LINEAS DE TRANSMISIÓN: ANÁLISIS CIRCUITAL Y TRANSITORIO

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1 1 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo TEMA 8: INEAS DE TRANSMISIÓN: ANÁISIS CIRCUITA Y TRANSITORIO Miguel Angel Solano Vérez

2 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 2 1 INTRODUCCIÓN as líneas de transmisión se usan básiamente para onduir potenia elétria y para transmitir, on más o menos perfeión, informaión y se utilizan en un rango de freuenias desde aproximadamente 60 Hz, en eletrónia de potenia, hasta 10 9 Hz (1 GHz) y superiores, en ingeniería de miroondas. Algunos de los tipos de líneas de transmisión uniformes más usuales, tales omo la línea de transmisión de dos ondutores (línea bifilar), la línea oaxial y la guía de planos paralelos, se muestran en la figura 1. a línea bifilar está formada por dos ondutores paralelos muy próximos normalmente de seión reta irular. Estas líneas operan, generalmente, en el espaio libre estando sujetadas meániamente en intervalos regulares por dielétrios aislantes. a línea de transmisión oaxial onsiste, omo su propio nombre india, en una región dielétria oaxial, que puede ser el vaío, entre la pared exterior del ondutor interno y la pared interna del ondutor externo hueo. Ambos ondutores son de seión transversal irular. a guía de planos paralelos onsiste en una lámina de dielétrio, o región del espaio libre, oloada entre dos ondutores planos paralelos. En el aso de la línea bifilar el ampo eletromagnétio se extiende por todo el espaio; en todos los demás asos el ampo eletromagnétio está onfinado al espaio limitado por los ontornos metálios. a eleión de un tipo u otro de línea de transmisión, entre otros fatores, depende de la freuenia de operaión y la apaidad de potenia requerida.

3 3 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo a teoría de líneas de transmisión se puede desarrollar desde el punto de vista de teoría de ampos eletromagnétios o desde el punto de vista de teoría de iruitos elétrios. a primera opión, que veremos en un tema posterior, onsiste en resolver las euaiones de Maxwell del problema onreto junto on las ondiiones de ontorno adeuadas. En la segunda opión, que es la que seguiremos en este tema, la línea de transmisión se trata omo un iruito de parámetros distribuidos formado por iertos valores de indutanias y resistenias en serie y apaitania y ondutania en paralelo. os valores de estos parámetros dependen de la geometría de la línea de transmisión y se tienen que obtener, neesariamente, mediante la apliaión de la teoría de ampos eletromagnétios. Estudiaremos líneas de transmisión uniformes, esto es, todas y ada una de las seiones de una línea son iguales entre sí. Este requerimiento de uniformidad exluye líneas de transmisión de longitud finita, puesto que en ese aso una seión erana al final de la línea no sería igual que una seión en el medio, por ejemplo. Así, la teoría que vamos a ver es estritamente apliable sólo a líneas de transmisión de longitud infinita. En la mayoría de los asos prátios, los "efetos de borde" son sufiientemente pequeños y su omisión queda justifiada. 2. MODEO CIRCUITA DE UNA ÍNEA DE TRANSMISIÓN Según vimos en el tema 2 dediado a las euaiones de Maxwell en el dominio de la freuenia, uando la longitud de onda de la exitaión a una red es del orden de magnitud (o menor) que las dimensiones de la misma, o diho de otra manera, uando el período de la señal es del orden o menor que el tiempo de propagaión de la señal a lo largo del iruito, las leyes de Kirhoff orrespondientes al análisis de iruitos on parámetros loalizados ya no son apliables. En este aso el análisis que debe llevarse a abo para estudiar la transmisión de una señal eletromagnétia es el denominado de línea de transmisión, en el que los parámetros usuales de la teoría de iruitos resistenias, indutanias y apaidades (R,, C), han de onsiderarse distribuidos a lo largo de ella, en lugar de loalizados. Realmente, este modo de análisis enontrará justifiaión rigurosa a partir de las euaiones de Maxwell en apítulos posteriores. Este es el aso de la líneas de transmisión, en las que la freuenia de utilizaión es tal que la longitud de la línea es omparable on la longitud de onda o inluso varias vees mayor. Como onseuenia, en nuestra representaión mediante un iruito equivalente, seleionaremos una pequeña seión "dz" de línea de transmisión uniforme, on objeto de que en ella sí sean apliables las leyes de Kirhoff para iruitos habituales. Además, para que no haya radiaión de energía eletromagnétia, la seión transversal de los ondutores de la línea de transmisión así omo su separaión debe ser muy pequeña omparada on la longitud de onda. El iruito en parámetros distribuidos de la línea de transmisión total se puede obtener onetando en serie todos los iruitos equivalentes desarrollados para ada una de las seiones. 2.1 Ondas en una línea de transmisión ideal En la figura 2a se muestra una línea de transmisión uniforme de dos ondutores

