COLEGIO DE BACHILLERES FÍSICA MODERNA I TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL. Autores: María Isabel Villaseñor Díaz

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1 COLEGIO DE BACHILLERES FÍSICA MODERNA I FASCÍCULO 4. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Autores: María Isabel Villaseñor Díaz 1

2 COLEGIO DE BACHILLERES Colaboradores Asesoría Pedagógia María Elena Huesa del Río Reisión de Contenido Salador Godoy Salas Diseño Editorial

3 Í N D I C E PROPÓSITO 5 INTRODUCCIÓN 7 CUESTIONAMIENTO GUÍA 9 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL TRANSFORMACIONES DE GALILEO Maro de Referenia Inerial SURGIMIENTO DE LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD Prinipio de Simultaneidad 1.. La Aparente Inompatibilidad de la Propagaión de la Luz on el Prinipio Relatiidad 1..3 Transformaión Galileana y la Teoría Eletromagnétia Experimento de Mihelson-Morley Postulados de la Teoría Espeial de la Relatiidad Prinipio de la Relatiidad en Sentido Restringido 3 3

4 1.3 LA TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ LA CONTRACCIÓN DE LORENTZ- FITZGERALD Comportamiento de las Varillas Rígidas y Cuerpos en Moimiento Dilataión del Tiempo Relatiidad de la Masa FORMA RELATIVISTA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON Y LA ENERGÍA 6 RECAPITULACIÓN 66 ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 67 AUTOEVALUACIÓN 68 GLOSARIO 71 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 7 4

5 P R O P Ó S I T O Antes de empezar a leer este fasíulo, te sugerimos onsideres las siguientes preguntas para que organies tu estudio en funión de ellas. QUÉ VOY A APRENDER? COMPRENDER LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL DE EISNTEIN CONSIDERANDO PRINCIPIOS Y POSTULADOS EN SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES PARA CUERPOS QUE SE MUEVEN A VELOCIDADES CERCANAS A LA VELOCIDAD DE LA LUZ Y ESTABLECER QUE EL ESPACIO, LA MASA Y EL TIEMPO SON MAGNITUDES RELATIVAS. CÓMO LO VOY A LOGRAR? MEDIANTE EL ANÁLISIS TEÓRICO DE LAS MODIFICACIONES QUE HIZO LORENTZ A LAS TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y QUE DESPUÉS UTILIZÓ EINSTEIN PARA FORMULAR SU TEORÍA DE LA RELATIVIDAD. RESOLVIENDO EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA VERIFICAR LOS RESULTADOS TEÓRICOS. PARA QUÉ ME VA A SERVIR? PARA DETERMINAR LA CONSERVACIÓN DE LA MASA-ENERGÍA Y DAR CUENTA DE LOS LÍMITES DE LA MECÁNICA CLÁSICA. TAMBIÉN PARA EXPLICAR LOS FENÓMENOS FÍSICOS EN EL MUNDO MICROSCÓPICO (MICROESCALA) DENTRO DEL ÁTOMO, Y LOS QUE OCURREN A GRAN ESCALA (MACROESCALA), CUANDO LOS CUERPOS SE DESPLAZAN A VELOCIDADES CERCANAS A LA VELOCIDAD DE LA LUZ. 5

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7 INTRODUCCIÓN El siglo XVII está onsiderado omo el omienzo de la era ientífia; en él se operó un ambio en la onepión del unierso natural y la inestigaión ientífia emprendió una serie de atitudes que lleó a la neesidad prátia de nueos inentos y nueas expliaiones. Haia los años , la eletriidad y el magnetismo se estudiaban omo ontraiones y desplazamientos de éter, y las euaiones de James Clerk Maxwell expresaban en términos matemátios las diferentes relaiones existentes entre las fuerzas eletromagnétias, isualizadas en el maro del éter. Mientras que la aberraión * de la luz demostraba que el éter se enontraba en reposo, y bajo estas ondiiones, según el astrónomo inglés James Bradley, la tierra al desribir su reoluión anual alrededor del sol (moimiento de traslaión), tenía que moerse a traés del éter y rear algo así omo iento del éter ; algo pareido a lo que ourre uando en un día sin orrientes de iento en la atmósfera te subes a un automóil que al desplazarse origina un iento para los oupantes del ehíulo. Por otro lado, los experimentos de Mihelson-Morley mostraban que al no ser detetado, éste debía moerse junto on la tierra. En éste fasíulo aprenderás en qué se transforman las Coordenadas Galileo, uando la eloidad del uerpo que nos interesa analizar se desplaza on eloidades muy eranas a la eloidad de la luz. También as a darte uenta por qué no es posible que un uerpo se desplae on la eloidad de la luz. Aprenderás que, de auerdo on la teoría espeial de la Relatiidad y dependiendo de si el obserador está en reposo o se desplaza on el uerpo que se muee, la longitud, el tiempo, la distania y la masa ya no son las mismas que en la Meánia Clásia, y que lo anterior también suede para la energía. * Ver el signifiado en el glosario. 7

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9 CUESTIONAMIENTO GUÍA Seguramente uando iajas en la ombi y ésta se detiene a subir pasajeros, y luego pasa junto a ella un arro materialista que se desplaza on ierta eloidad, has tenido la experienia de sentir que aunque la ombi esté detenida, paree que se muee. Cuando olteas a tu alrededor, te das uenta que es el arro materialista el que tiene un moimiento y que la ombi permanee en reposo. Por qué uando te subes al martillo de Chapultepe es que las personas que están abajo, los edifiios y los árboles pasan a gran eloidad? A qué rees que se deba esta perepión del moimiento? Cómo puedes expliarlo? Si les dies a los ompañeros que esperaban su turno para subirse, que te pareió que eran ellos los que se moían, te ontestarán que ellos ieron que el se moió fuiste tú. Quién tiene la razón? Si te subes a un tren que se muee on eloidad 0 y te leantas a aminar por un agón desplazándote on eloidad 1, uál es la eloidad total ista por un obserador situado en tierra? En una disusión entre dos personas, uando una de estas no está de auerdo, utiliza la expresión todo es relatio. A qué se está refiriendo? También en tu experienia diaria, uando dos eentos ourren al mismo tiempo, puedes afirmar que son simultáneos? Cuál es el objetio del experimento de Mihelson-Morley? Cuáles son las dimensiones del espaio en el ual ourren los eentos de la naturaleza, según la Relatiidad Espeial? Cuál es la máxima eloidad que puede adquirir un uerpo en el unierso? Para que puedas ontestar éstas y muhas otras preguntas te initamos a leer esta fasíulo. 9

