Funciones. f : A B. Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom(f).

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1 Funciones Definición Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: Notación: Usaremos generalmente letras minúsculas f, g, h, para denotar las funciones y escribiremos: f : A B x y = f(x) en este caso diremos que y es la imagen de x por f. En símbolos, f : A B es función x A,!y B tal que y = f(x) Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y. Generalmente la variable x corresponde a la variable independiente e y a la variable dependiente. Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom(f). Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y, y se denota Rec(f).

2 Evaluación de una función: Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda. Ejemplo: Sea f la función definida por f(x) = x 2 +3x 1 para todo x R. Encuentre f( 3), f( 2), f( 3 ), f(a+b) y f(a)+f(b). 4 Solución Realizando las sustituciones respectivas: 1. f( 3) = ( 3) 2 +3( 3) 1 = 1 2. f( 2) = ( 2) 2 +3( 2) 1 = f ( ( 3 4) = 3 2 ( 4) +3 3 ) = f(a+b) = (a+b) 2 +3(a+b) 1 = a 2 +b 2 +2ab+3a+3b 1 5. f(a)+f(b) = a 2 +3a 1+b 2 +3b 1 = a 2 +b 2 +3a+3b 2 Es importante notar en este ejemplo que f(a+b) y f(a)+f(b) son distintas. Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Matemáticamente lo anterior lo podemos expresar como: Sea f : A R R una función. Diremos que, 1. f es creciente si x 1,x 2 A, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 2. f es decreciente si x 1,x 2 A, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ).

3 Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. Su gráfico es una recta horizontal. Función continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión. Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica. Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

4 Función afin: f(x) = mx+n n 0 Función lineal: f(x) = mx a 0. La principal característica es que la representación gráfica de la recta pasa por el origen. Función identidad: Es una función lineal de la forma f(x) = ax, con a = 1, es decir, f(x) = x. Función valor absoluto: el valor absoluto de un número real x, denotado por x, es siempre un número real no negativo. f(x) = x = { x, Si x 0 x, Si x < 0 x R Traslación de funciones: Sea y = f(x) una función. Conocida la gráfica de una función, es posible hallar la gráfica de esa misma función en diferentes posiciones del plano, esto se llama Traslación, cuyos desplazamientos pueden ser verticales y/o horizontales. Sean y = f(x) una función y c una constante positiva, entonces para obtener la gráfica de: y = f(x) + c se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia arriba. y = f(x) c se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia abajo. y = f(x c) se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia la derecha. y = f(x + c) se desplaza la gráfica de y = f(x)una distancia de c unidades hacia la izquierda.

5 Ejercicios, Funciones 1. Si f(x) = 2x+3, entonces f(7) es igual a: 2 a) 4 b) 17 2 c) 11 2 d) 11 2 e) Cuál es el dominio de la función f(x) = x 2 4 en los números reales? a) [2,+ [ b) [ 2,+ [ c) [0,+ [ d) ], 2] [2,+ [ e) [4,+ [ 3. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f( 2) > f(4) II) f( 1)+f(3) = f( 3) III) f( 6) f(8) = 2 c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III 4. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx+1 y f( 2) = 5 Cuál es el valor de t? a) 3 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3 2

6 5. Del gráfico de la función real f(x) = 1 x, se puede afirmar que: I I c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III I) Tiene su vértice en el punto (0,0). II) Sus ramas se abren hacia abajo. III) Corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a: a) 125x b) 25x c) 125x 2 d) 25x 2 e) Ninguna de las expresiones anteriores. 7. Si f(x) = x a +1 y f(2) = 9, entonces a = a) 9 b) 4 c) 3 d) 2 e) 8 8. Sea f una función cuyo dominio es R { 1} definida por f(x) = 1 x, entonces f( 2) = x+1 a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de semana x? a) y = 12+0,5x b) y = 0,5+12x c) y = 12+0,5x d) y = 12 3,5x e) y = 12 0,5x

7 10. De acuerdo al gráfico de la figura, cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f( 1)+f(1) = f(0) II) 3 f( 2) f(0) = 2 f(2) III) f( 2) f(1) = f(2) 1 c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 11. La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) = a) 2x b) x +x c) x x d) x x e) 3 x x 12. En la figura Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta. III) La ecuación de la recta es y = 5x 10 c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 13. La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A = π r 2 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? b) Sólo I y II c) Sólo II d) Sólo II y III I) π es variable. II) r es variable y A solo toma valores positivos. III) A es función de r. e) I, II y III