4 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 4 ilíndrios (hilos) paralelos. Consideraremos los ondutores perfetos, es deir, on ondutividad infinita. os ondutores se extienden desde z=0 hasta infinito, formando una línea de transmisión semiinfinita. En z=0 se aplia una tensión vg(t); si se oneta el generador en t=0, a lo largo del ondutor superior fluye una orriente i(t). Además, debe retornar una orriente -i(t) por el ondutor inferior, ya que la orriente en el generador debe ser ontinua. Esta orriente que retorna, se produe por la aión del ampo elétrio que se establee entre los dos ondutores. Puesto que la línea de transmisión es semiinfinita, no existe un amino direto entre los ondutores superior e inferior, por lo que supondremos que hay una apaitania distribuida "C", por metro, entre los dos ondutores; así, tenemos una orriente de desplazamiento que fluye desde el ondutor superior haia el inferior. a orriente elétria provoa un ampo magnétio alrededor de los ondutores, por lo que la línea de transmisión también tendrá una indutania serie distribuida, por metro. Podemos, entones, modelar una seión diferenial dz de esta línea de transmisión omo una indutania serie dz y una apaitania paralelo Cdz, tal y omo se muestra en la figura 2b. Si los ondutores tuviesen ondutividad finita, se debería inluir, además, una resistenia serie en el iruito equivalente de una seión diferenial C. o mismo suedería si el espaio entre los ondutores estuviera lleno on un material dielétrio on pérdidas; tendríamos, entones, que onsiderar una ondutania paralelo "G" en el iruito equivalente. Sin embargo, no vamos a onsiderar, por ahora, estos dos últimos efetos. Puesto que los efetos eletromagnétios se propagan a una veloidad finita "" (veloidad de la luz en el vaío), la tensión v(z,t) y la orriente i(z,t) en un punto arbitrario "z" de la línea de transmisión serán ero hasta que haya pasado un tiempo z/ después de que el generador se haya onetado. Veremos que el generador lanza ondas de tensión y orriente a la línea de transmisión que se propagan on veloidad finita. as euaiones que desriben estas ondas se obtienen apliando las leyes iruitales de Kirhoff al iruito equivalente de una seión diferenial de la línea de transmisión, junto on las relaiones terminales (ondiiones de ontorno) que se deben umplir en el generador. Sean v(z,t) e i(z,t) la tensión y la orriente, respetivamente, en un punto arbitrario "z" de la línea de transmisión. A una distania diferenial "dz" más allá, la v i tensión y la orriente habrán ambiado una pequeña antidad ( )dz z y ( )dz z ; por lo tanto, la tensión y la orriente en z+dz serán v(z,t) v(z + dz,t) = v(z,t) + dz z i(z,t) i(z + dz,t) = i(z,t) + dz z

5 5 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Figura 2 a suma de todas las aídas de potenial a lo largo del iruito deben ser ero; entones i v -v + dz + v + dz = 0 t t y operando v(z,t) i(z,t) = - z t (1.a) a suma de las orrientes en el nudo de salida debe ser ero; por lo tanto podemos esribir v i i - Cdz - i - dz = 0 t t y operando i(z,t) v(z,t) = - C z t (1.b) Estas dos euaiones difereniales desriben la relaión entre las ondas de

6 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 6 tensión y de orriente en la línea de transmisión. Podemos obtener una euaión para la tensión v(z,t) difereniando la euaión (1.a) respeto a z y utilizando (1.b) para eliminar la orriente; así o v(z,t) i v 2 z t 2 z = - = - (-C ) t 2 2 v(z,t) 2 2 z v(z,t) -C = 0 t (2.a) De manera similar se obtiene la euaión diferenial para la orriente 2 2 i(z,t) 2 2 z i(z,t) -C = 0 t (2.b) El produto C tiene dimensiones de inverso de veloidad al uadrado. Estas dos euaiones son euaiones de onda unidimensionales y desriben ondas propagándose a una veloidad (línea de transmisión ideal en aire) = 1 C (3) Consideremos la euaion 2 2 v 1 v = 0 z t Dos funiones arbitrarias de la forma f + (t-z/) y f - (t-z/) son soluiones de esta euaión, es deir, de la euaión de ondas unidimensional, omo ya demostramos en temas anteriores para una onda plana. a funión f + (t-z/) es la misma que la funión f + (t) pero retrasada en el tiempo una antidad z/, que es igual al tiempo que tarda la señal desde que sale del generador hasta que alanza la posiión marada por la oordenada z. Esta soluión puede, entones, interpretarse omo una onda propagándose en la direión z positiva, por lo ual se identifia on el superíndie "+". a otra soluión representa una onda propagándose en la direión -z, y se identifia on el superíndie "-". a soluión general para la onda de tensión en la línea de transmisión es z z v(z,t) = V (t - ) + (t + ) f V f (4)

7 7 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo donde V + y V - son amplitudes onstantes. Usando la euaión (1.b) podemos poner i(z,t) f - f V V = - C ( + ) z t t Si onsideramos que la orriente es de la forma + + z - - z i(z,t) = I f (t - ) - I f (t + ) entones i f - f I I = - ( + ) z t t sin más que utilizar la relaión z ± ± (t ) f f 1 ± f = = z z (t ) z t Inspeionado estas euaiones, vemos que la soluión onsiderada para i(z,t) es ompatible on que la de la tensión v(z,t) si esogemos I = C V I = C V El parámetro C tiene dimensiones de admitania y es también igual a C C = C. a admitania araterístia Y de la línea de transmisión viene definida por este parámetro. Su inverso se denomina impedania araterístia de la línea de transmisión, y vale 1 Z 1 = = C Y (5) Utilizando este parámetro, la soluión para las ondas de orriente en la línea de 1 Puesto que Z está aquí definida omo un número real, es más lógio llamarla "resistenia araterístia", ya que el onepto de impedania implia el uso de formas fasoriales apropiadas para el estado estaionario on exitaión sinusoidal. Éste es un aso espeial e importante que veremos en el tema posterior; sin embargo, aún utilizando líneas de transmisión on pulsos u otras señales genérias, es muy omún referirse al parámetro definido Z omo impedania araterístia.

