1. Funciones matriciales. Matriz exponencial

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María Soledad Carrizo Martín
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1 Dpto. Matemátia Apliada, Faultad de Informátia, UPM EDO Sistemas Lineales. Funiones matriiales. Matriz exponenial.. Funiones vetoriales Sea el uerpo IK que puede ser IC ó IR y sea I IR un intervalo. Entones C 0 (I, IK n designará al onjunto de todas las funiones definidas en I y on valores en IK n que sean ontinuas. O sea, C 0 (I, IK n {X (x,..., x n T : x i : I IK ontinua i, i n}. C (I, IK n denotará al onjunto de todas las funiones vetoriales de I a IK n difereniables on ontinuidad. Así, C (I, IK n {X (x,..., x n T : x i : I IK ontinua i, i n}. Es inmediato omprobar que estos onjuntos tienen estrutura de espaio vetorial sobre el uerpo IK on las operaiones suma de funiones vetoriales, (X + Y (t X(t + Y (t, y produto por esalares, (λx(t λx(t..2. Funiones matriiales Denotamos por M(n, IK al espaio vetorial sobre IK de dimensión n 2 de todas las matries n n de elementos de IK. Consideramos una funión A : IR M(n, IK t A(t (a ij (t i,j n Diremos que A(t es ontinua en t 0 si todas las omponentes a ij (t son ontinuas en t 0. Si A(t es ontinua en ada punto t I se die que A(t es ontinua en I. Representaremos por C 0 (I, M(n, IK al onjunto de todas las funiones de I a M(n, IK ontinuas, esto es, C 0 (I, M(n, IK {A(t (a ij (t i,j n : a ij : I IK ontinua, i, j n} Diremos que A(t es difereniable en t 0 si todas las omponentes a ij (t son derivables en t 0 y se define su derivada omo la matriz da dt (t 0 A (t 0 (a ij(t 0 i,j n. Si A(t es difereniable en ada t I diremos que A es difereniable en I. Representaremos por C (I, M(n, IK al onjunto de todas la apliaiones de I a M(n, IK difereniables on ontinuidad. Así, C (I, M(n, IK {A(t (a ij (t i,j n : a ij : I IK ontinua i, j n}. Del mismo modo, diremos que A(t es integrable en un intervalo (, d IR si todas las omponentes a ij (t son integrables en (, d y se define la integral de A(t sobre (, d omo la matriz d ( d A(tdt a ij (tdt. i,j n

C (I, IK n denotará al onjunto de todas las funiones vetoriales de I a IK n difereniables on ontinuidad. Así, C (I, IK n {X (x,..., x n T : x i : I IK ontinua i, i n}.

2 Dpto. Matemátia Apliada, Faultad de Informátia, UPM EDO Sistemas Lineales 2 LLamaremos primitiva de A(t a la matriz ( A(tdt a ij (tdt. i,j n Propiedades.. Sean A(t (a ij (t i,j n y B(t (b ij (t i,j n difereniables en un punto t 0. Entones se verifia: (i (A + B (t 0 A (t 0 + B (t 0. (ii (λa (t 0 λa (t 0 λ IK. (iii (AB (t 0 A (t 0 B(t 0 + A(t 0 B (t 0. (iv (P A (t 0 P A (t 0 P M(n, IK..3. Norma de una matriz En el espaio vetorial M(n, IK de las matries uadradas n n on oefiientes reales (IK IR o omplejos (IK IC se define : M(n, IK [0, que a ada matriz A (a ij i,j n, le hae orresponder la suma de los módulos de todos sus elementos, es deir, n n A a ij. ( i Se puede omprobar fáilmente que umple las propiedades de una norma: Sean A, B M(n, IK y λ IK.. A 0 si, y sólo si, A (0, donde (0 es la matriz idéntiamente nula. 2. λa λ A. 3. A + B A + B. Además, se verifia la siguiente propiedad: 4. AB A B. En efeto, esribiendo A (a ij i,j n y B (b ij i,j n tenemos AB ( n k a ikb kj i,j n, así que n n n n n n n n AB a ik b kj a ik b jk a ik B A B. i j k i k Esta norma onvierte al espaio M(n, IK en un espaio vetorial normado. Así, se puede hablar de límite matriial estableiendo que una suesión de matries {A n } n onverge a una matriz A si lím A n A 0. n Puesto que se tiene A n 2 máx y j j i,j n a ij A máx i,j n a ij resulta que la definiión de onvergenia matriial dada equivale a la onvergenia omponente a omponente. i k

