Capítulo 2 Orígenes de la teoría cuántica

Transcripción

1 Capítulo Orígenes de la teoría uántia.1 Radiaión de uerpo negro La teoría uántia se originó entre : 1900: Plank explia la radiaión térmia en términos de la disretizaión de la energía. 1905: Einstein explia el efeto fotoelétrio en términos de la disretizaión (o uantizaión) de la luz (y de toda radiaión em): fotones. La físia uántia extiende la apliaión de la físia lásia al rango de las dimensiones pequeñas. El origen de la radiaión térmia fue la falla de la físia lásia que abrió paso a la meánia uántia: en efeto, la apliaión del prinipio de kt equipartiión de la energía ( E = por ada grado de libertad) predie que para T E lo que ontradie la experienia.... vamos a ver omo fue que esto tuvo lugar.. Ondas eletromagnétias Son ampos elétrios y magnétios aoplados que se propagan a la veloidad de la luz on movimiento ondulatorio de auerdo a las euaiones de Maxwell. Teoría de Maxwell (1864)

2 B var iable E ( induido) ( ) E variable B induido E C B Maxwell propuso que la veloidad de propagaión de las ondas eletromagnétias es = ε 1 0 µ 0 = x10 10 m s ε 0 : permitividad elétria μ 0 : permitividad magnétia propiedades del vaío Cuando Fizean(1849) midió la veloidad de la luz, Maxwell propuso que la luz es una onda em. El espetro eletromagnétio

3 Hertz (1888) demostró experimentalmente la existenia de las ondas em y que se omportaban de auerdo a la prediión de Maxwell. Detetor Generador em υ(hz) λ(m) radio ir vis UV x γ Las ondas em, similarmente a las ondas sonoras, refratadas o superimponerse... Todos los tipos de ondas em se propagan on veloidad. Radiaión de uerpo negro La superfiie de ualquier uerpo a una temperatura mayor que ero absoluto emite energía em llamada radiaión térmia. Un uerpo a temperatura onstante está en equilibrio térmio on su medio ambiente, luego absorbe energía a la misma tasa de la que emite... tal uerpo se denomina uerpo negro. Existe una relaión entre la temperatura de un uerpo y el espetro de freuenia de la radiaión emitida, esta distribuión puede medirse on un espetrógrafo, un espetrofotómetro o un pirómetro. En el laboratorio un uerpo negro puede aproximarse on una avidad errada on sólo una pequeña abertura: toda radiaión que penetra la abertura es absorbido internamente (omo una lata de gasolina). Cuerpo negro

4 penetra es absorbida internamente Al alentarse la avidad se emite radiaión a través del agujero. El espetro de uerpo negro. T R ad ia n ia T T1 dν Freuenia La radiania, es la energía total emitida a la temperatura T por unidad de tiempo y por unidad de área. Disutir propiedades... - La radiania RT RT ( ) = υ dυ Este valor aumenta on la temperatura de modo que 4 R T = σt 8 4 donde σ = 5.67 x10 W k es la onstante de Stefan Boltzmann. m - La freuenia para la ual se emite al máximo de energía se desplaza en forma reiente on la temperatura de modo que

5 υ máx. α T omo λυ = λ max T=te se llama la ley del desplazamiento de Wein. Ejeriio (tarea): Ejemplo 5-5 (Eisberg) Teoría lásia de una avidad radiante (Rayleph - Jeans) Es una generalizaión de las ondas estaionarias en una uerda estirada. La ondiión de onda estaionaria en la avidad tridimensional se satisfae si la longitud de pared a pared es un número entero de semilongitudes de onda, de modo que L j x = = 1,,... λ j Y j Z L = = 1,,... λ L = =1,,... λ donde j = j + j + j X Y Z j y 1 Para tres dimensiones ver figura (1-6) (Eisberg) 1 j x La densidad de ondas estaionarias en la avidad es igual al número de valores permitidos de la freuenia υ Donde υ n = L Luego L N ( υ) dυ = dυ

6 Si permitimos dos estados de polarizaión por ada valor permitido entones para tres dimensiones: 4L N ( υ) dυ = dυ 8πν N ( υ) dυ = υ dυ nz 0 ny L r = v L dr = dv V = L nx Ejeriio 1- (Eisberg) En este ejeriio se uenta el número de freuenias permitidas en un intervalo de freuenias dado en un otante de un sistema de oordenadas retangulares, de modo que, las tres oordenadas de ada punto de la red son iguales a un onjunto posibles de los tres números n x, n y, n z. Este número de freuenias permitidas en el intervalo de freuenias ( ν, ν + dν ) es igual al número de puntos ontenidos entre los asarones a las freuenias υ y υ +dυ respetivamente. Diagrama en dos dimensiones n y 4