8 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 8 transmisión se puede expresar omo z z i(z,t) = V f (t - ) - V f (t + ) Z Z (6) Como puede observarse de las euaiones (4) y (6) la impedania araterístia de la línea es el oiente entre la tensión y la orriente para una de las ondas que viajan en un punto e instante dados. El signo negativo para la onda viajando en el sentido negativo de z es lógio, puesto que la onda se propaga haia la izquierda y nuestro onvenio de orriente positiva es viajando haia la dereha. 2.2 ínea de transmisión semiinfinita Para el iruito en línea de transmisión de la figura 2a, el generador envía ondas de tensión y orriente propagándose en la direión z. Puesto que la línea de transmisión se extiende hasta el infinito, no existirán ondas propagándose en el sentido z negativo. as ondas de tensión y orriente en la línea serán + + z v(z,t) = V f (t - ) + + z i(z,t) = I f (t - ) on V + =I + Z. En el generador oloado en z=0, las ondiiones terminales requieren que V g(t) = V 0v g(t) = I g R g + v(o,t) i(0,t) = I g donde Ig es la orriente proporionada por el generador y Rg es la resistenia de generador. Estas ondiiones terminales se pueden expresar de la forma de donde se obtiene V V g(t) = V 0v g(t) = R g f (t) + V f (t) Z + V + f (t) = I g Z Z Z V f (t) = V (t) = V v g(t) Z + R + g g 0 Z R g (7) a onda de tensión que se propaga por la línea de transmisión viene, entones, dada por

9 9 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Z z Z z v(z,t) = V (t - ) = v g(t - ) Z + R + g g V 0 Z R g (8.a) on la orrespondiente onda de intensidad 1 z 1 z i(z,t) = V (t - ) = V v g(t - ) Z + R + g g 0 Z R g (8.b) En ualquier punto de la línea de transmisión, la forma de onda de la tensión es la misma que la que produe el generador pero retrasada en el tiempo y reduida en su Z amplitud por el fator +. a reduión de tensión es la habitual división de Z R g tensión asoiada al iruito equivalente de la figura 2. Para una línea de transmisión semiinfinita, un generador ve una impedania igual a la impedania araterístia de la línea de transmisión. 3 ÍNEAS DE TRANSMISIÓN TERMINADAS: TRANSITORIO 3.1 Carga resistiva En la figura 3 se muestra una línea de transmisión terminada a una distania "l" del generador por una resistenia de arga R. En el plano de la arga las ondiiones terminales son v(l,t) = = v i R (9.a) i(l,t) = i (9.b) Si esogemos R igual a la impedania araterístia Z, entones v = i R = i Z Para una onda propagándose en el sentido positivo del eje z v(z,t) = Z i(z,t) por lo que en en plano z=l v(l,t) = Z i(l,t) que satisfae la ondiión terminal en el plano z=l. Por lo tanto, esogiendo R=Z la onda positiva (la que se propaga en la direión z positiva) será absorbida ompletamente por la resistenia de arga y no se generará ninguna onda reflejada (la que se propaga en la

10 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 10 direión z negativa) al final de la línea de transmisión. Como onseuenia, para evitar la presenia de una onda reflejada, omo por ejemplo en apliaiones on iruitos digitales, la línea de transmisión debe estar aabada en su impedania araterístia. Si R Z las ondiiones terminales en la arga no se pueden umplir sin la introduión de una onda reflejada. a onda inidente en z=l viene dada por Z l + l v i(l,t) = V 0 v g(t - ) = V v g(t - ) Z + R g 1 i i(l,t) = v i(l,t) Z donde V + es la amplitud de la onda de tensión inidente vi relativa a Vg. Para que la onda reflejada se pueda ombinar on la inidente de manera que se puedan umplir las ondiiones terminales dadas en las euaiones (9), la onda reflejada debe tener la misma dependenia temporal que la onda inidente. Por lo tanto, la onda reflejada tendrá la forma - l z -l - z 2l v r(z,t) = V v g(t - + ) = V v g(t + - ) El argumento debe ontener el fator t+z/ más fatores adiionales de retardo, de forma que en z=l la onda reflejada tenga la forma vg(t-l/). a onda de orriente reflejada viene dada por En el plano de la arga la orriente total de la línea de transmisión debe ser igual a la orriente i que fluye a través de R, es deir 1 i r(z,t) = - v Z r (z,t)

11 11 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo l ( V - V ) v g(t - ) = i Z y la tensión total en la línea de transmisión debe ser igual a la tensión en la arga, es deir Dividiendo estas dos últimas euaiones entre sí se obtiene + - l ( V + V ) v (t - ) = v = i R g + - V + V R + - = V - V Z que proporiona - V R - Z + = = Γ + (10) V R Z El parámetro Γ se llama oefiiente de reflexión en la arga. V - es la amplitud de la onda reflejada y V + es la amplitud de la onda inidente y su oiente está determinado úniamente por las ondiiones en la arga. Una vez que la arga ha produido la onda reflejada, la onda de tensión total en la línea de transmisión será la suma de la onda de tensión inidente más la onda de tensión reflejada, y ésto será así hasta el momento en que la onda reflejada alane el plano donde está el generador. Si la impedania interna Rg del generador es igual a la impedania araterístia Z de la línea, el generador absorbe por ompleto la onda reflejada. Si, por el ontrario, R g Z el generador refleja la onda reflejada produiendo una nueva onda propagándose en la direión z positiva. as ondiiones límites en el plano del generador se obtienen ortoiruitándolo; entones, la onda reflejada ve una terminaión Rg y se reflejará on un oefiiente de reflexión Γg dado por R Γ g g = R g + Z (11) El proeso ontinuará indefinidamente on ondas que viajan en ambos sentidos de la direión z y que se reflejan en la arga y en el generador ada t=nt (n=1,2,3,...) on T el tiempo que tarda ada onda en reorrer la longitud de la línea de transmisión, es deir, T=l/. Es onveniente haer notar dos osas. a primera es que las ondas que se van reflejando en la arga y el generador pueden tener amplitud negativa puesto que Γ o Γg (o ambos) pueden ser negativos. a segunda es que, exepto para argas orrespondientes a iruito abierto o ortoiruito, Γ y Γg son menores que la unidad. - Z