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11 CAPÍTULO 1 TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 1.1 TRANSFORMACIONES DE GALILEO En tus ursos anteriores de Físia, te has uenta que la Meánia siempre desribe la manera en que los uerpos ambian en el espaio y en el tiempo. Es deir, que todo eento de la naturaleza tiene lugar en un espaio de uatro dimensiones, y siempre que hables de la teoría de la relatiidad emplearás la frase espaio-tiempo. Ésta fue una de las frases más noedosas introduidas por Minkowski, que después utilizó Albert Eisntein. Pero, qué enierra la frase espaio-tiempo? Antes de la relatiidad de Eisntein, la palabra se usaba omo espaio y tiempo. Esto es, dos oneptos independientes, no interonetados. Hoy sabemos que esto es falso. Cuando quieras determinar dónde y uándo tienen lugar iertos hehos, tendrás que menionar uatro dimensiones que, según la idea tradiional, las tres primeras dan la posiión en el espaio, mientras que la uarta da la posiión en el tiempo. Estarás de auerdo que en las obseraiones que haes de las osas, una de ellas se refiere al moimiento; y que uando un uerpo se muee, es porque ambia de posiión. O diho de otra manera, siempre que quieres loalizar un eento, o realizar la desripión de un fenómeno, lo haes respeto a un uerpo fijo o sistema de refernia. Es así que eliges un sistema de oordenadas. Este onepto es muy importante e inolura toda una serie de oneptos que, en el maro de la Geometría Eulideana, llea al estableimiento de sistemas de oordenadas para interpretar adeuadamente los oneptos de distania, trayetoria, ambio de posiión, etétera. 11

12 La finalidad de la Meánia es determinar el moimiento de los uerpos, una ez que se onoen las fuerzas que atúan sobre ellos. Por lo tanto: Para determinar el moimiento de los uerpos es neesario onoer las leyes que lo rigen. El onoimiento de la leyes que rigen los moimientos de los uerpos se logró graias a Newton, y la desripión del moimiento depende del sistema de referenia en que se obsere. Si te haen la pregunta: on respeto a qué se mueen los uerpos? Cuál sería tu respuesta? Para que respondas la pregunta te sugerimos que pienses en el siguiente eento: Si te enuentras en un arro que se muee on eloidad uniforme y desde la entanilla dejas aer libremente una piedrita fuera del arro sin que le des algún impulso, desde el arro en moimiento erás que la trayetoria de la piedrita es una línea reta, pero para un obserador que se enuentre en la arretera, o un peatón que se enuentra en la aera fuera del arro, la trayetoria que obserarán será la de una parábola. Cuál de las dos trayetorias es la erdadera? Si le preguntas a tu profesor de Físia te dirá que ambos obseradores están reportando la obseraión orretamente, por qué? Estarás de auerdo en que tanto tú omo el obserador de la arretera, tienen su propio maro de referenia inerial y, por lo tanto, ambos tienen razón porque para ada uno es el punto de referenia en el que se enuentran donde se obsera el fenómeno. Este onepto es muy importante e inolura toda una serie de oneptos que, en el maro de la Geometría Eulidiana, llea al estableimiento de sistemas de oordenadas para interpretar adeuadamente los oneptos de distania, trayetoria, ambio de posiión, etétera. Por lo tanto puedes onluir que: Cuando la Meánia Clásia meniona punto de referenia, se entiende que es el lugar de origen de las oordenadas artesianas (o polares u otras), on respeto a un sistema de referenia, que en el aso de oordenadas artesianas está formado por tres ejes perpendiulares entre sí. 1

13 Lo anterior quiere deir que, uando se desriben los moimientos de los uerpos, se hae on respeto a un maro de referenia prátiamente rígido. La Meánia de Newton interpreta el moimiento de partíulas en el espaio y en el tiempo, utilizando los oneptos de maros de referenia inerial Maro de Referenia Inerial Un sistema, o maro de referenia inerial es aquél en donde son álidas las leyes de Newton; esto es, donde obseramos que un uerpo libre de fuerzas, si está iniialmente en reposo, permanee en reposo, y si está iniialmente on una eloidad, mantiene esa eloidad. En los dominios de la Meánia Clásia, una desripión ompleta del moimiento se establee solamente uando se india ómo ambia de lugar on el tiempo; es deir, que es neesario indiar para ada punto de la trayetoria, en qué momento y tiempo se enontrará allí el uerpo. Regresando a nuestro ejemplo, para desribir el moimiento, es neesario tomar en uenta ómo obseradores en dos sistemas ineriales de referenia, omparan los alores numérios para desribir un mismo eento o ualquier otro fenómeno físio. La relaión que ompara los parámetros para la desripión del mismo eento desde los diferentes sistemas de referenia se llama TRANSFORMACIÓN. En la siguiente figura se muestran dos sistemas de referenia S y S, que se mueen on eloidad uniforme entre sí en la direión x. y y 0 0 sistema s sistema S x eloidad u x Figura 1. Dos sistemas ineriales de referenia. Para el obserador en S, el sistema S paree ser el que se está moiendo en la direión +x on eloidad u. Para el sistema S, el sistema S, paree estar moiéndose en la direión negatia de las x, on eloidad -u. El eje de los tiempos sale perpendiular a la hoja del papel en ada uno de los sistemas. 13

14 La relaión entre las oordenadas ( r, t ) de un eento istos por S y las oordenadas ( r, t ) istos por S en Físia Clásia, se onoen omo Transformaiones de Galileo y se utilizan para desribir los proesos de la naturaleza, uando las eloidades a las que se realizan son muy pequeñas omparadas on la eloidad de la luz. Más adelante erás que uando el uerpo se muee a eloidades muy grandes se hae una modifiaión a las transformaiones de Galileo. Para que te quede más laro y omprendas la deduión de dihas transformaiones, imagínate que tú y yo somos obseradores en el sistema S y que interambiamos informaión on otro obserador oloado en el sistema S. Supongamos que obseramos una partíula en el punto A, moiéndose paralelamente en la direión x. ' Nosotros denotamos la eloidad por x, y el obserador en S usa el símbolo x. Para enontrar la relaión (transformaión) que nos permite interpretar el moimiento desde los dos sistemas de referenia, proedamos de la siguiente manera: Supongamos que un eento ourre en A, según se india en la figura. y y x A 0 0 sistema s sistema S x x Figura. El eento ha isto en S y en S. El eje los tiempos, en ambos sistemas, sale perpendiular a la hoja del papel. Estamos suponiendo que los dos sistemas de oordenadas son paralelos. En el sistema S, diríamos que el eento A ourrió en la posiión x, y en el instante t. En el sistema S espeifiaremos la posiión por x, y en el instante t. Suponemos que los relojes de ambos sistemas han sido sinronizados y los omprobamos también en ambos sistemas de referenia, estableiendo t=0 en el instante en que los orígenes 0 de S, y 0 de S oiniden. Por lo tanto, dada la sinronizaión de los relojes, los obseradores de S y S onordarán al reportar los mismos números: t = t y t = t para el instante en que ourre el eento A. 14

