Momentos de Inercia de cuerpos sólidos: EJE. Varilla delgada. Disco. Disco. Cilíndro. Esfera. Anillo I = MR

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1 91 Momentos de Ineria de uerpos sólidos: EJE Varilla delgada 1 I = ML 1 Diso 1 I = M Diso 1 I = M 4 ilíndro 1 I = M Esfera I = M 5 Anillo I = M

2 9 Observaión: Los momentos de ineria on respeto a ejes paralelos están relaionados por una relaión muy simple. Sea Z un eje paralelo arbitrario que pasa por un punto, paralelo al eje que pasan por el entro de un uerpo representado en la tabla anterior ( Z ). Si d es la separaión entre los dos ejes, la siguiente relaión, denominada Teorema de Steiner, tiene lugar: I = I + Md, (5.18) donde I e I son los momentos de ineria del uerpo on respeto a Z y Z, respetivamente, y M es la masa del uerpo. Z Z d M Euaión de la dinámia de rotaión: La euaión, la ual es equivalente a la segunda ley de Newton en rotaión es r M = Iα r. (5.19) r r Simplemente se ha transformado la segunda ley e Newton = m a, a términos de rotaión r M = Iα r. Aquí la suma de los momentos M r es análoga a las suma de las fuerzas r, el momento de ineria I es análogo a la masa m, y la aeleraión angular α r es análoga a la aeleraión lineal a r. ara un problema en dos dimensiones, los momentos están dirigidos según el eje fijo de rotaión, es deir, sobre una misma línea. Las fuerzas y los momentos son vetores, pero uando se dirigen según una línea fija, sólo pueden tener dos sentidos. Tomando un sentido (+) y el otro omo (-), podemos manejar estos vetores algebraiamente y tratar sólo on sus magnitudes. Ejemplos: 1. Un ilindro maizo homogéneo, de masa M y radio que está girando on rapidez angular onstante se oloa en una esquina, on uya paredes tiene un oefiiente de rozamiento µ. a. Haga un diagrama de todas las fuerzas que atúan sobre el ilindro,

3 93 b. Determine la aeleraión angular on que frena el ilindro. M Soluión: D..L. ilindro: f 1 N 1 N Mg f uesto que el ilindro no se traslada: N1 f = 0, : f 1 + N Mg = 0 : Y X. (1) 1 Evaluando el momento on respeto al entro del ilindro, donde I = mr : 1 M : f 1 + f = (M ) () α. () De (1) y () y reemplazando f 1 = µ N1, f = µ N se enuentra: α = g µ ( µ + 1). ( µ + 1)

4 94. Determine el momento de ineria del arrete mostrado, respeto al punto de ontato. El radio interno es r y externo. La masa M sube on aeleraión de magnitud g 4. g r Q M M Soluión: i. D..L. Bloque M : T Mg omo tal bloque sube: // : T Mg = M a = M g 4. Es deir, M 5 T = Mg. (1) 4

5 95 ii. D..L. Bloque M : T ' Mg Mg T' = M a. () // : M or otro lado, omo la aeleraión on que sube el bloque de masa M es g/4 y esta aeleraión equivale a la tangenial del arrete en el punto Q donde a Q = α 3r, la aeleraión angular es α = g 1r. omo la aeleraión tangenial del punto es g g a = α 4r = 4r =, el bloque 1r 3 de masa M ae on diha aeleraión. eemplazando n euaión (1) se enuentra: 4 T' Mg M a = M Mg. 3 = (3) iii. Evaluando el momento en el arrete, on respeto al punto : Las fuerzas que realizan momento son solamente T y T' donde ambas fuerzas quedan perpendiulares a las distanias, partiendo desde el punto. omo la aeleraión angular va en sentido antihorario, es deir apunta haia fuera del plano del dibujo, el momento det es negativo y el de T' positivo. De este modo: eemplazando los valores de T, : 4r T' 3r T = I α. M. (4) T ' y α enontramos: I = 19Mr.

6 96 Equilibrio: En general, el movimiento de una partíula, es un movimiento de traslaión. uándo tal partíula está en reposo o en M..U., su aeleraión es ero. or lo tanto la resultante e todas sus fuerzas es ero y se die que la partíula está en equilibrio MEANIO. ara el aso de un uerpo rígido, en general este presenta un movimiento de rotaión y traslaión. uándo el uerpo rígido permanee en reposo, o se mueve de manera tal que su veloidad lineal V r y angularω r son onstantes, tanto su aeleraión lineal a r y angular α r son ero. La resultante de todas las fuerzas y de todos sus momentos que obran sobre este uerpo son ero, y se die que el uerpo rígido está en equilibrio MEANIO. Se die que el equilibrio es estátio si el uerpo está en reposo. La rama de la meánia que estudia el equilibrio estátio de un uerpo rígido, es deir, uando este no se mueve, se llama estátia de los uerpos rígidos. De este modo, las euaiones que aseguran el equilibrio estátio, fuera de la observaión que este está en reposo son: r = 0 r, (5.0) M r = 0 r. (5.1) La euaión (5.0), llamada equilibrio de traslaión, asegura que el uerpo no se traslade linealmente y la euaión (5.1), denominada equilibrio de rotaión, asegura que el uerpo no se mueva angularmente. r 0 r r r a = yα = 0 Note que estas euaiones sólo aseguran que. or lo tanto, si un uerpo se traslada uniformemente on veloidad onstante y/o rota on veloidad angular onstante, (5.0) y (5.1) siguen siendo válidas. En esta seión sólo se estudiará el equilibrio estátio. Ejemplos: = en la posiión mostrada en la figura, ha de apliarse una sola fuerza. a. uáles son las omponentes X y Y de la fuerza apliada?. b. Dónde deberá apliarse esta fuerza?. 1. ara mantener en equilibrio una barra de masa m 5[ kg] g r L = 3[ m] 37 º M = 10[ kg]

