1 2 +! $ = # 1$ $ Pensamiento Algebraico GUÍA DE PARA LOS ASPIRANTES A LA MME Temas que debe dominar:

Transcripción

1 Pensamiento lgebraio Temas que debe dominar: GUÍ DE PR LOS SPIRNTES L MME-06 Definiión, operaiones y propiedades de: Números Naturales Números Enteros Números raionales Números irraionales Números omplejos Polinomios Matries Determinantes Definiión de onjunto soluión de un sistema de euaiones lineales. Inversa de una matriz, ondiiones neesarias y sufiientes para que una matriz sea invertible y métodos para determinarla (uando existe). lgoritmo de la división y propiedades de divisibilidad de números enteros Sistemas de euaiones lineales y métodos de soluión. Problemario. I. Verifia el umplimiento de las propiedades que se india en ada una de las operaiones + " + % $ ' # & Propiedad asoiativa de la suma " 9 % $ ' # & Propiedad distributiva ) # 7 & % ( $ ' Propiedad asoiativa del produto II. Calula las siguientes operaiones de números raionales +! + $ # & " % 9 = 0! + # $ " % &! $! # & # $ = " % " % &

2 III. Dados a y b números enteros, enuentra los enteros q y r tales que b = aq + r on 0 r < a a = b = 7 ) a = 7, b = 6 a = 6 b = 7 d) a = 7 b = 786 IV. Dados los Siguientes polinomios realiza las operaiones que se indian px x x x gx x x x hx x x x x ( ) = +, ( ) = + +, ( ) = + +, sx x x x f x x x tx x x x ( ) = + +, ( ) = + +, ( ) = + 6 p(x) g(x) h(x) f (x) t(x) ) p(x)s(x) + g(x) d) f (x) s(x) V. Calula el valor de p(x) en el que se india p( x) = x p( x) = x 6x + x + x 6x 97x 0x 70 = =, = =, = VI. Si Z = Z = i, y Z = i Calula: Z + Z Z VII. Realiza el álulo que se india en ada iniso, sabiendo que: = 7 0, B = 6, C = 0 y D = 0 0 VIII. B BC ) C D Consideremos el sistema de euaiones x+ y = x y = 6x y = k Es posible que este sistema tenga soluión únia? Si la respuesta es si: i) Cuál es la soluión? ii) Grafia este sistema y muestra la soluión geométriamente.

3 Si la respuesta es no, justifia tu respuesta. IX. Consideremos el sistema de euaiones x+ y = 0x+ 0y = 0 Enuentra el onjunto soluión del sistema dado. Cuántas soluiones tiene? Grafia el sistema de euaiones Qué observas? ) Comenta aera del onjunto soluión. X. Dada la representaión geométria de un sistema de tres euaiones on dos inógnitas Cuántas soluiones tiene el sistema? Da un sistema de euaiones, algebraiamente, que pueda representar a la figura anterior. ) Cuál es el onjunto soluión de tu sistema propuesto? Qué observas? XI. Conteste lo que se pide de manera lara y preisa. Sean y B matries De qué tamaño deben ser y B para que esté definida la operaión de suma? Si se puede alular, Qué se puede deir sobre la dimensión de? ) Si se puede alular B y B, desribir las dimensiones de y B. d) Si se puede alular BC, es de y C es de, de qué dimensión es B? e) Enunie tres propiedades que umpla la transpuesta de una matriz. f) Enunie las tres operaiones elementales por renglón. g) Enunie tres propiedades que umpla la inversa de una matriz XI. Conteste lo que se pide, onsidere que la matriz es de n n (justifique su respuest Una matriz se llama idempotente si =. Cuáles son los valores det si es idempotente? posibles para ( ) Si la matriz satisfae la ondiión det? para ( ) ) Si la matriz satisfae la ondiión det? posibles para ( ) = Cuáles son los valores posibles + I = 0 Cuáles son los valores

4 XII. Si det a b b 0 d d =. Calular det a + XIII. Hallar b si det x 6 y z = ax + by + z. XIV. Hallar la inversa de sin θ os θ os θ sin θ para ualquier número real θ. XV. Determine si las siguientes afirmaiones son verdaderas o falsas (justifique su respuest Si 0 es una matriz uadrada, entones es invertible. Si y B son invertible, entones + Bes invertible. ) Si y B son invertible, entones!! B! es invertible. d) Si = I, entones es invertible. e) Si = y 0, entones es invertible. f) Si B = B para alguna matriz B 0, entones es invertible. T g) Si es invertible y antisimétria ( ) =, también es antisimétria. XVI. Hallar la matriz que tiene omo inversa a la matriz!! = 0. XVII. Si es el aso, enuentra la soluión general y da una soluión partiular del siguiente sistema de euaiones, o bien, determina si no tiene soluión o qué tipo de soluión se presenta. x + x x x + x = 7 x + 0x x x = 6 x + x x x x = x + x 7x 0x x = 7 XVIII. Construye un polinomio uyo valor en = 0, = + i, y = i sea igual a ero y que tome el valor de = y - en. = XIX. La organizaión de los resultados de un torneo de tenis se hae siguiendo lo que se explia a ontinuaión:

5 Cada uno de los n partiipantes juega ontra ada uno de los otros n- y los resultados se registran en una matriz de orden nxn de la siguiente manera: si el i ésimo jugador vene al j ésimo jugador aij = 0 si el i ésimo jugador pierde ante el j ésimo jugador 0 si i = j Finalmente al i-ésimo jugador se le asigna la puntuaión que se obtiene de la siguiente fórmula: Donde ( a ) ij Si = a + a n n ij ( ) j= j= es la ij-ésima entrada de la matriz ij =.. Construya la matriz que orresponda a un torneo de partiipantes. Esta es la matriz que desribe los resultados de un torneo de 6 partiipantes: = Qué lugar oupó el jugador número? Qué jugador oupó el primer lugar? ) Qué jugador oupó el último lugar?