15 Es importante que te des uenta que estamos usando el onepto Newtoniano de tiempo absoluto: fluyendo igualmente sin relaión a nada externo. Punto de ista que se obtiene de la experienia humana ordinaria. Los alores medidos para las otras oordenadas son los siguientes: Sistema S Sistema S x = x + u t x = x a x = a x x = x - u t x = x u a x = a x Estas euaiones se llaman Transformaiones de Galileo, sólo son álidas para eloidades muy pequeñas on respeto a la eloidad de la luz. Nótese que ambos obseradores S y S, detetan la misma aeleraión a x = a x. Como lásiamente la fuerza F x y la masa m son en prinipio un onepto independiente del obserador, entones F x = F x. Esto quiere deir, que ambos obseradores estarán de auerdo que si para uno de ellos (S) es álida la relaión: F x = m a x, El otro obserador (S ) también medirá la misma relaión (en sus propias oordenadas): F x = m a x En otras palabras, para ambos ale la misma euaión de la ª ley de Newton. Ambos obseradores son ineriales. Esto ourre on todos los obseradores que están en reposo o se mueen on eloidad uniforme. Ejemplo: Una partíula se muee en la direión positia x on respeto a S on eloidad de x = 30 km/h. Si la eloidad relatia de los sistemas es de u=0 km/h, uál será la eloidad x de la partíula respeto de nosotros si nos enontramos oloados en S? Soluión: x = x + u x = 30 km/h + 0 km/h = 50 km/h 15

16 La mayor uriosidad que presenta la teoría de la relatiidad, es que está relaionada on la eloidad de la luz, y ésta no obedee la ley de suma de eloidades que aabamos de er. De heho, uno de los postulados sobre los que fundamentó Einstein su teoría, es que la eloidad de la luz es la misma en todos los sistemas ineriales. Por eso no puede obedeer la ley Galileana de la suma de eloidades. El heho de que la eloidad de la luz se transmite a una eloidad determinada, se estableió por primera ez mediante obseraiones astronómias. Los satélites de Júpiter son elipsados a ees por el mismo Júpiter. Se omprobó que uando Júpiter estaba más era de lo normal de la tierra, se podía obserar un elipse de uno de sus satélites unos minutos antes de lo esperado. Y uando Júpiter estaba más lejos de lo normal, el elipse produía unos minutos después. Llegándose a la onlusión de que estas desiaiones podían registrarse porque la luz tenía ierta eloidad. Por lo tanto, lo que en un momento se obseraba que estaba suediendo en Júpiter, había suedido realmente un poo antes, y muho antes uando Júpiter está más distante. Al desarrollar la teoría ondulatoria de la luz, los ientífios enontraron neesario dotar al espaio aío de propiedades meánias. Sintieron la neesidad de suponer que el espaio era una espeie de sustania (antes de Newton, el filósofo Desartes argumentaba que la mera separaión de los uerpos por una distania, probaba la existenia de un medio entre ellos). Durante los siglos XVIII y XIX, para los físios era obio que si la luz onsistía de ondas, debería existir un medio que las sustentara, de igual manera omo el agua propaga las olas del mar, y el aire transmite las ibraiones que generan al sonido. Este medio fue llamado Éter. De aquí surgió la idea de que el éter lumínio podría ser un sistema de referenia espeial, on respeto al ual laluz tiene la eloidad que sería una onstante uniersal. Se pensó que mediante experimentos óptios se podía medir la eloidad de la tierra respeto al éter. Estos experimentos dieron resultados nulos, por lo que se requirió reisar a fondo las teorías lásias de la Meánia y la Eletrodinámia. 16

17 1. SURGIMIENTO DE LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD Fallan las leyes de la Meánia Clásia? A la pregunta puedes ontestar que es graias a esas leyes que se han podido lanzar los satélites artifiiales desde la tierra; se han puesto en órbita los satélites metereológios: se llegó a la superfiie lunar; se diseñan máquinas para las fábrias que haen prosperar la industria de un país, etétera, y otros tantos motios y justifiaiones álidas. Si en tu mundo ordinario te pones a enumerar todos los fenómenos de desplazamiento, eloidad y aeleraión de uerpos, te darás uenta que para desribir su omportamiento utilizas las leyes de la Meánia Clásia. Al pareer, no existen fenómenos en la naturaleza que en términos de nuestra experienia ordinaria, no puedan ser desritos por un modelo onreto o predihas por las leyes meánias asombrosamente exatas de Newton. Por lo tanto podemos onluir que: Para la mayoría de los fines prátios, y irtualmente para todo lo referente a la ingeniería, las transformaiones de Galileo y la meánia de Newton, proporionan resultados sufiientemente orretos. Crees que se pueda apliar lo anterior uando se analiza el moimiento de los uerpos y se tienen dimensiones y/o distanias muy grandes en Astronomía (maroesala), o uando las mediiones son hehas en dimensiones muho muy pequeñas en átomos (miroesala)? En otras palabras, serán álidas las leyes de la Meánia Newtoniana a niel ósmio y a niel atómio? En el Fasíulo I de Físia Moderna I se afirmó que el tiempo medido en todos los sistemas ineriales tiene el mismo alor; es deir, que el funionamiento de los relojes no dependía de la eloidad on que se moieran, lo ual se reflejó en las euaiones de transformaión de Galileo, t = t, para ualesquiera dos sistemas ineriales que tienen una eloidad relatia uno on respeto al otro. El prinipio de relatiidad Newtoniano o Galileano establee que: Las leyes meánias que son álidas en un lugar, lo son igualmente en ualquier otro lugar que se muea uniformemente en línea reta. En los dos siglos siguientes, pareió que el punto de ista de Newton prealeería; sin embargo a finales del siglo XIX se empezaron a manifestar dudas aera de la asombrosa exatitud de las leyes de la Meánia Clásia, y aunque las inquietudes no eran muhas, si eran fundamentales, oasionando que todo el unierso de la Meánia de Newton omenzara a desmoronarse. 17

