Unidad 2. Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Sus Soluciones. Definición. Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

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1 Unidad. Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Sus Soluciones.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 1 Definición. Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma p( ) q( ) es separable o que tiene variables separables. Método para resolver ecuaciones diferenciales separables Para resolver la ecuación p( ) q( ) ~ (1) Multiplicamos la ec. (1) por h( ) obtenemos : h( ) p( ) ~ () 1 donde h( ) q( ) Luego procedemos a int egrar la ep resión (): h( ) p( ) H( ) P( ) C ~ () Hemos reunido las dos cons tan tes de int egración en un solo símbolo C. La última ecuación proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial. Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de variables. 1 ln 1 ln ~ (1) Multiplicamos la ec. (1) por : 1 ln ~ () 1 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

2 Separamos las variables en la ec. (): 1 ln ~ () Re alizamos las operaciones indicadas en la ec. (): 1 ln ~ (4) Integramos en ambos lados en (4): ln 1 1 ln ln ln ln C 9 u ln du v ln ln C 9. Ecuaciones Eactas Definición. Una epresión diferencial M (, ) N(, ) es una diferencial eacta en una región R del plano si corresponde a la diferencial de alguna función f (, ) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M (, ) N(, ) 0 es una ecuación eacta si la epresión del lado izquierdo es una diferencial eacta. Teorema. Criterio de eactitud Si las primeras derivadas parciales de M (, ) N(, ) son continuas en un rectángulo R. Entonces M (, ) N(, ) 0 es una ecuación eacta en R sí solo si la condición de compatibilidad M (, ) N (, ) = se cumple para toda (, ) en R. Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

3 Método para resolver ecuaciones eactas a. si M (, ) N(, ) 0 es eacta, entonces ecuación con respecto a para obtener F M. Integre esta última F(, ) M (, ) g( ) ~ (1) b. Para determinar g( ), calcule la derivada parcial con respecto de de ambos lados de la ecuación (1) sustitua N en vez de podemos hallar g '( ). F. Ahora c. Integre g '( ) para obtener g( ) salvo una constante numérica. Al sustituir g( ) en la ecuación (1) se obtiene F(, ). d. La solución de M N 0 está dada en la manera eplícita por F(, ) C. (En forma alternativa, partiendo de F determinar integrando primero respecto de ). N, la solución implícita se puede Ejemplo. Verifique si la ecuación dada es eacta, si es eacta halle su solución. ( sen) ( co) ~ (1) Primero escribimos la ecuación en la forma: M (, ) N (, ) 0 ( sen) ( co) 0 M (, ) sen N(, ) - - co Hallamos M M N : N sen sen La ecuación dada es eacta, Ahora calculamos F(, ) : F(, ) M (, ) g( ) M porque N F(, ) ( sen) cos g( ) ~ () Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez

4 Derivamos la epresión () respecto de : F(, ) cos g '( ) ~ () Igualamos la ep resión () a N(, ) : cos g '( ) - - co g '( ) 0 ~ (4) Integramos (4) respecto de : g '( ) 0 g( ) C ~ (5) Sustituimos (5) en (): F(, ) cos C De ahí tenemos que: cos C Ejemplo. Si la ecuación dada es eacta, halle su solución. (tan sensen) co cos 0 ~ ( a) M (, ) N (, ) sen cos, sen cos La ecuación es eacta, se cumple que: M (, ) N (, ) Integramos a N (, ) respecto de : F (, ) N (, ) h( ) F (, ) co cos cos sen h( ) ~ ( b) Derivamos ( b) respecto de la igualamos a M (, ): F (, ) sensen h '( ) tan sensen sensen h '( ) h '( ) tan ~ ( c) Integramos ( c) : h '( ) tan h( ) ln cos C ~ ( d ) Sustituimos ( d) en (b): cos sen ln cos C

