Segundo Examen Parcial Cálculo Vectorial Abril 23 de x = r cos θ, y = r sen θ, z = r,

Transcripción

1 egundo Examen Parial Cálulo etorial Abril de 16 Este es un examen individual, no se permite el uso de libros, apuntes, aluladoras o ualquier otro medio eletrónio. Reuerde apagar y guardar su teléfono elular. Toda respuesta debe estar justifiada matemátiamente. Tiempo máximo 1 hora y 5 minutos. Nombre: Código: 1. Considere la superfiie dada por x = r os θ, y = r sen θ, z = r, para r y θ π. i. Enuentre la reta normal a la superfiie en el punto (1,, 1). ii. Enuentre el plano tangente a la superfiie en el punto (1,, 1). iii. Calule el área la superfiie. iv. Calule F d, para F(x, y, x) = x, x + y, x, on la orientaión determinada por la normal exterior. (1 puntos). Considere la región del plano limitada por las urvas xy = 1, xy = 4, y las retas x = 1 y x =. ea T : R R la transformaión T (u, v) = (v, u/v). i. ibuje la región en el plano x-y y la región o en el plano u-v tal que T ( o ) =. ii. Use lo anterior para alular la integral x y da.. Halle la omponente z del entro de masa un hemisferio sólido homogéneo (de densidad onstante) y de radio en R, definido por x + y + z 4 y z. 4. Responda falso o verdadero, justifiando matemátiamente su respuesta: i. El área de la valla dada por las euaiones x = y y z = e x, para x 1, es igual a e. ii. i F = 1, z, y y es el amino que va en linea reta de (,, ) a (1,, ) y luego en linea reta de (1,, ) a (1, 1, ), entones F d s = 1. epartamento de Matemátias Universidad de los Andes

2 egundo Examen Parial Cálulo etorial Abril de 16 Este es un examen individual, no se permite el uso de libros, apuntes, aluladoras o ualquier otro medio eletrónio. Reuerde apagar y guardar su teléfono elular. Toda respuesta debe estar justifiada matemátiamente. Tiempo máximo 1 hora y 5 minutos. Nombre: Código: 1. Considere la superfiie dada por x = r sen θ, y = r os θ, z = r, para r y θ π. i. Enuentre la reta normal a la superfiie en el punto (, 1, 1). ii. Enuentre el plano tangente a la superfiie en el punto (, 1, 1). iii. Calule el área la superfiie. iv. Calule F d, para F(x, y, x) = y, x, z, on la orientaión determinada por la normal exterior. (1 puntos). Considere la región del plano limitada por las urvas xy = 1, xy =, y las retas x = y x = 4. ea T : R R la transformaión T (u, v) = (v, u/v). i. ibuje la región en el plano x-y y la región o en el plano u-v tal que T ( o ) =. ii. Use lo anterior para alular la integral x y da.. Halle la omponente z del entro de masa de un hemisferio sólido homogéneo (de densidad onstante) y de radio 4 en R, definido por x + y + z 16 y z. 4. Responda falso o verdadero, justifiando matemátiamente su respuesta: i. El área de la valla dada por las euaiones x = y y z = sen x, para x π, es igual a π. ii. i F = 1, z, y y es el amino que va en linea reta de (,, ) a (1,, ) y luego en linea reta de (1,, ) a (1, 1, ), entones F d s =. epartamento de Matemátias Universidad de los Andes

