Clase 2. Las ecuaciones de Maxwell en presencia de dieléctricos.

Transcripción

1 Clase Las euaiones de Maxwell en presenia de dielétrios. A diferenia de los metales (ondutores elétrios) existen otro tipo de materiales (dielétrios) en los que las argas elétrias no son desplazadas por ampos elétrios moderados. Sin embargo, esto no quiere deir que estos materiales no se vean afetados por tales ampos. En efeto, si entre las plaas de un apaitor argado se introdue un dielétrio, la magnitud del ampo E en el interior del material tendrá un valor menor que la del ampo E fuera del material. Esto se debe a que el ampo E desplaza las nubes eletrónias de los átomos onstituyentes del material, formando una adena de dios elétrios alineados en la direión del ampo. A este fenómeno se le llama arizaión del dielétrio. Podemos suponer que, si la magnitud del ampo no es muy grande, la magnitud de los momentos diares induidos será proporional a la magnitud del ampo. Si en el material existen N átomos por unidad de volumen, el momento diar induido por unidad de volumen P será: P Np en donde p qr es el momento diar de ada átomo; q es el valor absoluto de la arga (positiva o negativa) y r es la Figura 1 separaión entre los entros de arga y está dirigido del entro de arga positiva al de la negativa. La arizaión produe entones una densidad de arga superfiial σ en el dielétrio igual al produto de la arga desplazada q por el número de eletrones por unidad de volumen por la magnitud r del desplazamiento (supuesto perpendiular a la superfiie),; es deir: σ qnv qnra Nqr A A que es preisamente la magnitud de la arizaión. Consideremos ahora lo que ourre si la arizaión no es uniforme dentro del dielétrio, La densidad de arga superfiial en la superfiie de un volumen ualquiera dentro del material está dada por σ P n y es diferente en las diferentes regiones de la superfiie ya que más arga P Carga - saliente atraviesa por un lado que por el lado ontrario (ver la figura ). Esto da lugar a una arga neta dentro del volumen onsiderado, a P la ual llamaremos Q y uyo valor está determinado por Carga + saliente Figura

2 Q ρ dv da Pn i V A de donde resulta que ρ P i Si, además, la arizaión varia on el tiempo, se establee una densidad de orriente de arizaión j dada por ya que j d P dt d d d Nq Nq r P j v ( Nqr ) dt dt dt Como una onseuenia de la arga de arizaión, el ampo dentro del material dielétrio es distinto de E; de heho, la forma diferenial de la euaión de Gauss debe esribirse ahora omo ρ+ρ ρ ip ε ε ε i E o bien omo i ε E+ P i Dρ Análogamente, la forma diferenial de la ley de Ampère se debe esribir ahora omo E dp E xb μ ( j+ j ) +ε μ μ j+μ +ε dt t μ j+μ ( ε E+ P ) μ j+μ Nota: El primer término de la dereha de la euaión anterior se refiere a todas las densidades de orriente que no se deban a la arizaión. Estas pueden provenir de agentes externos o internos (orrientes originadas en el interior del material; por ejemplo, orrientes mirosópias en los átomos) y todos los efetos debidos a ellas se pueden englobar en un vetor, semejante a la arizaión P, llamado magnetizaión M. Podemos entones definir un nuevo vetor, llamado intensidad magnétia, omo

3 B H M μ en términos del ual la forma diferenial de la ley de Ampère queda xh j + t Resumiendo: La euaiones de Maxwell en presenia de materiales son: idρ ib B x E xh j+ Ondas eletromagnétias en un dielétrio. Como la forma de las euaiones de Maxwell en presenia de materiales son análogas a las orrespondientes en el vaío (on D y H), podemos repetir el proedimiento seguido para estas últimas y tratar de enontrar las euaiones de onda. Primero alulamos el rotaional del rotaional de H: x xh xj + x Nos limitaremos a materiales isotrópios para los uales P y j son proporionales a E y M a B. Más aun, tomaremos el aso en el que los fatores de proporionalidad son onstantes, así que podemos esribir que D εe, j ge y H μb. En tal aso, la euaión anterior queda: H g H μ εμ H 1 ya que ih i B. μ Proediendo en forma análoga, alulando el rotaional del rotaional de E y onsiderando solo los asos en ausenia de arga libre, obtenemos E E E εμ gμ Aunque las dos euaiones anteriores no tienen la forma de la euaión de onda que dedujimos anteriormente, aun así las soluiones de estas euaiones también son osilatorias y orresponden a ondas que se propagan en materiales homogéneos y lineales y para los uales la densidad de arga dentro del materia es ero. En general, resulta más simple resolver la euaión en E para ondas monoromátias, y una vez obtenido su valor, B se obtiene alulando el rotaional de E. Como el miembro izquierdo de la euaión anterior sólo depende del tiempo, proponemos la separaión de variables ya

4 empleada en la obtenión de la euaión de Shrödinger y esribimos, para ondas que se propagan en la direión +r: i t Er (,t) E( r )e ω en donde E solo depende de las oordenadas espaiales. Sustituyendo en la euaión de E obtenemos: i g E + ω εμ+ ω μ E Ondas monoromátias planas en un dielétrio. Por las limitaiones de tiempo de este urso, sólo trataré el aso de ondas monoromátias planas en un dielétrio (g ). La soluión para asos más omplejos sigue básiamente el mismo proedimiento, auque se omplia un poo en sus aspetos matemátios. Una onda monoromátia se arateriza por tener una freuenia únia y por el heho de tener la misma amplitud en todos los puntos sobre un plano perpendiular a su direión de propagaión, lo ual redue el problema a una dimensión. Si esogemos la direión de propagaión a la largo del eje x, la euaión anterior se simplifia a uya soluión es ( x) de dx + εμω E x E(x) E,e ± ω εμ Sin embargo, este ampo elétrio tiene que satisfaer de dx ie ±ω εμ i E y esto implia que E no tiene omponente x; es deir, se trata de un vetor ontenido en el plano perpendiular a la direión de propagaión de la onda: ( Ey Ez) e ± ω εμ E j + k Una vez obtenido el ampo elétrio, el magnétio se alula mediante el rotaional de E para obtener: ( z oy ) x E E e ± ω εμ B E ± j+ k εμ Es fáil demostrar que E B. lo ual implia que estos vetores son perpendiulares entre si, y perpendiulares a la direión de propagaión de la

5 onda. El signo + orresponde a ondas que se propagan en la direión +x. Al inluir la dependenia temporal, la expresión para el ampo elétrio queda ( x t) ω i t i (,t) (x)e (x)e ω εμ Er E E y una expresión semejante para B(r,t). Al deduir la euaión de onda demostramos que la veloidad de propagaión de una onda monoromátia en una dimensión (que orresponde al aso de una onda plana) es v ω/k, en donde en este aso k ω εμ, así que la veloidad de propagaión de la onda es v 1 εμ que, desde luego, depende del material del ual se trate. Reordando que el índie de refraión n de un material es /v, resulta que: n ε μ εμ Para la mayoría de los materiales transparentes, μ /μ º 1, asi que la medida de sus índies de refraión es una medida aproximada de su onstante dielétria relativa al vaío. Aunque ya no trataremos el aso de las ondas eletromagnétias en medios ondutores, para los uales g, onviene menionar que el término en la euaión de onda que ontiene a g atúa omo un término de amortiguamiento exponenial, que hae que la onda penetre sólo una fraión pequeña dentro del material, antes de que su amplitud disminuya a ero.