5 . Ecuaciones Lineales 4 Definición. Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando puede ser epresada en la forma a1 ( ) a0 b( ) ~ (1) donde a, a b( ) sólo dependen de la var iable independiente, no así de. 1 0 Cuando b( ) 0, se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea. Forma estándar: Al dividir la ecuación (1) entre el coeficiente principal a 1, se obtiene una forma más útil, la forma estándar, de una ecuación lineal: p( ) q( ) ~ () Se busca una solución de () en un intervalo I para el cual ambas funciones coeficientes p q son continuas. Propiedad. La ecuación () tiene la propiedad de que su solución es la suma de es una solución de la ecuación las dos soluciones: c p, donde c homogénea afín p( ) 0 ~ () p es una solución particular de la ecuación no homogénea (). Ejemplo 4. Determine si las siguientes ecuaciones son lineales. sen e. sec cos 4. ( ln ) 1.. tan Las ecuaciones 1, 4 son lineales la ecuación () es no lineal. 4 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

6 Método para resolver ecuaciones lineales. 5 i. Escriba la ecuación en la forma estándar p( ) q( ) ii. Calcule el factor integrante ( ) ( ) e p( ) mediante la fórmula iii. Multiplique la ecuación en la forma estándar por ( ), recordando iv. d que el lado izquierdo es precisamente ( ), obtenga d ( ) ( ) q( ) Integramos ambos lados de esta última ecuación. Ejemplo 5. Resuelva la ecuación lineal dada. sen Escribimos la ec. dada en la forma canónica, dividiendo entre : sen ~ ( a) 1 p( ) Calculamos el factor int egrante ( ) : ( ) e e e 1 ln ln 1 Multiplicamos la ec. ( a) por ( ) tenemos que : d sen d sen b 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ~ ( ) Multiplicamos la ec. ( b) por : d sen c 1 ( ) ~ ( ) Integramos la ec. (c): d 1 ( ) 1 sen sen 5 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

7 sen cos cos cos sen C u du sen v sen cos Entonces, 1 cos sen C cos sen C.4 Factores integrantes ecuaciones no eactas Factor integrante. Si la ecuación M (, ) N (, ) 0 ~ (1) no es eacta, pero la ecuación (, ) M (, ) (, ) N(, ) 0 ~ (), resultante de multiplicar la ecuación (1) por (, ) si es eacta, entonces (, ) es un factor integrante de la ecuación (1). Factores integrantes especiales Teorema. Si M N N es continua sólo depende de, entonces M N ( ) ep ~ () N es un factor integrante para la ecuación (1). Si N M M es continua sólo depende de, entonces N M ( ) ep ~ (4) M es un factor integrante de la ecuación (1). El teorema anterior sugiere el siguiente procedimiento.

8 Método para determinar factores integrantes especiales 6 M N Si M (, ) N (, ) 0 no es separable ni lineal, calcule. M N, entonces la ecuación es eacta. Si no es eacta, considere Si M N N ~ (5). Si (5) sólo depende de, entonces un factor integrante está dado por la fórmula (). En caso contrario, considere N M M ~ (6). Si (6) depende de, entonces un factor integrante está dado por la fórmula (9). Ejemplo 6. Resuelva la ecuación diferencial dada ( ) 0 Primero analizamos si la ecuación diferencial es eacta. M (, ), N(, ) M N 4 4 M La ecuación no es eacta, porque N Buscamos un factor integrante para convertir la ecuación en eacta: M N 4 1 N ( ) ln e e Multiplicamos la ecuación dada por ( ) : ( ) 0 ( ) 0 ~ ( a) Investigamos si la ecuación (a) es eacta: M N Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

9 M N La ec. (a) es eacta, porque F(, ) M h( ) F h (, ) ( ) ( ) Derivamos F(, ) respecto de la igualamos a N(, ): F(, ) h '( ) F(, ) N(, ) '( ) h h '( ) 0 ~ ( b) Integramos la ec. (b): h '( ) 0 h( ) C Entonces, la solución viene dada por : F(, ) C C.5 Ecuaciones Homogéneas Otras Sustituciones 7 Procedimiento de sustitución i. Identifique el tipo de ecuación determine la sustitución o transformación adecuada. ii. Escriba la ecuación original en términos de las nuevas variables. iii. Resuelva la ecuación transformada. iv. Epresa la solución en términos de las variables originales. Ecuación homogénea. Si el lado derecho de la ecuación f (, ) ~ (1) se puede epresar como una función que sólo depende del cociente, entonces decimos que la ecuación es homogénea. 7 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez

