EJERCICIO: DIMENSIONAMIENTO Y COMPROBACIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES

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1 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 EJERCICIO: DIMENSIONAMIENTO Y COMPROBACIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES Dimensionar ó omprobar la seión e la figura en aa uno e los supuestos que se menionan a ontinuaión. h A A s1 b - Aero: B500SD - Hormigón: HA-30/B/5/IIa - h = 500 mm - b = 300 mm - Control e ejeuión: normal - Via útil: 100 años - Tipo e emento: CEM I ATENCIÓN: EN LA SOLUCIÓN DE ESTE EJERCICIO SE CONSIDERAN POSITIVOS LOS AXILES DE COMPRESIÓN, Y EL MOMENTO CON TRACCIONES EN LA FIBRA INFERIOR. 1. M = 10 knm - Datos e materiales: f k = 30 MPa f yk = 500 MPa E s = MPa f = f k / = 0 MPa f = f yk / s = 434 MPa - Por ser f k 50 MPa, 0 = y u = Por ser f = 434 MPa, tenemos = 434/00000 = En lase e ambiente IIa, on via útil e 100 años y emento CEM I, r = 5 mm. Con ontrol e ejeuión normal, r = 10 mm. Suponemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 1 mm. hip = 500 ( /) = 447 mm hip = / = 51 mm - 1 -

2 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 HORMIGÓN COMPRIMIDO.17 s 0? s 3.5 f ' B T C h = 0 T 1 b Profunia : hip 3.5 hip hip 75.8 mm u u Momento límite: y M f by MNm knm 0 MPa 0.30 m m / m = Se umple M < M, por lo que la apaia e ompresión es sufiiente (no es neesario A ). Haemos M u = M, y N u = 0. Cuano >, el hormigón está agotao a ompresión (pivote B), por lo que se puee aoptar el iagrama retangular, y el aero está plastifiao. M M f by y/ M u M y 1 1 fb u 1 s MNm m m 0 MPa 0.30 m m N 0C T 0 f by A f 0 A f / f by 0 / mm 47 mm 649 mm s1 Conversión a armaura real: 649 mm / 314 mm = = 94 mm 649 mm / 01 mm = = 804 mm 649 mm / 113 mm = = 678 mm - -

3 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Optamos por la istribuión on mínima armaura (61). Comprobamos que aben en la seión. Como tenemos 6 barras, tenremos 5 espaios entre barras: b = s = 300 mm s = 7.6 mm s > s1 = 1 mm orreto s > 0 mm orreto s < 1.5D = 31.5 mm INCORRECTO: habría que isponer la armaura en apas, on separaión mínima vertial e 31.5 mm (perieno anto útil) o en grupos (on las onsiguientes ompliaiones e anlaje y solapo). Con 416, se tiene: b = s = 300 mm s = 51.3 mm orreto Se aepta 416 omo armaura longituinal traionaa. Como = hip, no es preiso haer reomprobaión. La soluión quea peniente e las omprobaiones e ELS y uantía mínima

4 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011. M = 480 knm Suponemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 1 mm. hip = 500 ( /) = 447 mm hip = / = 51 mm Del ejeriio anterior, = 76 mm, y M = 446 knm. Se umple M > M, por lo que la apaia e ompresión es insufiiente y se hae neesario isponer armaura omprimia. Haemos M u = M = M, y N u = 0. Cuano =, el hormigón está agotao a ompresión (pivote B), por lo que se puee aoptar el iagrama retangular, y el aero e traión está plastifiao. Con los valores e reubrimiento habituales, la armaura e ompresión también está plastifiaa. Para simplifiar los álulos, y tenieno en uenta que el hormigón está muy eformao, aeptaremos f, = f (no itamos la ompresión el aero a 400 MPa; esto es válio úniamente en ominios e fleión). N 0 A f f by A f u s1 / M M M f by y A f u hip hip hip / M fby hip y / f hip hip M f by y A f hip hip hip s1 4 A m N 0 A f f by A f A f / f by A 0 / mm s1 Conversión a armaura real: 198 mm / 113 mm = = 6 mm 198 mm / 78 mm = = 34 mm 350 mm / 314 mm = = 3454 mm 350 mm / 491 mm = = 3437 mm No hay problemas en la armaura e ompresión. En uanto a la armaura e traión, es preiso isponer más e una apa en ualquier aso. Suponemos apas e 5 separaas 5 mm vertialmente, on lo que el anto útil pasa a ser hip = 500 ( /) = mm Nótese que para que enajen, el tamaño máimo el ário ebe reuirse a 0 mm (1.5D ma = 5 mm)

