ÍMPETU DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Transcripción

1 ÍMPETU DE LA ONDA ELECTOMAGNÉTCA Mientras una onda eletromagnétia inide ontra un objeto, le ejere una fuerza y, si el objeto está libre para moverse, le transfiere ímpetu (llamado también antidad de movimiento). Puede deirse entones que la onda atúa omo un objeto externo que hoa al objeto en uestión, tal ual se vio en físia. Por lo tanto, la onda posee un ímpetu. En la vida diaria, no peribimos el ímpetu de la luz ni de las demás ondas eletromagnétias. Esto es así porque la magnitud de las fuerzas que estas ondas ejeren es muy pequeña, y las fuerzas de roe estátias que pueden aportar los uerpos de modo de quedarse en reposo son muho mayores. i esto no fuera así, al enender la luz en una habitaión nos sentiríamos empujados. Cuánto vale el ímpetu de una onda eletromagnétia? Debemos tener en uenta que si ierta onda es periódia, oupa todo el eje, y su energía y su ímpetu son infinitos. Es por eso que se prefiere definir un ímpetu por unidad de volumen. Para una onda eletromagnétia, se umple: r r v p = DxB i el medio de propagaión es isótropo, entones: r r D = εe r r p = εµ r ( ExH ) = r r B = µ H r De donde el vetor p posee la misma direión que el vetor, y es proporional a él. i la onda es plana on sentido únio de propagaión: p = = ± u u = ± Kg m s 3 m () La figura siguiente muestra p(x, y u(x, en el aso de propagaión haia (+x) de una onda armónia. Existen p(x, y u(x, para x<0, pero no se muestran.

2 i la onda fuera de extensión finita, su energía y su ímpetu serían también finitos. Podemos extender entones la euaión () para alular el ímpetu de una onda eletromagnétia en un volumen de extensión finita. i dentro de ese volumen de onda existe una energía total U (en Joules), entones este volumen ontendrá un ímpetu: [ Kg m ] U P = s Obsérvese que en este aso se alula el ímpetu total, y no la densidad de ímpetu. Cuánto ímpetu le transfiere una onda a un uerpo? upongamos que iniialmente una onda on energía U e ímpetu P=U/ se aera a un uerpo que está en reposo: onda U P uerpo Al inidir, el uerpo refleja parte de la onda. A la fraión de energía reflejada, la llamaremos ρu, on 0 ρ. El uerpo podría ser traslúido para la freuenia de la onda inidente, de modo que una fraión de la energía inidente, que llamaremos τu, on 0 τ, ontinúa luego de atravesar el uerpo. Finalmente, el resto de la energía, es deir (-ρ-τ)u, fue absorbido por el uerpo. ρp onda reflejada uerpo P C onda transmitida τ P ρu τ U Cuánto vale el ímpetu P C que adquirió el uerpo? Dado que no hay fuerzas externas: P ini = P P = ρp + PC + τp P = ( + ρ τ )P C fin i el uerpo es opao a la freuenia de la onda, entones τ=0. En ese aso, el uerpo que absorba la onda totalmente adquirirá el total del ímpetu de la onda, mientras que el uerpo que refleje la onda totalmente se quedará on el doble! del ímpetu.

3 EL FOTÓN A prinipios del siglo XX, los experimentos realizados por Max Plank aera de la radiaión eletromagnétia emitida por los uerpos, produjeron resultados que no se podían expliar solo a partir de las Euaiones de Maxwell, sino que predeían que la energía de las ondas eletromagnétias estaba uantizada, es deir que la energía de una onda eletromagnétia de freuenia f era proporional a diha freuenia. Fue a partir de 905 que Albert Einstein desarrolló el onepto moderno de fotón: el de una partíula que transporta la interaión eletromagnétia. Los fotones poseen las siguientes araterístias: Masa ero: m = 0 Veloidad: Es la veloidad de las ondas eletromagnétias v foton = Energía proporional a su freuenia: E = h f Donde h se llama Constante de Plank, y vale h = 6, [Joule segundo] Ímpetu: A partir de la euaión relativista para la energía de una partíula, desarrollada por Albert Einstein: E = p + m 4 Y dado que el fotón tiene masa nula, surge que el ímpetu de un fotón vale: p = E Donde m/s. Este resultado es onsistente on la fórmula para alular el ímpetu que hemos visto en la seión anterior. Cabe aotar que los fotones pueden poseer una longitud (en la direión de propagaión) que va desde unas poas longitudes de onda, hasta millones de longitudes de onda, dependiendo del fotón en partiular, siendo esta longitud onsistente on el Prinipio de nerteza de Heisenberg (omo veremos más adelante). Dado que la onstante de Plank es muy pequeña, la energía de un fotón es bastante baja, omparada on la energía marosópia de una onda. Es por esto que las ondas marosópias están formadas por una antidad enorme de fotones, todos ellos viajando a veloidad.