7 1 1 4 n x Diagrama en tres dimensiones La densidad de ondas estaionarias en la avidad tridimensional es igual al número de valores permitidos en el intervalo de freuenia ( υ, υ + dυ )... es L N ( υ) dυ = dυ Permitiendo dos estados de polarizaión, 4L N ( υ) dυ = dυ N ( υ) dυ α volumen ente los dos asarones n z r n L r = v L dr = dv

8 volúmen = área x espesor Lv volúmen = π L dv n x 8πV N ( v) dv = v dv Tarea (4/1) Ejeriio 1 (Eisberg). Una vez que alulamos la densidad de ondas estaionarias en la avidad, el siguiente paso es enontrar la energía promedio por ondas estaionaria la energía por unidad de volumen en el intervalo de freuenia ( υ, υ + dυ ) del espetro de un uerpo negro para una avidad a una temperatura T= al produto de la energía promedio de ada onda estaionaria x el número de ondas estaionarias / el volumen de la avidad... Ley de equipartiión. Esta ley de la teoría inétia lásia afirma que: Para un sistema de moléulas de un gas, en equilibrio térmio a una temperatura T, la energía inétia promedio, por grado de libertad, KT E =, ( K = 1.8x10 J K ) Boltzman Generalizando, esta ley se aplia a ualquier sistema lásio formado por entes del mismo tipo.

9 En nuestro aso los entes son: ondas estaionarias on un solo grado de libertad, las amplitudes de sus ampos elétrios si apliamos a este sistema la teoría inétia, la energía promedio de ada onda será ε = KT y esta energía es independiente de la freuenia. Entones, ρ ( v) dv = N( v) ε( T ) dv T 8v KT ρt ( v) dv = dv - Cuando v ρ TT (dv). Esta divergenia de la funión ρ T (dv) es lo que se llamó en su tiempo la atástrofe uv ρt (ν) R-J es orreta sólo para ν ν Resumen de la teoría R-J - Cavidad on paredes metálias que alientan uniformemente a T onstante. - Las paredes emiten radiaión e-m en un intervalo de freuenias (eletrones aelerados). - La radiaión e-m en el interior existe en forma de ondas estaionarias on nodos en las paredes metálias.

10 - Se uenta el número de dihas ondas estaionarias en el intervalo de υ, υ + dυ freuenias ( ) - Se aplia la teoría inétia para alular la energía total promedio... en equilibrio térmio esta energía sólo depende T. - Se alula la densidad de emergían ρ T (V): el número de ondas estaionarias x la energía promedio por unidad de volumen... La teoría de Plank del uerpo negro. Para resolver la atástrofe uv, Plank (1900) propuso que la luz de equipartiión lásia se viola en el aso de la radiaión de uerpo negro... Plank desubrió que podía lograr las propiedades 1. ε KT v 0. ε 0 V... se modifiaba el álulo de ρ T si onsideraba ε omo una variable disreta y no ontínua omo en al aso lásio. Plank propuso que Δε, el valor más pequeño de la energía es α v (Δε α v ) y que la onstante de proporionalidad es tal que de modo que 4 0 ε = hv ; h = 6.6 x10 J K (h: onstante de Plank) ε = 0, ε, ε, ε,... Luego la integral en R-J debe ambiarse por una suma (ver figura 1-10, Eisberg) Multipliando ε por P(ε), que es el peso estadístio de un partiular estado del sistema... Tenemos que (ejemplo 1-4)

11 ε = εp( ε) PLε = hv hv KT 1 e Luego, para la densidad de energía tenemos, ρ T 8 v = π ( v) dv dv e hv hv KT 1 sabiendo que hv = ρ T ( λ ) dλ 8πh = 5 λ e dv h λkt 1 es la distribuión espetral en funión de la longitud de onda. Ejeriio 1 Demuestre que, a) lim ε ( v) = KT hv 0 KT b) lim ε ( v) = 0 hv KT Ejeriio. Expresar la luz de Plank e funión de la longitud de onda λ. Ejeriio Derivar la ley de Stephan Boltzmann a partir de la ley de Plank. (Ayuda: R = R v dv R T ) integrar ( ) 4 T Ejeriio 5 o T Derivar la ley de desplazamiento de Wein. T

12 Postulado de Plank Cualquier ente físio on un grado de libertad, uya oordenada es una funión armónia (sin (?) ) en el tiempo sólo puede poseer energías totales ε, que satisfagan la relaión ε = nhv, n = 0,1,,... La palabra oordenada se refiere a ualquier antidad que desriba una ondiión instantánea del ente: longitud de un resorte, amplitud de una onda, posiión angular de un péndulo, et. r (sin t, os t) ε = 0 hv hv Ejemplos lásios - Péndulo simple. - Onda estaionaria.