18 Veámoslo, ubiándonos en el quehaer ientífio de esa époa: Al terminar el siglo XIX, la Físia se apoyaba en tres hipótesis fundamentales: a) La alidez de la transformaión de Galileo. b) La alidez de las leyes de Newton. ) La alidez de las euaiones de Maxwell. Casi todo lo que pudiera ser deriado de ellas onordaba bien on el experimento, uando éste había sido realizado en forma adeuada. Las hipótesis predeían que todos los maros ineriales de referenia en mutua traslaión uniforme, eran equialentes en lo que respeta a fenómenos meánios, aunque no lo eran en relaión a fenómenos eletromagnétios, y que para éstos últimos sólo existe un maro de referenia, que omo eremos más adelante se le designó on el nombre de ETER, y en el ual la eloidad de la luz es igual a una onstante:. Así omo Newton en su obra Los Prinipia, la primera ley se enuentra al prinipio de las leyes del moimiento, para librar a la Físia de los puntos de ista aristotélios; de igual manera Einstein, en la introduión a su trabajo a la teoría de la relatiidad, realiza una emanipaión del dominio imperante del onepto de ETER, y las noiones del TIEMPO y ESPACIO ABSOLUTOS. Veamos el siguiente ejemplo: Tú y uno de tus ompañeros se enuentran a la orilla de un río de anhura D, uyas aguas llean una eloidad onstante V o, ada uno dispone de una barquilla; además ambas barquillas uentan on un motor que las desplaza on la misma eloidad V. Designemos a ada una de las barquillas por A y por B, que se muestran en la figura más adelante. Se te ourre haer los siguientes reorridos y le propones a tu ompañero que se realie una ompetenia para er quien tarda menos tiempo en reorrer de ida y uelta la distania D. Los reorridos que propones son los siguientes: 1. Cruzar el río hasta un punto opuesto al punto de partida, de manera que el etor resultante de la eloidad de la barquilla siempre sea perpendiular al etor eloidad V o, que representa la eloidad de las aguas del río. Lo que equiale a ruzar el río de ida y uelta y que el etor resultante de la eloidad de la barquilla siempre siga una direión perpendiular al etor eloidad de la orriente del río.. Reorrer la distania D de ida y uelta, pero siguiendo la direión de la orriente del río y luego regresar en la misma direión. Como es en ambos asos debe reorrerse D. Cuál de los dos asos esogerías? Por qué? 18

19 Si rees que en ambos asos el tiempo empleado en el reorrido de ida y uelta es el mismo, entones será indistinto el esoger ualesquiera de las dos. Analiemos lo que está suediendo: Como ambas barquillas se desplazan on la misma eloidad V, entones en el primer aso la barquilla A siempre se erá arrastrada por la orriente del río y no llegará al punto opuesto sino más abajo; mientras que la barquilla B del segundo aso, uando naega aguas abajo, tendrá una eloidad on respeto a la orilla de río de: V + V o ; esto se debe a lo que iste en el fasíulo I de la suma de eloidades, y en su iaje de regreso su eloidad (desde el maro de referenia orilla del río) será igual a la diferenia entre su eloidad V y la eloidad V o del río V-V o. Ver la siguiente figura (3). Figura 3. La barquilla A debe atraesar hasta la orilla opuesta y luego regresar a su punto de partida. La barquilla B naega aguas abajo la misma distania siguiendo el sentido de la orriente para luego regresar a su punto de partida naegando ontra la orriente. Figura 4. Direión de la barquilla A para ompensar la orriente del río. Obsérese el diagrama de las fuerzas que representan. 19

20 Cuando la barquilla B naega aguas abajo on respeto al maro de referenia de la orilla del río, es igual a la suma de su propia eloidad más la eloidad de la orriente del río. Ver la siguiente figura. Figura 5. Cuando la barquilla B naega aguas abajo siguiendo el sentido de la orriente del río, su eloidad se e inrementada por V o, mientras que uando regresa a su punto de partida, naegando ontra la orriente, su eloidad disminuye por V o. Al analizar el diagrama etorial de la figura 5 para la barquilla A, tenemos que: Sea V la omponente de la eloidad perpendiular a la orriente a la orriente del río. Entones apliando el Teorema de Pitágoras: V = (V ) + (V o ) despejando a V nos queda o o V = V - V = V ( V / V ) Donde las barras de V son para indiar que es la magnitud del etor V. Por lo tanto, la eloidad neta on la que la barquilla A atraiesa el río, en direión perpendiular es: V = V V o / V Cómo obtienes el tiempo total de ida y uelta de la barquilla? 0

21 Como el anho del río es D, entones la distania total será de D, ya que la trayetoria es ida y uelta. Y omo el tiempo es igual a la distania diidida por la eloidad, por lo tanto: D es deir: t A = V V o / V t A = D / V V o / V Analiemos lo que suede on la barquilla B: Si uando naega aguas abajo su eloidad es V o + V, entones el tiempo empleado del reorrido en el sentido de la orriente del río será: y el tiempo de regreso será: t = t = D V + V o D V V El tiempo total para el reorrido de ida y uelta es la suma de los dos tiempos, es deir: t B o - D D = + V + V V - V realizando las operaiones algebraias neesarias nos queda: Cuál de los dos tiempos fue mayor? t B o o D / V = V / V Si analizas los dos tiempos, tanto t A omo t B tienen en el numerador el mismo término D, por lo que ta < t B. V Como onoes la eloidad de las dos barquillas, puedes determinar la eloidad de la t A orriente del río on la relaión. t B o 1

22 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Ejeriio: Cuál es el resultado que se obtiene del oiente: Realiza todos los pasos algebraios. t t A B? Tu resultado del oiente t t A B debió ser: o V, V que es el fator que teníamos para V. Éste será un fator que omo te darás uenta apareerá en otros resultados más adelante. Habíamos diho que a los físios del siglo XIX les pareía que sólo neesitaban inentar un meanismo inteligible para expliar la naturaleza del éter, El razonamiento empleado para las barquillas fue el mismo que el del problema del paso de las ondas de luz a traés del éter. Los ientífios pensaron que si el espaio estaba lleno de éter, entones nos deberíamos moer a traés de él a una eloidad igual a la de la tierra en su moimiento de traslaión alrededor del sol, es deir de 3x10 4 m/s; y que si el Sol también se moía, entones nuestra eloidad a traés del éter sería todaía mayor. En esto se basó el experimento de dos grandes físios de la époa (Mihelson y Morley) que más adelante, en este fasíulo, podrás enterarte en qué onsistió y a qué onlusiones llegaron Prinipio de Simultaneidad Supongamos que tenemos una ía de ferroarril, y que en esa ía aanza un tren muy largo on una eloidad onstante y en el sentido indiado en la figura 6:

