XXV OLIMPIADA DE FÍSICA CHINA, 1994

Transcripción

1 OMPD NTENCON DE FÍSC Prolemas resueltos y omentados por: José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo XX OMPD DE FÍSC CHN, 99.-PTÍCU ETST En la teoría espeial de la relatividad la relaión entre la energía E y el momento p de una partíula lire de masa en reposo m o es: E p m o Cuando la itada partíula esta ajo la aión de una fuerza onservativa, la energía total de la partíula, la ual es la suma de p m o y la energía potenial, se onserva. Si la energía de la partíula es muy grande, su energía en reposo puede despreiarse (tal partíula se denomina ultrarrelativista). ) Considerar el movimiento unidimensional de una partíula ultrarrelativista que está sometida a una fuerza entral de módulo f. Suponer que la partíula está loalizada en el origen de la fuerza siendo su momento iniial p o en el tiempo t0.desriir el movimiento de la partíula diujando, al menos durante un periodo, x frente a t y el momento p frente a x. Espeifiar las oordenadas de los puntos de retorno en funión de los parámetros p o y f. ndiar on flehas la direión del progreso del movimiento en el diagrama (p,x). Existen intervalos muy ortos para los que la partíula no es ultrarrelativista, aunque estos deen ser ignorados. ) Un mesón es una partíula formada por dos quarks. a masa en reposo del mesón es M y esta magnitud multipliada por es la energía total de los dos quarks. Considerar un modelo unidimensional para el mesón en reposo, en el ual se supone que los quarks se mueven a lo largo del eje x atrayéndose entre sí on una fuerza de módulo onstante f. Se admite que ellos pueden pasar uno a través del otro liremente. a masa en reposo de los quarks se despreia. En el tiempo t0, los dos quarks se enuentran en x0. Mostrar separadamente el movimiento de los dos quarks en los diagrmas (x,t) y (p,x) espeifiando los puntos de retorno en funión de M y f e indiando la direión del proeso en el diagrama (p,x) y determinar la distania máxima entre ellos. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

2 ) El sistema de referenia utilizado en el apartado ) se denomina sistema S; el sistema ligado al laoratorio, referido omo S, se mueve en la direión negativa del eje X on veloidad onstante v 0,. as oordenadas de los dos sistemas de referenia se han elegido de modo que x 0 en S oinide on x0 en S, en el tiempo t t 0. Diujar el movimiento de los dos quarks en un diagrama ( x, t). Espeifiar las oordenadas del punto de retorno en funión de M, f y y determine la máxima distania entre los dos quarks en el sistema del laoratorio S. as oordenadas de una partíula oservada en los sistemas S y S están relaionadas por la transformaión de orentz x x γ( x β t) ; t γt β Donde β ; γ v β, siendo v la veloidad del sistema S moviéndose on relaión al sistema S. ) Para un mesón on masa en reposo M 0 Me y veloidad 0, relativa al sistema del laoratorio S, determinar la energía E en diho sistema ) Para entender el prolema reurrimos a un movimiento armónio a lo largo del eje X. x(-) ; p() ; f() x() ; p() ; f(-) x(-) ; p(-) ; f() O x() ; p(-) ; f(-) as flehas indian el movimiento, los signos y se refieren a las magnitudes, posiión x, antidad de movimiento y fuerza. De auerdo on el enuniado del prolema para la partíula ultrarrelativista, la suma de energía es onstante y en el punto entral vale p o. E pfx p o a derivada de p on respeto del tiempo es la fuerza dp dt f dx * dt dx dt v f f José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

3 a veloidad de la partíula entre O y el extremo dereho es onstante y vale, lo mismo de a O, e igual de O a e igual de a O. Si la veloidad es onstante la grafia posiión tiempo son líneas retas de pendiente o. El tiempo transurrido para que la partíula vaya desde O hasta es: la distania O. t, siendo O - t t t t X En el extremo la antidad de movimiento es ero, luego f p o p o f En la expresión pfx p o despejamos p, fx p p o, en el origen x0 y pp o, a medida que la partíula se aleja del origen p disminuye hasta anularse p o - X ) maginemos un muelle, sin dimensiones, que esta sore una mesa horizontal on dos masas iguales en sus extremos. Estiramos el muelle una ierta longitud, las dos masas tienen oordenadas iguales en módulo respeto del entro del muelle. Si dejamos las masas en liertad, y no existe ningún tipo de rozamiento, amas alanzarían la posiión entral. Si admitimos que las masas pueden pasar una sore la otra terminarían por oupar las posiiones extremas iniiales, pero la masa en la posiión de la y vieversa. a figura inferior alara esta situaión. El movimiento de las masas es simétrio, por tanto, tendrán la misma energía y ouparán posiiones simétrias respeto del entro. Si nos fijamos en una de las dos masas su movimiento es omo si la otra no estuviese, en otras palaras, omo en el aso del apartado anterior.el movimiento de los quarks es José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

