1. Propiedades de la Presión Hidrostática.

Transcripción

1 Tema. Hidrostátia. Proiedades de la Presión Hidrostátia.. Euaión fundamental de la Hidrostátia.. Presión Hidrostátia en los líquidos. Euaión de equilirio de los líquidos esados. ota ieométria. 4. Suerfiie de nivel en los líquidos esados. 5. Variaión de la resión on la rofundidad. Diagrama de resiones. 6. Presiones sore suerfiies lanas: ) álulo del valor de la resión total ) Determinaión del entro de resión ) asos más freuentes en la rátia 4) Presión total sore una ared lana retangular on líquido a amos lados Ya vimos en el tema que la Hidrostátia es la arte de la Hidráulia que estudia el equilirio de los líquidos en estado de reoso. En estas irunstanias, al ser nulo el gradiente de veloidad, no eisten esfueros ortantes (tangeniales), or lo que no eiste visosidad, omortándose el líquido omo erfeto.. Proiedades de la Presión Hidrostátia. La resión es la fuera que se ejere or unidad de suerfiie. Por lo tanto, vendrá definida or su módulo o intensidad y or su direión, siendo evidente el sentido en que atúa (aia el uero onsiderado). A ontinuaión vamos a estudiar las dos roiedades que la definen.. Relativa a su direión: En una masa líquida en equilirio, la resión idrostátia en ualquiera de sus untos dee ser normal (erendiular)

2 al elemento lano sore el que atúa. Si no fuera así, eistiría una omonente tangenial que romería el equilirio. F s siendo: F: Fuera uniformemente reartida, o ien, fuera media que atúa sore s s: Suerfiie Si s se ae infinitamente equeña, entones se define la resión: lim ds 0 df ds. Relativa a su intensidad: En un unto de una masa líquida eiste la misma resión idrostátia en todas las direiones, es deir, la resión es indeendiente de la inlinaión de la suerfiie sore la que atúa. onsideremos un volumen elemental de líquido en reoso en forma de tetraedro OAB. Py P P dy O d A B y P Las fueras que atúan son:

3 Fueras másias, es deir, las fueras eteriores que atúan sore la masa del elemento líquido. Se deen a la gravedad, deenden del eso del elemento onsiderado, y or tanto son roorionales al roduto de las tres dimensiones ( d dy d), es deir, al volumen. El emuje sore ada una de las aras del tetraedro, deido a las resiones ejeridas or el resto del líquido. Presiones totales: ara AB sab ara BO s ara AO s y BO AO ara AOB saob Estaleiendo la euaión de equilirio de las fueras de resión intervinientes y royetándolas sore el eje OX se otiene: s AB 44 os(, ) 44 s BO Luego s BO Análogamente, royetando sore los ejes OY y OZ, se demuestra que, on indeendenia de la inlinaión del elemento de suerfiie, las resiones unitarias son iguales. y. Euaión fundamental de la Hidrostátia. Es la euaión de equilirio de una masa líquida. onsideremos dentro de un líquido en reoso un elemento de volumen infinitesimal en forma de araleleíedo retangular, de aristas aralelas a los ejes oordenados.

4 P P d D F P P A B P P d E P P y dy P y El araleleíedo está sometido a las fueras eteriores o másias, aliada la resultante en su entro de gravedad (dg), es deir, el eso roio, y a las resiones sore sus aras eteriores o emuje ejeridas or el líquido irundante. Osérvese que las resiones sore las aras que forman el triedro que asa or A son iguales (), según se demostró en el aartado anterior. Las ondiiones de equilirio del araleleíedo se lantean igualando a ero la suma de todas las fueras que atúan sore él, royetándolas sore ada uno de los ejes. (, y, ) serían las omonentes de la resultante de las fueras eteriores según los tres ejes. Proyeiones sore OX: omonentes de las fueras eteriores ρ d dy d 44 volumen 678 s Presión total sore la ara AD dy d Presión total sore la ara BEF d dy d 4

5 Las resiones que atúan sore las demás aras dan royeiones nulas sore el eje OX. Proyeiones sore OX 0 ρ d dy d dy d d dy d 0 d dy d ρ d dy d dy d dy d d dy d ρ d dy d dy d Simlifiando se otiene: ρ [] Oerando de igual modo sore los ejes OY y OZ, las ondiiones de equilirio serían, resetivamente: y ρ y ρ [] [] Multiliando las euaiones [], [] y [] or d, dy y d, resetivamente, y sumándolas, se otiene: d dy d ρ ( d y dy d) y El rimer miemro es una euaión diferenial total, on lo que se uede oner de la forma: 5