12 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 12 Como onseuenia, las suesivas ondas reflejadas lo haen on ada vez menor amplitud dando lugar a un proeso onvergente. Es interesante alular el valor final de la tensión entre los terminales de la resistenia de arga V. Si V1 + es la amplitud en la arga de la onda de tensión que envía el generador, es deir V + 1 Z = Z + R g V 0 on las suesivas reflexiones en el generador y la arga podremos esribir V = V + 1 V 1+ V + 2 V 2 + V + 3 V V 1 Γ Γg Γ Γg Γ Γg Γ Γg Γ Γg Γ Γg Γ Γ Γg Γ Γg Γ + 1 Γ = V 1 ( + ) 1 - Γg Γ 1 - Γg Γ = ( = V [( ) + ( )] 1 + = V ( ) + Γ Γg Γ Análogamente enontramos la intensidad en la arga I omo I Γ + V 1 Γg Γ 1 - = ( ) 1 - Z (12) (13) Diagramas de reflexión El proedimiento anterior "paso a paso" para alular la tensión y la orriente en un punto y tiempo dados de la línea de transmisión terminada en una arga resistiva arbitraria llega a ser tedioso y difíil de visualizar uando es neesario onsiderar muhas reflexiones. En estos asos, es muy útil emplear una onstruión gráfia denominada diagrama de reflexión. Comenzaremos por onstruir un diagrama de reflexión en tensión. En tal diagrama se dibuja el tiempo transurrido después del ambio en las ondiiones del iruito en funión de la distania z al plano del generador. El diagrama de reflexión en tensión para la línea de transmisión de la figura 3 se muestra en la figura 4. El diagrama omienza on una onda V1 + en t=0 que viaja desde el generador (z=0) en la direión z positiva on veloidad u = 1/ C (u= en el vaío). Esta onda está representada por la línea reta desde el origen marada on V1 + y tiene una pendiente positiva igual a 1/u. Cuando V1 + alanza la arga situada en z=l, se rea una onda reflejada V1 - = Γ V1 + siempre que R no sea igual a Z. a onda V1 - viaja en la direión z negativa y viene representada por la línea reta marada on Γ V1 +, y tiene una pendiente negativa igual a -1/u. Esta onda alanza el generador uando ha transurrido un tiempo t=2t (T=l/u) dando lugar a una onda reflejada V2 + = Γg V2 + = Γg Γ V1 +, y que viene representada

13 13 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo por la segunda línea on pendiente positiva. Este proeso ontinua en un sentido y otro indefinidamente. El diagrama de reflexión en tensión se puede utilizar para obtener la distribuión de tensión a lo largo de la línea de transmisión en un tiempo dado así omo la variaión de tensión en funión del tiempo en un punto arbitrario de la línea. Supongamos que queremos onoer la distribuión de tensión a lo largo de la línea en t=t4 (3T<t4<4T); proederíamos omo sigue: 1.- Marar t4 en el eje temporal (vertial) del diagrama de reflexión en tensión. 2.- Dibujar una línea horizontal desde t4, que interseione la línea on pendiente

14 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 14 positiva en el punto P4. Todas las líneas por enima de P4 son irrelevantes en nuestro problema puesto que perteneen a t>t Dibujar una línea vertial por P4 hasta ortar al eje z (horizontal) en z1. El signifiado de z1 es que en el rango 0<z<z1 (a la izquierda de la línea vertial) la tensión tiene un valor igual a V V V + = 2 V + (1 + 1 Γ+ Γg Γ ) ; y en el rango z1<z<l (a la dereha de la línea vertial) la tensión es V + 1 V 1+ V + 2 V 2 = V (1 + 1 Γ+ Γg Γ+ Γg Γ ). Por lo tanto se produe una 2 + disontinuidad en la tensión en z=z1 de valor Γg Γ V a distribuión de tensión a lo largo de la línea en t=t4, V(z,t4) se muestra en la figura 5a, para R=3Z (Γ=1/2) y Rg=2Z (Γg=1/3). Para enontrar la variaión de la tensión en funión del tiempo en un punto z=z1, usamos el proedimiento siguiente 1.- Dibujar una línea vertial interseionando los puntos P1 al P5 (figura 4), y así suesivamente. (Existirían un número infinito de tales interseiones siempre que R y Rg fueran ambos diferentes de Z). 2.- Desde esos puntos de orte, dibujar líneas horizontales hasta interseionar el eje temporal en los puntos t1 al t5, y así suesivamente. Éstos son los instantes en los que una nueva onda de tensión llega a z=z1 y ambia su tensión brusamente. 3.- El gráfio de V(z1,t) se muestra en la figura 5b para las mismas ondiiones anteriores. Cuando t ree indefinidamente, la tensión en z1 (y también en otros puntos de la línea de transmisión sin pérdidas) tiende al valor 3V0/5 dado por la euaión (12).

15 15 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Figura 5 De la misma manera que hemos heho para el diagrama de reflexión en tensión se puede onstruir un diagrama de reflexión en intensidad. a esenia en su onstruión es exatamente la misma que para el diagrama en tensión on la únia diferenia del ambio de signo asoiado on la orriente que viaja en la direión z negativa. El diagrama de reflexión en intensidad se puede emplear para determinar la distribuión de orriente a lo largo de la línea de transmisión así omo la variaión de la orriente en funión del tiempo en un punto partiular de la línea, sin más que seguir los pasos arriba indiados. Para la línea de la figura 3 y on los valores antes utilizados el diagrama de reflexión en intensidad se muestra en la figura 6 y el transitorio desribiendo la variaión de la intensidad en z1 en funión del tiempo en la figura 7.

