulada para su seión transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un análisis para ombinaión de flexión y arga axial. Una "olumna esbelta" se define omo una olumna uya resistenia se redue debido a las deformaiones de segundo orden (momentos de segundo orden). Según estas definiiones, una olumna on una determinada relaión de esbeltez se puede onsiderar omo olumna orta bajo un determinado onjunto de restriiones, y omo olumna esbelta bajo otro onjunto de restriiones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistenia, y on métodos de análisis y diseño más preisos, es posible diseñar seiones de menores dimensiones, lo ual da origen a elementos más esbeltos. En onseuenia, la neesidad de ontar on proedimientos de diseño onfiables y raionales para las olumnas esbeltas se onvierte así en una onsideraión importante en el diseño de olumnas. Una olumna orta puede fallar a ausa de una ombinaión de momento y arga axial que supere la resistenia de la seión transversal. Este tipo de falla se onoe omo "falla del material." A modo de ejemplo, onsideremos la olumna ilustrada en la Figura Debido a la arga, la olumna tiene una deformaión que provoará un momento adiional (de segundo orden) en la olumna. En el diagrama de uerpo libre se puede ver que el momento máximo en la olumna ourre en la seión A-A, y es igual al momento apliado más el momento debido a la deformaión del elemento, que es M = P (e + ). La falla de una olumna orta puede ourrir en ualquier punto a lo largo de la urva de interaión de resistenias, dependiendo de la ombinaión del momento y la arga axial apliada. Como se menionó anteriormente, se produirá alguna deformaión y habrá una "falla del material" uando una ombinaión partiular de arga P y momento M = P (e + ) interseque la urva de interaión de resistenias.

2 Si la olumna es muy esbelta, podría llegar a una deformaión debida a arga axial P y momento Pe tal que la deformaión aumente indefinidamente sin que aumente la arga P. Este tipo de falla se onoe omo "falla de estabilidad," omo se india en la urva de interaión de resistenias. P P M = Pe M = Pe P Pe P A A M = P (e+ ) olumna orta falla del material P falla de estabilidad P M M Figura 11-1 Interaión de las resistenias en olumnas esbeltas El onepto básio del omportamiento de las olumnas esbeltas retas on arga axial onéntria fue desarrollado originalmente por Euler, hae ya más de 200 años. El onepto establee que un elemento fallará por pandeo bajo la arga rítia P = π 2 EI/(l e ) 2, siendo EI la rigidez flexional de la seión transversal del elemento y l e la longitud efetiva, que es igual a kl u. Para las olumnas ortas "robustas," el valor de la arga de pandeo será mayor que la resistenia al aplastamiento por ompresión direta (orrespondiente a la falla del material). En los elementos que son más esbeltos (es deir, elementos para los uales el valor de kl u /r es más elevado), la falla puede ourrir por pandeo (falla de estabilidad), on la arga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez (ver Figura 11-2). P 2 2 u π EI P = ( k ) ompresión pandeo Figura 11-2 Carga de falla en funión de la esbeltez de una olumna Como se puede observar, es imposible representar los efetos de la esbeltez y los momentos amplifiados en una típia urva de interaión de resistenias. En onseuenia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interaión de resistenias para olumnas esbeltas on diferentes relaiones de esbeltez, omo se ilustra en la Figura El diagrama de interaión de resistenias para kl u /r = 0 orresponde a las ombinaiones de momento y arga axial donde la resistenia no se ve afetada por la esbeltez del elemento (resistenia de olumna orta). P kl u /r kl u /r = M Figura 11-3 Diagramas de interaión de resistenias para olumnas esbeltas 11-2

3 CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se estableen límites para la esbeltez tanto de pórtios indesplazables omo para pórtios desplazables, inluyendo métodos de diseño permitidos para ada rango de esbeltez. Se estableen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los uales los momentos de segundo orden se pueden despreiar y sólo es neesario onsiderar la arga axial y los momentos de primer orden para seleionar la seión transversal y la armadura de las olumnas (diseño de olumnas ortas). Se debe observar que, para las vigas y olumnas de dimensiones habituales y las alturas de piso típias de los sistemas de hormigón, los efetos de la esbeltez se pueden despreiar en más del 90 por iento de las olumnas de los pórtios indesplazables y en alrededor del 40 por iento de las olumnas de los pórtios desplazables. Cuando las relaiones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efetos de la esbeltez que se basa en un fator de amplifiaión de los momentos (ver y 10.13). Cuando la relaión de esbeltez de la olumna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exato (ver ), que onsidere el omportamiento no lineal del material y la fisuraión, así omo los efetos de la urvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duraión de las argas, la ontraión y la fluenia lenta, y la interaión on las fundaiones. No se espeifian límites superiores para la esbeltez de las olumnas. En la Figura 11-4 se resumen los límites de la relaión de esbeltez indiados en para pórtios indesplazables y en para pórtios desplazables, junto on los métodos permitidos para onsidera la esbeltez de las olumnas. Pórtio desplazable Pórtio indesplazable kl u /r < 22 Despreiar la esbeltez kl u /r 34 12(M 1 /M 2 )* 22 kl u /r 100 Métodos aproximados 100 kl u /r > 34 12(M 1 /M 2 )* Análisis kl u /r > 100 P - ** kl u /r > 100 * 34 12(M 1 /M 2 ) 40 ** Permitido para ualquier relaión de esbeltez. Figura 11-4 Consideraión de la esbeltez de las olumnas EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS Análisis de segundo orden El ódigo alienta el uso de análisis de segundo orden o análisis P- para onsiderar los efetos de la esbeltez en los elementos omprimidos. En general, los resultados de un análisis de segundo orden permiten obtener valores más realistas para los momentos que los que se obtienen usando un análisis aproximado de auerdo on las seiones ó En el aso de los pórtios desplazables, utilizando análisis de segundo orden generalmente se obtendrán diseños más eonómios. En las Referenias se presentan proedimientos para realizar un análisis de segundo orden. En R el letor enontrará una disusión sobre las limitaiones para la utilizaión de un análisis de segundo orden de auerdo on