23 Figura 6. Dibujo del tren. Supongamos que en los puntos A y B, muy distantes el uno del otro, han aído dos rayos, y que además afirmamos que esos dos rayos han sido simultáneos, rees que esa afirmaión tiene un signifiado? En aso de que tu respuesta sea afirmatia, podrías expliar uál es el signifiado de esa afirmaión? Aunque el signifiado de esa afirmaión paree lara por sí misma; tendrías que reflexionar, para estableer por medio de obseraiones si los rayos ayeron simultáneamente. Supongamos que un espeialista en Físia de la Atmósfera predijo que, por las ondiiones atmosférias y limátias del lugar, los rayos deben aer siempre simultáneamente en los puntos A y B; entones debes omprobar si este resultado teório orresponde o no orresponde a la realidad. Lo mismo que para este ejemplo, se requiere para todos los enuniados físios en los uales desempeña algún papel el onepto de simultaneidad. El onepto de simultaneidad, existe para el físio solamente en los asos en que enuentra la posibilidad de erifiar, para el eento onreto del que se trate, si el onepto es o no exato, para lo ual neesita una definiión de simultaneidad que le suministre un método por medio del ual pueda deidir, a traés de experimentos, si los dos rayos han sido o no han sido simultáneos. Mientras no se umpla on esta exigenia se puede ser ítima de la ilusión, al reer que se puede asoiar un signifiado a la afirmaión de simultaneidad. Además debe umplir la ondiión de suministrar, en ada aso real, un medio experimental para poder deidir si el onepto se onfirma o o no se onfirma. Para nuestro aso de los relámpagos, es neesario estableer una definiión del tiempo; es deir, que si se oloan relojes en los puntos A, M Y B de la ía férrea (sistema de oordenadas), los uales son ajustados de tal manera que las posiiones respetias de sus maneillas sean simultáneas. Supón que oloas en M (que es el punto medio entre A y B) un obserador on un aparto que está proisto de dos espejos que forman entre sí un ángulo de 90, que le permite obserar simultáneamente los puntos A y B. Si el obserador peribe los dos relámpagos al mismo tiempo, entones dihos rayos son simultáneos; siempre y uando se suponga que la luz que emiten los relámpagos al obserador situado en M, se propaga on la misma eloidad sobre la reta que a de A haia M que sobre la reta que a de B haia M (es una onenión que el obserador puede estableer). Así se está dando una definiión del tiempo omo: la indiaión (posiión de las maneillas) del reloj que se enuentra en la eindad inmediata del aonteimiento. 3

24 Así nuestra definiión del tiempo puede usarse no sólo para dar un signifiado exato a la simultaneidad de dos aonteimientos, sino para un número ualesquiera de aonteimientos (eentos), independientemente de la posiión relatia que oupen los lugares en donde se produen dihos aonteimientos on respeto al uerpo de referenia, que para el aso del ferroarril es la ía férrea. Se supone además que esos relojes marhan al mismo ritmo : Si dos relojes en reposo, oloados en lugares distintos del maro de referenia, están ajustados de tal manera que la posiión de las maneillas de uno y la posiión de las maneillas del otro son simultáneas, entones las posiiones iguales de las maneillas serán siempre simultáneas. La definiión de simultaneidad debe umplir la ondiión de suministrar, en ada aso real, un medio empírio para deidir, si el onepto por definir es posible onfirmarlo o por el ontrario no se onfirma. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Una ez estableido el onepto de simultaneidad, ontesta la siguiente pregunta: será álida la definiión de simultaneidad on respeto al tren que on respeto a la ía férrea? Cuál sería tu respuesta? Justifia tu respuesta Reuerda que para que se pueda apliar en este aso, debe satisfaer las propiedades asignadas a la definiión de simultaneidad. Estarás de auerdo en que si los dos relámpagos en A y B son simultáneos on respeto a la ía férrea, entones los rayos luminosos que parten de A y B deben enontrarse en el punto medio M (de la distania AB, que está situado sobre la ía). 4

25 Ahora bien, en el momento de ourrenia del eento, a los puntos A y B situados sobre la ía férrea, les orresponden también los lugares A y B en el tren. Sea M, el punto medio de la reta AB, sobre el tren en marha. Cuándo oiniden los puntos M on M? Si tú omo obserador te oloas sobre el terraplén, M y M oiniden en el instante en que se produe el relámpago. Pero omo el tren se desplaza haia la dereha on eloidad, entones M se desplaza haia la dereha on la misma eloidad, pero si uno de tus ompañeros es un segundo obserador, situado en M, que isto desde el terraplén aanza on eloidad V haia el rayo de luz proeniente de B, y se adelanta al rayo de luz proeniente de A. Por lo tanto el obserador oloado sobre el tren (en M ), erá el rayo de luz proeniente de B antes que el rayo luminoso proeniente de A. Los obseradores que utilizan el tren omo maro de referenia deben llegar a la onlusión de que el relámpago B se produjo antes que el relámpago A. Por lo tanto, se puede formular omo resultado el siguiente prinipio: Dos aonteimientos que son simultáneos on respeto al maro en reposo (ía férrea), no son simultáneos respeto al maro que está en moimiento (el tren), y reíproamente: ada maro de referenia (sistema de oordenadas), tiene su tiempo propio, ya que una indiaión de tiempo sólo tiene signifiado uando india el maro de referenia al que se refiere. Este resultado nos india que ya no es posible sostener lo que la Meánia Clásia establee: la suma de eloidades. Justifia las razones para ello: 1.. La Aparente Inompatibilidad de la Propagaión de la Luz on el Prinipio de el prinipio de relatiidad Nueamente usemos nuestro ejemplo del tren que se desplaza on eloidad on respeto al terraplen. Si un hombre se desplaza dentro de uno de sus agones on eloidad w, en el mismo sentido del tren, entones la eloidad del hombre on respeto al terraplén será: W = + w 5

