Tiempo asignado: 8 horas BLOQUE. Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

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1 Tiempo asignado: 8 horas BLOQUE 2 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

2 jas ordenadas que corresponde a la función inversa de una función dada. Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada. Señala si la relación inversa corresponde a una función. Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función inversa posible. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teóricos-prácticos. DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE Representa el conjunto de pare- OBJETOS DE APRENDIZAJE Función inversa. Función constante. Función escalonada. Función identidad. Función valor absoluto. Competencias a desarrollar Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

3 B2 INTRODUCCIÓN En este bloque estudiaremos las funciones especiales, es decir, aquellas cuyas gráficas y expresiones algebraicas son diferentes a lo que se estudia en el resto de este libro, pero por su importancia. Actividad introductoria Áreas de oportunidad: temas que presentan la mayor cantidad de dificultades. I. Contesta las siguientes preguntas. 1. Qué es una función? 2. A qué le llamamos función compuesta? 3. Para qué sirve la regla de la recta vertical? 4. Para qué sirve la regla de la recta horizontal? 5. Describe cómo obtendrías el dominio de una función. 6. Cuáles son las formas de representar una función? II. Realiza la composición de las funciones f g( x): 2 fx ( ) = 3x+ 8 y gx ( ) = 2x 5 76

4 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas FUNCIÓN INVERSA Teorema: Si una ecuación y = f(x) puede resolverse para x como una función de y, x = g(y), entonces f tiene una inversa y ésta es g(y)=f -1 (y) Por ejemplo: Dada la ecuación y= f( x): y= 4x 5 Cuya gráfica es: Gráfica 2.1 Función inversa. ( ) Ésta puede resolverse para x como una función de y x= f( y) despejando x y+ 5= 4x y + 5 = x 4 y + 5 x = 4 ( ) 77

5 B2 Su gráfica es: Al observar que la gráfica de ambas es la misma, siendo que cada una está definida de manera distinta, es decir, una es una función de x y la otra es una función de y nos dice que una es inversa de la otra. Teorema. Una función tiene inversa si y sólo si es una función inyectiva. Teorema. Una función tiene una función inversa si y sólo si al trazar una recta horizontal sobre su gráfica, ésta la intersecta como máximo una sola vez. Teorema. Si una función es inversa de otra, entonces la composición de ambas es la función identidad f f -1 (x) = x Teorema. Si f tiene una función inversa, entonces las gráficas de y = f(x) y y= f 1 ( x) son reflexiones una de la otra respecto de la recta y = x; esto es, x es el eje de simetría de la figura formada por ambas, es decir, cada gráfica es la imagen de espejo de la otra con respecto a esa recta. Generalización. Una función cuya gráfica es exclusivamente creciente, o exclusivamente decreciente, cumple con el criterio de la recta horizontal; por consiguiente, son funciones inyectivas en todo su dominio y en consecuencia, son invertibles. Estos cuatro últimos teoremas y la generalización, nos ayudan a diseñar un método para obtener la inversa de una función. Procedimiento para hallar la inversa de una función: Paso 1: Plantear la función. Paso 2: Verificar que la función de la que se desea obtener la inversa sea inyectiva. Paso 3: Cambiar f(x) por y. Paso 4: Cambiar x por y, cambiar y por x, la variable que era x ahora será y y la que era y será x Paso 5: Despejar y. 78

6 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Paso 6: Paso 7: Paso 8: Sustituir y por f -1 (x). Comprobación, se efectúa la composición de funciones, si el resultado es la función identidad, entonces encontramos la inversa de la función. Se gráfica y se verifica que la gráfica de una sea el reflejo de la otra, teniendo como eje de simetría a la función identidad. Ejemplo Hallar la inversa de la función f(x) = 4x 5 Paso 1 Planteamos la función: f(x) = 4x 5 Paso 2 Verificamos que la función de la que se desea obtener la inversa sea inyectiva. La función es inyectiva ya, pues la recta tiene pendiente positiva; en consecuencia es una función creciente y, por lo tanto, es invertible. Del mismo modo, al efectuar el análisis de la recta horizontal comprobamos que es biyectiva; en consecuencia, es invertible. Paso 3 Cambiar f(x) por y y = 4x 5 79