4 Si por algún motivo no resulta prátio realizar un análisis más exato, la seión permite onsiderar los efetos de la esbeltez mediante un método aproximado de amplifiaión de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos omprimidos en los uales la relaión de esbeltez (kl u /r) es mayor que 100 (ver Figura 11-4), para onsiderar los efetos de la esbeltez se debe utilizar un análisis más exato según lo definido en EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se usa el fator de amplifiaión de momentos δ para amplifiar los momentos de primer orden y así tomar en uenta el aumento de los momentos provoado por la urvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El fator de amplifiaión de momentos δ depende de la relaión entre la arga axial apliada y la arga rítia o de pandeo de la olumna, de la relaión entre los momentos apliados en los extremos de la olumna, y de la geometría deformada de la olumna Propiedades de la seión para el análisis del pórtio De auerdo on , las argas axiales mayoradas (P u ), los momentos mayorados en los extremos de la olumna (M 1 y M 2 ) y las deformaiones laterales de piso, o, se deberán alular usando un análisis elástio de primer orden del pórtio, onsiderando la presenia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Es evidente que realizar estos álulos no es fatible desde el punto de vista eonómio, aún para estruturas pequeñas. Por lo tanto, para onsiderar la fisuraión en el análisis se pueden usar las propiedades de la seión dadas en y resumidas en la Tabla Los valores de E, I y A han sido seleionados a partir de los resultados obtenidos en ensayos y análisis de pórtios de auerdo on la Referenia Es importante observar que para analizar la estrutura a nivel de la arga de serviio resulta satisfatorio multipliar los momentos de ineria espeifiados en la Tabla 11-1 por 1/0,70 = 1,43 (R ). Además, los momentos de ineria se deben dividir por (1 + β d ) en el aso que sobre la estrutura atúen argas horizontales de larga duraión (por ejemplo, las argas horizontales provoadas por las presiones del suelo) o para verifiaión de la estabilidad frente a argas gravitatorias realizadas de auerdo on Tabla 11-1 Propiedades de las seiones para el análisis de pórtios Vigas Columnas Tabiques no fisurados Tabiques fisurados Plaas planas y losas planas Módulo de elastiidad Momento de ineria Área 0,35 l g 0,70 I g E de ,70 l g 1,0 A g 0,35 l g 0,25 l g Dividir por (1 + β d ) uando atúen argas de larga duraión, o para las verifiaiones de estabilidad realizadas de auerdo on Para los análisis a nivel de la arga de serviio multipliar por 1/0,70 = 1, Radio de giro En general el radio de giro, r, es I g /A g. En partiular, para los elementos de seión retangular r se puede tomar igual a 0,30 por la dimensión en la direión en la ual se está onsiderando la estabilidad, mientras que para los elementos de seión irular se puede tomar igual a 0,25 por el diámetro de la seión, omo se ilustra en la Figura

5 h r = 0,3h b r = 0,3b D r = 0,25 D r = Ig A g Figura 11-5 Radio de giro, r , Longitud sin apoyo lateral y longitud efetiva de elementos omprimidos La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) l u de una olumna, definida en , es la distania libre entre apoyos laterales, omo se ilustra en la Figura Observar que la longitud l u puede ser diferente para el pandeo respeto de ada uno de los ejes prinipales de la seión transversal de la olumna. La euaión básia de Euler para la arga rítia de pandeo se puede expresar omo P = π 2 EI/(l e ) 2, siendo l e la longitud efetiva kl u. Las euaiones básias para el diseño de olumnas esbeltas fueron desarrolladas para extremos artiulados y, por lo tanto, se las debe modifiar para onsiderar los efetos de las ondiiones de vínulo. La longitud efetiva de la olumna, kl u, y no la longitud real sin apoyo lateral l u, es la que se utiliza para estimar las resistenias de las olumnas esbeltas. Esta longitud efetiva onsidera tanto las ondiiones de vínulo omo la ondiión de sistema indesplazable o desplazable. Direión analizada lu lu lu Figura 11-6 Longitud sin apoyo lateral, l u Cuando se produe la arga rítia definida por la euaión de Euler, un elemento originalmente reto pandea on una forma de semionda sinusoidal, omo se ilustra en la Figura 11-7(a). Con esta onfiguraión, en ada seión atúa un momento adiional P-, siendo el desplazamiento lateral en el punto espeífio onsiderado a lo largo de la olumna. Este desplazamiento lateral ontinúa aumentando hasta que la tensión por flexión provoada por el momento (P- ), más la tensión de ompresión original provoada por las argas apliadas, exede la resistenia a la ompresión del hormigón y la olumna falla. La longitud efetiva l e (= kl u ) es la longitud entre los apoyos artiulados, entre puntos de momento nulo o entre puntos de inflexión. Para la ondiión de ambos extremos artiulados ilustrada en la Figura 11-7(a), la longitud efetiva es igual a la longitud sin apoyo lateral o no soportada, l u. Si el elemento está empotrado en ambos extremos (restringido ontra la rotaión), el pandeo se produirá en la forma ilustrada en la Figura 11-7(b); habrá puntos de inflexión en los puntos indiados, y la longitud efetiva l e será igual a la mitad de la longitud sin apoyo lateral, l u. La arga rítia de pandeo P para la ondiión de extremos empotrados es uatro vees mayor que para la ondiión de extremos artiulados. En las estruturas reales rara vez las olumnas son perfetamente artiuladas o empotradas, sino que sus extremos están parialmente restringidos ontra la rotaión por los elementos solidarios a la olumna. En onseuenia, la longitud efetiva está omprendida entre l u /2 y l u, omo se india en la Figura 11-7(), siempre que esté impedido el desplazamiento lateral de un extremo de la olumna respeto del otro. El valor real de la longitud efetiva depende de la rigidez de los elementos solidarios a los extremos superior e inferior de la olumna. 11-5

