Integración de formas diferenciales

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1 Capítulo 9 Integraión de formas difereniales 1. Complejos en R n En este apítulo iniiamos el estudio de la integraión de formas difereniales sobre omplejos en R n. Un omplejo es una ombinaión de ubos en R n, en general, de dimensión menor a n. En esta seión nos enargamos de definirlos formalmente. Definiión 9.1. Un k-ubo en A R n es una funión ontinuamente differeniable : [0,1] k A on k 1. Un 0-ubo es definido omo un punto ([0,1] 0 = {0}). Un 1-ubo en A también es llamado una urva en A. Ejemplo 9.2 (El írulo unitario). La urva en el plano : [0,1] R 2 dada por (t) = (os 2πt,sen 2πt) es omúnmente llamada el írulo unitario, y también es denotada por S 1 (figura 1). Ejemplo 9.3 (El diso). El diso D 2 es el 2-ubo : [0,1] 2 R 2 definido omo (figura 2). (r,θ) = (r os 2πθ,r sen 2πθ) 167

2 Integraión de formas difereniales 1 S Figura 1. El írulo unitario S 1. 1 D Figura 2. El diso D 2. Ejemplo 9.4 (La esfera). A su vez, la esfera S 2 también puede verse omo el 2-ubo dado por la funión : [0,1] 2 R 3 definida por Véase la figura 3. (θ,ϕ) = (os 2πθ sen πϕ,sen 2πθ sen πϕ,os πϕ). Figura 3. La esfera S 2, donde se muestra la direión de las oordenadas θ (siguiendo los paralelos) y ϕ (siguiendo los meridianos).

3 1. Complejos en R n 169 El k-ubo estándar Q k es el retángulo [0,1] k, visto omo subonjunto de R k. Es deir, es la funión Q k : [0,1] k R k dada por Q k (x) = x, la inlusión de [0,1] k en R k. La figura 4 muestra los ubos Q k para k = 0,1,2. k=0 k= 1 k=2 Figura 4. Los ubos Q 0, Q 1 y Q 2, respetivamente. Definiión 9.5. Un k-omplejo es una ombinaión lineal formal de k-ubos on oefiientes enteros, de la forma a i Z. = a a a p p, La ombinaión lineal anterior es solo formal, y de ninguna manera debe interpretarse omo la funión x a 1 1 (x)+ +a p p (x), aunque esta ombinaión admite una interpretaión geométria. Por ejemplo, si = S 1 es el írulo unitario, el ual es reorrido en direión ontraria a las maneillas del reloj, entones el omplejo 3 denota lo que debe interpretarse omo un írulo reorrido tres vees en la misma direión. Insistimos, de ninguna manera se debe interpretar omo un írulo de radio igual a 3. Similarmente, el omplejo se interpreta geométriamente omo el írulo unitario reorrido en direión de las maneillas del reloj; es deir, en la direión opuesta a. Si a = 0, entones a = 0 se denota simplemente omo 0. Este es llamado el omplejo 0. Notamos que 0 no es un 0-omplejo (formado por puntos). Los k-omplejos admiten la operaión suma (a a p p ) + (b b p p ) = (a 1 + b 1 ) (a p + b p ) p, que se interpreta geométriamente omo un reorrido seuenial de ambos omplejos, on la orientaión (más tarde la definiremos de manera preisa) y multipliidad de ada ubo i dada por los oefiientes a i y b i. Similarmente, la multipliaión esalar b(a a p p ) = a 1 b a p b p,

4 Integraión de formas difereniales para b Z, debe interpretarse omo un reorrido del omplejo repetido b vees, on orientaión determinada por el signo de b. La frontera de un omplejo no orresponderá a su frontera topológia omo subonjunto de R n, sino al onepto geométrio que se puede interpretar omo borde. Si es un k-omplejo, su frontera será un (k 1)-omplejo. Por ejemplo, la frontera de una urva estará formada simplemente por lo puntos extremos de, es deir, los puntos (0) y (1). Como se reorre de (0) a (1), a (0) se le asigna un signo negativo, mientras que a (1) se le asigna un signo positivo. Por lo tanto, la frontera de está dada por el 0-omplejo (0) + (1). Véase la figura 5. (0) (1) ( ) (+) Figura 5. La frontera de una urva está dada por el 0-omplejo (0) + (1). Para formalizar la definiión de frontera, iniiamos por definir las aras de un ubo estándar. Definiión 9.6. Sea Q k el k-ubo estándar en R k. Las aras de Q k son los (k 1)-ubos Q k (i,α) : [0,1]k 1 R k, i = 1,...,k, α = 0,1, dados por (9.1) Q k (i,α) (y) = (y1,...,y i 1,α,y i,...,y k 1 ). Es deir, ada ara Q k (i,α) es el (k 1)-ubo formado al fijar la i-ésima oordenada en Q k igual a 0 o 1. Notamos que Q k tiene 2 k aras. Por ejemplo, las aras de Q 2 están dadas por las 4 urvas Q 2 (1,0), Q2 (1,1), Q2 (2,0) y Q2 (2,1) (omúnmente llamados lados), dadas por las funiones en [0,1] Q 2 (1,0)(y) = (0,y), Q2 Q 2 (2,0)(y) = (y,0), Q2 (1,1)(y) = (1,y), (2,1)(y) = (y,1). La figura 6 muestra estas aras, y se india la direión en que tales urvas son reorridas uando y va de 0 a 1. Definiión 9.7. Sea : [0,1] k R n un k-ubo en R n. Entones definimos sus aras (i,α) : [0,1] k 1 R n, i = 1,...,k, α = 0,1, omo los (k 1)-ubos dados por (i,α) = Q k (i,α).

