Diseño e Implementación de Controladores Digitales Basados en Procesadores Digitales De Señales

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1 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. Diseño e Implementaión de Controladores Digitales Basados en Proesadores Digitales De Señales Barrera Cardiel Edmundo, Soria Luz Rosalía Universidad Mihoaana de San Niolás de Hidalgo Faultad de Ingeniería Elétria Morelia, Mihoaán, Méxio. Teléfono: (443)37978 Resumen Atualmente, los proesadores digitales de señales (DSPs), además de su apaidad para proesar señales a alta veloidad, inluyen algunas araterístias de los miroontroladores de propósito general, de tal manera que se puede lograr un alto desempeño al apliarlos en sistemas de ontrol. Este artíulo presenta una metodología para el diseño e implementaión de ontroladores digitales en base a DSPs. Se estudian los problemas de implementaión de los ontroladores digitales que se presentan debido a la uantizaión de las señales y al efeto windup. Se ilustra la metodología mediante un aso partiular: el diseño de un ontrolador de veloidad de un motor de CD, utilizando el método de oloaión de polos mediante retroalimentaión de variables de estado, el ual es implementado en base al DSP TMS30F81 de Texas Instruments. Palabras lave: Controlador Digital, DSP, Antiwind up. I. INTRODUCCIÓN Los avanes tenológios han onduido a la reaión de iruitos integrados que pueden reduir el tamaño y aumentar la efiienia de los sistemas de ontrol espeializados. Las apliaiones de sistemas de ontrol basados en proesadores digitales de señales (DSPs) en diseños de eletrónia de potenia son un ejemplo exelente. La prinipal ventaja on este tipo de dispositivo es que puede reemplazarse hardware por software sin inrementar el osto, además de permitir la programaión en lenguajes de alto nivel. Otras araterístias importantes son: unidades de bajo osto, reduión en el tamaño del equipo, inremento en la flexibilidad de las apliaiones, reduión en el onsumo de energía y gran veloidad de proesamiento. En este artíulo se presenta la metodología para el diseño e implementaión de ontroladores digitales mediante DSPs. Los prinipales problemas que surgen en la implementaión y que serán abordados en este artíulo son: Problemas debidos a la uantizaión de variables. Problemas debidos a la uantizaión de la señal de salida en ontroladores basados en modulaión por anho de pulso (PWM). Problemas debidos a la saturaión de los atuadores y el uso de aión integral, produiendo efeto windup. Las soluiones a estos problemas se ejemplifian on el diseño e implementaión del ontrolador de veloidad para un motor de CD de imanes permanentes. Aunque la dinámia del motor no requiere una alta veloidad de proesamiento, la identifiaión de parámetros del sistema requiere una alta veloidad en el muestreo de señales. II. METODOLOGÍA En esta seión se abordan los diferentes aspetos a onsiderar en el proeso de diseño de un sistema de ontrol. En la Figura 1 se presenta un diagrama de flujo de las diferentes etapas involuradas en el proeso de diseño de los sistemas de ontrol de lazo errado. En la mayoría de los asos se requiere que un sistema de ontrol responda de una manera ontrolada a entradas apliadas y a ondiiones iniiales. Una vez planteado el diseño oneptual y el modelo matemátio de la planta a ontrolar, es neesario utilizar herramientas que nos permitan identifiar los parámetros de la misma. Enseguida se proede al diseño de los ontroladores y finalmente a su implementaión. NO Espeifiaión del omportamiento deseado Diseño Coneptual Modelado Matemátio Identifiaión de Parámetros Pruebas en Lazo abierto Representa bien al sistema? SI NO Diseño Matemátio del Controlador Simulaión y Análisis Cumple on las espeifiaiones? Implementaión Pruebas en el Sistema Real Figura 1. Metodología de diseño e implementaión de ontroladores SI NO Diseño de Hardware y Software Cumple on las espeifiaiones? SI FIN