5 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 hip 3.5 hip hip 57.6 mm u u y M f by hip MNm knm / M f by y A f hip hip hip As m N 0 A f f by A f s1 s1 A f / f by A 0 / mm Conversión a armaura real: 571 mm / 314 mm = = 68 mm (s = 170 mm) 571 mm / 01 mm = = 603 mm (s = 81 mm) 3413 mm / 491 mm = = 398 mm (en apas) Se aepta 85 en apas on espaio e 5 mm entre ellas omo armaura longituinal traionaa, y 0 omo armaura longituinal omprimia. No se umple = hip, por lo que sería preiso haer reomprobaión; sin embargo, se onsiera que aa la pequeña iferenia y el eeso e armaura, se puee presinir e este paso. La soluión quea peniente e las omprobaiones e ELS y uantía mínima

6 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ Comprobaión: momento máimo que resiste la seión, on ail nulo (N = 0), on A s1 = 816 en apas istantes entre sí 5 mm; A = 416; t = 10 mm Conoemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 16 mm. = 500 ( /) = 46.5 mm = / = 53 mm El primer paso en una omprobaión onsiste en eterminar en qué ominio se proue la rotura, para espués apliar las euaiones e omportamiento que orresponen a iho ominio. Para ello, se efinen primero los planos frontera entre los iferentes ominios: Profunia : hip mm u u Profunia 3 : mm u ma u En el transurso el trabajo, puee apareer una uestión no efinia en el iagrama e ominios lásio, que se funa en la situaión el hormigón y la armaura traionaa: la armaura superior, está plastifiaa o en régimen elástio? Para sistematizar el álulo, llamamos a la profunia en el instante en el que la armaura e ompresión plastifia a ompresión ( ). Depenieno e las oniiones geométrias (valor el anto, reubrimientos ), para aa viga este plano puee enontrarse en Dominio (pivote A) o en Dominio 3 (pivote B). Realizamos el álulo omo si estuviera en aa uno e los os ominios, y estuiamos uál e las os hipótesis tiene sentio. Suponieno que está en D (pivote A): 10.0 s 0 s y 3.5 'B h A = ' b - 6 -

7 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ mm ma No tiene sentio, porque si perteneiera a D, tenría que sueer que < 3 Profunia, suponieno que está en D3 (pivote B): 10.0 s 0 s y 3.5 'B h A = ' b mm u u Se omprueba que para la viga que estamos estuiano > 3, por lo que pertenee al D3. La ivisión en subominios quea omo sigue: - Iniio e D1: = - - Frontera entre D1 y D: = 0 - Frontera entre D y D3: = mm - Plastifiaión e armaura superior (pertenee a D3): = mm - Frontera entre D3 y D4: = 63. mm - Frontera entre D4 y D4a: = 46.5 mm - Frontera entre D4a y D5: = 500 mm - Final e D5: = + Contestano a la pregunta planteaa aera e la situaión e la armaura omprimia, poemos afirmar lo siguiente: - Si mm < < mm, la armaura superior no está plastifiaa a ompresión, y la armaura inferior está plastifiaa a traión. - Si mm < < 63.5 mm, la armaura superior está plastifiaa a ompresión, y la armaura inferior está plastifiaa a traión

8 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Intento 1 Estuiamos el plano 1 efinio por y el plano efinio por 1 : Plastifiaión e armaura superior, que pertenee a D3. = mm s1 > s1 = f (estamos en D3, por lo que el aero e traión está plastifiao) = u C = 0.8f b (estamos en D3, que rompe en el pivote B, e agotamiento el hormigón) > = f (sabemos que está plastifiao porque = ) N 1 = -A s1 f + A f + 0.8f b = 0.31 MN : Límite entre el D3 y el D4 = 63. mm s1 = s1 = f (efiniión e ) = u C = 0.8f b (pivote B) > = f (sabemos que está plastifiao porque > ) N = -A s1 f + A f + 0.8f b = MN No se proue ambio e signo. Intento Estuiamos el plano 1 efinio por 3 y el plano efinio por 1 : Agotamiento simultáneo e hormigón y aero. = mm s1 = ma s1 = f (pivote A) = u C = 0.8f b (pivote B) < = E s (sabemos que NO está plastifiao porque < ) MPa (omp) u N 1 = -A s1 f + A + 0.8f b = 0.15 MN : Plastifiaión e armaura superior, que pertenee a D