5 1. Complejos en R n Q (2,1) Q 2 (1,0) Q 2 (1,1) 2 Q (2,0) 1 Figura 6. Las 4 aras del ubo Q 2. Es deir, ada ara (i,α) del ubo está dada por (i,α) (y 1,...,y k 1 ) = (y 1,...,y i 1,α,y i,...,y k 1 ). De igual forma, un k-ubo tiene 2 k aras, ada (i,α) formada al fijar la i-ésima oordenada igual a 0 o 1. Ejemplo 9.8 (Caras de D 2 ). Las aras del diso D 2, desrito en el ejemplo 9.3, son las urvas (1,0) (θ) = (0,0), (1,1) (θ) = (os 2πθ,sen 2πθ), (2,0) (r) = (r,0), y (2,1) (r) = (r,0). Notamos que, omo (1,0) es onstante, solo desribe un punto (el origen), mientras que tanto (2,0) omo (2,1) desriben el mismo segmento de reta del origen al punto (1,0). 1 (1,1) 1 (1,0) (2,0) (2,1) 1 1 Figura 7. Las aras (i,α) del diso D 2. Ejemplo 9.9 (Caras de S 2 ). Las aras de S 2, desrita en el ejemplo 9.4, son las urvas (1,0) (θ) = (0,0,1), (1,1) (θ) = (0,0, 1), (2,0) (ϕ) = (sen πϕ,0,os πϕ) y (2,1) (ϕ) = (sen πϕ,0,os πϕ). Notamos que (1,0) y (1,1) son onstantes y desriben los polos norte y sur, respetivamente, mientras que (2,0) y (2,1) desriben el meridiano en el plano xz.

6 Integraión de formas difereniales (1,0) (2,0) (2,1) (1,1) Figura 8. Las aras (i,α) de la esfera S 2. (2,0) y (2,1) desriben el meridiano en el plano xz, mientras que (1,0) y (1,1) desriben los polos norte y sur, respetivamente. La frontera de un omplejo es una ombinaión de las aras de ada uno de los ubos que lo forman, on una orientaión partiular seleionada para ada una. Definiión Sea : [0,1] k R n un k-ubo. La frontera de, denotada por, es el (k 1)-omplejo dado por = k ( 1) i+α (i,α). i=1 α=0,1 Si = a a p p es un omplejo, su frontera está dada por p = a i i. i=1 Es deir, la frontera de un ubo es el omplejo formado por sus aras, donde a ada una se le asigna un signo. Si apliamos la definiión 9.10 a una urva, obtenemos que = (1,0) + (1,1) = (0) + (1), omo ya lo habíamos disutido anteriormente. Notamos que en el íulo unitario, (1,0) y (1,1) son el mismo punto (1,0), por lo que entones tenemos que S 1 = 0, el omplejo 0. Una urva que satisfae = 0 es llamada una urva errada. Ejemplo La figura 9 muestra la frontera del ubo estándar Q 2. A las aras Q 2 (1,0 y Q2 (2,1) se les ha asignado el signo negativo, por lo que deben ser reorridas en la direión opuesta a la dada por las funiones Q 2 (1,0 (y) y Q 2 (2,1) (y), uando y va de 0 a 1. Como resultado, la frontera de Q2 se reorre en direión opuesta a las maneillas del reloj.