6 P P P pi l u /4 pi l e = l u l u >l e >l u /2 l u /2 = l e l u pi pi l u P P P pi = punto de inflexión (a) (b) () Figura 11-7 Longitud efetiva, l e (ondiión indesplazable) Una olumna que está empotrada en un extremo y totalmente libre en el otro (en voladizo) pandeará omo se ilustra en la Figura 11-8(a). El extremo superior tendrá un desplazamiento lateral relativo on respeto al extremo inferior. La geometría deformada de estos elementos es similar a la mitad de la deformada sinusoidal del elemento artiulado en ambos extremos ilustrado en la Figura 11-7(a). En onseuenia, la longitud efetiva es igual a dos vees la longitud real. Si la olumna está impedida ontra la rotaión en ambos extremos pero uno de los extremos se puede desplazar lateralmente respeto del otro, la olumna pandeará omo se ilustra en la Figura 11-8(b). La longitud efetiva l e será igual a la longitud real l u, on un punto de inflexión (pi) ubiado omo se india. La arga de pandeo de la olumna de la Figura 11-8(b), en la ual el desplazamiento lateral no está impedido, es un uarto de la de la olumna de la Figura 11-7(b), en la ual el desplazamiento lateral sí está impedido. Como se indió anteriormente, los extremos de las olumnas rara vez son totalmente artiulados o totalmente empotrados, sino que están parialmente restringidos ontra la rotaión por los elementos solidarios a la olumna. Por lo tanto, la longitud efetiva variará entre l u e infinito, omo se india en la Figura 11-8(). Si los elementos que restringen el movimiento (vigas o losas) son muy rígidos en relaión on la olumna, el pandeo se aproximará al esquema ilustrado en la Figura 11-8(b). En ambio, si los elementos que restringen el movimiento son bastante flexibles, la olumna se aproximará a una ondiión artiulada en ambos extremos y la olumna (o las olumnas), y posiblemente la estrutura, se aproximarán a la instabilidad. En las estruturas habituales de hormigón armado el diseñador rara vez se oupa de elementos individuales, sino que analiza sistemas aportiados rígidos ompuestos por onjuntos de viga-olumna y losa-olumna. El omportamiento de pandeo de un pórtio que no está arriostrado ontra el desplazamiento lateral (desplazable) se puede ilustrar mediante el pórtio senillo de la Figura Como no tiene restriión lateral en el extremo superior, la totalidad del pórtio (no arriostrado) es libre de moverse lateralmente. El extremo inferior puede ser artiulado o estar parialmente restringido ontra la rotaión. En general, la longitud efetiva l e depende del grado de restriión ontra la rotaión de los extremos de la olumna y l u < l e <. P P P pi l u l e = 2l u l u pi l e = l u l u l u < l e < P P (a) (b) () pi P pi = punto de inflexión Figura 11-8 Longitud efetiva, l e (ondiión desplazable) 11-6

7 P P l e > l u l u P P Resumiendo, se pueden haer los siguientes omentarios. Figura 11-9 Pórtio rígido (ondiión desplazable) 1. Para los elementos soliitados a ompresión en pórtios indesplazables, la longitud efetiva l e está omprendida entre l u /2 y l u, siendo l u la longitud real sin apoyo lateral de la olumna. 2. Para los elementos soliitados a ompresión en pórtios desplazables, la longitud efetiva l e siempre es mayor que la longitud real de la olumna l u, y puede ser igual a 2l u o mayor. En este aso un valor de k inferior a 1,2 no sería realista. 3. El uso de los nomogramas de las Figuras y (también en la Figura R ) permiten determinar gráfiamente los fatores de longitud efetiva para los elementos soliitados a ompresión de pórtios indesplazables y desplazables, respetivamente. Si ambos extremos de una olumna de un pórtio indesplazable tienen mínima rigidez rotaional, o se aproximan a ψ =, y entones k = 1,0. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfeto, ψ = 0, y k = 0,5. Si ambos extremos de una olumna de un pórtio desplazable tienen mínima rigidez rotaional, o se aproximan a ψ =, entones k =. Si ambos extremos se aproximan al empotramiento perfeto, ψ = 0, entones k = 1,0. R presenta un método alternativo para alular los fatores de longitud efetiva para los elementos omprimidos en pórtios indesplazables y desplazables. Para los elementos omprimidos en pórtios indesplazables, se puede tomar omo límite superior para el fator de longitud efetiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones, tomadas del doumento 1992 British Standard Code of Pratie (Referenias ACI y 10.34): ( ) k = 0,7+ 0,05 ψ +ψ 1,0 k = 0,85+ 0,05ψmin 1,0 A donde ψ A y ψ B son los valores de ψ en los extremos de la olumna y B ψ min es el menor de los dos valores. Para los elementos omprimidos restringidos en ambos extremos, en pórtios desplazables, el fator de longitud efetiva se puede tomar omo (Referenia ACI 10.32): 20 ψm Para ψ m < 2, k = 1+ψ 20 m donde Para ψ 2, k = 0,9 1+ψ m m ψ m es el promedio de los valores de ψ en ambos extremos de la olumna. 11-7

8 A MA P ψ A M B A MA P ψ A MB EI ols. ψ= EI vigas 50,0 10,0 5,0 4,0 3,0 2,0 B ψ B B ψ B 1,0 0,9 50,0 10,0 5,0 3,0 2,0 1,0 0,8 1,0 0,8 0,7 0,6 0,5 ψ A k 0,7 ψ B 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,6 0,2 0,1 0,1 0 0,5 0 Figura Fatores de longitud efetiva para elementos omprimidos en pórtios indesplazables Para los elementos omprimidos artiulados en uno de sus extremos, en pórtios desplazables, el fator de longitud efetiva se puede tomar omo (Referenias ACI y 10.34): k = 2,0+ 0,3ψ donde ψ es la relaión entre las rigidees de la olumna y la viga en el extremo restringido. Al determinar el fator de longitud efetiva, k, usando las Figuras y 11-11, o usando las euaiones del Comentario, las rigidees (EI) de las vigas (o de las losas) y de las olumnas se deben alular en base a los valores dados en

9 B P ψ A A M A M ψ A B B EI ols. ψ= EI vigas ,0 50,0 30,0 20,0 20,0 10,0 5,0 4, ,0 50,0 30,0 20,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 ψ A 3,0 2,0 ψ B 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 3,0 2,0 1,5 2,0 1,0 1,0 0 1,0 0 Figura Fatores de longitud efetiva para elementos omprimidos en pórtios desplazables Pórtios indesplazables y Pórtios desplazables En las estruturas reales rara vez existen ondiiones totalmente indesplazables o desplazables. Esto no se puede determinar fáilmente mediante inspeión; las seiones y presentan dos manera posibles para determinar si un pórtio es indesplazable o desplazable. De auerdo on , una olumna de una estrutura se puede onsiderar indesplazable si los momentos de segundo orden en los extremos de la olumna no son superiores a 5 por iento de los momentos de primer orden en dihos extremos. De auerdo on , también se permite asumir que un entrepiso de una estrutura es indesplazable si: Pu o Q = 0,05 V u E. (10-6) donde Q = índie de estabilidad de un entrepiso P u = arga vertial total mayorada en el entrepiso orrespondiente al aso de arga horizontal para el ual P u es máximo (R ) V u = orte total en el entrepiso 11-9

