2.4 Transformaciones de funciones

Transcripción

1 8 CAPÍTULO Funiones.4 Transformaiones de funiones En esta seión se estudia ómo iertas transformaiones de una funión afetan su gráfia. Esto proporiona una mejor omprensión de ómo grafiar Las transformaiones que se estudian son desplazamiento, refleión estiramiento. Desplazamiento vertial Sumar una onstante a una funión desplaza su gráfia en direión vertial: haia arriba si la onstante es positiva haia abajo si es negativa. Ejemplo Desplazamientos vertiales de gráfias Use la gráfia de f para trazar la gráfia de ada funión. a) g 3 h Soluión La funión f se grafió en el ejemplo (a), seión.. Se traza de nuevo en la figura. a) Observe que g 3 f 3 Así que la oordenada de ada punto sobre la gráfia de g está tres unidades arriba del punto orrespondiente sobre la gráfia de f. Esto signifia que para grafiar g se desplaza la gráfia de f haia arriba tres unidades, omo en la figura. g() = + 3 f() = h() = Figura De manera similar, para grafiar h se desplaza la gráfia de f haia abajo dos unidades, omo se muestra. Reuerde que la gráfia de la funión f es la misma que la gráfia de la euaión f. En general, suponga que se onoe la gráfia de f. Cómo se obtienen de ésta las gráfias de f and f La oordenada de ada punto sobre la gráfia de f está unidades arriba de la oordenada del punto orrespondiente sobre la gráfia de f. Así, la gráfia de f se obtiene simplemente al desplazar unidades haia arriba la gráfia de f. De manera similar, se obtiene la gráfia de f al desplazar unidades haia abajo la gráfia de f.

2 SECCIÓN.4 Transformaiones de funiones 83 Desplazamientos vertiales de gráfias Suponga que. Para grafiar f, desplae unidades haia arriba la gráfia de f. Para grafiar f, desplae unidades haia abajo la gráfia de f. =f()+ =f() =f() =f()- Ejemplo Desplazamientos vertiales de gráfias Use la gráfia de f 3 9, que se trazó en el ejemplo, seión.8, para bosquejar la gráfia de ada funión. a) g 3 9 h 3 9 Soluión La gráfia de f se traza de nuevo en la figura. a) Para grafiar g la gráfia de f se desplaza unidades haia arriba, omo se muestra. Para grafiar h la gráfia de f se desplaza unidades haia abajo, omo se muestra. 3 f() = 3 9 _4 _ 4 g() = _3 Figura h() = 3 9 Desplazamiento horizontal Suponga que se onoe la gráfia de f. Cómo se emplea para obtener las gráfias de f and f El valor de f en es el mismo que el valor de f en. Puesto que está unidades a la izquierda de, se dedue que la gráfia de f

3 84 CAPÍTULO Funiones es la gráfia de f desplazada a la dereha unidades. Con un razonamiento similar se demuestra que la gráfia de f es la gráfia de f desplazada a la izquierda unidades. En el uadro siguiente se resumen estos hehos. Desplazamientos horizontales de gráfias Supóngase que. Para grafiar f, desplae la gráfia de f a la dereha unidades. Para grafiar f, desplae la gráfia de f a la izquierda unidades. =Ï =f(-) =f(+) =Ï Ejemplo 3 Desplazamientos horizontales de gráfias Use la gráfia de f para trazar la gráfia de ada funión. a) g 4 h Soluión a) Para grafiar g, la gráfia de f se desplaza 4 unidades a la izquierda. Para grafiar h, la gráfia de f se desplaza unidades a la dereha. Las gráfias de g h se bosquejan en la figura 3. g() = ( + 4) f() = h() = ( ) Figura 3 _4 Ejemplo 4 Combinaión de desplazamientos horizontales vertiales Bosqueje la gráfia de f 3 4. Soluión Se empieza on la gráfia de (ejemplo (), seión.) se desplaza a la dereha 3 unidades para obtener la gráfia de 3. Luego, la

4 SECCIÓN.4 Transformaiones de funiones 85 gráfia resultante se desplaza 4 unidades haia arriba para obtener la gráfia de f 3 4 mostrada en la figura 4. f() = (3, 4) = = 3 Figura 4 3 Refleión de gráfias Suponga que se onoe la gráfia de f. Cómo se emplea para obtener las gráfias de f f? La oordenada de ada punto sobre la gráfia de f es simplemente el negativo de la oordenada del punto orrespondiente en la gráfia de f. Por lo tanto, la gráfia deseada es la refleión de la gráfia de f en el eje. Por otro lado, el valor de f en es el mismo que el valor de f en por onsiguiente, la gráfia deseada aquí es la refleión de la gráfia de f en el eje. En el uadro siguiente se resumen estas observaiones. Refleión de gráfias Para grafiar f, refleje la gráfia de f en el eje. Para grafiar f, refleje la gráfia de f en el eje. =Ï =Ï =_Ï =f(_) = f()=_ Ejemplo 5 Refleión de gráfias Trae la gráfia de ada funión (a) f ( g Figura 5 Soluión a) Se empieza on la gráfia de. La gráfia de f es la gráfia de reflejada en el eje (véase figura 5).