2 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. III. MÉTODO DE COLOCACIÓN DE POLOS. En esta seión se presenta el método de diseño llamado oloaión de polos mediante retroalimentaión de estados. La oloaión de polos se refiere al heho de que el diseño se realiza on el fin de obtener sistemas de lazo errado on polos espeífios. Se asume que el proeso a ontrolar puede ser desrito por el modelo dado en (1). dx Ax( t) Bu( t) dt (1) y Cx( t) En donde x(t) R n es el vetor de estado n dimensional, u(t) R p es el vetor de las variables de ontrol p dimensional, y y(t) R q es el vetor de salida q dimensional, A, B, C son matries on elementos onstantes. En el sistema de ontrol digital, las señales de ontrol se onsideran onstantes entre instantes suesivos de muestreo. Muestreando el sistema ontinuo (1) mediante un iruito retenedor de orden ero, y un periodo de muestreo T, se obtiene el sistema disreto dado en (). x( k 1) x( k) u( k) y( k) Cx( k) En donde las matries y están dadas por: 0 () T AT As e e ds B (3) Si el sistema tiene solamente una señal de entrada, u(k) es un esalar. Si el sistema de orden n es alanzable, entones existe un vetor de retroalimentaión lineal de las variables de estado que proporiona un sistema de lazo errado on el polinomio araterístio P(z) deseado. La señal de retroalimentaión está dada por (4). en donde y W u( k) Lx( k) (4) 1 L W P (5) n 1 [ ] es la matriz de Controlabilidad. La e. (5) es onoida omo la Fórmula de Akermann (Astrom y Wittenmark, 1997). La Figura representa el diagrama a bloques para el problema de regulaión en un sistema de ontrol. El diagrama a bloques para un servosistema se muestra en la Figura 3, en donde u es la señal omando. La aión de ontrol para un sistema tipo servo tiene la forma dada en (6). u( k) Lx( k) L u ( k) (6) En donde L se alula mediante (5) y L se inluye para haer que y=u en estado estable y se alula apliando el teorema del valor final al sistema de lazo errado, para una entrada tipo esalón, resultando la siguiente expresión: 1 1 C I L L (7) Figura. Diagrama a bloques de un regulador. Figura 3. Diagrama a bloques de un ontrolador servo. A. Aión Integral Es omún que se tenga una perturbaión desonoida onstante a la entrada del proeso. La soluión a este problema es agregar una aión integral al ontrolador. Esto se puede haer definiendo una nueva variable de estado omo sigue: Int k 1 Int k u k y k (8) Así, el sistema aumentado tiene la forma: donde 1 x k x k u k u k (9) a a a a 0 0,, C a a (10) Para esta estrutura, el problema de la oloaión de polos se resuelve apliando (5) on a y a. B. Eleión de polos de lazo errado Si se onsidera un sistema on polos dominantes de segundo orden, los polos disretos dominantes de lazo errado se pueden obtener al muestrear un sistema ontinuo de segundo orden on el polinomio araterístio s ns n uyos polos están dados por (Ogata, 1997): p j 1 1 n n (11) p j 1 n n

3 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. Donde es el fator de amortiguamiento y n es la freuenia natural, los uales se determinan de las espeifiaiones en el dominio del tiempo. La disretizaión de ada polo ontinuo se lleva a abo mediante la siguiente expresión (Astrom y Wittenmark, 1997): Pnd Pn T e (1) Donde P nd es el n-ésimo polo disreto, P n es el n-ésimo polo ontinuo y T es el periodo de muestreo. En (Astrom y Wittenmark, 1997) se sugiere que el período de muestreo se seleione de auerdo a la expresión dada en (13), la ual umple ampliamente on el teorema de muestreo de Shannon (13) n T IV. IMPLEMENTACIÓN DE CONTROLADORES DIGITALES. En esta seión se disute el problema de implementaión de un sistema de ontrol disreto mediante DSPs on aritmétia de punto fijo. Una vez que se tiene un algoritmo de ontrol para el sistema disreto, otros fatores deben tomarse en uenta; entre ellos se enuentra la preisión numéria requerida, y las interfases on sensores y atuadores. El formato IQ es una ténia para posiionar el punto radix en los operandos y resultados de operaiones aritmétias. El formato es equivalente a un punto flotante virtual (Texas Inst., 005). La estrutura para una longitud de palabra de 3 bits se muestra en la Figura 4. Errores aritmétios en la implementaión del algoritmo (trunamiento). Cuantizaión poo preisa de los oefiientes de los filtros utilizados. Para superar estas limitaiones se proponen las siguientes reomendaiones: La simulaión del sistema para onoer los rangos de operaión de las variables del sistema. Esalamiento de las variables a