3 Parial II Cálulo etorial oluión 1. Tema A. i. Para enontrar la euaión vetorial de la reta normal a la superfiie dada por x = r os θ, y = r sen θ y z = r, en el punto (1,, 1), debemos alular un vetor normal a la superfiie en ese punto, es deir uando r = 1 y θ =. Para ello alulamos el produto ruz de los vetores T r = os θ, sen θ, 1 y T θ = r sen θ, r os θ,, obteniendo n(r, θ) = r os θ, r sen θ, r. Así, n(1, ) = 1,, 1, luego la euaión de la reta es x = 1,, 1 + t 1,, 1. ii. La euaión del plano tangente a la superfiie en el punto (1,, 1), según lo heho anteriormente, está dada por n ( x x o ) =, es deir luego x = z. iii. El área la superfiie es A() = 1,, 1 x 1, y, z 1 =, ( r y θ π). Entones, A() = r drdθ = iv. Finalmente, F d = F(Φ(r, θ)) T θ T r drdθ = T r T θ drdθ, donde es el dominio de la parametrizaión rdrdθ = A() = 4 π. π r (1 + sen θ os θ os θ)drdθ = 16π. i. Para enontrar la euaión vetorial de la reta normal a la superfiie dada por x = r sen θ, y = r os θ y z = r, en el punto (, 1, 1), debemos alular un vetor normal a la superfiie en ese punto, es deir uando r = 1 y θ =. Para ello alulamos el produto ruz de los vetores T r = sen θ, os θ, r y T θ = r os θ, r sen θ,, obteniendo n(r, θ) = r sen θ, r os θ, r. Así, n(1, ) =,, 1, luego la euaión de la reta es x =, 1, 1 + t,, 1. ii. La euaión del plano tangente a la superfiie en el punto (1,, 1), según lo heho anteriormente, está dada por n ( x x o ) =, es deir luego y z = 1.,, 1 x, y 1, z 1 =,

4 iii. El área la superfiie es A() = ( r y θ π). Entones, A() = T r T θ drdθ, donde es el dominio de la parametrizaión r 4r + 1drdθ = π r 4r + 1dr = π ( ) iv. Finalmente, F d = F(Φ(r, θ)) T r T θ drdθ = π r drdθ = 8π.. Tema A. i. ea la región del plano limitada por las urvas xy = 1, xy = 4, y las retas x = 1 y x = y T : R R la transformaión T (u, v) = (v, u/v) = (x, y). La región en el plano x-y y la región o en el plano u-v tal que T ( o ) = son las mostradas en la siguiente gráfia: ii. El Jaobiano de la transformaión x = v, y = u (x,y) v es (u,v) = 1 v, así que 4 x y da = uv du dv = uv du dv = 45 o 1 4. i. ea la región del plano limitada por las urvas xy = 1, xy =, y las retas x = y x = 4 y T : R R la transformaión T (u, v) = (v, u/v) = (x, y). La región en el plano x-y y la región o en el plano u-v tal que T ( o ) = son las mostradas en la siguiente gráfia: 1 ii. El Jaobiano de la transformaión x = v, y = u (x,y) v es (u,v) = 1 v, así que 4 x y da = uv du dv = uv du dv = 9. o 1

5 . Tema A. La omponente z del entro de masa un hemisferio sólido homogéneo, de densidad onstante k y de radio en R, definido por x + y + z 4 y z, se alula omo z = k z d, donde M M = 16 πk es la masa del sólido. Como π π π k z d = k z d = k ρ os φ senφ dρdθdφ = πk ρ os φ senφ dρdφ = 4kπ, tenemos que z = 4. La omponente z del entro de masa un hemisferio sólido homogéneo, de densidad onstante k y de radio en R, definido por x + y + z 16 y z, se alula omo z = k z d, donde M M = 18 πk es la masa del sólido. Como k z d = k tenemos que z =. z d = k π π 4 ρ os φ senφ dρdθdφ = πk π 4 ρ os φ senφ dρdφ = k 18 π, 4. Tema A. i. Falso. El área de la valla dada por las euaiones x = y y z = e x, para x 1, se alula on la integral de linea A = z ds, done es el amino plano dado por la euaión x = y para x 1, que podemos parametrizar on σ(t) = t, t, donde t [, 1]. Entones 1 A = z ds = e t σ (t) dt = 1 e t dt = (e 1). ii. erdadero. Como el ampo F = 1, z, y es el gradiente de la funión f(x, y, z) = x + yz, la integral de linea solo depende de los puntos extremos: (,, ) y (1, 1, ). En efeto F d s = f(1, 1, ) f(,, ) = 1. i. erdadero. El área de la valla dada por las euaiones x = y y z = sen x, para x π, se alula on la integral de linea A = z ds, done es el amino plano dado por la euaión x = y para x π, que podemos parametrizar on σ(t) = t, t, donde t [, π]. Entones 1 A = z ds = sen t σ (t) dt = 1 π sen tdt =. ii. Falso. Como el ampo F = 1, z, y es el gradiente de la funión f(x, y, z) = x + yz, la integral de linea solo depende de los puntos extremos: (,, ) y (1, 1, ). En efeto F d s = f(1, 1, ) f(,, ) = 1.