7 1. Complejos en R n Q (2,1) 1 +1 Q 2 Q 2 (1,0) 1 (1,1) +1 2 Q (2,0) 1 Figura 9. La frontera del ubo Q 2. Ejemplo 9.12 (La frontera de D 2 ). La frontera del diso D 2, desrito por la funión definida en el ejemplo 9.3, está dada por el 1-omplejo D 2 = (1,0) + (1,1) + (2,0) (2,1). Como (2,0) = (2,1), tenemos entones que D 2 = (1,0) + (1,1), el omplejo formado por el origen, on signo negativo, y el írulo unitario, on signo positivo. Ejemplo 9.13 (La frontera de S 2 ). La frontera de la esfera S 2, desrita en el ejemplo 9.4, está dada por S 2 = (1,0) + (1,1) + (2,0) (2,1). Como (2,0) = (2,1), el meridiano en el plano xy, entones el omplejo formado por los polos. S 2 = (1,0) + (1,1), El siguiente teorema es una propiedad esenial de la frontera de un omplejo. Teorema Sea un omplejo. Entones ( ) = 0. Es deir, la frontera de la frontera de un omplejo es el omplejo 0. La figura 10 muestra la frontera de las fronteras de Q 2 y Q 3. En ambos asos, las (+) ( ) ( ) (+) (+) ( ) ( ) (+) Figura 10. Representaión de ( Q 2 ) y ( Q 3 ).

8 Integraión de formas difereniales respetivas aras de la ubos que forman las fronteras Q 2 y Q 3 apareen dos vees, y on signo ontrario. Esto resulta en la anelaión de dihas aras en los omplejos ( Q 2 ) y ( Q 3 ). Demostraión. Es sufiiente on demostrar que ( ) = 0 para un k-ubo. Tenemos ( k ( ) = = k ) ( 1) i+α (i,α) = i=1 α=0,1 i=1 α=0,1 k 1 ( 1) i+α j=1 β=0,1 k ( 1) i+α (i,α) i=1 α=0,1 ( 1) j+β (i,α)(j,β), donde (i,α)(j,β) representa la ara (j,β), j = 1,...,k 1, β = 0,1, del (k 1)-ubo (i,α). Ahora bien, si i j, (i,α)(j,β) (x 1,...,x k 2 ) = (i,α) (x 1,...,x j 1,β,x j,...,x k 2 ) = (x 1,...,x i 1,α,x i,...,x j 1,β,x j,...,x k 2 ) = (j+1,β) (x 1,...,x i 1,α,x i,...,x k 2 ) = (j+1,β)(i,α) (x 1,...,x k 2 ), y entones (i,α)(j,β) = (j+1,β)(i,α). Por lo tanto ( ) = = k k 1 i=1 j=1 α=0,1 β=0,1 1 i j k 1 α,β=0,1 = ( 1) i+j+β+α (i,α)(j,β) 1 i<j k α,β=0,1 + ( 1) i+j+β+α (j+1,β)(i,α) 1 j<i k α,β=0,1 ( 1) i+j 1+β+α (j,β)(i,α) + 1 j<i k α,β=0,1 ( 1) i+j+β+α (i,α)(j,β) ( 1) i+j+β+α (i,α)(j,β) = 0. Notamos la similaridad de la identidad 2 = 0, para un omplejo, on la identidad d 2 ω = 0, para una forma diferenial ω de lase C 2. En las siguientes seiones veremos la relaión entre ambas.

9 2. Integrales de línea Integrales de línea Antes de estudiar la teoría de integraión de k-formas difereniales en k- omplejos, tomaremos esta seión para definir y disutir on detalle la integraión de 1-formas difereniales en urvas, o sea 1-ubos, y en 1-omplejos. Tales integrales son onoidas omúnmente por integrales de línea. Sea ω una 1-forma diferenial en un onjunto abierto A R que ontiene a Q 1 = [0,1]. Entones ω está dada por ω = fdx, para f : A R. Es natural entones definir la integral de ω en Q 1 omo 1 ω = f, Q 1 0 la integral de Riemann de f en [0,1]. La generalizaión a la integral sobre una urva en R n es inmediata. Definiión Sea ω una 1-forma diferenial de lase C 1 definida en un onjunto abierto A R n, y sea una urva en A. Definimos la integral de ω en omo ω = ω. Q 1 Reordemos que ω es la forma diferenial dada por la definiión Entones (dx i )(t) = ( i ) (t)dt, para t [0,1]. Por ejemplo, en notaión lásia en R 2, esribimos la urva omo (t) = (x(t),y(t)) y, para una forma ω = Pdx + Qdy, ω = ( P(x(t),y(t))x (t) + Q(x(t),y(t))y (t) ) dt. Entones la integral de ω en está dada por 1 ( ) ω = P(x(t),y(t))x (t) + Q(x(t),y(t))y (t) dt. 0 En general, si ω = ω 1 dx ω n dx n, 1 ( ) ω 1 dx ω n dx n = ω 1 ((t))( 1 ) (t) ω n ((t))( n ) (t) dt. 0 Definiión Sea a i i un 1-omplejo en A R n, y sea ω una 1-forma de lase C 1 en A. Definimos entones la integral de ω en a i i omo P aii ω = a i i ω.