16 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio Carga reativa Hemos visto que uando la resistenia de arga no es igual a la impedania araterístia de la línea de transmisión, la tensión o orriente inidente produe una onda reflejada on su misma dependenia temporal y la razón entre las amplitudes de las ondas inidente y reflejada es una onstante que hemos llamado oefiiente de reflexión. Sin embargo, si la terminaión es un elemento reativo tal omo una indutania o una apaitania, la onda reflejada no tendrá la misma dependenia temporal (es deir, no tendrá la misma forma) que la onda inidente. En tales asos, no es fatible la utilizaión de un oefiiente de reflexión onstante, siendo neesario resolver una euaión diferenial en la terminaión para determinar el omportamiento

17 17 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo transitorio. Consideremos una línea de transmisión sin pérdidas de impedania araterístia Z (real) terminada en z=l en una indutania (figura 8a). Apliamos una tensión de ontinua V0 en z=0 mediante un generador de impedania interna Zg=Z. Si en el instante t=0 se oneta diho generador se produe una onda que se propaga en la direión z positiva (viajando haia la arga) uya amplitud es V + V 0 = 2 Cuando alane la arga, una vez transurrido un tiempo t=l/u=t, se produe una onda reflejada v - (t) y queremos enontrar la relaión entre v - (t) y V +. En z=l, se umple que uando t T + - v (t) = V + v (t) i (t) = [ V - v (t)] Z di v (t) = dt De las dos primeras de estas euaiones se obtiene + v (t) = 2 V - Z i (t) (14) Esta euaión desribe la apliaión de las leyes de Kirhoff de las tensiones al iruito mostrado en la figura 8b, que es el iruito equivalente en la arga para t T. Sustituyendo el valor de v(t) en la euaión (14) se obtiene la siguiente euaión diferenial de primer orden on oefiientes onstantes uya soluión es di (t) Z i V dt + + (t) = 2

18 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 18 + Z -(t -T) e 2V i (t) = [1 - ] para t T (15) Z que proporiona orretamente terminales de la indutania es + (T) = 0 e ( ) = 2 /. a tensión en los i i V Z di Z (t) + -(t -T) v (t) = = 2 V e para t T dt (16) a amplitud de onda reflejada es Z (t-t) 1 v (t) = v (t) - V = 2 V [ e - ] 2 para t >T (17) Esta onda reflejada viaja en la direión z negativa. a tensión en un punto ualquiera z=z1 de la línea es V + antes de que la onda reflejada por la arga alane ese punto, t-t<(l-z1)/u, e igual a V + + v - (t-t) después. En las figuras 9a,b, se dibujan i(t), v(t) y v - (t) en z=l. a distribuión de tensión a lo largo de la línea para T<t1<2T se muestra en la figura 9d. Obviamente, el omportamiento transitorio de una línea de transmisión on una terminaión reativa es más ompliado que on una terminaión resistiva. Para una terminaión de tipo apaitivo (figura 10) el proeso a realizar es similar al anterior, siendo válidas las euaiones anteriores para z=l on la siguente ligadura entre la tensión y la intensidad en la arga i (t) = C dv (t) dt on lo que se obtiene la siguiente euaión diferenial C di (t) (t) = para t T dt Z Z v + V

19 19 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Figura 9 a soluión de esta euaión es + -(t -T) v (t) = 2 [1 - e ] para t T 1 V Z C (18) y la orriente en la apaitania es + 1 -(t -T) 2V i (t) = e para t T Z C (19) Z A su vez la amplitud de la onda reflejada es (t-t) v (t) = 2 V [ - e Z C ] 2 para t T (20) os gráfios de v(t), i(t) y v - (t) en z=l se muestran en las figuras 11a,b,. a distribuión de tensión para T<t1<2T se muestra en la figura 11d.

20 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio Soluión mediante la transformada de aplae Aunque los diagramas de reflexión de la seión anterior proporionan una visión intuitiva del omportamiento transitorio de una línea de transmisión, a vees es neesario o deseable obtener una soluión analítia del problema en onreto. En esta seión veremos ómo utilizando el método de la transformada de aplae de la teoría de iruitos se puede obtener la respuesta temporal de una línea de transmisión sin pérdidas. Para ilustrar el proeso de resoluión vamos a resolver el aso que se muestra en la figura 12, y que onsiste en una línea de transmisión sin pérdidas ortoiruitada onetada a un generador adaptado que proporiona una tensión esalón de amplitud V0. Figura 12 as euaiones del telegrafista, que por omodidad vamos a repetir aquí, para

21 21 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo este aso son v(z,t) i(z,t) + = 0 z t (21.a) i(z,t) v(z,t) + C = 0 z t (21.b) a transformada de aplae F(s) de una funión f(t) se define omo F(s) = _ [f(t)] ) = f(t) -st e dt 0 son Como referenia, algunas de los resultados básios de la transformada de aplae f(t) [ ] = s F(s) - f( ) t + o (22) 1 [U(t)] = s (23) -sb [f(t - b)] = F(s) e (24) En las euaiones anteriores se supone que f(t)=0 para t<0. Apliando la euaión (22) a las euaiones (21) se obtienen las euaiones del telegrafista en el dominio transformado V(z, s) + si(s, z) - i(z, + 0 ) = 0 z (25a) I(z, s) + scv(s, z) - Cv(z, + 0 ) = 0 (25b) z donde V(z,s) e I(z,s) son las transformadas de aplae de v(z,t) e i(z,t), respetivamente. Para resolver estas euaiones y enontrar V e I, que son funiones de las variables independientes z y s, neesitamos las ondiiones de ontorno en z=0 y z=l en z V i t Z v t = 0 : 0 + (0, ) + (0, ) = 0 (26a) en z = l : V(l,t) = 0 (26b)

