Tema 2: Elección bajo incertidumbre

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1 Tema : Eleión bajo inertidumbre Ref: Capítulo Varian Autor: Joel Sandonís Versión:..0 Javier López Departamento de Fundamentos del Análisis Eonómio Universidad de Aliante Miroeonomía Intermedia Introduión La inertidumbre forma parte de la vida, existe inertidumbre sobre los preios futuros de los bienes, sobre el resultado de las inversiones finanieras, sobre las deisiones que otros agentes eonómios tomarán en el futuro, et. Pero existen instituiones finanieras omo los seguros o la bolsa de valores que permiten reduir, en parte al menos, dihos riesgos. En este apítulo estudiaremos la onduta del individuo uando se enfrenta a deisiones que omportan inertidumbre.. El onsumo ontingente En primer lugar, qué es lo que elige el onsumidor en un ontexto on inertidumbre? Al onsumidor le interesa onoer la distribuión de probabilidades de obtener estas de onsumo diferentes. Cuando elegimos uánto seguro de automóvil ontratar o uánto invertir en bolsa estamos eligiendo de heho un onjunto de diferentes estas de onsumo on diferentes probabilidades. Para simplifiar analizaremos solo juegos uyos resultados son monetarios. Además vamos a suponer que solo hay dos resultados posibles.. El onsumo ontingente Ejemplo del seguro. Un onsumidor tiene unos ativos valorados en 5000 euros, pero existe una probabilidad p0.0 de que haya un aidente por el que tiene una pérdida de 0000 euros en el valor de dihos ativos. Entones la distribuión de probabilidades a la que se enfrenta este individuo es: on un % su riqueza será de 5000 euros on un 99% su riqueza será de 5000 euros La ompra de un seguro permite al onsumidor alterar diha distribuión de probabilidades de la riqueza. 4. El onsumo ontingente La póliza de seguro que ontrata el onsumidor por la que reibirá euro si ourre la pérdida a ambio de una prima de 0.0 euros. Por lo tanto si deidiera omprar una póliza de 0000 euros le ostaría una prima de 00 euros. En este aso, tendría una probabilidad 0.99 de tener 4900 euros 5000 de ativos 00 de prima y una probabilidad 0.0 de tener 4900 euros 5000 de ativos 0000 de pérdida del seguro 00 de prima. Es deir, que en este aso, el individuo tendría 4900 euros on probabilidad, o sea, estaría asegurado ompletamente ontra la pérdida. 5. El onsumo ontingente En general, si este individuo ompra euros de seguro y ha de pagar una prima euros, se enfrenta al siguiente juego: Obtener on probabilidad 0.0 Obtener on probabilidad 0.99 Qué tipo de seguro elegirá? Depende de sus preferenias por el riesgo y por los planes de onsumo ontingente, que espeifian lo que onsumiría en ada uno de los posibles estados de la naturaleza. Notaión adiional lotería: L , 0.0; 5000,

2 . El onsumo ontingente Si pensamos que los onsumidores tienen preferenias por los distintos planes de onsumo ontingente y que lo que el onsumidor elige de heho son planes de onsumo ontingente e identifiamos dihos planes on estas ordinarias de onsumo, entones podemos apliar diretamente todo lo que ya sabemos sobre la Tª de eleión del onsumidor a este aso partiular de eleión bajo inertidumbre. Veámoslo on el ejemplo del seguro y un gráfio. C m , C 5000 b 7. El onsumo ontingente Análisis gráfio de la eleión óptima de un seguro. C b * Pte RP Dotaión Eleión óptima: RMS * + * C m 8. Funiones de utilidad y probabilidades Las preferenias de los onsumidores por niveles de onsumo o rentas en diferentes estados de la naturaleza deben depender de las probabilidades de que ourran los diferentes estados. Por eso, si y representan los niveles de onsumo en los estados y y y las probabilidades de que ourren dihos estados, podemos expresar la funión de utilidad del onsumo ontingente omo u,,,. Notaión adiional: u L donde L, ;,. 9. Funiones de utilidad y probabilidades Ejemplos de funiones de utilidad Si los onsumos en ada estado son sustitutivos perfetos para el onsumidor la funión de utilidad sería: u,,, + En ondiiones de inertidumbre, esta funión mide el valor esperado del onsumo, o el onsumo medio. Otro ejemplo sería el aso de preferenias Cobb Douglas: u,,, O tomando logaritmos: u,,, ln + ln 0. La utilidad esperada Definiión: una funión de utilidad umple la propiedad de la utilidad esperada o es una funión de utilidad esperada si se puede esribir omo una media ponderada de los valores de la utilidad del onsumo en ada estado de la naturaleza, donde las ponderaiones son las probabilidades de los distintos estados, es deir, u,,, v + v Ya vimos antes dos ejemplos de funión de utilidad esperada, el aso de sustitutos perfetos, donde v, y el de Cobb-Douglas en logaritmos, donde vln.. La utilidad esperada La funión de utilidad u,,, v + v se llama, por tanto, funión de utilidad esperada o también funión de utilidad Von-Neumann and Morgenstern. Por eso si deimos que las preferenias de un onsumidor pueden representarse mediante una funión de utilidad esperada queremos deir que podemos expresarlas a través de una funión que tenga la forma general de la funión anterior.