9 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 N = -A s1 f + A f + 0.8f b = 0.31 MN (alulao antes) No se proue ambio e signo. Intento 3 Estuiamos el plano 1 efinio por = 0 y el plano efinio por 3 1 : Agotamiento el aero e traión, el hormigón no olabora en absoluto. = 0 mm s1 = ma s1 = f (pivote A) = u C = 0 ( = 0) < = E s (atenión, está sometio a traión) MPa (tra) ma 46.5 N 1 = -A s1 f - A + 0= MN : Agotamiento simultáneo e hormigón y aero. N 1 = -A s1 f + A + 0.8f b = 0.15 MN (alulao antes) Se proue ambio e signo. Cálulo e M u El ambio e signo se proue en Dominio. Sabemos lo siguiente: - El aero e traión está plastifiao hasta ma - El aero e ompresión está en régimen elástio (no por estar en D, sino por el álulo realizao en la seión anterior) - El hormigón está sólo parialmente omprimio En primera aproimaión, vamos a suponer iagrama retangular, y aero A omprimio. Esta hipótesis tiene sentio porque el ambio e signo está muho más era e MN (ail e rotura para = 3 ) que e MN (ail e rotura para = 0). =? s1 = ma s1 = f (pivote A) < u C = 0.8f b (suponemos que estamos era el pivote B) < = E s (sabemos que NO está plastifiao porque < ) - 9 -

10 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 E ma s ma ma (omp) N 0 As 1f As s fby As 1f As Es ma 0.8 fb mm Se ve que la hipótesis en prinipio puee ser vália, porque en efeto alanzamos el equilibrio en D. Tenemos que verifiar, aemás, si la fibra e hormigón más omprimia se enuentra era el agotamiento: ma Estamos lo sufiientemente próimos al pivote B omo para suponer que el iagrama retangular es representativo? Lo omprobamos busano la soluión on el iagrama parábola-retángulo, más preiso. Proeemos por iteraiones, on el sistema e ensayo y error. Se van planteano iferentes valores e (o iferentes valores e ) entro el D, y vamos probano. Iteraión 1: = mm 10 ma Es 10. MPa (omp) N A f A f b0.331 MPa s1 Hay que inrementar el valor e N, por lo que inrementamos las ompresiones. Iteraión : = mm 10 3 ma Es 77.0 MPa (omp) s N A f A f b0.015 MN

11 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Nos hemos aerao ramátiamente al equilibrio. Poríamos haer otra iteraión para ver uánto Iteraión 3: = mm ma Es 85.7 MPa (omp) s N A f A f b0.001 MN Damos este valor por sufiientemente aproimao y alulamos el momento M A f b 66. knm u SOLUCIÓN: M U = 66 knm Hagamos ahora el álulo, suponieno que el iagrama retangular es representativo. Esta hipótesis es omún uano la fibra más eformaa e hormigón supere la eformaión e plastifiaión ( > 0 ). Si no se umple esta oniión, se supone iagrama triangular, ya que el hormigón no ha plastifiao. Conoia la profunia e la fibra neutra, poemos eterminar la ompresión en el aero superior: E = MPa (omp) s ma Conoias las tensiones en toos los elementos resistentes, poemos integrar: Mu A fby y/ 67.0 knm SOLUCIÓN: M U = 67.0 knm ATENCIÓN: se observa que la aproimaión NO QUEDA DEL LADO DE LA SEGURIDAD. El álulo on el iagrama parábola retángulo revela que M u = 66. knm. La inseguria es mayor uanto más lejos está e u