7 B2 Paso 4 Cambiamos x por y y además y por x, la variable que era x ahora será y y la que era y será x x = 4y 5 Paso 5 Despejar y x+ 5= 4y x y = Paso 6 Sustituimos y por f -1 (x) f x ( x) = Paso 7 Mediante la composición de funciones comprobamos si el resultado es la función identidad, entonces encontramos la inversa de la función. 1 fx ( ) = 4x 5 f (x)= x x f f ( x) = f f ( x) = f f ( x) = f f ( x) = x f f ( x) = f f ( x) = x Por lo tanto, si f(x) = 4x 5, su inversa es f (x)= x

8 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Paso 8 Graficamos: Observa cómo al trazar las gráficas de las funciones, la función identidad pasa por en medio de la función y de su inversa, de tal manera que la inversa parece un reflejo de la función inicial. Ejemplo Hallar la inversa de la función f(x) = x2 Paso 1 Planteamos la función: f(x) = x2 Paso 2 Verificamos que la función de la que se desea obtener la inversa sea inyectiva. Se analiza la función utilizando la regla de la recta horizontal en distintas partes de la gráfica de la función: La función no es inyectiva, ya que al hacer la prueba de la recta horizontal varias rectas cortan en dos puntos la gráfica de la función; por lo tanto, 81

9 B2 concluimos que la función no es invertible, es decir, no podemos obtener su inversa. Ejemplo Hallar la inversa de la función f(x) = x Paso 1 Planteamos la función: f(x) = x Paso 2 Verificamos que la función de la que se desea obtener la inversa sea inyectiva. Se analiza la función utilizando la regla de la recta horizontal en distintas partes de la gráfica de la función: Se observa que las rectas trazadas cortan en uno y sólo un punto a la gráfica de la función, por lo tanto, se concluye que es una función inyectiva. Paso 3 Cambiar f(x) por y y = x Paso 4 Cambiamos x por y y cambiamos y por x, la variable que era x ahora será y y la que era y será x. x = y

10 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Paso 5 Despejar y x 1= y 3 3 y= x 1 Paso 6 Sustituimos y por f -1 (x) Paso 7 Comprobamos, efectuando la composición de funciones, si el resultado es la función identidad, entonces encontramos la inversa de la función. fx ( ) = x f (x)= x-1 3 = = ( x-1) f f ( x) f f ( x) 1 1 f f ( x) = f f ( x) = x f f ( x) = f f ( x) = x 3 1 Por lo tanto, si f(x) = x 3 + 1, su inversa es f ( x)= x Paso 8 Graficamos: Observa cómo al trazar las gráficas de las funciones, la función identidad pasa por en medio de la función y de su inversa, de tal manera que la inversa parece un reflejo de la función inicial. 83

11 B2 Dominio y rango de la función inversa El dominio de la función f( x) El rango de la función f ( ) es igual al rango de la inversa f 1 ( ( x) ) ( ( x) ) es igual al dominio de la función inversa f 1 ( ( x) ) Función inversa a partir de su tabla Para hallar parte del dominio de la función inversa, sólo se tienen que cambiar los valores del dominio ahora para que sean del contradominio, y los valores del contradominio ahora serán del dominio. Veamos un ejemplo: Si la tabla de la función f(x) = 5x 3 es: x y x Determinar la tabla de su inversa cuya regla de correspondencia es f x = ( ) 5 Como ya se expuso anteriormente, sólo debes cambiar los valores del dominio al contradominio y viceversa: x y Comprobamos que, en realidad, éste sea el dominio y el rango, para ello, elegimos un valor cualquiera de x y lo sustituimos en la función inversa: Sustituimos x = 18, en la función inversa para obtener su ordenada correspondiente: 84