10 o = desplazamiento relativo de primer orden entre la parte superior y la parte inferior del entrepiso debido a V u l = longitud de la olumna, medida entre los ejes de los nudos del pórtio Observar que la Euaión (10-6) no es apliable uando V u = Fator de amplifiaión de momentos δ para flexión biaxial Cuando en una olumna hay flexión biaxial, se deben amplifiar los momentos alulados para ada eje prinipal. Los fatores de amplifiaión de momentos, δ, se alulan onsiderando la arga de pandeo, P, respeto de ada eje en forma separada, en base a las longitudes efetivas orrespondientes y a la rigidez relativa de la olumna y las vigas en ada direión. En onseuenia, si las apaidades de pandeo respeto de los dos ejes son diferentes, los fatores de amplifiaión de momentos en ambas direiones también serán diferentes. Los momentos respeto de los dos ejes se amplifian de forma separada, y luego la seión transversal se dimensiona para una arga axial P u y los momentos biaxiales amplifiados , Consideraión de los efetos de la esbeltez Para los elementos omprimidos en pórtios indesplazables, los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando kl u /r es menor o igual que [34-12 (M 1 /M 2 )], siendo M 2 el mayor de los momentos en ambos extremos y M 1 el menor de estos momentos. La relaión M 1 /M 2 es positiva si la olumna se deforma on urvatura simple, y negativa si el elemento se deforma on urvatura doble. Observar que M 1 y M 2 son los momentos mayorados en los extremos obtenidos a partir de un análisis de pórtio elástio, y que el término [34-12 (M 1 /M 2 )] no se debe tomar mayor que 40. Para los elementos omprimidos en pórtios desplazables, los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando kl u /r es menor que 22 ( ). El método del fator de amplifiaión de momentos se puede usar para olumnas en las uales la relaión de esbeltez es mayor que estos límites inferiores. El límite superior de la esbeltez de las olumnas para que sea apliable el método del fator de amplifiaión de momentos es kl u /r igual a 100 ( ). Si kl u /r es mayor que 100 se deberá realizar un análisis de auerdo on lo definido en , tomando en uanta la influenia de las argas axiales y los momentos de ineria variables sobre la rigidez del elemento y los momentos de los extremos empotrados, el efeto de las deformaiones sobre los momentos y las fuerzas, y los efetos de la duraión de las argas (efeto de las argas sostenidas o de larga duraión). En la Figura 11-4 se resumen los riterios para la onsideraión de la esbeltez de las olumnas. Los límites inferiores de la esbeltez permitirán despreiar los efetos de la esbeltez para una gran antidad de olumnas. Considerando la esbeltez kl u /r en términos de l u /h para olumnas retangulares, los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando l u /h es menor que 10 para elementos omprimidos en pórtios indesplazables y on restriión nula en ambos extremos. Este límite aumenta a 18 para el aso de olumnas on doble urvatura on momentos iguales en sus extremos y una relaión entre la rigidez de la olumna y la rigidez de las vigas igual a 1,0 en ambos extremos. Para las olumnas on poa o ninguna restriión en sus extremos, se debería utilizar un valor k = 1,0. Para las olumnas robustas restringidas mediante losas planas, k está omprendido entre alrededor de 0,95 y 1,0 por lo ual se puede estimar onservadoramente igual a 1,0. Para las olumnas de los pórtios formados por vigas y olumnas, k varía entre alrededor de 0,75 y 0,90 por lo ual se puede estimar onservadoramente igual a 0,90. Si el álulo iniial de la esbeltez en base a los valores k estimados india que es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez en el diseño, se debería alular un valor de k más exato y evaluar nuevamente la esbeltez. Para los elementos omprimidos en pórtios desplazables donde la relaión entre la rigidez de la olumna y la rigidez de las vigas es igual a 1,0 en ambos extremos, los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando l u /h es menor que 5. Este valor se redue a 3 si la rigidez de las vigas se redue a un quinto de la rigidez de la olumna en ada extremo de la misma. En onseuenia, las rigidees en la parte superior e inferior de las olumnas de los edifiios en altura en los uales el desplazamiento lateral no está restringido mediante muros estruturales u otros elementos afetarán signifiativamente el grado de esbeltez de la olumna. El límite superior de la esbeltez indiado, kl u /r = 100, orresponde a l u /h = 30 para un elemento omprimido en un pórtio indesplazable on restriión nula en ambos extremos. Este límite de l u /h aumenta a 39 uando la relaión entre la rigidez de la olumna y la rigidez de las vigas en ambos extremos es igual a 1, Momentos amplifiados Pórtios indesplazables Las euaiones para el diseño aproximado de olumnas esbeltas indiadas en para pórtios indesplazables se basan en el onepto de un fator de amplifiaión de momentos, δ ns, que se aplia al mayor de los momentos mayorados, M 2, de ambos 11-10

11 extremos del elemento omprimido. Luego la olumna se diseña para la arga axial mayorada P u y el momento amplifiado M, siendo M : donde M =δ M E. (10-8) ns 2 δ Cm ns = 1, 0 P u 1 0,75P E. (10-9) P = 2 π EI 2 ( k u ) E. (10-10) La arga rítia P se alula para ondiión indesplazable usando un fator de longitud efetiva, k, menor o igual que 1,0. Cuando k se determina usando los nomogramas o las euaiones de R10.12, en los álulos se deben usar los valores de E e I de Observar que el fator 0,75 de la Euaión (10-9) es un fator de reduión de la rigidez (ver R ). Para definir la arga rítia de una olumna, la prinipal difiultad radia en elegir un parámetro de rigidez EI que aproxime razonablemente las variaiones de la rigidez debidas a la fisuraión, la fluenia lenta y la no linealidad de de la urva tensióndeformaión del hormigón. Si no se realiza un análisis más exato, EI se deberá tomar omo: o bien EI = ( 0, 2EIg + EsIse) 0, 4E I EI = 1+β 1+β g d d E. (10-11) E. (10-12) La segunda euaión es una aproximaión simplifiada de la primera. Ambas euaiones aproximan los límites inferiores de EI para las seiones habituales y, por lo tanto, son onservadoras. La Figura ilustra la naturaleza aproximada de las euaiones para determinar EI, omparándolas on valores obtenidos de diagramas momento-urvatura para el aso que no hay arga sostenida (β d = 0). E. (10-11) E. (10-12) EI Teório EI E.(10-11) 2 1 ρ = 8% ρ = 1% EI Teório EI E. (10-12) ρ = 1% ρ = 8% 0,6 0,7 0,8 0,9 P u/po 0,6 0,7 0,8 P u/po 0,9 Figura Comparaión de EI obtenido mediante las euaiones on valores de EI obtenidos de diagramas momento-urvatura 11-11