12 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ Comprobaión: momento máimo que resiste la seión, on N u = 800 kn. A s1 = 816 en apas istantes entre sí 5 mm; A = 416; t = 10 mm De auero on los álulos el aso anterior, la subivisión en ominios (y subominios) es la siguiente: - Iniio e D1: = - - Frontera entre D1 y D: = 0 - Frontera entre D y D3: = mm - Plastifiaión e armaura superior (pertenee a D3): = mm - Frontera entre D3 y D4: = 63. mm - Frontera entre D4 y D4a: = 46.5 mm - Frontera entre D4a y D5: = 500 mm - Final e D5: = + Intento 1 Estuiamos el plano 1 efinio por y el plano efinio por 1 : Plastifiaión e armaura superior, que pertenee a D3. = mm s1 > s1 = f (estamos en D3, por lo que el aero e traión está plastifiao) = u C = 0.8f b (estamos en D3, que rompe en el pivote B, e agotamiento el hormigón) > = f (sabemos que está plastifiao porque = ) N 1 = -A s1 f + A f + 0.8f b = 0.31 MN (ompresión) : Límite entre el D3 y el D4 = 63. mm s1 = s1 = f (efiniión e ) = u C = 0.8f b (pivote B) > = f (sabemos que está plastifiao porque > ) N = -A s1 f + A f + 0.8f b = MN (ompresión) Puesto que N 1 < N < N, se umplirá que 1 = < < =. El plano e rotura busao se enuentra en D3 ( 3 < < ), y sabemos aemás que la armaura e ompresión está plastifiaa ( < )

13 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Cálulo e M u Nos enontramos en Dominio 3, y aemás la armaura superior está plastifiaa a ompresión. Sabemos lo siguiente: - El aero e traión está plastifiao, aunque no sabemos su eformaión. - El aero e ompresión está plastifiao, aunque no sabemos su eformaión. - El hormigón está en situaión e rotura. Puesto que el hormigón está en rotura (pivote B, es eir, = u ), poemos suponer tranquilamente iagrama retangular. =? s1 > s1 = f (D3) > (a ompresión) = f (ompresión) ( > ) = u C = 0.8f b (pivote B) N MN A f A f 0.8 f b s1, ( ) mm Comprobamos que nuestra hipótesis es vália: en efeto, mm < < 63. mm. Conoias las tensiones en toos los elementos resistentes, poemos integrar, tomano momentos on respeto a la armaura traionaa: / / M N h A f b y M N h A f by y u u s s / / 369.kNm u u SOLUCIÓN: (N u, M u ) = (800 kn, 369. knm)

14 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ Dimensionar para M u = 140 knm, on armaura simétria Suponemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 16 mm. hip = 500 ( /) = 447 mm hip = / = 53 mm Calulamos algunas profuniaes e fibra neutra laves: Profunia : hip 3.5 hip hip 75.8 mm u u Profunia 3 : mm u Profunia, suponieno que está en D3 (pivote B): ma u mm u u Se umple que, en efeto, 3 < <. Intento 0: rotura en D3, on > En D3, se sabe que el hormigón está agotao (pivote B) y el aero está plastifiao. Si >, el aero e ompresión también está plastifiao. Planteamos equilibrio e ailes: fby fby N 0 As s1, As, fby A s As! f f s1,, Se omprueba que on ail nulo y armaura simétria no es posible que ambas armauras estén plastifiaas en signos opuestos. Intento 1: rotura en D3, on < mm < < mm s1 > s1 = f (D3) = u C = 0.8f b (pivote B) < = E s (sabemos que NO está plastifiao porque < ) MPa hi hip u u

15 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 fby N 0 As f As fby As f f by M f by y A f by y /, / hip s s hip hip hip hip hip f mm = mm mm Las soluiones 1 y 3 están obviamente fuera e rango. La soluión = mm proporiona un valor e armaura e MPa MPa 0.8 fb As mm f Este valor es laramente absuro, por lo que no se enuentra soluión vália en D3. Intento : rotura en D 0 mm < < mm s1 = ma s1 = f (D) < u C = f b < = E s (sabemos que NO está plastifiao porque < ) MPa hip hip hip ma ma hip f b N A f A f b A 0 s s s f f b M f b A f b hip s s hip hip hip hip hip f El sistema e euaiones resulta eesivamente omplejo. Proeemos por iteraiones (iferentes valores e o u ), empleano la euaión e momentos omo ontrol

16 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Iteraión 1: = 0.00 hip 74.5 mm 10 ma hip Es MPa (omp) fb N 0 As f As fb 0 As mm f M f b A knm 140 knm hip s s hip hip Iteraión : = hip.5 hip 89.4 mm 10.5 ma hip Es 03.6 MPa (omp) N 0A f A f b0 A s s s fb f mm M f b A 99.0 knm 140 knm hip s s hip hip Hemos esogio el sentio erróneo