6 d ρ ( d y dy d) Esta euaión se onoe omo Euaión de equilirio de una masa líquida o Euaión Fundamental de la Hidrostátia. Las suerfiies de nivel son aquéllas que tienen la misma resión en todos sus untos, or lo que al ser te, d 0, quedando la euaión fundamental de la forma: ( d y dy d) 0 Que es la euaión diferenial de las suerfiies de nivel o equioteniales.. Presión Hidrostátia en los líquidos. Euaión de equilirio de los líquidos en reoso. ota ieométria. En un líquido en reoso, la únia fuera eterior que atúa es la de la gravedad. Si tomamos los ejes OX y OY aralelos a la suerfiie lire del líquido y OZ vertial y dirigido aia arria, las omonentes de aquella fuera ara ualquier líquido inomresile de densidad ρ serán: 0 y 0 -g Suerfiie lire O M 0 (P 0 ) 0 y 0 0 M (P) y y 6

7 La euaión fundamental de la Hidrostátia quedaría: d ρ (0 d 0 dy g d) d ρ g d ; y uesto que γ ρ g d γ d Integrando la euaión desde una ota 0, en la que la resión es 0, asta una ota de resión, se otiene: Z 0 (P 0 ) Z (P) y d γ d γ γ ( ) [4] d Esta euaión india que la diferenia de resión entre dos untos de un líquido en equilirio es igual al eso de una olumna del mismo líquido de seión unidad y altura la diferenia de otas entre amos untos. Normalmente el origen de las se sitúa en la suerfiie lire del líquido, de tal forma que 0, siendo la rofundidad del líquido. Entones, según la euaión [4]: 0 γ Y uando el origen de resiones está en la suerfiie lire ( 0 0): 7

8 γ La euaión [4] tamién uede onerse de la forma: γ γ γ 0 0 te Altura o ota ieométria γ γ Euaión que india que en un líquido inomresile es onstante la suma de la altura geométria o de osiión y de la resión unitaria dividida or el eso eseífio. El oiente γ, de dimensiones una longitud denominada altura de resión (tema, onetos), reresenta la altura de la olumna de líquido de eso eseífio γ aa de roduir la resión. 4. Suerfiie de nivel en líquidos esados. La altura o ota ieométria te india que si en ada unto γ de un líquido en reoso se levanta un segmento vertial reresentativo de la altura de resión en ese unto, los etremos de dios segmentos se ontienen en un mismo lano oriontal, el lano de arga idrostátio relativo, que si se resinde de la resión atmosféria, oinide on la suerfiie lire del líquido. Suerfiie lire del líquido P γ P γ P γ 4 Plano de referenia 8

9 Es evidente que en los líquidos en reoso todas las suerfiies de nivel son lanos oriontales. Demostraión: d ρ ( d y dy d) Euaión de equilirio de los líquidos en reoso: d γ d En la suerfiie de nivel, or su roia definiión, todas las resiones son iguales, luego al ser onstante, d 0. k γ d 0 γ d γ te k te γ Euaión que reresenta a un lano aralelo a la suerfiie lire del líquido. 5. Variaión de la resión on la rofundidad. Diagrama de resiones. La resión en un unto de una masa líquida es igual a la resión atmosféria más el eso de la olumna de líquido de altura igual a la distania entre dio unto y la suerfiie lire del líquido. Plano de arga asoluto O θ P 0 γ Plano de arga relativo Presiones (kg/m ) θ P 0 γ Altura (m) P P 0 γ 9

10 La euaión 0 γ orresonde a una reta, luego india la variaión lineal de la resión on la rofundidad del líquido, uya reresentaión, tomando omo eje oriontal las resiones y omo eje vertial las rofundidades, rooriona el diagrama de resiones (figura). Por regla general, en la rátia se miden las resiones manométrias o relativas, quedando la eresión anterior reduida a γ, que es la euaión de una reta que asa or el origen y forma un ángulo θ on la vertial, de manera que: tg θ γ 6. Presiones sore suerfiies lanas. ualquier ared lana que ontenga un líquido (muros, omuertas, deósitos, et) soorta, en ada uno de sus untos, una resión que a sido definida omo la altura de la suerfiie lire del líquido al unto onsiderado, siemre que se trate de reiientes aiertos, que es el aso más freuente en aliaiones idrostátias. Por tanto, todas las fueras de resión aralelas, uya magnitud y direión se onoen, tendrán una resultante,, que reresenta el emuje del líquido sore una suerfiie lana determinada, uyo valor y unto de aliaión vamos a determinar. P 0

11 6.. álulo del valor de la resión total. ε Suerfiie lire del líquido β θ dw Pared α β Traa del lano que forma la suerfiie lire de un líquido α Traa de una ared lana finita que ontiene el líquido (amas traas reseto al lano del ael) Las traas de amos lanos forman un ángulo ualquiera θ. dω Suerfiie elemental sumergida, de ota, a una distania de la traa de amos lanos, ε. La resión que atúa on intensidad uniforme sore dω es: d dω γ dω d γ 4 sen 4 θ dω La fuera de resión total,, que atúa sore la ara de una suerfiie lana finita será la integral en toda el área ω, uesto que todos los elementos de fuera son aralelos. γ sen θ dω γ sen θ dω [5] ω ω ω dω es el momento estátio del área ω reseto a la traa Si es el dg de dia área, su aisa valdrá:

12 ω dω dω w ω ω ω d w d w Sustituyendo en [5] quedará: γ sen θ ω γ ω ω ω ω La resión total que ejere un líquido sore una suerfiie lana es el roduto del área or la resión idrostátia que atúa sore su entro de gravedad. 6.. Determinaión del entro de resión (d). θ Suerfiie lire Eje de simetría (ared) La fuera de resión resultante,, uyo valor se a otenido en el unto anterior, tiene su aliaión en el entro de resión (, y, ) Para determinar este unto astará normalmente, en la rátia, on determinar la oordenada. Para ello tomamos momentos a lo largo del eje de simetría.

13 d A su ve, d dω γ dω, luego: omo γ dω γ sen θ γ dω sen θ dω γ sen θ dω La integral dω reresenta el momento de ineria del área ω reseto a la traa ε, or lo que, aliando el teorema de Steiner: dω I ω Luego γ sen θ ( I ω) γ sen θ ( I ω) γ sen θ ( I ω) γ sen θ ω Ya que Total unitarria unitaria ω γ γ sen θ Si, entones γ sen θ ( I ω) ω I ω on lo que se demuestra que el entro de resión está or deajo del entro de gravedad.

14 Si fuera neesario alular las oordenadas y, (no será nuestro aso), las euaiones serían análogas a las utiliadas ara la determinaión de. y y γ dω γ γ dω γ y dω dω 6.. asos más freuentes en la rátia. Primer aso: Pared retangular inlinada El muro tiene una ared inlinada retangular que ontiene un líquido, de rofundidad BD. La reta AB es el eje de simetría de la ared retangular y ontiene el dg y el d. AD reresenta el diagrama de resión idrostátia onsiderando el líquido de γ (Reordar γ ) A θ P D / θ B es, será: La resión total del líquido sore la ared, suoniendo que su anura ω γ ω γ sen θ ω El dg oinidirá on el entro geométrio de la ared. Si AB y ω 4

15 5 Entones: sen θ γ θ γ sen Es el eso del risma de ase y altura. Esta resión resultante estaría aliada en: I ω Segundo aso: Pared retangular vertial Es un aso artiular del anterior on θ 90º, or lo que sen θ. γ P B D A 90º

16 La resión idrostátia sore el elemento de ared AB equivale al eso del risma de líquido de ase triangular ABD y altura, aliado en, siendo. Terer aso: Pared retangular sumergida e inlinada ε θ d d La ared retangular, de suerfiie ω, está sumergida a una distania d de la suerfiie lire del líquido. Es el aso de una omuerta. La resión total que atúa sore ella será: ω γ ω γ sen θ d γ sen θ 44 ω γ sen θ d 44 uarto aso: Pared retangular sumergida y vertial 6

17 d aso artiular del anterior on θ 90º, or lo que sen θ. ω γ γ d ω γ ω γ d Quinto aso: Pared irular sumergida e inlinada ε ε θ d d r ω γ ω γ sen θ ω siendo: Luego: d r ω π r γ sen θ (d r) π r El d estará situado en: I ω 7

18 d π D I 64 ω π r r 4 ( r) π 64 4 π r 4 4 d r r d r 4 π r 4 4 ( d r) π r ( d r) Seto aso: Pared irular sumergida y vertial aso artiular del anterior on θ 90º, or lo que sen θ. γ (d r) π r Presión total sore una ared lana retangular on líquido a amos lados. Suongamos una ared retangular que ontiene or amas aras un líquido de eso eseífio γ. En este aso, sore la misma ared se ejeren dos resiones idrostátias aralelas de sentido ontrario. Se trata de determinar la resión resultante y su unto de aliaión. A A A P P P / / B B 8

19 9 Si y son las rofundidades resetivas del agua, la resión a ada lado de la ared (aso de aredes retangulares vertiales) será: γ γ Puesto que se trata de fueras aralelas y de sentido ontrario, la resultante será su diferenia: ( ) γ Para determinar, tomamos momentos reseto a B: B B B B B Sustituyendo los valores de,, B y B, se otiene: ( ) B γ γ γ B ( ) ( ) ( ) ( )

20 0 ( ) ( ) B B Que demuestra que el unto de aliaión de la fuera de resión resultante se enuentra or enima del unto, unto de aliaión de la resión. La resión total sore la ared viene reresentada or el risma de resiones de ase A A B B y de altura.