12 La Euaión (10-11) representa el límite inferior del rango prátio de los valores de rigidez. Esto es partiularmente válido para las olumnas fuertemente armadas. Como se observó anteriormente, la Euaión (10-12) es más fáil de usar pero subestima en gran medida el efeto de la armadura en las olumnas fuertemente armadas (ver Figura 11-12). Ambas euaiones para determinar EI fueron desarrolladas para valores de e/h pequeños y valores de P u /P o elevados, aso en el ual el efeto de la arga axial es más pronuniado. El término P o es la resistenia nominal a la arga axial para exentriidad nula. En las olumnas de hormigón armado soliitadas por argas de larga duraión, la fluenia lenta transfiere parte de la arga del hormigón a la armadura, aumentando así las tensiones en el aero. En las olumnas poo armadas esta transferenia de arga puede provoar que el aero llegue a fluenia de forma prematura, provoando una pérdida en el valor efetivo de EI. Esto se toma en uenta dividiendo EI por (1 + β d ). Para los pórtios indesplazables β d se define de la siguiente manera (ver 10.0): β = d Máxima arga axial de larga duraión mayorada Máxima arga axial mayorada asoiada on la misma ombinaión de argas En las olumnas ompuestas en las uales un perfil de aero representa un gran porentaje de la seión transversal total de la olumna, la transferenia de arga debida a la fluenia lenta no es signifiativa. En onseuenia, sólo la parte de EI orrespondiente al hormigón se debería reduir apliando (1 + β d ) para tomar en uenta los efetos de la arga de larga duraión. El término C m es un fator de orreión para momentos equivalentes. Para elementos sin argas transversales entre sus apoyos, el término C m es ( ): M1 Cm = 0,6+ 0,4 0,4 M2 E. (10-13) En los elementos on argas transversales entre sus apoyos, es posible que el momento máximo ourra en una seión alejada de los extremos del elemento. En este aso, el mayor momento alulado que ourre en ualquier seión de la longitud del elemento se debería amplifiar apliando δ ns, y C m se debe tomar igual a 1,0. La Figura muestra algunos de los valores del oefiiente C m, en funión de la deformada de la olumna y las ondiiones de vínulo de los extremos. Si en la Euaión (10-8) el momento M 2 alulado es pequeño o nulo, el diseño de una olumna indesplazable se debe basar en el momento mínimo M 2,min ( ): 2,min u ( ) M = P 0,6+ 0,03h E. (10-14) Para los elementos en los uales se verifique M 2,min > M 2, el valor de C m se debe tomar igual a 1,0 o bien se debe alular mediante la Euaión (10-13) onsiderando el oiente de los momentos reales alulados para los extremos, M 1 y M 2. C = 1,0 m C m= 0,6 C m= 0,4 C = 0,6 + 0,4 (M /M ) m 1 2 Figura Valores del oefiiente C m 11-12

13 Momentos amplifiados Pórtios desplazables El diseño de los pórtios desplazables onsiderando los efetos de la esbeltez onsiste esenialmente en tres pasos: 1. Se alulan los momentos amplifiados debidos al desplazamiento lateral, δ m M s, de una de las tres manera siguientes: a. Un análisis elástio de segundo orden del pórtio ( ) b. Un análisis de segundo orden aproximado ( ). Un método aproximado en base a un fator de amplifiaión de los ódigos ACI anteriores ( ) 2. Los momentos amplifiados debidos al desplazamiento lateral, δ m M s, se suman a los momentos M ns, no amplifiados y sin onsiderar el desplazamiento lateral, en ada extremo de la olumna ( ): M1 = M1ns +δ sm1s E. (10-15) M2 = M2ns +δ sm2s E. (10-16) Los momentos que no onsideran el desplazamiento lateral, M 1ns y M 2ns, se alulan usando un análisis elástio de primer orden. 3. Si la olumna es esbelta y las argas axiales que atúan sobre la misma son elevadas, se debe verifiar si los momentos en los puntos entre los extremos de la olumna son mayores que los momentos en dihos extremos. De auerdo on , esta verifiaión se realiza usando el fator de amplifiaión δ ns para pórtios indesplazables, alulando P en base a k = 1,0 o menor Determinaión de δ s M s Como se indió anteriormente, existen tres maneras para alular los momentos amplifiados debidos al desplazamiento lateral, δ s M s. Si para alular δ s M s se utiliza un análisis elástio de segundo orden, las deformaiones deben ser representativas del estado inmediatamente anterior a la arga última. Por este motivo en los análisis de segundo orden se deben usar los valores de EI dados en Observar que I se debe dividir por (1 + β d ), donde para pórtios desplazables β d se define de la siguiente manera (ver 10.0): β = d Máximo orte de larga duraión mayorado en un entrepiso Máximo orte mayorado en el entrepiso Para argas sísmias β d = 0. Un ejemplo de un valor de β d diferente de ero puede ourrir uando los elementos están soliitados por presiones del suelo. La seión permite utilizar un análisis de segundo orden aproximado para determinar δ s M s. En este aso, la soluión de la serie infinita que representa el análisis iterativo P- para los momentos de segundo orden es: δ = M I Q s sms Ms E. (10-17) donde Q = índie de estabilidad de un entrepiso Pu = V u o E. (10-7) 11-13

14 Observar que la Euaión (10-7) predie en forma preisa los momentos de segundo orden en los pórtios desplazables para valores de δ s menores que 1,5. Cuando se verifia δ s > 1,5: δ m M s se debe alular usando ó El ódigo también permite determinar δ s M s usando el proedimiento de amplifiaión de momentos inluido en los ódigos ACI anteriores ( ): M δ = s sms Ms Pu 1 0,75 P E. (10-18) donde P u P = sumatoria de todas las argas vertiales en un piso = sumatoria de las argas rítias para todas las olumnas que resisten el desplazamiento lateral de un piso Es importante observar que, en las onstruiones on desplazamientos torsionales signifiativos, el proedimiento de amplifiaión de momentos puede subestimar la amplifiaión de los momentos de las olumnas más alejadas del entro de rotaión. En estos asos se debería onsiderar un análisis de segundo orden tridimensional Ubiaión del máximo momento Al sumar los momentos no amplifiados y sin onsiderar el desplazamiento lateral en los extremos de la olumna on los momentos amplifiados debidos al desplazamiento lateral, uno de los momentos totales resultantes obtenidos generalmente es el máximo momento de la olumna. Sin embargo, en las olumnas esbeltas on elevadas argas axiales, el máximo momento puede ourrir en un punto ubiado entre ambos extremos de la olumna. En se india una manera senilla de determinar si esto ourre: si en un elemento individual omprimido u r > 35 Pu f' A g E. (10-19) el máximo momento ourrirá en un punto ubiado entre ambos extremos de la olumna. En este aso, M 2, definido en la Euaión (10-16) se debe amplifiar apliando el fator de amplifiaión de momentos para pórtios indesplazables dado en la Euaión (10-9). Luego la olumna se diseña para la arga axial mayorada P u y el momento M, donde M se alula de la siguiente manera: M =δ M E. (10-8) ns 2 C m = +δ Pu 1 0,75P ( M M ) 2ns s 2s Observar que k se determina de auerdo on y δ ns 1, Estabilidad estrutural bajo argas gravitatorias En los pórtios desplazables se debe investigar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral de la estrutura en su onjunto. Esto se verifia de tres maneras diferentes, dependiendo del método usado para determinar δ m M s : 1. Cuando δ s M s se determina mediante un análisis de segundo orden ( ) se debe satisfaer la siguiente expresión: 11-14