10 Otra versión: Una ecuación diferencial de primer orden en la forma M (, ) N (, ) 0 es homogénea si ambas funciones M N son ecuaciones homogéneas del mismo grado. Un criterio para la homogeneidad de la ecuación (1) consiste en reemplazar por t a por t. Entonces (1) es homogénea si sólo si f ( t, t) f (, ) t 0. Para resolver una ecuación homogénea, utilizamos la sustitución: Sea v ~ () Nuestra ecuación homogénea tiene ahora la forma G( v) ~ (), Y sólo debemos epresar en términos de v. Como v, entonces v ~ (4). Sabemos que v son funciones continuas de, por lo que podemos aplicar la regla del producto para derivar la ec. (4). v ~ (5) Sustituendo (5) en (): v G( v) ~ (6) Como podemos observar, la ec. (6) es separable podemos obtener una solución implícita G( v) v G( v) v ~ (7) G( v) v

11 Ahora procedemos a integrar la epresión (7):. G( v) v Sólo necesitamos epresar la solución en términos de las variables originales e. 8 Ejemplo 7. Identifique si la ecuación dada es homogénea. Si lo es, halle la solución. 9 ~ (1) Analizamos si la ecuación es hom ogénea : Como podemos ver, cada tér min o es de grado, por tan to es hom ogénea, ahora buscamos una sustitución adecuada. v ~ () Derivamos la ec. () respecto de : v ~ () Sustituimos () () en (1) : ( v) v ( v) v v v 4 v v v 4 v ~ (4) Separando var iables en (4) : v 4 v ~ (5) Integramos la v v ln C ~ (6) ep resión (5) : 8 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

12 De la ec. () : v ~ (7) Sust. (7) en (6) : ln C Ecuaciones de la forma G( a b) 10 Cuando el lado derecho de la ecuación f (, ) se puede epresar como una función de la combinación a b G( a b), entonces la sustitución z a b transforma la ecuación en una ecuación separable. Ejemplo 8. Resuelva la ecuación diferencial dada. Sea z ~ (1) Derivamos la ep resión (1) respecto de : dz ~ () Despejamos a de () : dz ~ () Sust. (1) () en la ec. dada : dz z ~ (4) z, donde a b son constantes, es decir, 10 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

13 Multiplicamos la ec. (4) por : z dz - z z dz z z z 6 dz z 5z 6 dz ~ (5) z Separamos var iables : z dz 5z 6 dz 4dz 5 5z 0 z 4 ln(5 z 0) C ~ (6) 5 5 Sust. (1) en (6) : 4 ln( ) C 5 5 Ecuaciones con coeficientes lineales 11 Hasta ahora solo hemos utilizado sustituciones de para transformar la ecuación original en una nueva ecuación que se puede resolver. En algunos casos, tenemos que transformar en nuevas variables. Éste caso se aplica frecuentemente para ecuaciones con coeficientes lineales; es decir, ecuaciones de la forma ( a b c ) ( a b c ) 0 ~ (10), donde las a i ' s, bi ' s c1 ' s son constantes. Si a1b ab1, la ecuación (10) se mediante la sustitución z a b. puede escribir de la forma G( a b), que resolvimos en el caso anterior c c Si 1 0, la ecuación (10) se transforma en ( a b ) ( a b ) 0, Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