utilizar. Eleión uidadosa del valor o valores de Q. Monitoreo onstante de las banderas de sobreflujo. V. REQUERIMIENTOS GENERALES DE UN CONTROLADOR DIGITAL CON ACTUADOR BASADO EN PWM. La organizaión típia para un ontrolador digital PWM, que inluye mediión de orriente se ilustra en la Figura 5 (Buso y Mattavelli, 006). El onvertidor de potenia se representa de una manera ompata mediante interruptores ideales. Se asume que el ontrol se llevará a abo mediante un DSP. Estos dispositivos uentan on los periférios neesarios para la entrada y salida de datos, unidades A/D y unidades para la generaión de señales PWM, tal omo se muestra en la Figura 5. El primer aspeto a uidar en la adquisiión de datos, es la etapa de aondiionamiento de señal. Ésta debe garantizar lo siguiente: Que la señal del sensor se aondiione on el fin de explotar por ompleto el rango de voltaje de entrada del onvertidor de analógio a digital (ADC). Que la señal se filtre orretamente para evitar efetos de aliasing. Los errores de uantizaión debidos a la onversión analógio-digital se onsideran omo un ruido aditivo en la entrada del sistema de ontrol. Existen otros errores que son de vital importania, debidos a la uantizaión aritmétia que resulta del trunamiento y redondeo de variables. Figura 4. Representaión numéria en formato IQ. Los valores máximo y mínimo, así omo la resoluión de los números que pueden representarse on un valor espeífio de Q se obtienen de la siguiente manera: Valor Mínimo: - (3-Q) Valor Máximo: (3-Q) - -Q Resoluión: -Q Las prinipales limitaiones de la aritmétia de punto fijo son: Saturaión y sobreflujo en los registros. Error debido a una preisión finita en la representaión de antidades numérias (trunamiento y redondeo). Figura 5. Diagrama general de un ontrolador digital on mediión de orriente. En este aso, la resoluión de la señal de salida (aión de ontrol) queda limitada por el número finito de bits del

4 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. registro en el que se define el ilo de trabajo de la señal PWM, por lo tanto, el error generado es inevitable. El efeto más severo de este error, es la presenia de un tipo peuliar de inestabilidad llamada osilaión de ilo límite LCO. Para ilustrar este efeto se presenta la Figura 6. En esta figura se ilustra uando el punto deseado para el valor de la variable de ontrol de salida u, no es uno de los valores posibles de representar. El algoritmo onsiste en el álulo del límite para la aión integral: L k I m K MAX P I k (16) En donde m MAX representa la máxima aión de ontrol. En otro tipo de ontrolador, la magnitud K P I (k) puede sustituirse por la del resto de las aiones de ontrol que no son la integral. El valor máximo de la integral es este límite. u punto deseado Figura 6. Ourrenia de osilaión de ilo límite. En onseuenia el sistema osila on periodo T LCO, entre las dos salidas posibles. En este aso se asume que el sistema uenta on algún tipo de aión integral. El resultado de lo anterior es que se estará apliando una aión de ontrol mayor o menor de la neesaria, produiendo osilaiones por enima y por debajo del valor de estado estable. Aunque no siempre es posible, existen dos ondiiones que pueden ayudar a eliminar estas osilaiones (Buso y Mattavelli, 006): 1. Asegurarse de que la variaión de un nivel del DPWM, es deir, 1 LSB de la representaión digital del ilo de trabajo, denotada omo q DPWM, no produza una variaión signifiativa en la variable ontrolada de salida x(t). Es deir: q G q (14) DPWM d ADC En donde G d en la ganania de CD de la planta.. En presenia de una aión integral en el ontrolador, uidar que se umpla la ondiión: K G 1 (15) I d En donde K I es el oefiiente orrespondiente a la aión integral. VI. CONTROLADORES CON ACCIÓN INTEGRAL Y ANTIWINDUP Otro problema de implementaión de ontroladores digitales es el efeto onoido omo windup. Si el error en la salida permanee por un tiempo onsiderable, ausará saturaión en los atuadores. El valor del ontrolador orrespondiente a la parte integral irá aumulando la integral del error durante todo este tiempo. Cuando se redue el error, la parte integral puede tener un valor indeseable y generará un transitorio en la variable del ontrolador, el ual típiamente tiene la forma de un sobreimpulso. La soluión a este problema se basa en la limitaión dinámia de la aión integral durante los transitorios; éstos pueden detetarse monitoreando la parte proporional del ontrolador. Un ejemplo de aión antiwindup se muestra en la Figura 7. Figura 7. Ejemplo de antiwindup. VII. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROL DE VELOCIDAD DEL MOTOR DE CD. Apliando la metodología desrita, se diseña e implementa un ontrolador digital de veloidad para el motor de CD PITTMAN GM934S033 usando el DSP TMS30F81 de Texas Instruments. Para ejemplifiar el diseño, se plantearon omo objetivo los siguientes parámetros en el dominio del tiempo: Tiempo de estableimiento t s 5ms Error de estado estable e ss 0.01 Máximo sobreimpulso M p 0.05 A. Identifiaión de Parámetros de la Planta En el aso del sistema de ontrol propuesto en este trabajo, la planta que se identifia onsiste no solamente del motor a ontrolar. Se realizó la identifiaión en forma global del sistema mostrado en la Figura 8, el ual inluye: el motor de CD, el onvertidor de CD-CD, la arga inerial, los transdutores, los iruitos de aondiionamiento, y la Unidad PWM. En esta figura, la señal u representa la aión de ontrol digital alulada en el DSP. Figura 8. Diagrama a bloques del sistema identifiado. Mediante un algoritmo de adquisiión de datos programado mediante la plataforma Code Composer Studio v3.1 de Texas Instruments, se obtuvo un onjunto de datos para la identifiaión de parámetros. El experimento se realizó on las siguientes araterístias: Tiempo de estudio: 18ms. Periodo de muestreo: 6.5µs.

5 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. Número de datos por variable: 048 Señal de entrada: palabra de ontrol onstante (señal esalón) equivalente al 90% del ilo de trabajo de la señal PWM. Utilizando el modelo de variables de estado para desribir al sistema, se identifian sus parámetros apliando un método basado en Series Ortogonales, utilizando omo kernel la serie de Bloques de Pulsos on 048 elementos (Hanamoto, 199). Las matries obtenidas para el sistema son: A, B (17) Con C 0 1 B. Diseño del Controlador Los polos del sistema de lazo errado se obtienen de las espeifiaiones de omportamiento en el dominio del tiempo obteniéndose (Ogata, 1997): 0.99 y 11.1 p j j 1 n n n n n p j j (18) Inluyendo una aión integral, se obtiene una nueva variable de estado, por lo tanto se define un terer polo dentro del sistema. El terer polo se oloó en el eje real, dupliando la magnitud de la parte real de los polos omplejos onjugados, para que éstos últimos sean los dominantes. Por lo tanto se propone: p 40 (19) 3 Para disretizar los polos ontinuos se elige ahora el periodo de muestreo onsiderando la regla dada en (13). Se eligió un periodo de muestreo de T=1ms. Utilizando este periodo de muestreo, se disretizan el modelo de la planta, obtenido en la identifiaión, y los polos de lazo errado deseados, obteniéndose: , ; p = j, p = j, 1d p d d (0) La ley de ontrol para este sistema está dada por (6); pero onsiderando el sistema aumentado, esto es: u( k) L x ( k) L u ( k) (1) a a El vetor de retroalimentaión de variables de estado, L a, se obtiene utilizando la fórmula de Akermann, e. (5), para el sistema aumentado definido por (9) y (10), on los valores dados en (0): L = l l l () a El valor de L se obtiene apliando el teorema del valor final a la funión de transferenia del sistema de lazo errado no aumentado; es deir, sin la aión integral, y onsiderando una entrada esalón. Así, se obtiene: 1 1 C I L L (3) Esta onsideraión se aplia onsiderando que el sistema ontiene una aión integral que será limitada mediante antiwindup. La terera omponente del vetor L a se elimina para obtener L en (3). Resolviendo (3) se obtiene: L (4) Se puede observar que la ondiión (15), para ayudar a eliminar osilaiones, se umple, ya que KI l G G ( s) C( si A) B.938 (5) d P s0 s0 Con lo ual: l G (0.0609)(.938) (6) 3 d Antes de su implementaión, la respuesta del ontrolador se simuló mediante Matlab para onoer los rangos de las variables involuradas y programar los valores a utilizar para Q, del formato IQ, en ada seión del algoritmo de mediión y ontrol. VIII. IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROLADOR. El ontrolador diseñado se implementó en base al DSP TMS30F81 de Texas Instruments. La Figura 9 muestra el diagrama de bloques del sistema de ontrol implementado. Fuente de CD Puente H Ciruito de Aondi. Unidad PWM Motor CD Algoritmo de Control Referenia PC Transdutor de Corriente Enoder Filtro D Filtro D Filtrado y Aondi. Filtrado y Aondi. Unidad de Captura Convertidor A/D Figura 9. Diagrama de bloques del sistema de ontrol. El algoritmo de ontrol se programa mediante DSP