4 igual al aquí indiado y ada uno tendrá la misma energía. Como el mesón tiene una M energía, ada quark tendrá la mitad de esa energía. El diagrama de posiión O - t t t t X Utilizando la expresión E pfx p o en la posiión entral de uno de los quarks M M p o p o En la posiión extrema de uno de los quarks M M f f M El valor de t : t f a distania máxima es M M d f f os diagramas (p,x) son : p o p o - X - X 9 José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 7

5 ) asta utilizar las formulas de transformaión para enontrar las posiiones y tiempos en el sistema S. βx x γ( x βt) ; t γ t v 0, β ; γ Posiiones y tiempos del quark en el sistema S ) (0,0) ) (, t ) ) (0, t ) ) (-, t ) ) (0, t ) Posiiones y tiempos del quark en el sistema S ) (0,0) ) γ * β γ ( x βt) γ( β) γ t βx t ) γ ( x βt) γ( 0 β) γ t βx γ γ * * β * t ) γ ( x βt) γ( - β) γ t βx γ β γ γ * β t * ) γ ( x βt) γ( 0 β) γ t βx γ γ β ( t) * t t * * José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 8

6 Posiiones y tiempos del quark en el sistema S ) (0,0) ) (-, t ) ) (0, t ) ) (, t ) ) (0, t ) Posiiones y tiempos del quark en el sistema S ) (0,0) ) γ - * β γ ( x βt) γ( - β) γ t βx t ) γ ( x βt) γ( 0 β) γ t βx γ γ β ( ) * t * * ) γ ( x βt) γ( β) γ t βx γ * 9 7 ( β) t ) γ ( x βt) γ( 0 β) γ t βx γ γ * β t * * esumiendo las posiiones y los tiempos de los quarks Quark 0,0,t,t,t, t Quark 0,0, t, t 7 9, t, t José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 9

7 a gráfia de los valores anteriores posiiones/,,, 0, 0-0, - quark quark 0 tiempos /t De la gráfia se dedue que la máxima distania es tiempos, por ejemplo a t, t t, t. M, lo ual ourre a varios f ) a energía total de la partíula es: E m,en la que m es la masa relativista m m o, por tanto β E M 0 Me 7 Me β 0,.- MÁN SUPECONDUCTO os imanes superondutores se utilizan ampliamente en los laoratorios. a forma más orriente de un imán superondutor lo onstituye un solenoide heho on hilos superondutores. o llamativo de los imanes superondutores es que on ellos se logran ampos magnétios intensos sin que haya disipaión de energía térmia por efeto Joule, deido a que la resistenia elétria de un hilo superondutor se anula uando el imán se sumerge en helio líquido a una temperatura de, K. El imán generalmente tiene un diseño on un interruptor superondutor omo el que se muestra en la figura. a resistenia elétria de este interruptor se puede ontrolar: r 0 en el estado superondutor ó rr n en estado normal. Cuando el sistema se enuentra en un estado persistente, irula de modo permanente una José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 0

8 orriente por el imán y por el interruptor, este modo permite mantener un ampo magnétio por largos periodos aunque la fuente de orriente externa esté apagada. nterruptor, K Fuente de orriente, E nterruptor superondutor r0,ó rr n mán superondutor año de helio líquido a, K esistenia variale, Fig. os detalles del interruptor superondutor no apareen en la figura. Normalmente es una pequeña tira de material superondutor envuelto por un hilo que puede alentarse y onvenientemente aislado del año de helio líquido. Cuando el hilo se alienta la temperatura de la tira superondutora aumenta y su estado revierte al estado normal r r n. a resistenia es de unos poos ohmios, en este prolema de Ω.. a indutania del imán superondutor depende su tamaño, aquí se supone que 0 H. a orriente total se puede modifiar variando la resistenia..- Si la orriente y la resistenia del interruptor superondutor se ontrolan de manera que varíen omo indian las figuras a y respetivamente y suponiendo que las orriente e que fluyen a través del imán y del interruptor superondutor son iguales al prinipio fig. y d), indiar ómo varían a medida que transurre el tiempo. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