26 Sabes que la luz se propaga en línea reta a una eloidad de 300, 000 km/s, y que esta eloidad es la misma para todos los olores. El astrónomo holandés De Sitter, basado en las obseraiones de las estrellas dobles, demostró que la eloidad de propagaión de la luz no puede depender de la eloidad on la ual se muee la fuente luminosa. Aún no salía a la luz públia la teoría de la relatiidad. Supongamos que aeptas lo anterior, luego, uno de tus ompañeros te hae la siguiente pregunta: Cuál es la eloidad de propagaión del rayo luminoso referido al agón?, y te reuerda el teorema de la adiión de eloidades, que ya habías omprendido y supones que es erdadera. Trata de expliarle sin ontradeir las leyes de la Meánia Clásia. Argumenta la respuesta que le darías a tu ompañero : Seguramente te enfrentaste a un problema (de la misma forma, todos los físios que de manera reflexia pensaban en las onseuenias de aeptar omo erdadera diha ley, los oloó en grandes difiultades). El proeso de la eloidad de propagaión de la luz, omo ualquier otro proeso, tiene que estar inulado on un sistema de oordenadas. Volamos a esoger omo nuestro sistema de referenia el terraplén y hagamos la siguiente suposiión: que el aire que se enuentra arriba del terraplén es extraído por algún meanismo (una gran bomba de suión), de tal manera que el rayo de luz se desplae on eloidad de 300, 000 km/s on respeto al terraplén. Como el agón se desplaza sobre la ía on eloidad, en el mismo sentido en que se desplaza el rayo de luz, donde «. Al apliar la relaión: W = + w, donde w = W El hombre que se desplaza a lo largo del agón del tren en marha, desempeña el papel del rayo de luz, por lo que su eloidad W on respeto al terraplén es sustituída por la eloidad de la luz on respeto al propio terraplén. Por lo tanto la eloidad de la luz on respeto al agón será: w = - 6

27 la eloidad de la luz on respeto al agón resulta ser menor que! Lo ual se enuentra en ontradiión on el prinipio de relatiidad. Aaso la expliaión razonada que le diste a tu ompañero no fue la adeuada? Cómo le alaras esta ontradiión? De auerdo on este resultado, rees que exista inompatibilidad entre la ley de propagaión de la luz y el prinipio de relatiidad? La aparente inompatibilidad nos resultó porque basamos nuestro razonamiento en las siguientes hipótesis de la Meánia Clásia: 1. Que el interalo de tiempo entre dos aonteimientos es independiente del estado de moimiento del uerpo de referenia.. Que la distania espaial entre dos puntos de un uerpo rígido es independiente del estado de moimiento del uerpo de referenia. Si rehazamos estas dos hipótesis, tendremos que admitir que: el teorema de la adiión de eloidades ya no es álido! Te sugiero que repases el razonamiento que seguimos, será neesario modifiar nuestro razonamiento? En aso de ser así, ómo debemos modifiarlo? Nos interesa que desapareza la ontradiión y oniliar la ley de propagaión de la luz en el aío on el prinipio de relatiidad. Históriamente lo anterior dio lugar a la formulaión de una ley de transformaión de las magnitudes espaio-temporales uando se pasa de un uerpo de referenia a otro La Transformaión Galileana y la Teoría Eletromagnétia Las euaiones de Maxwell, predien la existenia de perturbaiones eletromagnétias que se propagan a traés del espaio en la forma que es araterístia del moimiento ondulatorio, on una rapidez de propagaión que es independiente de la freuenia del moimiento ondulatorio (para medios uyo índie de refraión es onstante), omo lo son las ondas de radio uya freuenia es de 10 8 /seg., la radiaión infrarroja de /seg., las ondas luminosas para las freuenias de /seg., y rayos X para la freuenia /seg. Que perteneen básiamente al mismo fenómeno. Los físios del siglo XIX uya isión era sumamente meaniista, se sintieron relatiamente seguros de que la propagaión de las ondas predihas por las euaiones de Maxwell, requería de un medio para propagarse. 7

28 Argumentaban que: así omo las ondas de agua se propagaban en el agua, las ondas eletromagnétias deberían propagarse a traés de un medio. A este medio se le dio el nombre de ÉTER. El éter, para que no disrepara on algunos hehos onoidos, debería poseer iertas propiedades extrañas: debería areer de masa (ya que se obseraba que las ondas eletromagnétias omo la luz podían propagarse en el aío), debería poseer propiedades elástias para soportar las ibraiones que son inherentes a la idea de moimiento ondulatorio. Prosigamos pues on nuestro desarrollo del tema respeto a los aanes de la Físia a finales del siglo XIX. Pese a que se enontraban difiultades a ese medio llamado éter, el onepto era onsiderablemente más atratio que, por otro lado suponer, que las perturbaiones eletromagnétias se propagasen sin neesitar medio alguno. Una ez supuesta la existenia del éter, era de esperarse que las perturbaiones se propagaran en él on rapidez onstante (del mismo modo que las ondas sonoras se propagan on una rapidez onstante respeto al aire). Se supuso que las euaiones de Maxwell eran álidas en el maro de referenia que se enuentra en reposo respeto al éter: MARCO DEL ÉTER. Sin embargo, en un maro de referenia que se traslade uniformemente on él, las euaiones de Maxwell tendrían una forma matemátia distinta a la que tienen en el maro del éter. Pero si reuerdas en el Fasíulo I de Físia Moderna I, al apliar una transformaión Galileana a las euaiones de Maxwell ambia la forma de éstas. Por lo tanto al alular la rapidez de la propagaión de las ondas eletromagnétias, en el nueo maro de referenia, empleando las euaiones de Maxwell en la forma que toman en ese maro, se enontraba un alor distinto para la eloidad de la luz. Cuál rees que sea la razón de lo anterior? : Estarás de auerdo que la razón es la rapidez de propagaión prediha por las euaiones; omo es de esperarse, depende de la forma de las euaiones. Lo anterior quiere deir que al apliar la Transformaión Galileana a las euaiones de Maxwell y resolerlas, se enontraba que la eloidad de la luz medida en el nueo maro de referenia resultaba diferente del alor de la eloidad medida en el maro de éter, o sea: Veloidad de la luz on respeto al nueo maro = eloidad de la luz on respeto al éter MENOS eloidad del nueo maro on respeto al éter. Es deir: V = V 1 éter - 8 V1 éter Donde: V es la eloidad de la luz on respeto al nueo maro. V 1 éter es la eloidad de la luz on respeto al éter. V1 éter es la eloidad del nueo maro on respeto al éter.