6 Congreso Anual 010 de la Asoiaión de Méxio de Control Automátio. Puerto Vallarta, Jaliso, Méxio. interrupiones tanto para la mediión de veloidad omo para la orriente de armadura. El periodo de muestreo del ontrolador orresponde on el del onvertidor analógio digital. Para lograr una freuenia de muestreo alta, lo ual es neesario en el proeso de identifiaión, la mediión de veloidad se realiza detetando ada flano positivo y negativo de un anal del enoder del motor. El algoritmo de mediión onsiste en medir el tiempo transurrido entre pulsos del enoder y no el número de pulsos transurridos en una unidad de tiempo. La mediión de orriente de armadura se realiza mediante el transdutor de efeto Hall IHA-5. El atuador es el iruito puente LMD1800 operando en modo antifase. El ilo de trabajo del PWM varía sólo en unidades enteras estableidas mediante el registro T1CMPR del DSP. Se puede observar también que la ondiión (14), para ayudar a eliminar osilaiones, se umple, ya que, on el algoritmo de mediión de veloidad implementado, la resoluión de veloidad en la fleha del motor es de 8.58 rev/min y tomando en uenta que el registro PWM del DSP varía solamente en unidades enteras, se tiene: q 8.58 rev / min q en DPWM 1, G.938 d q G q DPWM d en El algoritmo de mediión de veloidad implia valores de x65535, el resto de las variables de todo el sistema se enuentran en un rango de a Se eligió un valor Q=16 para las operaiones globales y un Q=14 para las operaiones de mediión de veloidad. El algoritmo de ontrol se programa inluyendo además el antiwindup desrito en la seión VI. IX. RESULTADOS La Figura 10 muestra la respuesta del ontrolador sin antiwindup, para una referenia de 1 rev/min a la salida del redutor de veloidad, lo ual equivale a 60 rev/min en la fleha del motor. rpm La figura 11 muestra la respuesta del ontrolador on el algoritmo de antiwindup inluido en el ontrolador, para la misma referenia. Se puede observar laramente la mejora en la respuesta del sistema de ontrol al inluir este algoritmo, así omo el umplimiento de las espeifiaiones en el dominio del tiempo planteadas. rpm Figura 11. Respuesta del ontrolador on antiwindup. Referenia=1rev/min. X. CONCLUSIONES Este artíulo presentó la metodología detallada para llevar a abo el proeso de diseño e implementaión de ontroladores digitales en base a proesadores digitales de señales (DSPs). Se analizaron los problemas de implementaión que se presentan debido a la uantizaión de las señales y al efeto windup. Se puede ver que los DSPs son una herramienta poderosa en el diseño e implementaión de ontroladores digitales. El punto fijo variable y el tamaño de palabra de 3 bits haen posible la reduión de errores por uantizaión de las variables. El método de mediión de veloidad utilizado permite una resoluión muy fina, por lo tanto se obtienen datos más preisos que permiten una buena estimaión de los parámetros del sistema. Los resultados presentados del ontrolador diseñado muestran la efiienia de las onsideraiones planteadas en la metodología. ms REFERENCIAS Astrom Karl J. y Wittenmark Bjorn (1997). Computer-Controlled Systems, Theory and Design. Prentie Hall. Buso S. y Mattavelli P (006). Digital Control in Power Eletronis, Letures in Power Eletronis #. Morgan & Claypool Publishers. Hanamoto T., Tanaka Y., Karube I., Mohizuki T. y Xu Z (199). A Parameter Estimation Method Using Blok Pulse Funtions for DC Servo Motor Systems. Proeedings of the IEEE, 3, 9, Ogata Katsuhiko (1997). Modern Control Engineering. Prentie Hall. ms Texas Instruments (005). C8x DSP Design Workshop. Student Guide. Figura 10. Respuesta del ontrolador sin antiwindup. Referenia=1rev/min.

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