5 86 CAPÍTULO Funiones Se iniia on la gráfia de (ejemplo () en la seión.). La gráfia de g es la gráfia de reflejada en el eje (véase figura 6). Note que el dominio de la funión g es is 5 6. g()=œ_ =œ Figura 6 Estiramiento aortamiento vertial Suponga que se onoe la gráfia de f. Cómo se usa para obtener la gráfia de f? La oordenada de f en es la misma que la oordenada orrespondiente de f multipliada por. Multipliar las oordenadas por tiene el mismo efeto de alargar aortar vertialmente la gráfia por un fator de. Estiramiento aortamiento vertial de gráfias Para grafiar f: Si, alargue vertialmente la gráfia de f por un fator de. Si, aorte vertialmente la gráfia de f por un fator de. = Ï =Ï =Ï = Ï > < < Figura 7 4 f() = g() = 3 h() = 3 Ejemplo 6 Estiramiento aortamiento vertial de gráfias Use la gráfia de f para trazar la gráfia de ada funión. a) g 3 h 3 Soluión a) La gráfia de g se obtiene al multipliar la oordenada de ada punto sobre la gráfia de f por 3. Es deir, para obtener la gráfia de g se alarga la gráfia de f vertialmente por un fator de 3. El resultado es la parábola más estreha en la figura 7. La gráfia de h se obtiene al multipliar la oordenada de ada punto sobre la gráfia de f por 3. Es deir, para obtener la gráfia de h se aorta vertialmente la gráfia de f por un fator de 3. El resultado es la parábola más amplia en la figura 7. En el ejemplo siguiente se ilustra el efeto de ombinar desplazamientos, refleiones estiramiento.

6 SECCIÓN.4 Transformaiones de funiones 87 Ejemplo 7 Combinaión de desplazamiento, estiramiento refleión Bosqueje la gráfia de la funión f 3. Soluión Comenzando on la gráfia, se desplaza primero a la dereha 3 unidades para obtener la gráfia de 3. Luego se refleja en el eje se alarga por un fator de para obtener la gráfia de 3. Por último, se desplaza unidad haia arriba para obtener la gráfia de f 3 mostrada en la figura 8. = ( 3) = (3, ) f() = ( 3) Figura 8 = ( 3) Alargamiento estiramiento horizontal Ahora abordaremos el aortamiento alargamiento horizontal de gráfias. Si se onoe la gráfia de f, entones ómo se relaiona la gráfia de f on ésta? La oordenada de f en es la misma que la oordenada de f en. Así, las oordenadas en la gráfia de f orresponde a las oordenadas en la gráfia de f multipliadas por. Considerado de otro modo, se puede observar que las oordenadas en la gráfia de f son las oordenadas en la gráfia de f multipliada por /. En otras palabras, para ambiar la gráfia de f a la gráfia de f, se debe aortar (o alargar) la gráfia horizontalmente por un fator de /, omo se resume en el uadro siguiente. Aortamiento alargamiento horizontal de gráfias La gráfia de f: Si, aorte la gráfia de f horizontalmente por un fator de /. Si, alargue la gráfia de f horizontalmente por un fator de /. =f() =f() =Ï =Ï > < <

7 SECCIÓN.4 Transformaiones de funiones 9 8. a) 3f f 4. a) Bosqueje la gráfia de g 3 grafiando los puntos. ) f 4 3 d) f Use la gráfia de g para trazar las gráfias de las siguientes 6 ➀ i) 3 ii) 3 iii) 3 iv) 3 _6 _3 3 6 ➂ 9. Se da la gráfia de f. Bosqueje las gráfias de las siguientes a) f f ) f d) f 3 e) f f) f. Se da la gráfia de g. Bosqueje las gráfias de las siguientes a) g g ) g d) g e) g f) g. a) Bosqueje la gráfia de f mediante la grafiaión de los puntos. ➃ 3 _3 Ï Use la gráfia de f para trazar las gráfias de las siguientes i) ii) iii) iv) 3 ➁ f g 3 6 Eplique ómo se obtiene la gráfia de g a partir de la gráfia de f. 3. a) 4. a) 5. a) 6. a) f, g f, g f 3, g 4 3 f 3, g 3 4 f, g f, g f, g 3 f, g 7 3 Se da una funión f se aplian a su gráfia las transformaiones indiadas (en el orden dado). Esriba la euaión para la gráfia transformada final. 7. f ; desplae haia arriba 3 unidades unidades a la dereha. 8. f 3 ; desplae haia abajo unidad 4 unidades a la izquierda. 9. f ; desplae 3 unidades a la izquierda, alargue vertialmente por un fator de 5 refleje en el eje. 3. f 3 ; refleje en el eje, aorte vertialmente por un 3 fator de, desplae haia arriba unidades. 3. f ; desplae a la dereha unidad, aorte vertialmente por un fator de. desplae haia abajo unidades. 3. f ; desplae a la izquierda unidad, alargue vertialmente por un fator de 3 desplae haia arriba unidades Bosqueje la gráfia de la funión, no mediante la grafiaión de puntos, sino iniiando on la gráfia de una funión estándar apliando transformaiones. 33. f 34. f f 36. f 37. f f