22 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 22 En el dominio transformado las euaiones anteriores son -V 0 + I(0,s) Z + V(0, s) = 0 s (27a) V(l, s) = 0 (27b) También se requieren las ondiiones iniiales. Debido a la veloidad finita de propagaión, podemos afirmar que la tensión y la orriente en t=0 + son ero en todos los puntos de la línea de transmisión. Entones + + v(z, ) = i(z, ) = 0 para 0 < z l 0 0 Con todo ésto, las euaiones (25) se reduen a V + si = 0 z (28a) I + scv = 0 z (28b) de las que se puede obtener una euaión on sólo V(z,s) omo 2 V - 2 s CV = 0 2 z uya soluión general para V es V(z, s) = A z z -s s e u + B e u (29) donde u es la veloidad de propagaión en la línea (u= en el vaío). Como ya hemos visto, estos dos términos representan ondas viajando en las direiones z positiva y negativa. Usando la euaión (28a) podemos despejar la onda de intensidad I 1 V A B I(z,s) = - = - s z Z Z z z -s s e u e u (30) Ahora debemos determinar las onstantes desonoidas A y B apliando las dos ondiiones de ontorno dadas por las euaiones (27) V l A - B + A+ B = 0 => A = V 0 l en z = 0 --s s V 0 en z = l -2s Ae su + Be u = 0 => B = - 2s e u 2s 0 l

23 23 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo a soluión para V(z,s) es entones z 2l-z 0 -s -s( ) e u e u 2s (31) V V(z, s) = [ - ] Utilizando las propiedades de la transformada de aplae se obtiene la transformada inversa de la euaión anterior, es deir, la soluión en el dominio del tiempo V 0 z 2l z v(z,t) = [U(t - ) - U(t - + )] 2 u u u (32) Para 0<t<l/u sólo está presente el primer término, y representa la onda de tensión inidente de amplitud Vg/2 que viaja haia la arga, omo muestra la figura 13a. Para t>l/u, la onda inidente se ha reflejado ompletamente en la arga on un oefiiente de reflexión igual a -1. a onda reflejada va anelando la onda inidente a medida que va viajando haia el generador, omo muestra la figura 13b. Conseuentemente, la tensión que se ve a la entrada de la línea de transmisión es un pulso, omo se ve examinado la euaión (32) para z=0 V 0 2l v(0,t) = [U(t) - U(t - )] 2 u y que se dibuja en la figura 13. a duraión del pulso es 2l/u, que puede ser un valor muy pequeño. Por ello, un iruito omo el analizado aquí se utiliza a vees para generar pulsos estrehos. Figura REFECTOMETRÍA EN E DOMINIO DE TIEMPO a araterizaión de dispositivos y omponentes miroondas se puede onseguir midiendo sus propiedades de reflexión y transmisión en funión de la freuenia. Sin

24 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 24 embargo, una araterizaión ompleta del dispositivo exige, a menudo, medidas sobre una banda anha de freuenias. Esta informaión banda anha se puede obtener haiendo un barrido de la freuenia en el rango deseado o apliando un pulso o un salto de tensión. Basándose en la transformada de Fourier del pulso o el salto apliado, se puede demostrar que la forma de onda ontiene un espetro de freuenias, que en el aso ideal de que la funión tensión apliada sea una funión delta, la banda de freuenias se extendería desde ero al infinito. Claramente, en la prátia es imposible generar una pulso de tensión en forma de funión delta on un tiempo de subida nulo. Esta es la ausa por la que un análisis en el dominio del tiempo no proporiona informaión sobre un anho de banda freuenial infinito. A menor tiempo de subida mayor anho de banda. Es laro, por lo tanto, que la informaión deseada en un rango de freuenias dado se puede obtener bien a través de ténias de barrido en freuenia, bien por medidas de la respuesta del sistema a una entrada de tensión tipo pulso orto o salto de tensión. En otras palabras, la respuesta transitoria del dispositivo o omponente miroondas junto on un análisis simple mediante la transformada de Fourier puede utilizarse para una araterizaión ompleta y anha banda del dispositivo, en lugar del repetitivo de medir freuenia a freuenia o bien on medidas de barrido de freuenia. Otra ventaja de la araterizaión en el dominio del tiempo es que failita la separaión en el tiempo de la respuesta proporionada por diferentes disontinuidades que se produzan a lo largo del sistema en línea de transmisión. En medidas en el dominio de la freuenia, donde habitualmente se utilizan tensiones sinusoidales, se obtienen oefiientes de reflexión y transmisión ompuestos de ontribuiones de todas las disontinuidades, y es bastante difíil desomponer estos valores medidos en las ontribuiones que ada una de las disontinuidades oloadas a lo largo de la línea de tranmsisión hae al valor total. En medidas en el dominio del tiempo, las ontribuiones debidas a varias disontinuidades a lo largo de la línea están todas separadas en el tiempo y, por tanto, se pueden reonoer individualmente. Por ésto, se han utilizado durante muho tiempo medidas en el dominio del tiempo para loalizar fallos en ables a lo largo de líneas telefónias. os analizadores vetoriales modernos tienen posibilidad de aislar la informaión de varias disontinuidades y realizar un análisis posterior en el dominio de la freuenia. El sistema que se emplea para realizar medidas en el dominio del tiempo se onoe omo refletómetro en el dominio del tiempo (TDR). En la figura 14 se muestra un diagrama de bloques de un TDR, que básiamente ontiene los siguientes omponentes 1.- Un generador de tensión que proporiona la entrada en forma de salto de tensión a la línea de transmisión. 2.- a abeza de muestreo que inluye una sonda de alta impedania para muestrear la tensión a lo largo de la línea de transmisión. 3.- Un osilosopio donde ver la tensión a lo largo de la línea de transmisión. 4.- El dispositivo a medir.