4 LNEA DE TANMÓN Una línea de transmisión onsiste en un par de ables que llevan energía entre una f.e.m. y una arga. Un able lleva la orriente y el otro la trae. Hay muhas maneras de disponer dos ables, pero en el aso de las líneas de transmisión dihos ables poseen una geometría que mantienen a lo largo de su extensión. Las tres geometrías más usadas son las siguientes: Línea bifilar: son dos ables equidistantes. En general vienen unidos por un material aislante que mantiene la rigidez meánia del armado. ε( Cable oaxil o oaxial: onsta de un able interior y otro exterior, que, omo el nombre del able lo india, omparten el mismo eje. El ondutor interior lleva la orriente, mientras que el exterior la trae. ε( Par trenzado: los ables forman un entrelazado simétrio. ε( Por qué usar dos ables ensamblados tan prolijamente, en lugar de disponerlos en forma arbitraria entre la fuente y la arga? La respuesta es: si las orrientes de desplazamiento son despreiables frente a las orrientes de onduión, los ables pueden oloarse en forma arbitraria sin que haya onseuenias respeto al funionamiento del iruito (si bien también hay que tener en uenta efetos de otra índole, omo por ejemplo la aislaión elétria, et.). in embargo, uando las orrientes de desplazamiento son del orden o mayores que las de onduión, la no uniformidad en la disposiión de los ables provoa reflexiones de energía tanto en la f.e.m. omo en la arga. Estas reflexiones haen que el sistema sea prátiamente inoperable. Ahora, uándo las orrientes de desplazamiento son despreiables frente a las orrientes de onduión? Cuando se umple D << / f MAX, donde D es la dimensión máxima del iruito, es la veloidad de las ondas eletromagnétias, y f MAX es la máxima freuenia produida por la f.e.m.

5 Deduión de la euaión de onda: La línea de transmisión posee una indutania por unidad de longitud (de ambos ables a la vez) L [H/m] y una apaidad por unidad de longitud C [F/m], que Ud. ya aluló en el urso de físia. i la línea tiene pérdidas (de energía por efeto Joule), hay que onsiderar además la resistenia (suma de ambos ables) por unidad de longitud [Ω/m] y la ondutania entre ables por unidad de longitud G [Ω - m - ]. En la figura, se definió un eje x on origen en la fuente y se muestra el iruito equivalente entre un punto de oordenada genéria x y otro de oordenada x+ x. ε( x L x C x G x 0 x x + x x En este urso se analizará la línea sin pérdidas. Entones, el iruito queda: ε( 0 (x) + V(x) (x) - x L x C x (x+ x) V(x+ x) (x+ x) x + x + - x Donde se muestran las onveniones de voltaje y de orrientes onsiderados positivos. i alguno de ellos fuera negativo, apuntaría ontrario a aquel de la figura. abiendo que para ualquier indutania se umple: di V L = L Entones podemos esribir, usando la segunda ley de Kirhhoff: V ( x d, L x V = Haiendo tender x a ero, se obtiene: ( x + x, 0 V = L d () También sabemos que para ualquier apaitor: C = dv C C Entones podemos esribir, usando la primera ley de Kirhhoff:

6 ( x dv, C x = Haiendo tender x a ero, obtenemos: ( x + x, 0 dv = C (3) Derivando la () en ambos miembros respeto de x, y la (3) en ambos miembros respeto de t, se llega a: V LC = d V Y si hubiéramos derivado la () en ambos miembros respeto de t, y la (3) en ambos miembros respeto de x, habríamos llegado a: LC = d Donde ambas V e son funiones de x y de t. De allí surge que la veloidad de propagaión es: = LC = LC [ m / s] De donde se dedue que, si onetáramos la f.e.m. en t=0, ada punto de la línea de transmisión se entera de diha onexión en t=x/ (hasta entones, la diferenia de potenial y la orriente en ese punto son ero), y la última en enterarse es la resistenia de arga. elaión entre V(x, e (x,: Conoiendo V(x, puede hallarse (x, utilizando la () o la (3). Por ejemplo: V d V = L = L x (4) Y de modo similar puede hallarse V(x, onoiendo (x,: V = L d V = L t dx