3 Dpto. Matemátia Apliada, Faultad de Informátia, UPM EDO Sistemas Lineales 3 Lema.2. Sea A M(n, IK. Para todo k IN, se verifia A k A k. Demostraión: Si apliamos la propiedad 4. de la norma uno tomando B A, la desigualdad mostrada allí se onvierte en Por induión se sigue trivialmente que para todo k IN. A 2 A 2. A k A k,.4. Funión exponenial ompleja de variable real Dado λ a + ib IC se define la funión exponenial ompleja de variable real omo e λt e at (os bt + i sen bt t IR y tendremos que Re(e λt e at os bt y Im(e λt e at sen bt. De estas definiiones se obtienen fáilmente las siguientes propiedades. Propiedades Sean λ a + ib, λ, λ 2 IC y (, d IR, se verifia: (i e λ t e λ 2t e (λ +λ 2 t para todo t IR. En partiular, e λt e λt. (ii dx d ( e λt λe λt para todo t IR. (iii Si λ 0, entones una primitiva de e λt es la funión λ eλt para todo t IR y d e λt dt λ eλ(d. (iv e λt e at para todo t IR, donde la notaión representa el módulo de un número omplejo..5. Matriz exponenial Denotaremos por I n la matriz identidad en el espaio M(n, IK y, por onvenio, A 0 I n. Proposiión.3. Dada A M(n, IK, IK IR o IC, la serie matriial Ak es onvergente en el espaio M(n, IK. A su suma, que denotaremos por e A, le llamaremos matriz exponenial.

Funión exponenial ompleja de variable real Dado λ a + ib IC se define la funión exponenial ompleja de variable real omo e λt e at (os bt + i sen bt t IR y tendremos que Re(e λt e at os bt y Im(e λt e

4 Dpto. Matemátia Apliada, Faultad de Informátia, UPM EDO Sistemas Lineales 4 Demostraión: Teniendo en uenta que M(n, IK es un espaio vetorial normado de dimensión finita, esto es, M(n, IK es un espaio de Banah, para probar la onvergenia de la serie es sufiiente on ver que la suesión de las sumas pariales {S N } N, donde Ak, es de Cauhy en M(n, IK on la norma uno definida por (. Se trata S N N pues de probar que para todo ε > 0 existe un k ε IN tal que Apliando el lema.2 se obtiene que S S N Ahora omo se tiene S S N < ε, N k ε. Ak kn+ lím k kn+ kn+ A k 0, Ak kn+ A k. puesto que la serie k A k es onvergente en IR a e A, se sigue que para todo ε > 0 existe un k ε IN tal que S S N kn+ A k < ε, N k ε. Por lo tanto, {S N } N es una suesión de Cauhy en M(n, IK. Observaión: La matriz exponenial satisfae e A Ak A k e A y, en onseuenia, la serie e A es absolutamente onvergente. Propiedades.4. Sean A, B M(n, IK, se verifia: (i e (0 I n. (ii e In e I n para todo IK. (iii Si AB BA entones e A+B e A e B. (iv e A es siempre inversible y su inversa es e A. (v e P AP P e A P para toda P M(n, IK inversible. Demostraión: Las propiedades (i y (ii se verifian trivialmente. Probemos (iii. Puesto que A y B onmutan y dado que las series e A y e B son absolutamente onvergentes son válidas las siguientes identidades ( ( ( e A e B Ak Bk i!j! Ai B j ( i+jk ( k i A i B j i+jk (A + Bk e A+B

Se trata S N N pues de probar que para todo ε > 0 existe un k ε IN tal que Apliando el lema.2 se obtiene que S S N Ahora omo se tiene S S N < ε, N k ε. Ak kn+ lím k kn+ kn+ A k 0, Ak kn+ A k.

5 Dpto. Matemátia Apliada, Faultad de Informátia, UPM EDO Sistemas Lineales 5 (iv Apliando la propiedad anterior resulta on lo que se tiene e A e A e (0 I n (e A e A. Por tanto, la matriz e A es siempre inversible. (v Observemos que se umple (P AP k P A k P, luego ( e P AP (P AP k P AK P P Ak P P e A P, lo que onluye la demostraión de las propiedades. En general, si A es una matriz n n diagonal on los oefiientes λ, λ 2,..., λ n en su diagonal prinipal, A diag(λ,..., λ n, entones A k diag(λ k,..., λ k n para todo k 0,, 2,.... Por onsiguiente e A es una matriz diagonal dada por e A diag ( λ k,...,.6. Funión matriz exponenial λ k n diag(e λ,..., e λn. Si A es una funión matriial definida sobre I podemos definir mediante la exponenial la siguiente apliaión: e A( : I M(n, IK t e A(t (A(t k A esta apliaión le llamaremos funión exponenial matriial. Teorema.5. Sea A C (I, M(n, IR tal que A(tA (t A (ta(t, entones e A(t es difereniable en I y d dt ea(t A (te A(t. Demostraión: Observemos en primer lugar que ((A(t k k(a(t k A (t omo se puede demostrar fáilmente por induión teniendo en uenta la fórmula de derivaión para el produto de matries y usando la hipótesis de que A(t ommuta on A (t. Así, se tiene que S N ( N (A(tk N k k(a(tk A (t A (ts N. Entones, lím N S N lím N (A (ts N A (te A(t. Por el teorema de onvergenia de series se tiene que (lím N S N lím N S N onseuenia, (e A(t A (te A(t omo queriamos probar. y, en

En general, si A es una matriz n n diagonal on los oefiientes λ, λ 2,..., λ n en su diagonal prinipal, A diag(λ,..., λ n, entones A k diag(λ k,..., λ k n para todo k 0,, 2,.

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