25 25 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Hay que notar que la sonda de muestreo realmente mide la tensión total VG+VR a lo largo de la línea. Por lo tanto, para obtener la funión salto respuesta al dispositivo a medir, se debe restar el salto en tensión de la onda inidente de la señal mostrada en el osilosopio. Vamos a ver algunas de las apliaiones del TDR. 4.1 oalizaión de desadaptaiones resistivas Supongamos que el dispositivo test de la figura 14 es una línea de transmisión terminada en su impedania (resistenia) araterístia Z. Entones, no se produe onda reflejada y lo que se verá en el osilosopio es la onda de tensión inidente (un esalón) a medida que pasa por el punto de muestreo (figura 15). Pero si existe desadaptaión en la arga, parte de la onda inidente se refleja. Como ya se ha diho, la onda reflejada apareerá en la pantalla del osilosopio sumada algebraiamente a la onda inidente, omo muestra la figura 16.

26 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 26 a onda reflejada se identifia fáilmente puesto que se ve, en el osilosopio, separada en el tiempo de la inidente. Esta situaión proporiona informaión sufiiente para determinar la separaión "D" entre el punto de muestreo y la desadaptaión. Si "u" es la veloidad de propagaión en la línea y "T" el tiempo de tránsito desde el punto de muestreo hasta la arga y vuelta, que se puede medir en el osilosopio omo muestra la figura 16, se verifia la relaión T D = u 2 (33) a veloidad de propagaión "u" se puede determinar mediante una experienia on un able de longitud onoida y del mismo tipo que el empleado anteriormente. Por ejemplo, si el tiempo, medido en el osilosopio, empleado por la onda inidente en viajar hasta la arga más el empleado por la onda reflejada en viajar desde una terminaión en iruito abierto hasta el prinipio de una línea de 120 m es de 11,4 nseg, se obtiene una veloidad u=2,1x10 10 m/seg. No sólo se puede loalizar la desadaptaión, también se puede alular el valor de

27 27 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo la arga resistiva. Supongamos por ejemplo que la amplitud de la onda inidente Ei (V + ) es de 12 V y que la tensión detetada en el osilosopio una vez que ha pasado por el punto de muestreo la onda reflejada es V2=8 V. Por tanto, Er=(V - )=V2-Ei=-4V. Esto da lugar a un oefiiente de reflexión de -1/3 (Γ=Er/Ei=V - /V + ); si la impedania araterístia de la línea de transmisión es Z=50Ω, se obtiene el valor de la resistenia de arga omo R - Z Γ= => R = 25Ω R - Z 4.2 Disontinuidades múltiples Una de las virtudes del TDR es su habilidad para manejar dispositivos on más de una disontinuidad omo, por ejemplo, el mostrado en la figura 17. a pantalla del osilosopio mostraría en este aso un diagrama pareido al mostrado en la figura 18 (para el aso Z>Z1>Z2). Como se puede observar en la figura 18 las dos desadaptaiones produen reflexiones que se pueden analizar separadamente. a desadaptaión debida a la unión de las dos líneas de transmisión genera una onda reflejada Er1 dada por Z - Z E E E 2 1 r1 = Γ1 i = i Z 2 + Z1 (34)

28 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 28 Análogamente, la desadaptaión en la arga rea una reflexión on un oefiiente de reflexión Z - Z Γ 2 2 = Z + Z (35) 2 Es neesario apuntar que la onda que inide sobre Z no es Ei sino (1+Γ1)Ei. Como onseuenia, la reflexión produida en la arga es E r = (1 + ) Γ2 Γ 1 E i (36) que no es igual a Er2, ya que se produe una nueva reflexión en la unión de las dos líneas de transmisión. a onda que retorna haia el punto de muestreo es 1 1 r2 = (1 + Γ ) 1 r= (1 + Γ ) [ 1 Γ2 (1 + Γ 1) i ] (37) E E E pero omo 1 Γ 1 = - Γ 1, Er2 se puede esribir omo E r 2 Γ2 Γ 1 E i (38) 2 = [ (1 - )] a parte de Er reflejada en la unión de las dos líneas de transmisión (es deir 1 Γ 1 Er ) alanza la arga y es reflejada por ella, y después de ser parialmente reflejada en la unión de las líneas alanza el punto de muestreo. Ésto ontinua indefinidamente, aunque transurrido un ierto tiempo las suesivas reflexiones van aproximándose a ero. Por tanto, es onveniente indiar que aunque TDR es útil para observar múltiples disontinuidades, hay que tener uidado on las ompliaiones que introduen uando se analizan en la pantalla del osilosopio. Afortunadamente, en la mayoría de los asos