10 Integraión de formas difereniales Esta definiión es onsistente on la interpretaión geométria de un omplejo disutida anteriormente. Si es una urva y 3 se interpreta omo la urva reorrida 3 vees, entones esperamos que ω = 3 ω para ada forma ω. 3 En oasiones, dos urvas 1 y 2 pueden representar el mismo objeto geométrio en R n. Es deir, si γ = 1 ([0,1]) es la imagen de 1, entones 2 ([0,1]) = γ y, además, tanto 1 omo 2 reorren a γ de la misma forma: en la misma direión y el mismo número de vees. 1 y 2 son llamadas dos parametrizaiones de γ. La propiedad importante es que la integral de una forma no depende de la parametrizaión on la que se desribe, omo lo muestra la siguiente proposiión. Proposiión 9.17 (Independenia de parametrizaión). Sea φ : [0, 1] [0, 1] ontinuamente difereniable y reiente, on φ(0) = 0 y φ(1) = 1. Sea A R n abierto, : [0,1] A una urva y ω una 1-forma diferenial C 1 en A. Entones ω = ω. φ En esta proposiión, la urva ha sido reparametrizada por φ. Demostraión. La proposiión se sigue fáilmente por el teorema de ambio de variable de la integral en un intervalo en R. Tenemos 1 n ω = ( φ) ω = ω i (( φ)(t))( i φ) (t)dt φ Q 1 0 i=1 1 n = ω i (((φ)(t)))( i ) (φ(t))φ (t)dt = 0 i=1 φ(1) φ(0) i=1 n ω i ((t))( i ) (t)dt = ω = ω. Q 1 Si la funión φ es dereiente y φ(0) = 1 y φ(1) = 0, entones la parametrizaión φ reorre a en el sentido opuesto, y de la demostraión anterior es fáil ver que φ ω = ω. Así que nuestra interpretaión del omplejo omo la urva reorrida en direión opuesta es onsistente on la integral de una reparametrizaión en el sentido opuesto.

11 2. Integrales de línea 177 Si ω es una 1-forma exata de lase C 1 en A y es una urva en A, entones ω = df para alguna funión f : A R de lase C 2 y ω = df = D 1 fdx D n fdx n = = ( D1 f((t))( 1 ) (t) D n f((t))( n ) (t) ) dt d ( ) f((t)) dt = f((1)) f((0)), dt por el teorema fundamental del álulo. Entones, la integral ω depende solo de los valores de f en (0) y (1), es deir, en la frontera de. La inversa es también ierta, lo ual es el ontenido de la siguiente proposiión. Primero definiremos algunos oneptos. Deimos que la funión : [0,1] A, A R n, es una urva difereniable por pedazos (C 1, C 2, et.) si es ontinua y existen t 1,...,t p tales que 0 < t 1 < t 2 <... < t p < 1 y es difereniable (C 1, C 2, et., respetivamente) en ada intervalo (0,t 1 ), (t 1,t 2 ),..., (t p,1). En tal aso, si ω es una 1-forma diferenial C 1, definimos t1 t2 1 ω = ω + ω ω. t 1 t p Si i : [0,1] A, i = 1,...,p + 1, es la urva 0 i (t) = (t i 1 + t(t i t i 1 )), donde hemos definido t 0 = 0, t p+1 = 1, entones podemos identifiar a la urva por pedazos on el 1-omplejo p+1. De heho, por la proposiión 9.17, p+1 ω = ω = ω. i p+1 i=1 Definiión Deimos que un onjunto abierto A R n es onexo si, para ada x,y A, existe una urva difereniable por pedazos en A tal que (0) = x y (1) = y. Ejemplos de onjuntos onexos están dados por los onjuntos onvexos, donde podemos tomar la urva omo la reta de x a y, o los onjuntos simplemente onexos, donde podemos onstruir de x a y a través de la homotopía entre A y un punto (ejeriio 6). Proposiión Sea A R n abierto y onexo, y ω una 1-forma diferenial en A de lase C 1. Entones los siguientes enuniados son equivalentes: 1. ω es exata en A;

12 Integraión de formas difereniales A y x Figura 11. A es onexo si, para ada x,y A, existe una urva difereniable por pedazos en A tal que (0) = x y (1) = y. 2. ω depende solo de, para ualquier urva difereniable por pedazos; y 3. ω = 0 para ualquier urva difereniable por pedazos errada en A. Demostraión. Solo demostraremos que (2) (1). Las otras impliaiones se dejan omo ejeriio (ejeriio 7). Fijamos x 0 A. Para x A, definimos f(x) = ω, donde es una urva difereniable por pedazos en A de x 0 a x. La funión f : A R está bien definida porque A es onexo y la integral ω solo depende de x 0 y x (los uales forman la frontera de ). Demostraremos que df = ω, es deir D i f = ω i para ada i = 1,...,n. Sea h R tal que la bola B h (x) A, y sea i : [0,1] A la urva i (t) = x + the i. Entones el 1-omplejo + i desribe una urva difereniable por pedazos A x i x+he i x 0 Figura 12. El 1-omplejo + i desribe una urva difereniable por pedazos de x 0 a x + he i