8 14. Dada la función f(x) = x 3 x, entonces f( 4) = 2 x a) 11 6 b) 1 2 c) 1 2 d) 11 6 e) Otro valor. 15. Dada la función f(x) = (x 2), se puede afirmar que: I I c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2. II) f(3) = 1 III) El punto (5, 3) pertenece a la función. 16. Si f(x) = mx+n, qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6? a) 1 2 y 5 b) 1 y 1 2 c) 2 y 2 d) 1 2 y 13 2 e) 2 y Dada la función f(x) = 2 1 x x, cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III I) f( 2) = f( 1) II) f( 1 2 ) = 1 2 III) f(2) = 0

9 18. En la función f(x) = 3 x, Cuál(es) de las siguientes alternativas es (son) verdadera(s)? c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) 7 no tiene imagen. II) 3 no tiene imagen. III) f( 6) = 3 e) I, II y III 19. Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base mensual de $ más $5000 por artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un mes, cuál de las siguientes funciones representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos? a) S(x) = $180000x + $5000 b) S(x) = $5000x + $ c) S(x) = $185000x d) S(x) = $ x e) S(x) = $5000 x Si f(x) = x 1 + x 2 + x+2, entonces para 1 x < 2 la función f(x) es igual a: a) 3x 1 b) 3x+5 c) x+3 d) x+1 e) x 1

10 Función Cuadrática A la función de segundo grado f(x) = ax 2 +bx+c, siendo a, b, c R y a 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría. Concavidad Es la abertura que tiene la parábola. Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba. Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo. Intersección con el eje y La parábola asociada a la función y = ax 2 +bx+c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

11 Ceros de la función Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x 1 y x 2 para los que y = 0. Estos valores se determinan con: x = b± b 2 4ac 2a Eje de simetría El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes. Se determina segun: x = x 1 +x 2 = b 2 2a Vértice de la parábola El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. Este punto se determina segun: V = ( ) b 2a, 4ac b2 4a = ( ) b 2a,f( b 2a ) Discriminante La expresión = b 2 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax 2 +bx+c. Se pueden dar tres casos: a) Si > 0, entonces la parábola intersecta al eje x en dos puntos, por lo tanto tiene 2 soluciones reales distintas. b) Si = 0, entonces la parábola es tangente al eje x, por lo tanto tiene sus soluciones idénticas, es decir, una única solución real. c) Si < 0, entonces la parábola NO intersecta al eje x, por lo tanto no tiene solución real.

12 Función raiz cuadrada Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por f(x) = x Observaciones: 1. La función es creciente. 2. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. 3. Su dominio son los R + {0}. Función exponencial Es la función de la forma f(x) = a x, con a R + y a 1 Gráficas de la función exponencial

13 En las gráficas se puede observar que: 1. La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,1). 2. Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente. 3. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente. 4. La gráfica no corta al eje de las abscisas. Función logarítmica Una función f definida por f(x) = log a x, con a R +, a 1 y x > 0 se denomina función logarítmica. Gráficas de la función logarítmica En los gráficos se puede observar que: 1. La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0). 2. Si a > 1, entonces f(x) = log a x es creciente. 3. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = log a x es decreciente. 4. La curva no intersecta al eje y. Función parte entera Dadounnúmerorealx,lafunciónparte enteraf(x) = x conx Rleasignael mayor entero que es menor o igual a x. Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es: Observación: A la gráfica de esta función se le llama función escalonada.