7 Ahora, si la onda se propagara en sentido únio, no hae falta resolver una integral. En ese aso será: V = f ( x m eemplazando en la (4): V = f x t L = = L '( m ) f ( xm f ( xm V = = ± = ± L ( m ) ( L) L Al produto de (L), le llamaremos impedania araterístia Z 0 : Z 0 = L = L = LC L C La ual se mide en ohms. Entones, si la onda va haia (+x): V = Z 0 y si la onda va haia (-x): V = Z 0 Por lo ual, en las ondas on sentido únio de propagaión, V e poseen la misma forma funional. i una es armónia, la otra también lo es, y posee la misma fase. i una fuera un pulso no periódio, la otra también lo es, et.

8 ENEGÍA EN LNEA DE TANMÓN En ursos anteriores se vio que, para un apaitor C uya diferenia de potenial era V C, la energía almaenada valía: U = CV [ J ] Y que una indutania L por donde irulaba una orriente poseía una energía almaenada: U = L [ J ] Además, si a una aja negra le llega una orriente a una diferenia de potenial V (ver figura), la potenia absorbida por la aja es: P = V [ W ] + V - De allí surge que, para una línea de transmisión, la energía por unidad de longitud es: u = u + u = CV + L [ J m] C L / Mientras que la potenia que pasa por la oordenada x en el tiempo t es: = V ( x [ W ], Obsérvese que, en este aso, la onda que ha sido modelada en forma iruital no oupa un volumen. Entones, las unidades para u(x, y (x, son las mismas que en el aso de la uerda. i onsideramos ahora el aso de onda on sentido únio de propagaión, se umple: u = u u = u = u ( x C L C L, = ± u( x, Lo ual permite simplifiar los álulos. Distribuión espaial de la energía: Consideremos una línea bifilar larga que lleva energía desde una f.e.m. de orriente ontinua haia una resistenia de arga. Graias a la f.e.m., los alambres están argados, de modo que se establee un ampo elétrio E entre ables. i integráramos

9 este ampo elétrio entre los ables (en la figura, entre P y Q) obtendríamos la diferenia de potenial de la f.e.m. Por otro lado, la irulaión de orriente por los ables produe un ampo magnétio B, que en el orte de la figura entra y sale de la hoja. ε Q E B E B P El sentido de B surge de onsiderar la línea muy larga y usar la regla del tirabuzón on las orrientes que irulan por la línea. El sentido de E puede deduirse si se observa la línea desde un ostado. En ese aso obtenemos un dipolo elétrio, on las ya onoidas líneas de E. E Usando =ExH en todos los puntos de la primer figura, deduimos que va, en este aso, siempre haia la dereha. En general, va desde la f.e.m. haia la arga. El vetor, entones, está llevando la energía eletromagnétia entre fuente y arga. ε Qué suede si los ables de la línea tienen resistenia no nula? e estableen ampos elétrios por pérdidas E P dentro de los alambres que, omo ya hemos visto, valen: E P J = = σ σ A

10 Este ampo elétrio no se hae ero fuera de los ondutores. Esto es así porque si haemos la integral del mismo se debe E P llegar a la misma diferenia de potenial, sea por fuera del ondutor o por dentro. E P Las líneas de E de la primer figura ahora resultan de la suma del E original y el E de pérdidas. El ampo resultante queda omo en la figura siguiente (donde se ha exagerado el efeto de E P para mejor visualizaión): E P ε E E Dada la aída de potenial en los ables, si integramos E vamos a obtener menos diferenia de potenial que si integramos E. Por lo tanto, E < E, de lo que se dedue que <. El dereimiento de se explia teniendo en uenta que las líneas de se han torido (ver flehas verdes en la figura). En onseuenia, parte de la energía transportada se introdue en los alambres y se pierde por efeto Joule. Es demostrable que si se toma una ierta longitud L en el ondutor superior, por ejemplo, y se integran las líneas de que entran en diha porión, la potenia obtenida es igual a la que se alula omo ( ), es deir, es igual a la potenia disipada por efeto Joule.