15 deformaiones laterales de segundo orden 2,5 deformaiones laterales de primer orden Observar que estas deformaiones se basan en una arga apliada de 1,4P D y 1,7P L más la arga horizontal apliada. El pórtio se debería analizar dos vees para este onjunto de argas: el primer análisis debería ser un análisis de primer orden, y el segundo un análisis de segundo orden. La arga horizontal se puede tomar omo las argas horizontales reales usadas en el diseño, o bien puede ser una arga horizontal únia apliada en la parte superior del pórtio. En ualquier aso, la arga horizontal debe ser lo sufiientemente grande para produir deformaiones on valores de tal magnitud que puedan ser omparadas on preisión. 2. Cuando δ s M s se determina mediante un análisis de segundo orden aproximado ( ): Pu o Q = 0,60 V u donde el valor de Q se evalúa usando 1,4P D y 1,7P L. Observar que la expresión anterior equivale a δ s = 2,5. Los valores de V u y o se pueden determinar usando el onjunto real de las argas horizontales o bien un onjunto arbitrario de argas horizontales. Esta verifiaión de la estabilidad se onsidera satisfeha si el valor de Q alulado en es menor o igual que 0,2. 3. Cuando δ s M s se determina usando las expresiones de los ódigos ACI anteriores ( ), la verifiaión de la estabilidad se onsidera satisfeha uando 0<δs 2,5 En este aso P u y P o orresponden a las argas permanentes y sobreargas mayoradas. Es importante observar que en ada uno de los tres asos presentados β d se deberá tomar omo: β = d Máxima arga axial de larga duraión mayorada Máxima arga axial mayorada Amplifiaión de momentos para elementos soliitados a flexión La resistenia de un pórtio desplazable depende de la estabilidad de las olumnas y del grado de restriión proporionado por las vigas del pórtio. Si en las vigas que proveen restriión se forman rótulas plástias, el omportamiento de la estrutura se aproxima al de un meanismo, y su apaidad de resistir argas axiales se redue en forma drástia. La seión espeifia que los elementos soliitados a flexión (vigas o losas) que proveen restriión deben tener apaidad para resistir los momentos amplifiados de las olumnas. El método del fator de amplifiaión de momentos permite obtener una buena aproximaión de los momentos amplifiados reales que atúan en los extremos de los elementos de los pórtios no arriostrados; esto es un avane signifiativo on respeto al método de los fatores de reduión para olumnas largas que se espeifiaba en ódigos anteriores de ACI para tomar en uenta la esbeltez de los elementos en el diseño

16 RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE DISEÑO Creemos que el siguiente resumen de euaiones para el diseño de olumnas esbeltas bajo argas permanentes, sobreargas y argas de viento, tanto en pórtios indesplazables omo en pórtios desplazables, puede ser de utilidad para el diseñador. Los Ejemplos 11.1 y 11.2 ilustran la apliaión de estas euaiones para el diseño de olumnas en pórtios indesplazables y pórtios desplazables, respetivamente. Pórtios indesplazables 1. Determinar las ombinaiones de argas mayoradas de auerdo on 9.2. En los ejemplos que siguen se asume que el fator de arga para sobrearga es 0,5 (es deir, se aplia la ondiión 9.2.1(a)) y que la arga de viento ha sido reduida apliando el fator de direionalidad (9.2.1(b)). Observar que los momentos mayorados M u,sup y M u,inf en los extremos superior e inferior de la olumna, respetivamente, se han de determinar usando un análisis de pórtio de primer orden, en base a las propiedades de la seión fisurada del elemento. 2. Determinar M para ada ombinaión de argas, siendo M el mayor momento mayorado que atúa en un extremo de la olumna, inluyendo los efetos de la esbeltez (si fuera neesario). Observar que M se puede determinar mediante uno de los siguientes métodos: a. Análisis de segundo orden (P- ) ( ) b. Método del fator de amplifiaión de momentos (sólo si kl u /r 100; ver y el paso (3) siguiente) Determinar la armadura requerida en la olumna para la ombinaión de argas rítia determinada en el paso (1) anterior. Cada ombinaión de argas onsiste en P u y M u. 3. Método del fator de amplifiaión de momentos (10.12): Los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando: k r M M2 u 1 E. (10-7) donde [ ] 34 12M / M El término 1 2 M /M es positivo si la olumna se deforma on urvatura simple, y negativo si el elemento se deforma on urvatura doble. Si es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez, determinar M para ada ombinaión de argas: donde M =δ M E. (10-8) ns 2 M 2 = valor mayor entre M u,inf y M u,sup u ( ) P 0,6+ 0,03h δ Cm ns = 1, 0 P u 1 0,75P E. (10-9) 11-16