12 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas f f 1 1 x f x = ( ) ( 18) = 5 = 15 5 ( 18) = 3 Si x = 18, entonces y = 3, este par de valores corresponden a los que obtuvimos en la tabulación. Ahora sustituimos x = 7: f f f x x = + 3 ( ) 5 7 = + 3 ( 7) 5 10 = 5 ( 7) = 2 Si x = 7, entonces y = 2; este par de valores también corresponden a los obtenidos en la tabla. Obtención de la inversa de una función a partir de la restricción de su dominio Cuando una función no es invertible, pero por necesidades de aplicación se tiene que obtener su inversa, entonces se procede a restringir su dominio, es decir, a delimitarlo en una sección de la función, de tal manera que esta sección se pueda invertir. Ejemplo Hallar la inversa de la función f(x) = x 2 Como ya habíamos analizado anteriormente, esta función no es invertible; sin embargo, si restringimos su dominio, es posible invertirla, por lo que el enunciado cambia de la siguiente manera: Hallar la inversa de la función f(x) = x 2 x 0 y f(x) = x 2 x 0 Como se puede observar en la primera parte sólo se consideran los valores positivos y en esta parte del dominio nuestra función es creciente y, por consiguiente, esta sección de la función es inyectiva, por lo que ahora ya es invertible. En la segunda parte sólo se toma en cuenta los valores negativos y en esta 85

13 B2 parte del dominio nuestra función es decreciente y, por consiguiente, esta sección de la función también es inyectiva, por lo que ahora ya es invertible. Actividad Función Inversa I. Halla la función inversa de las siguientes funciones, grafica las tres funciones: la original, la inversa y la identidad: 1. f(x) = 4x 7 2. f(x) = x x 3. fx ( )= x 4. fx ( )= fx ( )= x f(x) = x 4 2x + 3 x 7. fx ( )= 8. fx ( )= 5 3 x x + 2 2x 4 9. f(x) = x f( x)= 9 II. Dadas las siguientes tablas, halla la correspondiente a la función inversa y comprueba lo obtenido: 1. x y

14 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas 2. x y x y III. Resuelve el siguiente ejercicio: Para obtener la temperatura en grados Fahrenheit a partir de grados centígrados, se utiliza la siguiente ecuación: F= C+ 32, halla su inversa y 9 5 menciona qué significado para la medición de temperaturas tiene la inversa encontrada. 87

15 B2 LA FUNCIÓN CONSTANTE La función constante tiene la forma: f(x) = a n x 0, por lo que la podemos representar en forma general como: f(x) = a Se dice que es un caso particular de la función polinomial, pues consta de un solo término el cual tiene grado cero (x 0 ) y el valor del coeficiente principal es el valor que se hace constante, con un dominio que es el mismo de la función polinomial: Su rango queda definido por: dominio = {x R/ < x < } rango = {y R/ y = a} Así que su gráfica es una línea recta paralela al eje de las abscisas(x), que intersecta al eje de las ordenadas (y) en el valor constante a. Por ejemplo: Dada la función f( x)= 3, hallar su: 2 a) Dominio. b) Rango. c) Tabla. d) Gráfica. 88

16 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas a) Dominio = {x R/ < x < } 3 b) Rango = y R/ y = 2 c) Su tabla es: x y 8 3/2 7 3/2 6 3/2 5 3/2 4 3/2 3 3/2 2 3/2 1 3/2 0 3/2 1 3/2 2 3/2 3 3/2 4 3/2 5 3/2 6 3/2 7 3/2 8 3/2 d) Su gráfica es: 89

17 B2 Actividad Función constante. I. Dadas las siguientes gráficas de la función, halla su forma tabular y su expresión algebraica, su dominio y su rango:

18 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas 4. II. Dadas las siguientes funciones, halla su dominio, su rango y haz un bosquejo de su gráfica: 1. y = 4 2. f( x)= 5 3. y = fx ( )= y = fx ( )= y = π 8. 3 fx ( )= 2 2 π 9. y = e 10. fx ( )= sen 2 FUNCIÓN ESCALONADA Luis va a fotocopiar los exámenes de sus alumnos y encuentra la siguiente información. Copias tamaño carta: Núm. de copias Precio por copia De 1 a 50 $ 0.50 De 51 a 100 $

19 B2 De 101 a 200 $ o más $ 0.25 El cartel informativo representa tanto la tabla de valores de nuestra función como su dominio, aunque quienes lo hicieron no sepan de matemáticas, éste es el clásico ejemplo de una función escalonada; recibe este nombre porque la forma de sus gráficas es en escalón; su gráfica se compone de segmentos de funciones, cada una con una parte del dominio de la función. En conjunto estas fracciones forman, una sola función, a la cual se le conoce como funciones compuestas; la regla de correspondencia, para nuestro ejemplo queda de la siguiente manera: x x 100 fx ( ) = x x Tal vez te preguntes: cómo saber si es una función? Si realizas la prueba de la recta vertical para determinar si se trata de una función de x o no (se estudió en el bloque anterior), observarás que cada recta corta en uno y sólo un punto a cada sección de la gráfica de la función; este procedimiento confirma que efectivamente es una función de x y también que debes poner atención cuando construyas la gráfica de una función escalonada: 92

20 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Actividad Función escalonada I. Resuelve lo siguiente: 1. En una central de taxis se presenta la siguiente tarifa para ofrecer el servicio: De 0 a 10 Km, $20; de más de 10 a 20 Km, $35; de más de 20 a 35 Km, $50; de más de 35 a 50 Km, $70; después de 50 Km ya no da servicio. a) Determina su expresión algebraica. b) Realiza la gráfica. 2. En el Colegio de Bachilleres del Estado de Veracruz existe un programa de estímulos, el cual se calcula multiplicando el número de horas de cada docente por la cantidad de salarios mínimos que gana por los puntos obtenidos. Realiza la gráfica que de manera general representa la base del estímulo en general, según la siguiente regla de correspondencia: si el salario mínimo en 2011 en la ciudad de México es de $59.82, cuántos salarios mínimos ganará un docente que alcance 799 puntos? 1 salario minimo 301 x 400 puntos 2 salario minimo 401 x 500 puntos fx ( ) 3 salario minimo 501 x 600 puntos 4 salario minimo 601 x 700 puntos 5 salario minimo 701 x 800 puntos FUNCIÓN IDENTIDAD Se llama función identidad a aquélla cuyos valores del dominio son idénticos a los valores del contradominio. Su representación general es: f(x) = x y = x 93

21 B2 { } { } Dominio = x R/ < x < Rango = y R/ < y < Su tabla es: x y Su gráfica es una línea recta cuya pendiente es 1 (m = 1) y su ángulo de inclinación es θ = 45 94

22 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Esta función asocia a cada valor real con su valor absoluto (el valor absoluto de un número real es la distancia existente del cero a ese número; por ello, se omite el signo cuando el número es negativo). Te presentamos a continuación las propiedades del valor absoluto: Si a y b son dos números reales, entonces: a) a = a Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto. b) ab = a b El valor absoluto de un producto es el producto de sus valores absolutos. c) a a =, b 0 El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores b b absolutos. La representación algebraica de la función es: Queda definida por: f(x) = x x x 0 fx ( )= x x< 0 Ésta es otro ejemplo de una función compuesta debido a que podemos construir su gráfica en dos partes. Por un lado tenemos una recta con pendiente negativa y, por el otro, una recta con pendiente positiva; aplicamos la propiedad del valor absoluto, se puede construir su tabla: x y

23 B Su gráfica queda elaborada de la siguiente forma: TRASLACIÓN DE FUNCIONES A TRAVÉS DE LOS EJES Actividad I. Resuelve lo que se te indica: 1. Observa las siguientes gráficas y sus respectivas representaciones algebraicas. Gráfica 1 96