14 que puede escribirse en la forma a b a b a b a b ~ (11). La ecuación (11) es homogénea, por lo que podemos resolverla haciendo las sustituciones adecuadas. Analicemos ahora la siguiente situación: si 1 1, entonces buscamos una traslación de ejes de la forma a b a b uh v k, donde h k son constantes, que cambie a1 b1 c1 por a1u b1v a b c por a u b v. De acuerdo al conocimiento de álgebra elemental, sabemos que tal transformación eiste si el sistema de ecuaciones a1h b1 k c1 0 ~ (1), ah bk c 0 tiene solución única. Esto queda garantizado por la hipótesis 1 1, que a b a b geométricamente se interpreta que las dos rectas descritas por la epresión (1) se intersectan. Si satisface (1), entonces las sustituciones u h v k transforma la ecuación (10) en la ecuación homogénea du a b a u b v a b a 1 1 1u b1v u que sabemos resolver. v v u ~ (1), Ejemplo 9. Resuelva la siguiente ecuación con coeficientes lineales constantes. ( ) ( 6) 0 ~ (1) Analizamos si la ecuación (1) cumple con: a1b ab1 a1 1, b1 1, a 1 b a1b (1)() ab1 ( 1)(1) 1 a1b ab1 1, entonces aplicamos la traslación de ejes: u h, v k, donde h k satisfacen el sistema h k 0 h k 6 0

15 R esolviendo el sistema de ecuaciones tenem os que: h - k 1 Sustituendo a h k tenem os: u, v 1 ~ () D erivando las variables respecto de u v respectivam ente: du ~ () Sustituendo () () en (1): ( u v 1 ) du ( u v 6) 0 ( u v) du ( u v) 0 u v 1 v u ~ (4) du u v 1 v u v Sea z ~ (5) v zu ~ (6) u D erivando (6) respecto de u : dz z u ~ (7) du du Sustituendo (5) (7) en (4): dz 1 z z u ~ (8) du 1 z M ultiplicamos (8) por du : 1 z zdu udz du 1 z R eagrupando térm inos sem ejantes: 1 z zdu du udz 1 z z 1 du udz ~ (9) z 1 Separando variables en (9): du z 1 dz -u z 1 du z 1 dz u z 1 z ln u dz ln z 1 dz z 1 ln z 1 arctan z u C arctan z Sustituendo a z por su valor en (10): ln u ln z 1 C ~ (10) arctan v ln u ln v 1 u C ~ (11) u Sustituimos a u v por su valor en (11): 1 ln 1 arctan 1 C

16 Ecuaciones de Bernoulli Definición. Una de primer orden que puede escribirse en la forma n P( ) Q( ) ~ (14), donde P( ) Q( ) son continuas en el intervalo ( a, b ) n un número real, es una ecuación de Bernoulli. 1 Si n 0 o n 1, la ecuación (14) es una ecuación lineal podemos resolverla como tal. Para otros valores de n, la sustitución v 1 n transforma la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal, como podemos observar. Dividimos la ecuación (14) entre n se obtiene n P( ) 1n Q( ) ~ (15). Utilizar la sustitución que: 1 v n ~ (16) aplicar la regla de la cadena, tenemos (1 n) n ~ (17), de la epresión (17) tenemos que: n 1 (1 n) ~ (18) Sustituendo (16) (18) en (15): 1 (1 n) P( ) v Q( ) ~ (19) Multiplicamos la ec. (19) por (1 n) la ecuación se trasforma en lineal como podemos observar. (1 n) (1 n) P( ) v Q( ) ~ (0). 1 Preparado por: Gil Sandro Gómez.

17 Ejemplo 10. Analice si la ecuación dada es de Bernoulli, en caso afirmativo halle su solución. 1 Dividimos la ecuación dada entre ~ (1) Reorganizando la ecuación (1): ~ () : Multiplicamos () por : 1 1 ~ () Si v 1 ~ (4) Derivamos la epresión (4) respecto de : ~ (5) Sustituendo (4) (5) en (): v 1 v 1 ~ (6) Como podemos observar, la ecuación (6) es lineal podemos resolverla aplicando el procedimiento adecuado. 1 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

18 FI e e -1 ln C ln 1 v v v ln C ~ (7) Sustituendo a v por su valor en (7) : i i Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.