17 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Iteraión 3: = hip mm ma hip Es 7.3 MPa (omp) fb N 0 As f As fb 0 As mm f M f b A 89.0 knm 140 knm hip s s hip hip Iteraión 4: = hip 1.8 hip 68. mm ma hip Es 80. MPa (omp) fb N 0 As f As fb 0 As 78.6 mm f M f b A knm 140 knm hip s s hip hip

18 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 Iteraión 5: = hip 1.9 hip 71.4 mm ma hip Es 97.9 MPa (omp) fb N 0 As f As fb 0 As 87.4 mm f M f b A knm 140 knm hip s s hip hip Iteraión 6: = hip 1.85 hip 69.8 mm ma hip Es 89.1 MPa (omp) fb N 0 As f As fb 0 As mm f M f b A knm 140 knm hip s s hip hip Disponemos 416 en aa ara, que representan 804 mm, y respetan los antos postulaos a priori

19 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ Dimensionar para N u = 100 kn, M u = 0 knm Se trata e un imensionamiento en fleión ompuesta. Comparamos las eentriiaes para orientar el álulo. e 0 = 0 / 100 = m = mm Suponemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 16 mm. hip = 500 ( /) = 447 mm 1hip = / = 53 mm hip = / = 53 mm e 1 = e 0 + h/ 1hip = 380 mm (oinienia) e = e 0 h/ + hip = mm Profunia : hip 3.5 hip hip 75.8 mm u u Cálulo e e 0 : h fby y e0 hip hip N 500 mm 0 MPa 300 mm mm mm 53 mm 53 mm mm N y M f by MNm knm 0 MPa 0.30 m m / m = Se umple que e 0 > e 0, por lo que se puee imensionar para ominio útil. Estuiano el momento on respeto a la armaura traionaa, se tiene N e 1 = 100 kn m = knm > M Se neesita armaura e ompresión para onseguir utilia. Fijamos =, y las inógnitas son las uantías e armaura A s1 y A. N N N f bya f A f u s1 / M M N e f by y A f u 1 hip hip hip De la euaión e momentos, se obtiene

20 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 A Ne f by y f 1 hip hip hip / MNm 0 MPa 0.30 m m m m / m 434 MPa m m 4 Del equilibrio e ailes, A f by N 0 MPa 0.30 m m 1. MN A m m 434 MPa s1 f 4 4 Se propone armar la seión on 10 en ompresión y 16 en traión. Se aepta esta armaura a falta e omprobaión el resto e Estaos Límite y oniiones e uantía mínima

21 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/ Dimensionar para N u = 500 kn, M u = 10 knm Se trata e un imensionamiento en fleión ompuesta. Comparamos las eentriiaes para orientar el álulo. e 0 = 10 / 500 = m = 48.0 mm Suponemos t = 10 mm, s1 = 16 mm, = 16 mm. hip = 500 ( /) = 447 mm 1hip = / = 53 mm hip = / = 53 mm e 1 = e 0 + h/ 1hip = 45 mm e = e 0 h/ + hip = -149 mm Profunia : hip 3.5 hip hip 75.8 mm u u Cálulo e e 0 : h fby y e0 hip hip N 500 mm 0 MPa 300 mm mm mm 53 mm 53 mm mm N y M f by MNm knm 0 MPa 0.30 m m / m = Se umple que e 0 < e 0, por lo que NO se puee imensionar para ominio útil. Calulamos el valor e 0h : e h fbh 1 N 500 mm 0 MPa 300 mm 500 mm 53 mm mm N 0h hip Se umple e 0 > e 0 > e h, por lo que y < y < h. Se imensiona ignorano la ontribuión e la armaura inferior, y itano la ompresión en la armaura superior a E s 0. De la euaión e momentos, se obtiene N N N f by A f u M M N e f by y/ u hip - 1 -

22 HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO (HAP1) CURSO 010/011 N e y y y y N 149 mm / hip 0 53 mm 0 fb 0 MPa 300 mm y 106y y mm y mm De auero on nuestra hipótesis, y < y < h, por lo que la soluión vália es y = mm. Del equilibrio e ailes, A N fby m f Basta armar la seión on 10 e armaura e ompresión. En la armaura inferior, se isponría la uantía mínima. Se aepta esta armaura a falta e omprobaión el resto e Estaos Límite y oniiones e uantía mínima. - -