17 o bien P = 2 π EI 2 ( k u ) EI = ( 0, 2EIg + EsIse) 0, 4E I EI = 1+β 1+β g d d E. (10-10) E. (10-11) E. (10-12) Máxima arga axial de larga duraión mayorada β d = 10.0 Máxima arga axial mayorada asoiada on la misma ombinaión de argas M1 Cm = 0,6+ 0,4 0,4 M2 (sin argas transversales) E. (10-13) = 1,0 (on argas transversales) El fator de longitud efetiva se deberá tomar igual a 1,0 o bien se deberá determinar mediante análisis (por ejemplo, usando el nomograma o las euaiones dadas en R10.12). En este último aso, k se deberá basar en los valores de E e I usados en (ver ). Pórtios desplazables 1. Determinar las ombinaiones de argas mayoradas. a. Cargas gravitatorias (permanentes y sobreargas) Todos los momentos (M u,inf ) ns y (M u,sup ) ns en la parte inferior y superior de la olumna, respetivamente, se deben determinar usando un análisis de pórtio elástio de primer orden, en base a las propiedades de la seión fisurada de los elementos. Los momentos M 1 y M 2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos (M u,inf ) ns y (M u,sup ) ns, respetivamente. Los momentos M 1ns y M 2ns son los momentos mayorados en los extremos orrespondientes a los extremos en los uales atúan M 1 y M 2, respetivamente. b. Cargas gravitatorias (permanentes y sobreargas) más argas de viento Los momentos totales en la parte superior e inferior de la olumna son M u,sup = (M u,sup ) ns + (M u,sup ) s y M u,inf = (M u,inf ) ns + (M u,inf ) s, respetivamente. Los momentos M 1 y M 2 son el valor menor y el valor mayor de los momentos M u,sup y M u,inf, respetivamente. Observar que en esta etapa M 1 y M 2 no inluyen los efetos de la esbeltez. Los momentos M 1ns y M 1s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respetivamente, que atúan en el extremo de la olumna donde atúa M 1, mientras que M 2ns y M 2s son los momentos mayorados indesplazables y desplazables, respetivamente, que atúan en el extremo de la olumna donde atúa M 2.. Cargas gravitatorias (permanentes) más argas de viento Para esta ombinaión de argas los momentos se definen omo se espeifia en el punto 1(b). d. En las ombinaiones de argas espeifiadas en los puntos 1(b) y 1() anteriores se deben onsiderar los efetos que se produen uando las argas de viento atúan en la direión de análisis iniial y en la opuesta

18 2. Determinar la armadura requerida en la olumna para la ombinaión de argas rítia determinada en el punto (1) anterior. Cada ombinaión de argas está ompuesta por P u, M 1 y M 2, donde ahora M 1 y M 2 son los momentos mayorados totales que atúan en los extremos, inluyendo los efetos de la esbeltez. Observar que si la arga rítia P se alula usando EI de la Euaión (10-11), también es neesario estimar primero la armadura de la olumna. Los momentos M 1 y M 2 se determinan mediante uno de los métodos siguientes: a. Análisis de segundo orden (P - ) ( ) b. Método del fator de amplifiaión de momentos (sólo si kl u /r 100; ver y el paso (3) a ontinuaión) 3. Método del fator de amplifiaión de momentos (ver 10.13): Los efetos de la esbeltez se pueden despreiar uando k r u < Si es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez: M1 = M1ns +δ sm1s E. (10-15) M2 = M2ns +δ sm2s E. (10-16) Los momentos δ s M 1s y δ s M 2s se deben alular usando uno de los métodos siguientes (ver ): a. Análisis de segundo orden (P - ) (ver ) b. Análisis de segundo orden aproximado ( ) Ms δ sms = M s, 1,0 δs 1,5 1 Q E. (10-17) donde Pu Q = V u o E. (10-6). Método aproximado dado en ódigos ACI anteriores (ver ): M δ = s sms Ms Pu 1 0,75 P E. (10-18) donde P = 2 π EI 2 ( k u ) EI = ( 0, 2EIg + EsIse) 1+β d E. (10-10) E. (10-11) 11-18

19 o bien 0, 4E I EI = 1+β g d E. (10-12) El fator de longitud efetiva, k, debe ser mayor que 1,0 y se debe basar en los valores de E e I indiados en (ver ). 4. Determinar si el máximo momento ourre en los extremos de la olumna o en un punto ubiado entre los extremos ( ). Si u r > 35 Pu f' A g E. (10-19) la olumna se debe diseñar para la arga axial mayorada P u y el momento M, siendo M =δ M ns 2 C m = +δ Pu 1 0,75P ( M M ) 2ns s 2s En este aso, k se determina de auerdo on los requisitos de y δ ns 1,0. 5. Verifiar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral bajo argas gravitatorias ( ): a. Si δ s M s se alula en base a : Deformaiones laterales de segundo orden 2,5 Deformaiones laterales de primer orden en base a una arga de 1,4P D y 1,7P L más la arga horizontal. b. Si δ s M s se alula en base a : Pu o Q = 0,60 V u en base a una arga de 1,4P D y 1,7P L más la arga horizontal.. Si δ s M s se alula en base a : 0<δs 2,5 donde δ s se alula usando P u y P orrespondientes a una arga de 1,4P D y 1,7P L. En los tres asos β d se deberá tomar omo: 11-19

20 β = d Máxima arga axial de larga duraión mayorada Máxima arga axial mayorada La referenia 11.1 ontiene el desarrollo de las euaiones de diseño para los requisitos de esbeltez presentados en esta seión. REFERENCIA 11.1 MaGregor, J. G., "Design of Slender Conrete Columns Revisited," ACI Strutural Journal, V. 90, No. 3, Mayo-Junio 1993, pp

21 Ejemplo 11.1 Efetos de la esbeltez para olumnas en un pórtio indesplazable Diseñar las olumnas A3 y C3 para el primer piso del edifiio de ofiinas de 10 pisos ilustrado. La luz libre del primer piso es de 21 ft-4 in., y en todos los demás pisos es de 11 ft-4 in. Suponer que las argas horizontales que atúan en el edifiio son provoadas por el viento, y que las argas permanentes son las únias argas de larga duraión. Los demás datos neesarios son los siguientes: Propiedades de los materiales: Hormigón: Entrepisos: f' = 4000 psi, w = 150 lb/ft 3 Columnas y tabiques: f' = 6000 psi, w = 150 lb/ft 3 Armadura: f y = 60 ksi Vigas: in. Columnas exteriores: Columnas interiores: Muros de ortante: in in. 12 in Peso de los nervios de las losas = 86 lb/ft 2 Carga permanente impuesta = 32 lb/ft 2 Sobrearga en la ubierta = 30 lb/ft 2 Sobrearga en los entrepisos = 50 lb/ft 2 Las argas de viento se alulan de auerdo on ASCE 7. A B 28'-0" 28'-0" 28'-0" 28'-0" 28'-0" 28'-0" Nervios (típ) 28'-0" C N D E F 28'-0" 28'-0" 28'-0" R 10 23'-0" 9 a 13-0" = 117-0" G 5 a 28-0" = 140-0" 11-21