7 97 Soluión: i. D..L. bloque M = 10[ kg] T Mg omo tal bloque está en reposo: = 0 : T Mg = 0, es deir, T = Mg = 100[ N]. ii. D..L. barra: A r X Y T sen(37º ) X mg T os(37º ) r es la fuerza que se debe apliar a la barra a la distania X del extremo izquierdo (punto A) para mantener el equilibrio. Evaluando las ondiiones de equilibrio, enontramos: Equilibrio de traslaión: T sen(37º ) = 0 (1) X : X : Y mg T os(37º ) = 0. Y () L Equilibrio de rotaión: M A : mg + T os(37º ) L Y X = 0. (3)

8 98 De euaión (1): X T sen( 37º ) = 60[ N], L mg + T os(37º ) finalmente de euaión (3), enontramos que X =,4[ m]. = de euaión (), Y mg + T os( 37º ) = 130[ N] Y = y = or lo tanto la fuerza r que mantiene el equilibrio es: ( 60) + ( 130) = 143, 18[ N],4[ m] del extremo izquierdo de la barra. =, la ual pasa a. La figura muestra una barra homogénea de masa M la que se enuentra a punto de deslizar haia abajo. Si en la pared y la barra existe roe, determine el ánguloθ de modo que el extremo inferior de la barra se enuentre a punto de deslizar. g r θ D..L. (barra): T Mg A N ondiiones de equilibrio:

9 99 : N T = 0, X (1) : f Mg = 0 Y e, () L : Mg sen( θ ) T L os( θ ) = 0. M A (3) omo f Mg = e N, de euaión (1) N = T y de euaión () N, µ e µ despejarθ resulta: tg () θ =. µ e = reemplazando en (3) y al e

10 100 EJEIIOS 1. Un uerpo rígido de masa total M, onsiste de dos disos homogéneos onéntrios que tienen enrolladas dos uerdas ideales (inextensibles). Se tira de éstas uerdas omo se india en la figura, on fuerzas de magnitud = Mg 3, de modo que el uerpo rueda sin resbalar. a. En que sentido rota el uerpo?. Justifique. b. alule la aeleraión del entro del uerpo.. alule el mínimo oefiiente de roe estátio para que el uerpo no deslie. Datos: I = M 3, r. 0 = r g r. alule el momento de ineria del arrete, si la masa m ae on aeleraión de magnitud g La figura muestra un arrete de masa M, onetado a dos bloques de masas 3 m ym, el ual sube por un plano inlinado rotando sin deslizar. Si la tensión en la uerda que oneta a m 0 N, enuentre: 3 es [ ] a. La aeleraión on que baja el bloque de masa m, b. El momento de ineria del arrete respeto a su entro. m = kg, M = 1 kg, = 0,5 m, g = 10 m s. onsidere: [ ] [ ] [ ] [ ]

11 El péndulo doble de la figura está artiulado en A, y está ompuesto por una varilla de masa despreiable y dos masas puntualesm y 3m. Si se orta el hilo, alule: a. La aeleraión angular en el instante que se orta el hilo, b. La fuerza en la artiulaión A, uando el péndulo ruza la vertial. A m 3 m g r b b 5. El arrete mostrado en la figura tiene enrollada una inta delgada ligera. La inta pasa por una polea fija, de masa despreiable y se oneta a un uerpo de masa [kg] que baja vertialmente on aeleraión de magnitud 5[ m s ]. Si la masa del arrete es m = 1[ kg] y = r, determine: a. La aeleraión angular del arrete, b. Su momento de ineria respeto su entro. g r m r M 30º

12 10 6. La varilla on la pequeña pestaña de la figura es homogénea y está en equilibrio en la posiión r r r mostrada. Enuentre los valores de las tensiones T1, T, T3 si su peso es de 50 [ lb]. 7. on un elevador de horquilla de masa 800 [kg] uyo peso pasa por el punto G se levanta una aja de 1500 [kg], uyo peso pasa por el punto G. Determine las reaiones en ada una de las dos a. ruedas delanteras A b. ruedas traseras B. 8. Un jardinero utiliza una arretilla de 1 [lb] para transportar una bolsa de fertilizante de 50 [lb]. Qué fuerza deberá ejerer sobre ada manilla?.

13 Una arga de madera de peso w= 5000 [N] va a ser levantada on una grúa móvil. El peso de la pluma AB y el peso ombinado del arro y del hofer son los indiados en la figura. Determine las reaiones en ada una de las dos a. ruedas delanteras H b. ruedas traseras K 10. efiérase al dibujo del problema anterior. Una arga de madera de peso w= 5000 [N] va a ser levantado on una grúa móvil. Sabiendo que la tensión es de 5000 [N] en todas las partes del able AE y que el peso de la pluma AB es de 3000 [N], determine: a. la tensión en la barra D, b. la reaión en el perno B. 11. Se usa una grúa montada en un amión para levantar un ompresor de 750 [lb]. Los pesos de la pluma AB y del amión son los indiados y el ángulo que forma la pluma on la horizontal es α = 40º. Determine las reaiones en ada una de las dos a. ruedas traseras b. ruedas delanteras D. 1. efiérase al dibujo del problema anterior. Determine el valor mínimo deα neesario para que el amión no se vuelque al argar un peso w=3000 [lb].