Método de Separación de Variables

Transcripción

1 Método de Separaión de Variables Este método se emplea para resolver euaiones de la forma: f g d 0. Para hallar la soluión de este tipo de euaiones se proede a separar las variables agrupando de un lado de la igualdad todos los términos en on su respetiva diferenial, del otro lado todos los términos en on su diferenial. Posteriormente se resuelven las integrales en ambos lados de la igualdad si es posible onveniente se despeja la variable dependiente. Este resultado onstitue la soluión de la euaión diferenial. Ejemplo : Hallar la soluión de la euaión d. Se proede a multipliar ambos lados de la igualdad por después se separan las variables: d d d en en A ontinuaión se proede a integrar en ambos lados de la igualdad: d Multipliamos ambos miembros de la igualdad por : Note que al multipliar por una onstante desonoida, se obtiene otra onstante desonoida, por lo que en lugar de esribir en el resultado esribimos úniamente. d Es la soluiòn Ejemplo : Hallar la soluión de la euaión d. Se proede a separar las variables: d d en en A ontinuaión se proede a integrar en ambos lados de la igualdad:

2 d ln ln Despejamos el valor de apliando la funión inversa de logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad: ln ln e ln ln e e ln e Note que al elevar la funión eponenial a una onstante desonoida, se obtiene otra onstante desonoida, por lo que en lugar de esribir en el resultado e esribimos úniamente. d Es la soluiòn Ejemplo 3: Hallar la soluión de la euaión Se proede a separar las variables: d d 3 3 d on las ondiiones iniiales en A ontinuaión se integran ambos lados de la igualdad: en d ln( 3) 3 Despejamos el valor de apliando la funión inversa de logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad: ln( 3) e ln ( 3) e e e e 3 3 Como nos dan ondiiones iniiales entones debemos busar la soluión partiular que umpla on estas ondiiones. Esto se logra sustituendo los valores en la soluión general on esto se obtiene el valor de : 0 0 e 3 e 3 4 e e Sustituimos el valor enontrado de en la soluión general: e 3 e 3 e 3

3 e 3 d 3 on 0 4 Es la soluiòn partiular. Ejemplo 4: Hallar la soluión de la euaión 0 9. d on las ondiiones iniiales Se proede a separar las variables: d d en en A ontinuaión se integran ambos lados de la igualdad: d d Despejamos el valor de : Como nos dan ondiiones iniiales entones debemos busar la soluión partiular que umpla on estas ondiiones. Esto se logra sustituendo los valores en la soluión general on esto se obtiene el valor de : Sustituimos el valor enontrado de en la soluión general: 3 3 d on 0 9 Es la soluiòn partiular. Ejemplo 5: Hallar la soluión de la euaión. Se epresa omo d después se separan las variables:

4 d d A ontinuaión se proede a integrar en ambos lados de la igualdad: Despejamos el valor de : d ln ln ln e e e e e e Es la soluiòn Ejemplo 6: Hallar la soluión de la euaión d tg 0. En primer lugar se separan las variables: d d tg 0 d tg tg A ontinuaión se proede a integrar en ambos lados de la igualdad: d tg ln lnse ln lnse Despejamos el valor de : ln lnse e e se se os ln lnse os d tg 0 Es la soluiòn Ejemplo 7: Hallar la soluión de la euaión En primer lugar se separan las variables: d 0. d 0 d d A ontinuaión se proede a integrar en ambos lados de la igualdad:

5 I d du u du d du u d d I II du ln u ln ln u A B C ln ln II Resolviendo por fraiones pariales A, B, C 0 Igualando I II : ln ln ln ln ln ln Despejamos el valor de : ln ln ln ln ln e e e e e d 0 Es la soluiòn

6 Ejeriios Resolver las siguientes euaiones difereniales utilizando el método de separaión de variables: d 0 0. Soluión: 4. d. 0 0 Soluión: 4 3. tg Soluión: sen d 0 4. Soluión: 5. os sen d os sen 0 Soluión: se tg se tg 6. d 3 C Soluión: 3 7. d 0 Soluión: C 8. s 0 Soluión: os ln C 9. ln d d 0 Soluión: C e 0. d 0 Soluión: C e

7 UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # Feha de entrega: Resuelva las siguientes euaiones difereniales usando el método de separaión de variables. Anear los proedimientos en hojas blanas. d 0.. d 0 3. d 0 4. d d 5. tg sen os tg d 0 6. os d sen d 0 d d 0. e e d 0