9 o 0, o Fig.a r t t t t t r n t t t t t Fig. 0, o t t t t t Fig. 0, o ) Soluión t t t t t Fig.d Entre los tiempos 0 a t la resistenia elétria del interruptor superondutor es ero. pliando la ley de Ohm entre los puntos y, resulta que - r 0, luego la diferenia de potenial es nula. Si analizamos la oina nos enontramos que una variaión de la orriente que la atraviesa produe una diferenia de potenial en sus extremos dada por di dt di Pero si esa diferenia de potenial es nula, tamién tiene que ser 0, lo ual india dt que no hay variaión de la orriente por la oina entre t y t y por onsiguiente sigue pasando la orriente 0, o. a intensidad que pasa por el interruptor superondutor dee ser 0,o partir de t la intensidad disminuye linealmente hasta anularse en t. En la gráfia se oserva que a la mitad de t y t, la intensidad 0, o, on lo que 0 y uando t t, 0, por tanto -0, o. partir de t la intensidad ree hasta valer 0, o. El valor de tamién reerá hasta anularse. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

10 as gráfias de e son las siguientes 0, o t Fig. t t t t 0, o t t t t t Fig.d.- Suponer que el interruptor K se ierra a t0, uando r0, 0 y 7, Ω y la orriente total es 0,. Con K mantenido errado, la resistenia r del interruptor superondutor se varía tal omo india la figura. Determinar ómo varían, e. 0, r Fig.a r n Fig. En el primer minuto la resistenia del interruptor-superondutor es ero y ya hemos d analizado en el aso anterior que no amia ya que 0. Como la orriente dt prinipal es de 0, esa es la orriente que irula durante el primer minuto por el interruptor-superondutor, por el imán 0 José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

11 l llegar a t min se produe de modo arupto una disminuión de ya que el iruito ahora tiene una resistenia de 7,, Ω uando antes tenía solamente 7, Ω.De modo asi instantáneo la orriente 0, pasa a E E 0,*7, 0,, 0, 7,,, Pasado este pequeño intervalo de tiempo, resulta que el imán sigue siendo superondutor y por la resistenia r n no pasará orriente, el iruito vuelve a tener una resistenia de 7, Ω e. 0 rr n a orriente vuelve a ser 0, y en onseuenia 0, e 0. El tiempo que dura el estaleimiento de la orriente en desde 0, a 0, depende de la resistenias y autoinduión del iruito τ Σ rn r n ( r ) r n n 0*,, 7,* s a orriente vale 0, al llegar al minuto ae a 0, y, segundos después se reupera a 0,, la orriente era ero pero en esos, segundos salta a 0, y la orriente que era 0, ae en esos, segundos a ero. Después de los, s resulta que r r n, hasta los dos minutos, por tanto, nada amia en las orrientes, e. partir de los dos minutos r n 0, la aída de tensión en el imán superondutor es ero d dt 0 d dt 0 a orriente en no amia y sigue valiendo lo que valía a los dos minutos, esto es, 0,, tamién 0, e seguirá valiendo ero. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

12 as gráfias de las orrientes son: 0, 0, t/mi 0, 0, Fig..- Solamente orrientes pequeñas, menores de 0,, deen fluir a través del interruptor superondutor uando se enuentra en su estado normal, on intensidad superiores el interruptor se quema. Suponer que el imán superondutor está operando en el modo persistente, esto es, 0, e i (esto es, 0 ), -i omo india la figura, en el intervalo de 0 a minutos. Si el experimento dee detenerse reduiendo la orriente a través del imán superondutor hasta ero Cómo podría haerse? Esta operaión requiere varias etapas. Diujar los orrespondientes amios de, r, e. a ondiión lave del proeso es que por el interruptor en su estado normal rr n no puede irular una orriente superior a 0,. Mantenemos r0, erramos el interruptor K, y aumentamos la orriente, la diferenia de potenial es nula por tanto la intensidad de orriente no amia y seguirá valiendo 0, dado que - al aumentar por ejemplo a 0, , y uando 0 entones 0. l llegar a este punto pasamos al interruptor al estado normal en el ual r r n Ω. y vamos disminuyendo la intensidad. Esto supone que la orriente disminuya por y esa disminuión provoa la apariión de una aída de tensión entre y dada por: d dt José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

