Modulo de Desigualdades e Inecuaciones. 3º Medio

Transcripción

1 Modulo de Desigualdades e Ineuaiones. º Medio TEMA : Orden, Valor Absoluto y sus propiedades Definiión : La desigualdad a < b es una relaión de orden en el universo de los números reales. Por lo tanto todos los elementos del Conjunto de los Números Reales se pueden omparar.. Luego : Para todo elemento a, b que pertenee a los Reales, se tiene que : a < b si y solo si a - b < 0 donde < signifia menor que a b si y solo si a - b 0 donde signifia mayor que a = b si y solo si a - b = 0 También se puede expresar on la igualdad y se obtienen : y. Propiedades de las Desigualdades..) La desigualdad se mantiene en su orden si sumamos la misma antidad en ada lado de la desigualdad. a < b a + < b +.) La desigualdad se mantiene en su orden si restamos la misma antidad en ada lado de la desigualdad. a < b a - < b -.) La desigualdad se mantiene si multipliamos o dividimos por una antidad mayor que ero. a < b a < b a b a < b <.) La desigualdad se invierte si multipliamos o dividimos por una antidad negativa. a < b a b a b a < b.) La desigualdad se invierte si se toman los valores reíproos de los miembros o lados de la desigualdad. 0 < a < b a b 6.) La desigualdad se mantiene si elevamos a potenia los lados. 0 < a < b a n < b n.) Al sumar miembro a miembro desigualdades del mismo signo, la desigualdad se mantiene.

2 Si a < b y < d a + < b + d GLOSA : todas estas propiedades se deben apliar uidadosamente en las ineuaiones, afortunadamente las alumnas del Lieo saben seguir las indiaiones de sus profesores. TEMA : VALOR ABSOLUTO. DEFINICION : El Valor Absoluto es un número real x que representa la distania que mara el número on respeto al orígen de la oordenada. En simbolos matemátios se define : x = x si x 0 o bién es -x si x < 0 Propiedades de la Funión Valor Absoluto. El asignar a ada número real su valor absoluto representa una funión. Prop. x 0 Para todo el universo real. Prop. x = 0 si x = 0 Prop. x = x Para todo el universo real Prop. x = x Para todo número real. Prop. - x x x para todo real. A ontinuaión los teoremas más importantes del Valor Absoluto porque se aplian en la resoluión de las ineuaiones absolutas. Teorema. Si se tienen x, a perteneientes a los números reales donde a es un real positivo, entones se umple que : x a - a x a La demostraión del teorema es la siguiente : Tenemos que, si, x 0 entones x = x a También si x < 0 entones x = -x a, luego x -a Por lo tanto on las dos onlusiones anteriores queda demostrado. Teorema. Si se tienen x, a perteneientes a los números reales donde a es un número real positivo, entones se umple que : x a x a o bién x - a Nótese que el o es exluyente. Demostraión. Para ustedes. TEMA. INECUACIONES DE UNA INCOGNITA.

3 En las ineuaiones se deben apliar las propiedades dadas anteriormente. Por ejemplo. Determinar el onjunto soluión de la ineuaión x ( x - ) x - + Desarrollo: Aplio las propiedades resolviendo los paréntesis : x - x + x - x + luego - x + - x + 6 Entones - x tiene multipliador negativo Aplio la propiedad : x - La soluión es el onjunto de los números reales mayores o iguales que - La soluión se esribe omo intervalo que omienza en - hasta el infinito positivo.,. Este intervalo se llama errado por la izquierda y abierto por la dereha por ser el infinito. EJERCITACION : Ahora debes obtener el onjunto e intervalo soluión de las siguientes ineuaiones. Te entrego el resultado de ada una para que ompruebes tu aprendizaje..) ( x ) + x +.) x - x.) x x +.) ( x ) - ( x + ) 9 ( x ).) ( x ) + 0 x + 6.) x - 9x.) x x ) ( x ) - ( x + ) 9 ( x ) Las soluiones son las siguientes : 9 Soluión ; x - 9 ; Intervalo,

4 Soluión ; x ; Intervalo, Soluión ; x < ; Intervalo, Soluión ; x -, Intervalo, Soluión ; x, Intervalo, Soluión 6 ; x 8, Intervalo, 8 Soluión ; x < 8 8, Intervalo, Soluión 8 ; x, Intervalo, TEMA SISTEMAS DE INECUACIONES. En los sistemas de ineuaiones on una inógnita se resuelve ada ineuaión y luego se determina la soluión omún a todo el sistema, si existe una ineuaión no pertenee a las otras soluiones entones se señala que el sistema no tiene soluión. La soluión omún se ll ama Interseión. Veamos tu aprendizaje on los siguientes sistemas :..) 6 ( x + ) - < x +.) x 6 x - ( x ) < x - 6 x - < - x + <.) x - 6 x -.) - ( x + ) - < 8 x + x - < - 6 ( - x ) < x x + <.) ( x + ) < x + 6.) x - x - ( - x ) < x + x - < - x + < 6 Las soluiones de los sistemas presentados orresponden al intervalo omún de todas las soluiones pariales de las ineuaiones del sistema dado : Soluión : La soluión omún para el sistema es ;

5 Soluión : x < x ; Intervalo :, ; Intervalo :, Soluión : - < x < ; Intervalo :, Soluión : x 9 9 ; Intervalo :, Soluión : x ; intervalo :, Soluión 6 : La soluión de este sistema es el onjunto vaío porque las soluiones pariales del sistema no tienen ningún intervalo o punto omún. TEMA : INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. En las ineuaiones on Valor Absoluto se aplian los vistos en el TEMA. Por ejemplo : teoremas importantes Resolver x < Aplio el teorema y me queda que : X - < y también x - - Por lo tanto, X < 8 y también x - Luego la soluión omún es - < x < 8 eso es un intervalo,8 En el siguiente ejemplo apliaremos el teorema. Resolver x Entones por ser mayor que aplio el teo. Puede ser que x - < - o bien que x - Luego x < - o bién x 8 Cuando se tiene un o exluyente se trata de una Unión de onjuntos. Luego es la Unión de onjuntos disjuntos. Entones el intervalo soluión es :, U 8, EJERCITACION : Quiero ver tu aprendizaje en las siguientes ineuaiones on V Valor Absoluto : Determina el intervalo soluión de las siguientes ineuaiones :.) x 6.) x 9.) x -.) x < -.) x 9 6.) x 0 0,

6 .) x < + Las soluiones son los siguientes intervalos : Soluión : 6,0 Soluión :, U 8, Soluión. Conjunto vaío no puede ser negativo el valor absoluto Este tipo de ejeriio se llama Cazabobo. 6 Soluión :, Soluión :, U 0, 8 Soluión 6., U, 9 09 Soluión :, FIN