4. RELACIONES CONSTITUTIVAS. LEY DE HOOKE GENERALIZADA

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1 4. RLACIONS CONSTITUTIVAS. LY D HOOK GNRALIZADA 4. Ley de Hooke. Robert Hooke planteó en 678 que existe proporionalidad entre las fuerzas apliadas a un uerpo elástio y las deformaiones produidas por dihas fuerzas. xtendiendo esta idea a las relaiones entre tensiones y deformaiones en un uerpo, se puede deir que existe una relaión lineal ellas. n la prátia, esto es tan sólo una aproximaión, pues todos los materiales presentan ierto grado de no-linealidad. Sin embargo, en general es ésta una buena aproximaión para varios materiales de uso freuente, omo el aero por ejemplo, espeialmente uando las deformaiones son pequeñas, alejadas del límite de proporionalidad. Como las relaiones tensión/deformaión dependen de la naturaleza o onstituión del material del uerpo, se les denomina relaiones onstitutivas. Así, tomando omo referenia una posiión en reposo en la ual, se tiene: (4. kl kl Como y kl son ambos simétrios, el número de onstantes neesarias es 36. Además, W para que exista una energía de deformaión W kl kl tal que, lo ual es un prinipio fundamental de balane energétio, la matriz de onstantes debe ser simétria. n forma desarrollada las relaiones onstitutivas son: 3 3 Sim (4. l número total de onstantes, para el material más general posible, es entones. 4. Materiales on planos de simetría. Ortotropía xisten materiales uya estrutura tiene ierta simetría que permite reduir el número de onstantes neesarias para desribir el material. Así, en un material que presente un plano de simetría (el plano oordenado, por ejemplo, no habrá relaión entre las deformaiones que son simétrias respeto a ese plano y las tensiones que son antimétrias respeto al mismo plano. La matriz de oefiiente toma entones la forma:

2 kl Sim (4.3 uando existen 3 planos de simetría mutuamente ortogonales, se habla de material ortotrópio. n aso que éstos sean paralelos a los ejes oordenados, la situaión de la matriz de oefiiente será la siguiente: kl Sim (4.4 Luego, para el aso más general de ortotropía se requieren 9 onstantes. 4.3 Material úbio. Parámetros de Lamé y módulos elástios. Si, además, las propiedades del material son iguales en las tres direiones ortogonales, el material se denomina úbio y se requerirán sólo tres onstantes (α,β,. α β β β α β β β α kl (4.5 n lugar de los oefiientes α, β, se suele usar los llamados parámetros de Lamé,, que se definen de la siguiente forma: α β (4.5a (4.5b

3 s deir: kl (4.6 La relaión inversa a la (4.6 se expresa normalmente en términos de los módulos elástios (Young y (Poisson 3 3 (4.7 donde: ( Young de Módulo 3 (4.8 ( Poisson de Razón (4.9 G Módulo de orte Como se demostrará más adelante, para material isótropo se umple la relaión ( G Las relaiones inversas, para material isótropo, son: ( ( (4. ( (4.

4 4.4. Material isótropo Cuando el material es isótropo, es deir, sus propiedades son independientes de la direión, existe una relaión entre los módulos elástios. l número de parámetros neesarios para definir el material se redue entones a sólo. n efeto, supongamos un estado tensional en que sólo exista la omponente normal en la direión : mpleando la relaión (4.7 se obtiene: 3 (4. Supongamos ahora que se hae una rotaión de ejes en un ángulo θ en el plano (,. Usando las leyes de transformaión de oordenadas en funión del ángulo doble (.3 se obtiene: senθ ( os θ ( os θ (4.3 Usando las relaiones onstitutivas y onsiderando que los módulos elástios son iguales en ualquier direión (propiedad de isotropía, se obtienen las siguientes deformaiones para los ejes girados: ' [ ( os θ ] [ ( os θ ] senθ (4.4 Haiendo ahora una rotaión de ejes -θ, se puede determinar una nuevo valor para, que debe ser igual al valor de partida.

5 ' ' ' ' - ' os θ - senθ ( - ( os θ sen θ (4.5 Reemplazando os θ por -sen θ y agrupando los términos en el primer miembro, se obtiene: sen θ (4.6 de donde resulta: (4.7 Cuando se usan los módulos elástios en lugar de los parámetros de Lamé, el término se denomina G módulo elástio para la deformaión angular. Para un material isótropo, las relaiones onstitutivas se pueden expresar en forma ompata omo: θ, on θ deformaión volumétria (4.8 kk o bien, empleando los módulos elástios: 3 on 3 presión media (4.9 kk 4.5 Módulo elástio volumétrio Considerando la relaión onstitutiva (4.9, si se hae una ontraión de índies sumando los términos de la diagonal, se obtiene: Luego: 3 θ ( 3 6 ( kk (4. θ K (4. 3 ( -

6 K es el módulo elástio volumétrio, es deir, la relaión entre la presión media y el ambio unitario de volumen. s interesante observar que uando.5, K, es deir, el material se hae inompresible. 4.6 Relaiones onstitutivas en términos de tensiones de desviaión Si en vez de usar el tensor de tensiones se usan las tensiones de desviaión d, las relaiones onstitutivas de un material isótropo se pueden poner omo 3K kk kk (4.a G (4.b d d donde: d kk (4.3 3 La relaión (4. muestra que las tensiones de desviaión y las deformaiones de desviaión son proporionales entre si a través de una onstante igual al doble del módulo de deformaión angular. l proviene del heho que antes de la introduión del onepto de tensor, la deformaión angular había sido definida omo el doble de la omponente de deformaión del tensor de Cauhy. 4.7 Relaiones Deformaión Tensión Temperatura Para variaiones no muy grandes de temperatura, T, se puede suponer que la deformaión asoiada es proporional a ésta: T α T x (4.4 ( k donde α es el oefiiente de dilataión térmia. l fator proviene de la isotropía del material, por lo ual no es posible que un ambio de temperatura produza deformaiones angulares. Las deformaiones (4.4 se pueden produir libremente en los puntos del uerpo si ellas umplen on las relaiones de ompatibilidad. De otra forma las deformaiones térmias produen tensiones internas que induen a su vez deformaiones,, las uales deben sumarse a las anteriores para obtener las deformaiones totales,. n onseuenia, en las T relaiones onstitutivas debe reemplazarse por, es deir 3 α T (4.5

7 o bien: 3 α T (4.6 Invirtiendo esta última relaión, en términos de los parámetros de Lamé, se obtiene: ( θ K T 3 α (4.7 donde K es el módulo elástio volumétrio definido por (4..