29 1..4 Experimento de Mihelson-Morley Hemos diho que a finales del siglo XIX, onforme las mediiones de la eloidad de la luz se hiieron más refinadas, surgió la interrogante de uál sería el sistema de referenia respeto al ual se mide la eloidad de la luz. Se mide la eloidad de la luz tomando omo maro de referenia a la tierra, al aire, a las estrellas, a Júpiter, etétera? Y si se haían los siguientes uestionamientos: Si para el sonido el medio preferenial para desplazarse es el aire, no existirá igualmente un medio preferenial para la luz? Y si es posible medir la eloidad del sonido on respeto a la tierra, sumando las eloidades (donde deben sumarse la eloidad del sonido respeto al aire on la eloidad del aire respeto a la tierra), mediante una transformaión Galileana, entones por analogía debe existir (suponían), un medio preferenial de propagaión de la luz en el espaio infinito. Mihelson y Morley, en 1887, diseñaron un experimento de gran importania para demostrar la existenia de un maro espeial de referenia, el maro del éter, y determinar en él el moimiento de la Tierra respeto al éter. Pensaron que se podrían diseñar experimentos preisos para mostrar que la eloidad de la luz respeto a la tierra depende de la direión en que iaje la luz respeto al moimiento de la tierra a traés del éter (de auerdo on las transformaiones de Galileo). La idea básia del experimento onsistía en la diisión en dos partes de un haz luminoso, una parte dirigida en direión este-oeste y la otra en la direión norte-sur, los uales se reflejan nueamente a un punto omún. Mihelson y Morley en lugar de medir la diferenia extremadamente pequeña en los interalos de tiempo, superpusieron los haes luminosos en su regreso al origen on el objetio de que formaran un patrón de interferenia, y busaron la eidenia de una diferenia entre las eloidades este-oeste y norte-sur en el patrón de desfasamiento de pequeñas fraiones de una longitud de onda entre los dos haes. Para lo que querían enontrar, el experimento fue un fraaso, pero este fraaso fue de tal manera que después se demostró que había sido un éxito. El experimento falló en el sentido de detetar la diferenia de tiempo neesaria para que la luz reorriera las trayetorias paralela y perpendiular al moimiento de la tierra. Se realizó el experimento arias ees y en diferentes époas del año, y en todos los asos los resultados fueron los mismos: el moimiento de éter no era detetable, es deir, areía de propiedades medibles. La ausenia de éter lleó a los físios a onluir que no existe un maro absoluto o uniersal de referenia. También llegaron a la onlusión de que el éter debería ser arrastrado por la superfiie de la Tierra y que por esta razón no se enontraba ningún efeto en el experimento de Mihelson-Morley. 9

30 ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 1 NOMBRE: INTERFERÓMETRO MICHELSON OBJETIVO Manejar el Interferómetro de Mihelson y detetar patrones de interferenia para dos haes de luz que se superponen. Diho dispositio uenta on un espejo semiplateado que tiene la propiedad de reflejar la mitad de la luz inidente y transmitir la otra mitad. PROCEDIMIENTO Debes leer las instruiones para el uso del dispositio. Ajusta el aparato de manera que la luz emitida por la fuente luminosa proyete un haz brillante. Cuando hayas realizado la letura del instrutio proede a proyetar el rayo luminoso en el espejo plateado que se enuentra frente a la lámpara. Como el haz luminoso es diidido por el espejo en dos partes iguales, entones la mitad de la luz se muee en una trayetoria y la otra mitad en la otra. Por reflexión, la luz regresa por las trayetorias originales y puedes examinarla obserando a traés del mismo espejo, pero oloándote a 90 de la fuente de luz. Como la luz es un moimiento ondulatorio, los dos haes parten on la misma fase, es deir, on el mismo tiempo. Si los haes regresan al mismo tiempo, entones el tiempo neesario para los dos reorridos es igual. 30

31 Figura 7. Diagrama esquemátio del Interferómetro del experimento de Mihelson-Morley.La plaa de idrio transparente tiene por objeto onseguir que ambos rayos atraiesen los mismos espetros de aire y idrio. A qué resultados rees que llegaron? Varias ees repitieron el experimento, porque los resultados que presupusieron debían resultar no se obtenían. Otros ontemporáneos de ellos también se dieron a la tarea de realizar el experimento, on los mismos resultados: no se detetaba eléter Postulados de la Teoría Espeial de la Relatiidad Hemos diho anteriormente que la teoría espeial de la relatiidad fue el resultado de analizar las onseuenias físias que impliaba la ausenia de un maro inerial de referenia, y que diha teoría estudia los proesos físios de aquellos fenómenos en los que interienen maros de referenia en moimiento a eloidades onstantes (inluyendo los fenómenos eletromagnétios), y los asos en los que los maros de referenia se mueen uno on respeto al otro on traslaión uniforme. 31

32 Fue así omo Einstein estableió los siguientes dos postulados de la relatiidad espeial: 1. Las leyes físias deben tener el mismo signifiado (deben ser expresadas mediante euaiones de la misma forma), en todos los sistemas que se muean a eloidad onstante unos respeto a otros.. La eloidad de la luz en el aío es independiente del moimiento de su fuente y por lo tanto, tiene el mismo alor para todos los obseradores, independientemente de si se muee o no. Uno de los grandes triunfos de la Físia Moderna, fue la onfirmaión experimental de estos dos postulados Prinipio de la relatiidad en sentido restringido Manteniendo los prinipios de la relatiidad y mediante el análisis de los oneptos físios de espaio y tiempo, la teoría ha demostrado que en realidad no existe inompatibilidad alguna entre el prinipio de relatiidad y la ley de propagaión de la luz, y que por el ontrario, si se mantienen de una manera firme y sistemátia esos prinipios, se llega al estableimiento de una teoría sólida y sistemátia de esos prinipios que de manera lógia se sala de ualquier objeión. A diha teoría se le ha dado el nombre de Teoría de la Relatiidad Restringida. Por todo lo que hemos enido analizando, queda de manifiesto que la teoría de la relatiidad surgió de la eletrodinámia y de la óptia, en uyos dominios, si bien no ha ambiado los enuniados de la teoría, si ha simplifiado onsiderablemente el edifiio teório; es deir, la deriaión de las leyes, de las hipótesis independientes sobre las uales se apoya. La relatiidad en sentido restringido (que así la llamó Einstein), no es más que el estableimiento de que: Toda ley de naturaleza debe ser tal que se transforme en una ley de la misma forma uando en ez de las ariables espaio-tiempo, x, y, z, t; de ualquier sistema de oordenadas primitio S (sistema original), se introduen nueas ariables de epsaio-tiempo dadas por x, y, z, t del sistema de oordenadas S, en el ual la relaión matemátia entre las magnitudes del sistema original y el sistema primado estén dadas por una transformaión llamada Transformaión de Lorentz. En qué onsiste diha transformaión? Y Por qué es tan importante? 3