29 29 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo prátios, las medidas se haen sobre dispositivos que no presentan grandes disontinuidades (es deir Z 1 Z 2) y el efeto de todas estas múltiples disontinuidades es muy pequeño. Por último, es importante onoer uál es el omportamiento de las ondas que llegan hasta el plano del generador. En general, la impedania del generador puede no ser igual a la impedania araterístia de la línea de transmisión. En este aso, las ondas de tensión que se produen en las desadaptaiones del dispositivo a medir, son reflejadas por el generador ompliando el análisis en la pantalla del generador. Por tanto, es "asi" esenial que el generador esté adaptado a la línea de transmisión. En esta situaión, todas las reflexiones provenientes del dispositivo a medir pasan por el punto de muestreo úniamente una vez, puesto que son absorbidas por la impedania del generador. Todo esto se muestra en las figuras 19a,b. En la primera de ellas se muestra una foto de la pantalla del osilosopio del TDR onetado a una línea de transmisión (Z=50Ω) aabada en una apaitania, on el generador adaptado a la línea. En la foto de la figura 19b, se introdue entre el generador y la línea otra de impedania diferente (Z=75Ω) on lo que se desadapta el generador. a onda reflejada por la apaitania alanza el generador, siendo reflejada por él. Ésta onda llega a la arga, se refleja, vuelve haia el generador, donde se refleja nuevamente y así suesivamente. El proeso ontinua indefinidamente, a menos que ada oefiiente de reflexión tenga módulo unidad, y las reflexiones dereen en intensidad de manera que sólo las primeras son importantes. 4.3 imitaiones por el tiempo de subida del esalón El generador del TDR proporiona un esalón en tensión on un tiempo de subida finito. En la figura 20a se muestra un aso típio de un generador de TDR on un tiempo de subida de aproximadamente 150 pseg; además se puede apreiar también el sobredisparo (figura 20b). El tiempo de subida tiene una importania signifiativa en la resoluión entre dos disontinuidades muy próximas entre sí. Cuando dos disontinuidades están tan próximas entre sí que la onda de tensión que deja pasar una de ellas alanza a la segunda antes de que el esalón haya "subido" totalmente, el resultado es que en la pantalla del osilosopio no se pueden separar en el tiempo adeuadamente y, omo onseuenia, no se pueden araterizar uantitativamente por separado. El tiempo de subida también influye en las formas de las reflexiones produidas por pequeñas apaitanias o indutanias. Vamos a estudiar on detalle este aso.

30 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 30 Tratadas idealmente, las reflexiones produidas por pequeñas apaitanias e indutanias poseen unas onstantes de tiempo muy pequeñas, es deir, el paso entre el estado en t=0 y t igual a infinito es muy rápido. Consideremos, por ejemplo, una ombinaión serie R-, on R=50Ω=Z (Z impedania araterístia del able que alimenta la ombinaión R-) y =10-10 H. Idealmente, la pantalla del osilosopio mostraría algo omo lo de la figura 21a. En realidad lo que muestra es la figura 21b.

31 31 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Cualitativamente, podemos interpretar lo que suede en la figura 21b fijándonos en que la onstante de tiempo de la onda reflejada es tan pequeña que deae hasta su valor final antes de que el sistema TDR haya alanzado su valor final. A pesar de esta limitaión, todavía se puede obtener informaión uantitativa sobre la magnitud del pequeño indutor que ausa la reflexión. Reordando la euaión del oefiiente de reflexión, que esribimos a ontinuaión por omodidad sustituyendo Z = R + jω = Z + jω E r Z - Z Γ = = E Z + Z i

32 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 32 Z + jω - Z jω Γ = = Z + jω + Z 2 Z + jω Puesto que es pequeña, el produto ω será muho menor que 2Z a menos que ω sea muy grande. Sin embargo, el tiempo de subida finito (lo ual limita el anho de banda) del TDR dita que el espetro en freuenia orrespondiente al esalón no ontiene freuenias por enima de ierta freuenia de orte. Por lo tanto, podemos despreiar ω frente a 2Z y esribir E r jω Γ = = => E r = (j ωe i) E 2Z 2Z i Supongamos, ahora, que la onda inidente es de la forma E i = E e jωt entones j t d E j ωe i = j ω E ω e = dt i por lo que podemos esribir E r d E = 2Z dt i Por lo tanto, la onda reflejada será una versión difereniada de la onda inidente y su magnitud proporional a /2Z. Puesto que las señales er(t) (onda de tensión reflejada) y su derivada temporal dei/dt se pueden leer de la pantalla del osilosopio (figura 22) se puede obtener el valor de. Como ejemplo, examinemos la figura 23 orrespondiente a la foto de la reflexión por un pequeño indutor en serie on una resistenia igual a la impedania araterístia de la línea de transmisión que los alimenta. En la parte superior se muestra la pantalla del osilosopio a esalas de 50 mv/m se sensibilidad y 4 ns/m de barrido. a parte inferior es una vista expandida de la onda reflejada on una sensibilidad de 10 mv/m y un barrido de 400 ps/m. De ella se obtiene que ermáx es 34 mv y la pendiente aproximadamente 3 mv/ps. Si Z=50 Ω 2 50Ω 34 mv = 1,1x H 3 mv/ps

33 33 Tema 8 íneas de Transmisión: análisis iruital y transitorio Eletromagnetismo Figura 23

34 Eletromagnetismo Tema 8 íneas de transmisión: análisis iruital y transitorio 34 5 REFERENCIAS [1] Colllin, R.E.: "Foundations for Mirowave Engineering", MGraw Hill, [2] Cheng, D.K.: "Field and Wave Eletromagnetis", Addison-Wesley, [3] Hewlett Pakard: "Time Domain Refletometry", Appliation Note 62, [4] Iskander, M.F.: "Eletromagneti Fields and Waves", Prentie Hall, [5] Paul, C. and Nasar, S.: "Introdution to Eletromagneti Fields" MGraw Hill, [6] Pozar, D.M.: "Mirowave Engineering", Addison-Wesley, [7] Rizzi, P.A.: "Mirowave Engineering: Passive Ciruits", Prentie Hall, [8] Seshadri, S.R.: "Fundamentals of Transmission ines and Eletromagnetis Fields", Addison-Wesley, 1971.