24 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Gráfica 2 Gráfica 3 2. Escribe las diferencias que encuentres entre las expresiones algebraicas de cada función. 3. Cómo crees que afectan las diferencias entre las ecuaciones a la gráfica de la función? 97

25 B2 II. Observa las siguientes gráficas y sus respectivas representaciones algebraicas, y encuentra las diferencias y semejanzas entre ellas. Gráfica 1 Gráfica 2 98

26 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Gráfica 3 1. Escribe las diferencias que encuentras entre las expresiones algebraicas de cada función. 2. Cómo crees que afectan las diferencias entre las ecuaciones a la gráfica de la función? Seguramente observaste que las funciones pueden trasportarse horizontal y verticalmente. Desplazamientos horizontales Si quieres transportar una función horizontalmente hacia la izquierda (hacia los valores negativos de x), al valor de x le debes sumar la cantidad de espacios que quieres desplazarla, para desplazar la función hacia la derecha (valores positivos de x) le debes restar la cantidad de espacios que quieres mover. En otras palabras, los desplazamientos horizontales quedan representados de la siguiente manera: f(x + a) a unidades a la izquierda f(x a) a unidades a la derecha 99

27 B2 Ejemplo Desplazar la función f(x) = x2 cinco unidades a la derecha. Según la regla que acabamos de leer, debemos restarle a x cinco unidades, entonces nuestra función queda así: f(x) = (x 5)2 Comprobemos con su gráfica: Como puedes observar se desplazó cinco unidades a la derecha, tal como lo pedimos. Ejemplo Desplazar la función f(x) = x3 cuatro unidades a la izquierda. Según la regla que analizamos, debemos sumarle a x cuatro unidades; entonces, nuestra función queda así: f(x) = (x + 4)3 Comprobemos con su gráfica: Como puedes ver, se desplazó cinco unidades a la derecha, tal como lo pedimos. 100

28 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Desplazamientos verticales Si quieres transportar una función verticalmente hacia abajo (hacia los valores negativos de y), a la operación principal de x le debes restar la cantidad de espacios que necesitamos desplazarla hacia abajo. Si quieres desplazar la función hacia arriba (valores positivos de y) le debes sumar la cantidad de espacios que quieres moverla. En otras palabras, los desplazamientos horizontales quedan representados de la siguiente manera: f(x) + a a unidades hacia arriba f(x) a a unidades hacia abajo Ejemplo Desplazar la función f(x) = x 2 tres unidades hacia los valores de y positivos. Según la regla que acabamos de leer, debemos sumar a la expresión tres unidades, entonces nuestra función queda así: Comprobemos con su gráfica: f(x) = x Como puedes ver, la función se desplazó tres unidades hacia arriba. Ejemplo Desplazar la función f(x) = x 2 seis unidades hacia los valores de y negativos. Según la regla analizada, debemos restar a la expresión seis unidades; entonces, nuestra función queda así: 101

29 B2 f(x) = x2 6 Comprobemos con su gráfica: Como puedes observar, la función se desplazó seis unidades hacia abajo. Con estos ejemplos ya puedes realizar desplazamientos horizontales y verticales al mismo tiempo. Ejemplo Dada la función f(x) = x2 desplazarla dos unidades a la izquierda y cinco unidades hacia abajo. Siguiendo las reglas antes expuestas le sumamos dos unidades a x y le restamos cinco a toda la operación principal; de esta forma, la función nos queda así: f(x) = (x + 2)2 5 Comprobemos con su gráfica: Como lo ilustra el diagrama con flechas, observamos los desplazamientos que sufre la función, dos unidades a la izquierda y cinco unidades hacia abajo. 102