33 1.3 LA TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ Siguiendo a Einstein se onsidera que no tiene sentido onsiderar la existenia de un éter si no hay manera de detetarlo. Pero históriamente se neesitaron una serie de trabajos e inestigaiones teórias, pues no era tan omprensible para los ientífios de la époa el aeptar que el éter no era detetado. Conjugando los dos postulados de la relatiidad se obtienen las leyes de transformaión para las oordenadas retangulares x, y, z, y el tiempo t, de ualquier aonteimiento que onstituye los proesos de la naturaleza, pero el resultado obtenido no fue la transformaión de Galileo sino una orreión a las transformaiones de Galileo heha por H. A. Lorentz, quien afirmó que los objetos en moimiento se ontraen en la direión del moimiento a traés de éter. Se onoe omo la ontraión de Lorentz. Uno de los primeros en estudiar las impliaiones del experimento de Mihelson-Morley fue el gran físio holandés Hendrik Anton Lorentz ( ). De heho Lorentz se propuso salar la existenia del éter y para ello lo hizo a osta de postular una ariaión en las dimensiones de las aras de medir al moerse a traés del éter. Su trabajo se publió diez años antes de que Einstein reara la Teoría Espeial de la Relatiidad. Quedamos en que los experimentos de Mihelson-Morley fueron un fraaso aparente. No fue así, ya que debido a la resistenia de los físios de la époa a aeptar tal eidenia experimental, un físio teório fio una expliaión para que fuera onsistente on lo aeptado hasta entones. Veámoslo ubiándonos en aquella époa: Antes de teoría de la relatiidad, los físios supusieron táitamente que el signifiado de los datos temporales era absoluto; es deir, independiente del estado de moimiento del uerpo de referenia. Pero ya imos que esa suposiión es inompatible on la de simultaneidad entre la ley de propagaión de la luz y el prinipio de relatiidad. Entones, uáles son los alores de x, y, z, t, de un sueso on respeto S, que no oinidad on x, y, z, t, y que nos den las magnitudes de x, y, z, t, on respeto a S? La uestión la resolemos tomando en uenta que las relaiones tienen que elegirse de tal manera que la ley de propagaión de la luz en el aío se satisfaga para un mismo rayo de luz (y desde luego para todo rayo), on relaión a S y a S. Cuando analizamos el aso del tren solamente, onsideramos aonteimientos que ourren a lo largo de una línea reta ya que isto así, y desde el punto de ista matemátio, el terraplén representa una línea reta, y hemos onsiderado que los aonteimientos ourren a lo largo de él. 33

34 Es desde luego natural que todo aonteimiento se realiza en un espaio tridimensional y por lo tanto podemos suponer lo siguiente: Supongamos que el uerpo de referenia se enuentre prolongado haia los lados, haia arriba y haia abajo. Para la orientaión espaial relatia de los sistemas de oordenadas, el problema se resuele mediante las euaiones siguientes. Reuerda que la Meánia Clásia se basa prinipalmente en las siguientes hipótesis. Que el interalo de tiempo entre dos aonteimientos es independiente del estado de moimiento del uerpo de referenia, y que la distania espaial entre dos uerpos, para un uerpo rígido, es independiente del estado de moimiento del uerpo de referenia. Lo anterior llea a una aparente inompatibilidad entre la ley de propagaión de la luz y el prinipio de relatiidad. Crees que exista una manera de oniliarlas? Estarás de auerdo que para ello debemos modifiar el razonamiento de tal manera que desapareza la ontradiión aparente entre esos resultados que son produto de la experienia. Nueamente utiliemos los lugares y los tiempos onsiderados on respeto al tren y on respeto al terraplén. Pero, una ez onoidos el lugar y el tiempo de un aonteimiento on respeto al terraplén, ómo se puede determinar el lugar y el tiempo on respeto al tren? Habrá alguna manera de responder la pregunta uya respuesta sea tal que la ley de propagaión de la luz en el aío no ontradiga al prinipio de relatiidad? De ser así, entones estarás de auerdo en que debe existir una relaión de los aonteimientos partiulares entre el lugar y el tiempo, on respeto a los dos uerpos de referenia, de tal manera que todo rayo de luz posea la misma eloidad de propagaión, tanto on respeto al terraplén omo on respeto al tren. Para resoler el problema debe enontrarse, o formularse una ley o regla de transformaión de las magnitudes espaio-temporales on las propiedades de que sea álida para un aonteimiento uando pasa de un uerpo de referenia al otro. Si en la orientaión relatia de los sistemas de oordenadas, los ejes de las x de los dos sistemas oiniden de una manera permanente, debemos diidir el problema, primero onsiderando solamente los aonteimientos loalizados sobre el eje de las x, de tal manera que un aonteimiento quede representado on respeto al sistema de 34

35 referenia S por la absisa x y el tiempo t; mientras que on respeto al sistema de referenia S queda representado por la absisa x y el tiempo t. Lo que debemos es enontrar los alores de x y t uando onoemos a x y a t. Si una señal luminosa aanza a lo largo del eje positio de las x, se propagará de auerdo on la euaión x = t, es deir que x t = 0. Como la misma señal luminosa se propaga on respeto al sistema de oordenadas S, on la misma eloidad, entones on respeto a S, el rayo luminoso se propaga de auerdo on la euaión x t = 0. Los aonteimientos espaio-temporales que satisfaen la euaión para el sistema S, también deben satisfaer las euaiones para el sistema S, por sólo un fator que nos represente el heho de que uno de los sistemas se está moiendo. Esto se umple on la relaión: (x t ) = λ(x t). λ representa una onstante. Esto es porque si no lo haemos así, entones la anulaión de (x t) = 0 impliaría la anulaión de (x t ). De manera análoga, si los rayos luminosos se propagan a lo largo de los ejes en el sentido negatio, el resultado de la relaión será: Al sumar (o restar) las euaiones y se tiene: (x + t ) = µ(x + t). (x t ) + (x + t ) = λ (x - t) + µ(x + t) x = x(λ + µ) + t(µ - λ) por lo que: x = x(λ + µ t(µ - λ) + para simplifiar operaiones, hagamos: a = b = (λ + µ) (µ - λ) entones: x = ax b(t). 35

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