3 .4 Por qué es razonable la utilidad esperada. El heho de que los resultados de una variable aleatoria sean bienes que se onsumen en estados diferentes, quiere deir que finalmente solamente se va a produir uno de esos resultados. O se quema nuestra asa o no se quema, o hae sol o no. Por lo tanto, solo se realizará uno de los omponentes de la esta de onsumo ontingente. Por lo tanto, en los problemas de eleión bajo inertidumbre hay una independenia natural entre los diferentes resultados porque han de onsumirse por separado, es deir, en diferentes estados de la naturaleza. A este supuesto se le llama supuesto de la independenia e implia junto on otros axiomas que la funión de utilidad ha de ser aditiva en los diferentes resultados posibles..4 Por qué es razonable la utilidad esperada. Es deir, para el plan de onsumo ontingente L, ;, ;, el supuesto de la independenia implia que la funión de utilidad ha de tener la forma: U L u + u + u Esta funión umple la propiedad de que la RMS entre dos onsumos es independiente de la antidad que haya del terero, ya que por ejemplo: U... / u / RMS, U... / u / 4.5 La aversión al riesgo Pensemos en el siguiente juego arriesgado: Un onsumidor tiene 0 euros de renta y puede partiipar en un juego arriesgado en el que puede ganar 5 euros on probabilidad / o puede perderlos on probabilidad /. Por lo tanto, tiene p / de aabar on una riqueza de 5 euros y p-/ de aabar on una riqueza de 5 euros. Notaión adiional: L 5, 0.5; 5, 0.5. El valor esperado de su riqueza, si partiipa en el juego arriesgado, es: VEL/ 5 +/ La aversión al riesgo La pregunta que queremos responder es la siguiente: qué prefiere este onsumidor, una renta de 0 euros sin riesgo o partiipar en este juego arriesgado uyo valor esperado es de 0 euros? Para ello tenemos que onoer la funión de utilidad de la renta del onsumidor um. La utilidad esperada del juego es entones: UEL/ u5 + / u5. Luego hay que omparar uvel y la UEL, es deir, u/5+/5u0 on UEL/ u5 + / u La aversión al riesgo Un individuo es averso al riesgo si prefiere siempre el valor esperado de un plan de onsumo ontingente al propio plan, es deir si U L < U VE L, te. marginal es dereiente funión de utilidad estritamente ónava: U '' < 0, uando se evalúa en renta onstante. El individuo pagaría por onsumir VEL, en lugar de L: x prima de riesgo. U VE L x U L 7.5 Aversión al riesgo Urenta U58 U u5+0.5 u54 Prima de riesgo: Cuanto pagaría por no tener que jugar, U50 quedándose on el VE En este ejemplo, la utilidad esperada del juego 4 es menor que la utilidad del valor esperado de 0 6, por lo que el individuo es averso al riesgo. La razón es que la f. de utilidad es ónava, o diho de otra forma, la utilidad marginal de la renta es dereiente. 8