30 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Ejemplo I. Dada la función f( x)= 1, desplazarla tres unidades a la derecha y cuatro 2 x unidades hacia arriba. Con base en las reglas antes expuestas, le restamos tres unidades a x y le sumamos cuatro a toda la operación principal, de tal manera que la función queda así: 1 fx ( ) = ( x 3) Comprobemos con su gráfica: Como lo ilustra el diagrama con flechas, observamos los desplazamientos que sufre la función, tres unidades a la derecha y cuatro unidades hacia arriba. II. Dada la función f(x) = 2x 3, desplazarla cuatro unidades a la izquierda y dos unidades hacia abajo. Conforme a las reglas antes expuestas, le sumamos cuatro unidades a x y le restamos dos a toda la operación principal; de tal manera que la función nos queda así: f(x) = 2(x + 4)

31 B2 Comprobemos con su gráfica: Como lo muestra el diagrama con flechas, observamos los desplazamientos que sufre la función, cuatro unidades a la izquierda y dos unidades hacia abajo. Actividad Desplazamientos Realiza los siguientes ejercicios: 1. La función f(x) = x 2 representa la cantidad en millones de consumidores de un refresco de cola, de 2000 a 2011, x = 0 corresponde al año a) Si las ventas en 2011 caen como consecuencia de la crisis mundial, de tal manera que los consumidores son los mismos que había en el año 2000, traslada la función para que haya un nuevo comienzo como en el 2000, pero aplicado en b) Cuántas personas se espera que consuman refresco de cola en 2015? 2. La posición de una pelota arrojada desde lo alto de la Torre Ánimas en Xalapa, Veracruz, cuya altura es de 62 m, queda representada por la función: f(x) x 2 ; donde f(x) es la posición de la pelota mientras va cayendo, en metros (m) y x es el tiempo de caída de la pelota en segundos (s): a) traslada la función de caída de la pelota si ésta se deja caer desde una altura de 48 m. b) determina el dominio de la función. c) menciona en cuánto tiempo choca contra el suelo. d) Realiza la gráfica de ambas funciones. 104

32 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas VERIFICANDO TUS DESEMPEÑOS El objetivo de esta autoevaluación es que verifiques en forma individual tus avances durante este bloque, y para que encuentres tus áreas de oportunidad. Por ello, primero encontrarás los desempeños que se esperan de ti, pues cada problema que implique una dificultad es un área de oportunidad en la que deberás de centrar tu atención y tu mayor esfuerzo. Instrumentos de evaluación Con ayuda de tu maestro, escribe aquí tus áreas de oportunidad: I. Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a la función inversa de una función dada. Dada la tabla de la función inyectiva, determina la tabla de la función inversa: x y II. Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada y utiliza la tabla y la gráfica de una función para trazar la grafica de su función inversa posible. 7 2 Dada la función f( x)= x, halla su inversa y realiza la tabulación de la misma en el intervalo de [ 4, 4] y grafica dichos 3 5 puntos. 105

33 B2 III. Señala si la relación inversa corresponde a una función. Realiza el análisis de la función inversa del problema anterior y determina si ésta corresponde a una función de x. IV. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. El automóvil de Sara tiene un consumo elevado de gasolina, si el costo de la gasolina Magna es de $9.64 por litro para cualquier cantidad de la misma que compre, construye la expresión algebraica que representa este fenómeno; es decir, y el costo por litro y x la cantidad de litros comprados. Héctor tiene un negocio de envasado de vinagre, para su negocio requiere de botellas de pet de 1 litro, si compra de 1 a 500 botellas el costo es de $0.50 y de 501 en adelante el costo es de $0.20 a) Determina su expresión algebraica. b) Realiza su gráfica. c) Cuánto pagará si compra 750 botellas? V. Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teórico-prácticos. VI. La expresión f(x) = x representa la cantidad de dinero que gasta una persona para divertirse en un parque de diversiones, el costo de la entrada es de $380 y por cada juego no incluido debe pagar $60 (ver gráfica). 106

34 a) Si por fiestas navideñas el costo de la entrada disminuye $200, realiza la traslación de la gráfica de la función hasta encontrar la nueva recta que represente el costo por divertirse en el parque de diversiones. b) Cuánto gastaría una persona que se quisiera subir a cuatro juegos no incluidos en el nuevo costo de la entrada? Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas 107