13 Si aparee entones por el interruptor pasa orriente y esta no puede exeder a 0,, esto limita el valor máximo de *r n 0,*,, por tanto: d, d 0, dt 0 s dt Si ha de pasar de 0 a ero y además se ha de umplir que esa disminuión sea de 0, ada segundo el tiempo mínimo de reajar la orriente es: s t 0 * 80 s, min 0, Cuando 0, el interruptor se pasa a la posiión r r n 9 Fig. a figura es una de las soluiones del prolema. Entre t0 y t minutos la intensidad 0, 0, -0 y r 0 Entre t min y t min, r r n Ω.a intensidad aumenta hasta 0 y luego disminuye hasta ero en un tiempo de minutos. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

14 Esta ondiión umple on la exigida para su disminuión qy era que el tiempo deía de ser superior a, minutos..- Suponer que el imán está operando en el modo persistente on una orriente de 0 ( t0 a t minutos) Cómo podríamos amiar a un modo persistente on una orriente de 0? Nos fijamos en la figura desde t0 a t minutos, en vez de disminuir la orriente, omo allí se hizo la aumentamos hasta 0, y además ponemos r r n, entones aumenta tamién a 0, lo haemos en un tiempo de minutos para no violar la orriente que puede fluir por el interruptor (reuerde que el tiempo mínimo era, minutos,). eduimos la orriente de a ero a partir de 9 minutos hasta minutos y además ponemos el interruptor en r 0 ; al ser 0, d /dt 0, luego la orriente en se mantiene en 0, pero -, uando 0, 0, uando 0, y uando 0, José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 7

15 r n 9 José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 8

16 .- CHOQUES ENTE DSCOS CON SUPEFCES CON OZMENTO Un diso homogéneo de masa m y radio, se desplaza de modo uniforme sore una superfiie plana XY sin rozamiento, siendo la veloidad de su entro de masas. El entro del diso se enuentra a una distania del sistema de oordenadas XY (ver figura ) n Y t X El menionado diso, hoa on un diso que se enuentra estaionario sore el origen de oordenadas del sistema XY. El diso tiene la misma masa y el mismo espesor que el diso, pero su radio es. Se supone que las veloidades de los disos en el punto de ontato en la direión del eje t son iguales después de la olisión. Se supone tamién que las veloidades relativas de los disos a lo largo del eje n son las mismas antes y después de la olisión. ) Para tal olisión determinar las omponentes de las veloidades de los dos disos después de la olisión sore los ejes X e Y, esto es,,,, X Y X Y en funión de m,,, y. ) Determinar la energía inétia de los dos disos después de la olisión en funión de m,,, y. ) nmediatamente después de la olisión el diso gira on una veloidad angular y una veloidad lineal uyas omponentes sore los ejes n y t son respetivamente en valor asoluto,. El diso gira on una veloidad angular siendo las X Y Fig. omponentes de su veloidad lineal sore los ejes n y t :, X Y.ver la figura. José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 9

17 n n Y t t t X Fig. n En la figura se repretan las omponentes de las veloidades lineales de los disos sore los ejes n y t. ) pliamos el prinipio de onservaión del momento lineal, y para ello nos fijamos en las figuras y. m m m () t t t t mos m m os () n n n n ) En el punto de ontato de amos disos surgen fuerzas de rozamiento pero sus momentos respeto de ese punto son nulos, lo que implia que haya onservaión del momento angular para ada diso m. m. m m t t m,siendo m t () 0 m t 0 m t m,siendo m t () ) pliamos las ondiiones impuestas en el enuniado del prolema t t () José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. 0

18 os De las euaiones () y () se dedue que: n n () 0 ; n n n n n os n De las euaiones () y (), resulta: t t t t t (7) levamos la euaión (7) a la euaión (), t t t t (8) Cominamos la euaión (8) on la () t t t t t t t (9) Cominando las euaiones () y (9) t t t t (0) partir de las euaiones () y (0) t () Cominando las euaiones () y (9) t * () Como nos piden las omponentes de las veloidades de los disos sore los ejes X e Y. partir de la figura se dedue, teniendo en uenta que n 0 De la figura () se dedue ( ) X t, que sustituida en la anterior X ( ) José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo.

19 José uis Hernández Pérez y gustín ozano Pradillo. ( ) ( ) ( ) ( ) Y t Y os ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x n t X, os os ( ) ( ) ( ) ( ) Y n t Y, os os os ) a energía inétia de los disos es la suma de la de traslaión más la de rotaión ( ) ( ) ( ) C t C m 7 9 () E 9 * m 9 m m m m () E ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) C t C 7 m () E 8 7 m 8 m os m m os m m () E n