13 2. Integrales de línea 179 de x 0 a x + he i (figura 12) y, por la proposiion 9.17, 1 f(x + he i ) = ω + ω = f(x) + w i (x + the i )hdt, i 0 por lo que entones f(x + he i ) f(x) h = 1 0 w i (x + the i )dt, que tiende a ω i (x) uando h 0, porque ω i es ontinua. La proposiión 9.19 puede ser utilizada para verifiar si una forma es exata o no, omo lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Reordemos la forma ω = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy en R 2 \ {0}. Ya habíamos visto antes que esta forma, aunque errada, no es exata. También podemos verifiar esto on ayuda de la proposiión Sea (t) = (os 2πt,sen 2πt), el írulo unitario S 1, el ual sabemos que satisfae = 0. Entones 1 ( ) ω = ( sen 2πt)( 2π sen 2πt) + (os 2πt)(2π os 2πt) dt = 2π 0. 0 Por lo tanto, ω es una forma errada en R 2 \ {0} que no es exata. Definiión Sea ω una forma en A R n. Deimos que la forma ω es loalmente exata si, para ada x A, existe un ε > 0 tal que ω es exata en B 0 ε (x). Equivalentemente, ω es loalmente exata en A si para x A existe un retángulo abierto alrededor de x donde ω es exata. Como ya habíamos observado, el lema de Poinaré implia que todas las formas erradas son loalmente exatas. Definiión Sean 0, 1 dos urvas erradas en A de lase C 2. Una homotopía de urvas erradas entre 0 y 1 es una funión H : [0,1] [0,1] A de lase C 2 tal que, para todo t [0,1], y, para todo s [0,1], H(0,t) = 0 (t) y H(1,t) = 1 (t), H(s,0) = H(s,1). Si existe una homotopía de urvas erradas entre 0 y 1 en A, deimos que estas urvas son homotópias.

14 Integraión de formas difereniales En otras palabras, dos urvas erradas son homotópias si podemos deformar una en otra, en el tiempo s de 0 a 1, de tal forma que todas las urvas intermedias también son erradas. El siguiente teorema establee una propiedad esenial de urvas homotópias. Teorema Sea ω una forma errada en A. Si 0 y 1 son urvas erradas homotópias en A, entones ω = ω. 0 1 Demostraión. Si H : [0,1] [0,1] A es una homotopía de urvas erradas de 0 a 1, entones H es un 2-ubo uyas aras satisfaen H Q 2 (1,0) = 0, H Q 2 (1,1) = 1, y H Q 2 (2,0) = H Q2 (2,1) Entones H = Como H([0,1] 2 ) es ompato y ω es loalmente exata, existe una partiión P de [0,1] 2 tal que, para ada S P, ω es exata en H(S). Entones, para ada S P, ω = 0, H(S) porque ada H(S) es una urva errada en A. Es fáil ver que S = Q 2. S P (ejeriio 3), así que H = H(S) y entones S P ω + 0 ω = 0, 1 y, por lo tanto, ω = 0 ω. 1 H ω = 0. Así que, Ejemplo Consideremos las urvas 0, 1 en R 2 \ {0} dadas por 0 (t) = (os 2πt,sen 2πt), 1 (t) = (os 2πt, sen 2πt). Como muestra la figura 13, 0 y 1 orresponden a dos írulos unitarios, alrededor del origen, on direión opuesta: 0 en direión ontraria a las maneillas del reloj, mientras que 1 en direión de las maneillas del reloj. Ambas iniian y terminan en el punto (1,0). Si ω es la 1-forma ω = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy,

15 3. Integraión de formas difereniales Figura 13. Las urvas 0 y 1 orresponden a írulos alrededor del origen en R 2 \ {0}, en direión opuesta. entones mientras que 0 ω = 1 ω = πdt = 2π, 2πdt = 2π, por lo que podemos onluir que 0 y 1 no son homotópias en R 2 \ {0}. Es importante notar que los írulos del ejemplo 9.24 no son homotópios en R 2 \ {0}, aunque sí lo son en R 2, ya que R 2 es simplemente onexo. Reordemos que, si A R n es simplemente onexo, entones toda urva errada es homotópia a un punto. Tenemos entones el siguiente resultado. Corolario Si A es simplemente onexo y ω es errada, entones ω = 0 para ualquier urva errada en A. Desde luego, este orolario y la proposiión 9.19 implian el aso espeial del lema de Poinaré para 1-formas (el ual ya hemos demostrado en general). 3. Integraión de formas difereniales En esta seión extendemos la definiión de la integral de una 1-forma en una urva (o en un 1-omplejo), estudiada en la seión anterior, a la integraión de k-formas difereniales sobre un k-omplejo. Iniiamos por definir la integral sobre el ubo estándar Q k, de la misma manera en que definimos la integral de una 1-forma en Q 1. Reordemos que,