22 Cálulos y disusión Referenia del Código 1. Cargas axiales y momentos fletores mayorados para las olumnas A3 y C3 en el primer piso. Caso de Carga Columna A3 Carga axial (kips) Momento fletor (ft-kips) Superior Inferior Permanente (D) 718,0 79,0 40,0 Sobrearga (L)* 80,0 30,3 15,3 Sobrearga en la ubierta (L r ) 12,0 0,0 0,0 Viento (W) ±8,0 ±1,1 ±4,3 E. No. Combinaión de Cargas ,4D 1005, ,2D + 1,6L + 0,5Lr 995,6 143,3 72, ,2D + 0,5L + 1,6Lr 920,8 110,0 55,7 4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 887,2 95,7 51,4 5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 874,4 93,9 44,6 6 1,2D + 0,5L + 0,5L r + 1,6W 920,4 111,7 62,5 7 1,2D + 0,5L + 0,5L r - 1,6W 894,8 108,2 48,8 8 0,9D + 1,6W 659,0 72,9 42, ,9D - 1,6W 633,4 69,3 29,1 * Inluye la reduión de la sobrearga de auerdo on ASCE 7 Caso de Carga Columna C3 Carga axial (kips) Momento fletor (ft-kips) Superior Inferior Permanente (D) 1269, Sobrearga (L)* Sobrearga en la ubierta (L r ) Viento (W) ±3,0 ±2,5 ±7,7 E. No. Combinaión de Cargas ,4D 1776,6 1,4 1, ,2D + 1,6L + 0,5Lr 1770,0 53,0 26, ,2D + 0,5L + 1,6Lr 1634,7 17,4 7,0 4 1,2D + 1,6Lr + 0,8W 1563,6 3,2 9,0 5 1,2D + 1,6Lr - 0,8W 1558,8-0,8-5,3 6 1,2D + 0,5L + 0,5L r + 1,6W 1613,1 21,4 21,3 7 1,2D + 0,5L + 0,5L r - 1,6W 1603,5 13,4-3,3 8 0,9D + 1,6W 1146,9 4,9 13, ,9D - 1,6W 1137,3-3,1-11,7 * Inluye la reduión de la sobrearga de auerdo on ASCE

23 Observar que las olumnas A3 y C3 se deforman on urvatura doble. 2. Determinar si el pórtio en el primer piso es indesplazable o desplazable. Los resultados de un análisis elástio de primer orden en base a las propiedades seionales indiadas en son los siguientes: P u = arga vertial total en el primer piso orrespondiente al aso de arga lateral para el ual P u es máximo Las argas totales del edifiio son: D = kips, L = 3609 kips, y L r = 602 kips. P u máxima se determina en base a la Euaión (9-4): u ( ) ( ) ( ) P = 1, , , = kips V u = orte de piso mayorado en el primer piso orrespondiente a las argas de viento = 1,6 324,3 = 518,9 kips E. (9-4), (9-6) o = deformaión relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a V u = 1,6 ( 0,03 0) = 0,05in. Índie de estabilidad Pu o , 05 Q = = = 0,02< 0,05 Vu 518,9 ( 23 12) ( 20 / 2) E. (10-6) Como Q < 0,05 el pórtio a nivel del primer piso se onsidera indesplazable Diseño de la olumna C3. a. Determinar si es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez. Usando un fator de longitud efetiva k = 1,0: k u 1, 0 21, = = 35,6 r 0,3 24 Como la olumna se deforma on urvatura doble, el menor valor de ombinaión de argas No. 5: ( 0,8) M = = 35,8 < 40 M 5,3 2 M M 2 se obtiene de la Para la olumna C3 no es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez, ya que kl u /r < (M 1 M 2 ) Observar que en este aso no es neesario alular un valor de k más exato ya que la olumna no es esbelta para k = 1,0. b. Determinar la armadura requerida. Para la olumna de in., intentar on 16 barras No

24 Determinar la máxima fuerza de ompresión axial admisible, φp n,max : ( ) φ P = 0,80φ 0,85f ' A A + f A n,max g st y st E. (10-2) 2 ( 0,80 0,65) ( 0,85 6)( 24 9,6) ( 60 9,6) = + = 1801, 6 kips > Pu máx. = 1776, 6 kips VERIFICA La siguiente tabla ontiene los resultados obtenidos de un análisis de ompatibilidad de las deformaiones; las deformaiones de ompresión se onsideran positivas (ver Partes 6 y 7). 21,69" 16,84" 12,00" 24" 7,16" 2,31" 24" Reubrimiento libre 1,5" para los estribos No. 3 No. P u (kips) M u (ft-kips) (in.) ε t φ φp n (kips) φm n (ft-kips) ,6 1,4 25,92 0, , ,6 367, ,0 53,0 25,83 0, , ,0 371, ,7 17,4 23,86 0, , ,7 447, ,6 7,0 22,85 0, , ,6 480, ,8 5,3 22,78 0, , ,8 483, ,1 21,4 23,55 0, , ,1 457, ,5 13,4 23,41 0, , ,5 462, ,9 13,0 17,25-0, , ,9 609, ,3 11,7 17,13-0, , ,3 611,7 Por lo tanto, omo φm n > M u para ualquier φp n = P u, usar una olumna uadrada de in. on 16 barras No. 7 (ρ g = 1,7%). 4. Diseño de la olumna A3. a. Determinar si es neesario onsiderar los efetos de la esbeltez

25 Determinar k usando el nomograma de la Figura o la Figura R : 4 20 Iol = 0, 7 = 9333in (b) 6000 E = = 4415 ksi Para la olumna debajo del nivel 2: EI = = in.-kips ( 23 12) ( 20 / 2) Para la olumna enima del nivel 2: EI = = in.-kips Iviga = 0, 35 = 5600 in (b) EI = = in.-kips EI/ Ψ A = = = 7,0 EI/ 60 Asumir Ψ B = 1, 0 (olumna esenialmente empotrada en la base) De la Figura R (a), k = 0,86. M1 Por lo tanto, para la olumna A3, deformada on doble urvatura, el menor valor de M 2 de la ombinaión de argas No. 9: se obtiene 29, = 39, 0 69,3 k u 0,86 21, = = 36,7 < 39,0 r 0,3 20 Para la olumna A3, deformada on urvatura simple, el menor valor de ombinaión de argas No. 8: k u 42,9 == 36, 7 > = 26, 9 r 72,9 M M 2 se obtiene de la 11-25