4 .5 La aversión al riesgo Un individuo es amante del riesgo si prefiere siempre un plan de onsumo ontingente al valor esperado del propio plan, es deir si U L > U VE L, te. marginal es reiente funión de utilidad estritamente onvexa: U '' > 0, uando se evalúa en renta onstante. El individuo pagaría por onsumir L, en lugar de VEL. 9 u58 0.5u5+0.5u5 4 u0 u50.5 Aversión al riesgo Urenta En este ejemplo, la utilidad esperada del juego 4 es mayor que la utilidad del valor esperado del juego, por lo que el individuo es amante del riesgo. La razón es que la f. de utilidad es onvexa, o diho de otra forma, la utilidad marginal de la renta es reiente. 0.5 La aversión al riesgo Un individuo es neutral al riesgo si siempre es indiferente entre un plan de onsumo ontingente y el valor esperado del propio plan, es deir si U L U VE L, marginal es onstante funión de utilidad lineal: U '' 0, uando se evalúa en renta onstante. u58 u04ue4 0.5u5+0.5u5 u50.5 Aversión al riesgo Urenta En este ejemplo, la utilidad esperada del juego 4 es igual que la utilidad del valor esperado del juego 4, por lo que el individuo es neutral al riesgo. La razón es que la f. de utilidad es lineal, o diho de otra forma, la utilidad marginal de la renta es onstante..5 Aversión al riesgo Ejemplo: la demanda de un seguro de un averso al riesgo iniial 5000 euros. Con prob. sufre una pérdida de 0000 euros. Puede omprar euros de seguro si paga una prima de. Sean y - las probabilidades de sufrir la pérdida y no sufrirla respetivamente. Llamemos al estado de la naturaleza no aidente. En ese estado de la naturaleza, la riqueza del individuo será 5000 y La utilidad esperada sería: en aso de aidente. UE u + u.5 Aversión al riesgo La eleión óptima del seguro ha de satisfaer RMS. Qué ourre desde el punto de vista de la ompañía de seguros? Su benefiio esperado es P Supongamos que el merado de seguros es muy ompetitivo por ejemplo, hay libre entrada, de modo que la ompañía obra una prima justa, es deir, que en promedio ni gana ni pierde. Formalmente, P - 0, lo que implia que. 4

5 .5 Aversión al riesgo Sustituyendo en la ondiión de optimalidad: u / u / Y simplifiando las probabilidades nos queda la ondiión: u u Esta ondiión nos die que la utilidad marginal de un euro adiional de renta si ourre la pérdida ha de ser igual a la utilidad marginal si no ourre la pérdida, lo que ourre solo si. 5.5 Aversión al riesgo Sustituyendo por las expresiones para los niveles de onsumo en ada estado tenemos: Es deir, *0000 euros, lo que implia que un onsumidor averso al riesgo que se enfrenta a la posibilidad de asegurarse a una prima justa, se asegurará ompletamente ontra la pérdida para maximizar su utilidad esperada. 6.5 Aversión al riesgo Qué ourriría si la prima no es justa, o sea, si los benefiios esperados de la ompañía de seguros son positivos? P >0, o sea que >. Esto implia >. UM La eleión óptima requiere: UM Como >, entones UM > UM. O sea, <. Un averso al riesgo que se enfrenta a un seguro de prima no justa se asegurará menos que ompletamente. 7.6 Diversifiaión Dos empresas, A gafas de sol y B paraguas. Las aiones de ambas empresas uestan 0 euros. Con prob. / lloverá muho este verano y en ese aso el valor de las aiones de B se dupliará 0 eurosy el de las aiones de A se dividirá por dos 5 euros. Con prob. / hará muho sol este verano y en ese aso el valor de las aiones de B se dividirá por dos 5 eurosy el de las aiones de A se dupliará 0 euros. Si un onsumidor averso al riesgo tiene 0 euros para invertir, ómo habrá de haerlo? 8.6 Diversifiaión Si invertimos todo en la empresa de gafas de sol, el valor esperado de nuestra inversión será VE/0+/5.5 euros. Si invertimos todo en la empresa de paraguas, el valor esperado de nuestra inversión será VE/5+/0.5 euros. En ambos asos, soportamos un riesgo alto prob./ de perder la mitad de nuestra inversión. Sin embargo, suponemos que diversifiamos riesgo, invirtiendo 5 euros en ada empresa. 9.6 Diversifiaión En ese aso, el valor esperado de nuestra inversión será: VE/0+.5+/ O sea que el valor esperado de la inversión no ambia, sigue siendo.5, pero ahora no hay riesgo alguno, ya que llueva o haga sol, el onsumidor va a obtener.5 euros. En la medida en la que las osilaiones de preios de distintos ativos no estén perfetamente orrelaionadas, la diversifiaión reportará algunas ventajas. 0