16 Integraión de formas difereniales si ω es una k-forma en el onjunto abierto A R k, entones existe una funión f : A R tal que ω = fdx 1... dx k. A la forma dx 1... dx k se le onoe omo unidad de volumen en R k, y se suele denotar simplemente por dx. Así, podemos esribir ω = fdx. Si el onjunto abierto A R k ontiene a [0,1] k, y f es Riemannintegrable en [0,1] k, definimos la integral de ω en Q k omo ω = f. Q k [0,1] k En el aso k = 0, Q 0 = {0}, y definimos simplemente Q 0 f = f(0). La generalizaión de esta integral a un k-ubo es inmediata. Definiión Sea A R n abierto, y : [0,1] k A un k-ubo en A. Si ω es una k-forma diferenial en A de lase C 1, definimos la integral de ω en omo ω = ω. Q k Si a i i es un k-omplejo en A, donde ada i es un k-ubo, y ω es una k-forma diferenial en A de lase C 1, entones definimos P aii ω = a i i ω. Si ω es una 2-forma, entones la integral de ω es llamada una integral de superfiie, mientras que la integral de una 3-forma es llamada una integral de volumen. Ejemplo Consideremos el 2-ubo S en R 3 dado por la funión (x,y) (x,y,f(x,y)), donde f : [0,1] 2 R es una funión difereniable. Notamos que S orresponde a la gráfia de la funión f en [0,1] 2. Sea ω = ω 1 dy dz + ω 2 dz dx + ω 3 dx dy una 2-forma diferenial en un onjunto abierto que ontiene a S. Entones S ω = (ω 1 S)dS 2 ds 3 + (ω 2 S)dS 3 ds 1 + (ω 3 S)dS 1 ds 2 = (ω 1 S) ( dy (D 1 fdx + D 2 fdy) ) + (ω 2 S) ( (D 1 fdx + D 2 fdy) dx ) + (ω 3 S)dx dy = ( (ω 1 S)D 1 f (ω 2 S)D 2 f + ω 3 S ) dx dy.

17 4. Teorema de Stokes 183 Si ω es tal que, en S, las omponentes ω 1, ω 2, ω 3, orresponden a las omponentes del vetor normal 1 a S, (D1 f) 2 + (D 2 f) 2( D 1f, D 2 f,1), entones S ω = S ω = 1 + (D1 f) 2 + (D 2 f) 2 dxdy. Q 2 [0,1] 2 Como veremos en apítulos posteriores, esta integral alula el área de la superfiie S. Más adelante, veremos también que ω es llamada unidad de área, y se denota omúnmente por da. 4. Teorema de Stokes Hemos visto que, del teorema fundamental del Cálulo, si ω = df en un onjunto abierto que ontiene a una urva, entones ω = df = f((1)) f((0)). Esta integral es igual a f, ya que = (0) + (1) y f = f((0)) + f((1)). Así, el teorema fundamental del álulo puede ser esrito en el lenguaje de formas difereniales omo df = f. Ahora demostraremos la extensión del teorema fundamental del álulo a k- formas difereniales. Este resultado es onoido omo el teorema de Stokes, y es uno de los más importantes del análisis. Teorema 9.28 (Teorema de Stokes). Sea A R n un onjunto abierto, un k-omplejo en A de lase C 2, y ω una (k 1)-forma diferenial en A ontinuamente difereniable. Entones dω = ω. Demostraión. Consideremos primero el aso = Q k. Si ω una (k 1)- forma en un onjunto abierto A [0,1] k, entones ω es una suma de formas fdx Ip, donde f : A R es difereniable y I p es el (k 1)-multiíndie I p = (1,...,p 1,p + 1,...,k), 1 Más adelante estudiaremos este onepto de manera preisa.