14 Ejercicios 1. En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. Cuánto canceló en total por los días que estacionó? a) $1900 b) $2300 c) $2400 d) $2000 e) Ninguno de los valores anteriores. 2. En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x+1 y g(x) = x 2 +1? 3. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t 5t 2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? c) Sólo III d) Sólo I y II I) 6 segundos. II) 10 segundos. III) 14 segundos. e) Sólo I y III

15 4. Considere la parábola y = 1 2 (x 1)2 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) La parábola se abre hacia arriba. II) Su vértice se encuentra en (1, 0). III) Su eje de simetría es x = 1. e) I, II y III 5. Cuál es la ecuación de la parábola de la figura? a) y = ( x+1)(x 2) b) y = (x+1)(x 2) c) y = ( x+1)(x+2) d) y = ( x 1)(x 2) e) y = (x+1)( x 2) 6. Sea f(x) una función tal que: f(x 1) = x 2 (a+1)x+1, entonces el valor de f(a) es: a) 1 b) 1 a c) 2 a d) 1+a e) 3 2a 7. Considere la función f(x) = 2x 2 +4x+5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es: a) 5 b) 3 c) 2 d) 0 e) 1 8. Si f(x) = 4x 2, g(x) = x 3 y h(x) = x 4, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.

16 9. Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = x+1? a) b) c) d) e) 10. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = (x+1) 2 +1? a) b) c) d) e) 11. Considere la función f(x) = x 2 8x+15, cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x. II) Su valor mínimo es 1. III) f( 3) > 0.

17 12. Sea la función de números reales f(x) = x 2 3, cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1? a) { 2} b) { 2,2} c) {2} d) {4} e) No tiene solución en el conjunto de los números reales. 13. Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x 2 5x+6? a) b) c) d) e) 14. El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo: Consumo en m 3 Precio 0 9 $ $ ó más $11000 Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa? a) b) c) d) e)

18 15. Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? a) y = x 2 b) y = x 3 c) y = 4x 4 d) y = 4 x e) y = 4x Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es: a) y = [x] b) y = 150 [x]+300 c) y = 150 [x 1]+300 d) y = [x 1] e) y = [x+1] 17. Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P: $ de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q: $ de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III

19 18. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ mensuales y costos varios por lámpara de $ Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)? a) C(x) = x b) C(x) = x+5000 c) C(x) = x d) C(x) = 5000x e) C(x) = (x 5000) Si f(x) = log 2 x, entonces f(16) f(8) es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Si f(x) = x 2 +3x 4, entonces f(x+1) es igual a: a) x 2 +3x 2 b) x 2 +5x 3 c) x 2 +5x 2 d) x 2 +5x e) x 2 +3x 21. Dada la parábola de ecuación y = x 2 2x+a, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x. 22. Sea la función cuadrática f(x) = ax 2 +bx+c, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo. II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen. III) Si b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos.

20 23. Cuál de las siguientes funciones representa mejor el grafico de la figura? a) f(x) = 8x b) g(x) = 2x 2 c) h(x) = 4x 2 d) t(x) = 2x 3 e) s(x) = x La parábola de la figura intersecta al eje x en los puntos (4,0) y ( 2,0) Cuál es el conjunto de todos los valores de x cuya imagen es mayor o igual a cero? a) ], 2] [4,+ [ b) ], 2[ ]4,+ [ c) [ 2,4] d) [2,+ [ e) ],2] 25. Sea la función f(x) = x 2 3x 4 y g(x) = x 4, es(son) verdadera(s): c) Sólo I y III d) Sólo II y III I) f(0) g(0) = 0 II) f(x) = g(x) (x+1) III) g(3)+g(1) = 7 e) I, II y III

21 26. Si f(x) = x 2 es afín con g(x) dado por la siguiente tabla. En que punto se intersectan las gráficas de estas funciones? ( ) 5 a) 6, 7 6 ( b) 5 6, 17 ) 6 x g(x) ( c) 5 ) 6, ( d) 3 ) 7, 17 7 e) Ninguna de las anteriores. 27. f(x) = x 2 kx, entonces el valor de f( 3) es: a) 9+3k b) 9 3k c) 9+3k d) 9 3k e) 3+3k 28. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función y = (x 5) 2 +4? a) b) c) d) e)

22 29. Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura? a) f(x) = ( x 2) 2 b) g(x) = x 2 4 c) h(x) = ( x 2) 2 d) m(x) = (2 x) 2 e) n(x) = ( x+2) Dada las funciones f(x) = x 2, g(x) = 1 3 x2 y h(x) = 3x 2. Cuál de las siguientes opciones es correcta? ( ) ( ) ( ) a) f < g < h ( ) ( ) ( ) b) g < f < h ( ) ( ) ( ) c) f < h < g ( ) ( ) ( ) d) g < h < f ( ) ( ) ( ) e) f < g h 3 3 3

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