18 Integraión de formas difereniales por lo que onsideraremos solo el aso ω = fdx Ip. Como entones Q k fdx Ip = Ahora bien, ( Q k (i,α) ) (dx I p ) = = Q k = k k i=1 α=0,1 k ( 1) i+α Q k (i,α), i=1 α=0,1 ( 1) i+α i=1 α=0,1 Q k (i,α) fdx Ip ( 1) [0,1] i+α ( ) Q k (fdx I p (i,α) ). k 1 d ( Q k (i,α)) 1... d ( Q k (i,α) ) p 1 d ( Q k (i,α) ) p+1 d ( Q k (i,α) ) k. Como ( Q k (i,α) ) j(x) = {x j j i, α j = i, los difereniales d ( Q k (i,α)) j están dados por y entones Así que tenemos que ( Q k (i,α) ) (fdx I p ) = Por lo tanto (9.2) fdx Ip = Q k d ( Q k ) j {dx j j i, (i,α) = 0 j = i, ( Q k (i,α) ) (dx I p ) = { 0 p i, dx Ip p = i. { f(x 1,...,x p 1,α,x p,...,x k 1 )dx Ip i = p, 0 i p. ( 1) p [0,1] k 1 f(x 1,...,x p 1,0,x p,...,x k 1 )dx Ip + ( 1) p+1 [0,1] k 1 f(x 1,...,x p 1,1,x p,...,x k 1 )dx Ip.

19 4. Teorema de Stokes 185 Para alular Q k d(fdx Ip ), observamos primero que d(fdx Ip ) = df dx Ip = Entones k D i fdx i dx Ip = D p fdx p dx Ip = ( 1) p 1 D p fdx. i=1 y, por el teorema de Fubini, d(fdx Ip ) = ( 1) p 1 d(fdx Ip ) = ( 1) p 1 D p fdx Q k [0,1] k [0,1] k 1 ( 1 D p fdx p) dx Ip 0 = ( 1) p 1 [0,1] k 1 ( f(x 1,...,1,...,x k ) f(x 1,...,0,...,x k ) ) dx Ip, la ual es igual a (9.2). Por lo tanto d(fdx Ip ) = fdx Ip. Q k Q k Podemos onluir entones que, para ualquier (k 1)-forma ω definida en el ubo Q k, (9.3) dω = Q k ω. Q k Supongamos ahora que : [0,1] k A R n es un k-ubo difereniable en A. Entones, por (9.3), dω = (dω) = d( ω) [0,1] k [0,1] k = d( ω) = ω Q k Q k = k ( 1) i+α i=1 α=0,1 Q k (i,α) ω. Aquí, hemos requerido la hipótesis C 2 para poder apliar la proposiión 8.6. Ahora bien, por la proposiión 7.28, ( ) ω = Q k ( ) (i,α) ω = Q k ω (i,α) Q k [0,1] (i,α) k 1 [0,1] k 1 = (i,α) ω = ω, [0,1] k 1 (i,α)

20 Integraión de formas difereniales por lo que entones dω = k ( 1) i+α ω = (i,α) i=1 α=0,1 ω. Para finalizar, si a i i es un k-omplejo de lase C 2 y ω una (k 1)- forma ontinuamente difereniable, entones P dω = a i dω = a i ω = P ω = aii i i ai i ( P ω. a i i ) Ejemplo Reordemos la forma ω en R 2 \ {0} dada por ω = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy. Si S 1 es el írulo unitario, entones, omo ya habíamos visto, S 1 ω = 2π. Si es un 2-ubo en R 2 \ {0}, entones ω = dω = 0, porque ω es una forma errada. Podemos onluir entones que S 1 no es la frontera de ningún 2-omplejo en R 2 \ {0}. En general, si s R,n es el írulo de n-vueltas podemos verifiar (ejeriio 8) que s R,n (t) = (R os 2πnt,R sen 2πnt), s R,n ω = 2πn, así que, si n 0, s R,n tampoo es la frontera de un 2-omplejo en R 2 \ {0} Teorema fundamental del álgebra. El teorema de Stokes tiene una gran variedad de apliaiones, sobre todo en el ontexto más general que se estudiará en los apítulo posteriores. Entre ellas se enuentra la siguiente demostraión del teorema fundamental del álgebra. Teorema 9.30 (Teorema fundamental del álgebra.). Si f(z) = z n + a n 1 z n a 0 es un polinomio sobre C de grado n 1, entones existe r C tal que f(r) = 0.

21 4. Teorema de Stokes 187 A primera vista puede ser una sorpresa enontrarse un teorema de álgebra, y sobre todo el teorema fundamental, en un estudio del análisis o de la geometría. Sin embargo, este teorema se refiere al ampo de los números omplejos, el ual no puede ser definido en términos puramente algebraios: requerimos definirlo a partir del ampo de los números reales, el ual a su vez posee la propiedad de ser ompleto, una propiedad esenialmente analítia. Por lo tanto, no podemos esperar una demostraión puramente algebraia. A ontinuaión presentamos una demostraión basada no solo en el análisis, sino también en las ideas geométrias disutidas en este apítulo. Demostraión. Definimos la urva errada s R,f = f s R,1. Es deir, s R,f (t) = f(ros 2πt + ir sen 2πt) = f(re 2πit ), por lo que S R,f es la imagen en C bajo el polinomio f del írulo de radio R on entro en el origen, omo se muestra en la figura 14. Demostraremos s R, 1 f f s R, 1 Figura 14. La urva s R,f es la imagen en C del írulo de radio R, alrededor del origen, bajo el polinomio f. Para R > 0 sufiientemente grande, s R,f se mantiene lejos del origen, y es homotópia a s R n,n en R 2 \ {0}. primero que, si R es sufiientemente grande, entones s R,f no es la frontera de ningún 2-omplejo en R 2 \ {0}. Consideramos el 2-ubo : [0,1] 2 R 2 dado por (u,v) = v s R,f (u) + (1 v)s R n,n(u), donde s R n,n(u) = (R n os 2πnu,R n sen 2πnu) es la urva definida en el ejemplo Por la fórmula de Euler, (u,v) = z n + v(a n 1 z n a 0 ), donde z = R(os 2πu + isen 2πu). Notemos que, para R sufiientemente grande, existe una onstante C > 0 tal que (u,v) R n CvR n 1. La onstante C depende solo de los oefiientes del polinomio f. Entones la urva se enuentra lejos del origen (0,0), si R es sufiientemente grande, y en tal aso es un 2-ubo en R 2 \ {0}.

22 Integraión de formas difereniales Para t [0,1], (t) = (1,0) (t) + (1,1) (t) + (2,0) (t) (2,1) (t) = (0,t) + (1,t) + (t,0) (t,1) = (ts R,f (0) + (1 t)s R n,n(0)) + (ts R,f (1) + (1 t)s R n,n(1)) + s R n,n(t) s R,f (t) = s R n,n(t) s R,f (t), porque s R,f (0) = s R,f (1) y s R n,n(0) = s R n,n(1). Si ω es la forma ω = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy, entones, por el teorema de Stokes, 0 = dω = ω = ω ω, s R n,n s R,f y por lo tanto s R,f ω = 2πn, por el ejemplo Como dω = 0, igual que en el ejemplo 9.29 podemos onluir que s R,f no es la frontera de ningún 2-omplejo en R 2 \ {0}. Sea D R = {z C : z R} el diso de radio R alrededor de 0. Al igual que el diso unitario del ejemplo 9.3, D R es un 2-ubo, y además D R = s R,1. Entones, la frontera del 2-ubo f D R está dada por (f D R ) = s R,f, y omo s R,f no es frontera de ningún 2-omplejo en R 2 \ {0}, 0 f D R. Es deir, existe r D R tal que f(r) = 0. Ejeriios 1. Muestra que el anillo A = {(x,y) R 2 : 1 x 2 + y 2 2} es un 2-ubo. Calula A. 2. Muestra que un retángulo R R n es un n-ubo. 3. Sea R un retángulo en R n, y sea P un partiión de R. Muestra que S = R. S P

23 Ejeriios Considera la urva en A, y P = {s 0 = 0 < s 1 <... < s p = 1} una partiión de [0,1]. Sea i : [0,1] A, i = 1,...,p, la urva y el omplejo i (t) = (s i 1 + (s i s i 1 )t), = p. Muestra que, para una 1-forma ω en A, ω = ω. 5. Muestra que un onjunto estrella es onexo. 6. Muestra que un onjunto abierto simplemente onexo es onexo. (Sugerenia: Sea H una homotopía de x 0 A a A, y onsidera las urvas t H(t,x) y t H(t,y) para onstruir una urva difereniable por pedazos de x a y.) 7. Completa la demostraión de la proposiión Sea ω la 1-forma en R 2 \ {0} dada por ω = y x 2 + y 2dx + x x 2 + y 2dy. Muestra que, si s R,n (t) = (R os 2πnt,Rsen 2πnt), entones s R,n ω = 2πn, 9. Sea ω una 1-forma errada en R 2 \ {0}. Muestra que ω = λdθ + dg, para algún λ R y g : R 2 \ {0} R difereniable. (Sugerenia: Para R > 0, sea s R,1 : [0,1] R 2 \ {0} la urva y onsidera s R,1 (ω).) s R,1 (t) = (R os(2πt),r sen(2πt)), 10. Sea ω = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy, y (t) = (t,t 2 ). Calula ω. 11. Sea ω = yzdx + xzdy + xydz. Calula w para las siguientes urvas. a) (t) = (os 2πt,sen 2πt,sen πt); b) (t) = (t,t 2,t 3 ); ) (t) = (t,2t 2 t,t). 12. Sea ω una 1-forma definida en el onjunto abierto A R n tal que, para ualquier urva errada, ω es un número raional. Muestra que ω es errada.

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